《3.1函數(shù)的概念及其表示》專題復(fù)習(xí)與訓(xùn)練

《3.1函數(shù)的概念及其表示》專題復(fù)習(xí)與訓(xùn)練3.1.1函數(shù)的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.進(jìn)一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型．能用集合與對應(yīng)的語言刻畫出函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫數(shù)學(xué)概念中的作用．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2．了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域．(重點(diǎn))3．能夠正確使用區(qū)間表示數(shù)集．(易混點(diǎn))1.通過學(xué)習(xí)函數(shù)的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．借助函數(shù)定義域的求解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．3．借助f(x)與f(a)的關(guān)系，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).【新課導(dǎo)入】1．函數(shù)的概念定義一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)三要素對應(yīng)關(guān)系y＝f(x)，x∈A定義域自變量x的取值范圍值域與x的值相對應(yīng)的y的函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}思考1：(1)有人認(rèn)為“y＝f(x)”表示的是“y等于f與x的乘積”，這種看法對嗎？(2)f(x)與f(a)有何區(qū)別與聯(lián)系？提示：(1)這種看法不對．符號y＝f(x)是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示，應(yīng)理解為x是自變量，它是關(guān)系所施加的對象；f是對應(yīng)關(guān)系，它可以是一個(gè)或幾個(gè)解析式，可以是圖象、表格，也可以是文字描述；y是自變量的函數(shù)，當(dāng)x允許取某一具體值時(shí)，相應(yīng)的y值為與該自變量值對應(yīng)的函數(shù)值．y＝f(x)僅僅是函數(shù)符號，不表示“y等于f與x的乘積”．在研究函數(shù)時(shí)，除用符號f(x)外，還常用g(x)，F(xiàn)(x)，G(x)等來表示函數(shù)．(2)f(x)與f(a)的區(qū)別與聯(lián)系：f(a)表示當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)f(x)的值，是一個(gè)常量，而f(x)是自變量x的函數(shù)，一般情況下，它是一個(gè)變量，f(a)是f(x)的一個(gè)特殊值，如一次函數(shù)f(x)＝3x＋4，當(dāng)x＝8時(shí)，f(8)＝3×8＋4＝28是一個(gè)常數(shù)．2．區(qū)間及有關(guān)概念(1)一般區(qū)間的表示設(shè)a，b∈R，且a<b，規(guī)定如下：定義名稱符號數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間[a，b]{x|a<x<b}開區(qū)間(a，b){x|a≤x<b}半開半閉區(qū)間[a，b){x|a<x≤b}半開半閉區(qū)間(a，b](2)特殊區(qū)間的表示定義R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符號(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)思考2：(1)區(qū)間是數(shù)集的另一種表示方法，那么任何數(shù)集都能用區(qū)間表示嗎？(2)“∞”是數(shù)嗎？如何正確使用“∞”？提示：(1)不是任何數(shù)集都能用區(qū)間表示，如集合{0}就不能用區(qū)間表示．(2)“∞”讀作“無窮大”，是一個(gè)符號，不是數(shù)．以“－∞”或“＋∞”作為區(qū)間一端時(shí)，這一端必須是小括號．1．函數(shù)y＝eq\f(1,\r(x＋1))的定義域是()A．[－1，＋∞) B．[－1,0)C．(－1，＋∞) D．(－1,0)C[由x＋1>0得x>－1.所以函數(shù)的定義域?yàn)?－1，＋∞)．]2．若f(x)＝eq\f(1,1－x2)，則f(3)＝________.－eq\f(1,8)[f(3)＝eq\f(1,1－9)＝－eq\f(1,8).]3．用區(qū)間表示下列集合：(1){x|10≤x≤100}用區(qū)間表示為________；(2){x|x>1}用區(qū)間表示為________．(1)[10,100](2)(1，＋∞)[結(jié)合區(qū)間的定義可知(1)為[10,100]，(2)為(1，＋∞)．]【合作探究】函數(shù)的概念【例1】(1)下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是()①f(x)＝eq\r(－2x3)與g(x)＝xeq\r(－2x)；②f(x)＝x與g(x)＝eq\r(x2)；③f(x)＝x0與g(x)＝eq\f(1,x0)；④f(x)＝x2－2x－1與g(t)＝t2－2t－1.A．①② B．①③C．③④ D．①④(2)判斷下列對應(yīng)是不是從集合A到集合B的函數(shù)．①A＝N，B＝N*，對應(yīng)法則f：對集合A中的元素取絕對值與B中元素對應(yīng)；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，對應(yīng)法則f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，對應(yīng)法則f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，對應(yīng)法則f：對A中元素求面積與B中元素對應(yīng)．(1)C[①f(x)＝eq\r(－2x3)＝|x|eq\r(－2x)與g(x)＝xeq\r(－2x)的對應(yīng)法則和值域不同，故不是同一函數(shù)．②g(x)＝eq\r(x2)＝|x|與f(x)＝x的對應(yīng)法則和值域不同，故不是同一函數(shù)．③f(x)＝x0與g(x)＝eq\f(1,x0)都可化為y＝1且定義域是{x|x≠0}，故是同一函數(shù)．④f(x)＝x2－2x－1與g(t)＝t2－2t－1的定義域都是R，對應(yīng)法則也相同，而與用什么字母表示無關(guān)，故是同一函數(shù)．由上可知是同一函數(shù)的是③④.故選C.](2)[解]①對于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不屬于B，即A中的元素0在B中沒有元素與之對應(yīng)，所以不是函數(shù)．②對于A中的元素±1，在f的作用下與B中的1對應(yīng)，A中的元素±2，在f的作用下與B中的4對應(yīng)，所以滿足A中的任一元素與B中唯一元素對應(yīng)，是“多對一”的對應(yīng)，故是函數(shù)．③對于A中的任一元素，在對應(yīng)關(guān)系f的作用下，B中都有唯一的元素與之對應(yīng)，如±1對應(yīng)1，±2對應(yīng)4，所以是函數(shù)．④集合A不是數(shù)集，故不是函數(shù)．]1．判斷對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的2個(gè)條件(1)A，B必須是非空實(shí)數(shù)集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一個(gè)元素與之對應(yīng)．對應(yīng)關(guān)系是“一對一”或“多對一”的是函數(shù)關(guān)系，“一對多”的不是函數(shù)關(guān)系．2．判斷函數(shù)相等的方法(1)先看定義域，若定義域不同，則不相等；(2)若定義域相同，再化簡函數(shù)的解析式，看對應(yīng)關(guān)系是否相同．1．下列四個(gè)圖象中，不是函數(shù)圖象的是()ABCDB[根據(jù)函數(shù)的定義知：y是x的函數(shù)中，x確定一個(gè)值，y就隨之確定一個(gè)值，體現(xiàn)在圖象上，圖象與平行于y軸的直線最多只能有一個(gè)交點(diǎn)，對照選項(xiàng)，可知只有B不符合此條件．故選B.]2．下列各組函數(shù)中是相等函數(shù)的是()A．y＝x＋1與y＝eq\f(x2－1,x－1)B．y＝x2＋1與s＝t2＋1C．y＝2x與y＝2x(x≥0)D．y＝(x＋1)2與y＝x2B[A，C選項(xiàng)中兩函數(shù)的定義域不同，D選項(xiàng)中兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，故A，C，D錯(cuò)誤，選B.]求函數(shù)值【例2】設(shè)f(x)＝2x2＋2，g(x)＝eq\f(1,x＋2)，(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．(2)求g(f(x))．[思路點(diǎn)撥](1)直接把變量的取值代入相應(yīng)函數(shù)解析式，求值即可；(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．[解](1)因?yàn)閒(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因?yàn)間(x)＝eq\f(1,x＋2)，所以g(a)＋g(0)＝eq\f(1,a＋2)＋eq\f(1,0＋2)＝eq\f(1,a＋2)＋eq\f(1,2)(a≠－2)．g(f(2))＝g(10)＝eq\f(1,10＋2)＝eq\f(1,12).(2)g(f(x))＝eq\f(1,fx＋2)＝eq\f(1,2x2＋2＋2)＝eq\f(1,2x2＋4).函數(shù)求值的方法1已知fx的表達(dá)式時(shí)，只需用a替換表達(dá)式中的x即得fa的值.2求fga的值應(yīng)遵循由里往外的原則.3．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f[解]f(1)＝13＋2×1＋3＝6；f(t)＝t3＋2t＋3；f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3.求函數(shù)的定義域[探究問題]1．已知函數(shù)的解析式，求其定義域時(shí)，能否可以對其先化簡再求定義域？提示：不可以．如f(x)＝eq\f(x＋1,x2－1).倘若先化簡，則f(x)＝eq\f(1,x－1)，從而定義域與原函數(shù)不等價(jià)．2．若函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域是[1,2]，這里的“[1,2]”是指誰的取值范圍？函數(shù)y＝f(x)的定義域是什么？提示：[1,2]是自變量x的取值范圍．函數(shù)y＝f(x)的定義域是x＋1的范圍[2,3]．【例3】求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)＝2＋eq\f(3,x－2)；(2)f(x)＝(x－1)0＋eq\r(\f(2,x＋1))；(3)f(x)＝eq\r(3－x)·eq\r(x－1)；(4)f(x)＝eq\f(x＋12,x＋1)－eq\r(1－x).[思路點(diǎn)撥]要求函數(shù)的定義域，只需分母不為0，偶次方根中被開方數(shù)大于等于0即可．[解](1)當(dāng)且僅當(dāng)x－2≠0，即x≠2時(shí)，函數(shù)f(x)＝2＋eq\f(3,x－2)有意義，所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠2}．(2)函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≠0，,\f(2,x＋1)≥0，,x＋1≠0，))解得x>－1且x≠1，所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>－1且x≠1}．(3)函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x≥0，,x－1≥0，))解得1≤x≤3，所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|1≤x≤3}．(4)要使函數(shù)有意義，自變量x的取值必須滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,1－x≥0，))解得x≤1且x≠－1，即函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≤1且x≠－1}．(變結(jié)論)在本例(3)條件不變的前提下，求函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域．[解]由1≤x＋1≤3得0≤x≤2.所以函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域?yàn)閇0,2]．求函數(shù)定義域的常用方法1若fx是分式，則應(yīng)考慮使分母不為零.2若fx是偶次根式，則被開方數(shù)大于或等于零.3若fx是指數(shù)冪，則函數(shù)的定義域是使冪運(yùn)算有意義的實(shí)數(shù)集合.4若fx是由幾個(gè)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是幾個(gè)部分定義域的交集.5若fx是實(shí)際問題的解析式，則應(yīng)符合實(shí)際問題，使實(shí)際問題有意義.1．對于用關(guān)系式表示的函數(shù)．如果沒有給出定義域，那么就認(rèn)為函數(shù)的定義域是指使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量取值的集合．這也是求某函數(shù)定義域的依據(jù)．2．函數(shù)的定義主要包括定義域和定義域到值域的對應(yīng)法則，因此，判定兩個(gè)函數(shù)是否相同時(shí)，就看定義域和對應(yīng)法則是否完全一致，完全一致的兩個(gè)函數(shù)才算相同．3．函數(shù)符號y＝f(x)是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，它是抽象符號之一．首先明確符號“y＝f(x)”為y是x的函數(shù)，它僅僅是函數(shù)符號，不是表示“y等于f與x的乘積”.【課堂達(dá)標(biāo)】1．思考辨析(1)區(qū)間表示數(shù)集，數(shù)集一定能用區(qū)間表示．()(2)數(shù)集{x|x≥2}可用區(qū)間表示為[2，＋∞]．()(3)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)的值域也就確定了．()(4)函數(shù)值域中每一個(gè)數(shù)在定義域中一定只有一個(gè)數(shù)與之對應(yīng)．()(5)函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x相等的是()A．y＝(eq\r(x))2 B．y＝eq\r(x2)C．y＝|x| D．y＝eq\r(3,x3)D[函數(shù)y＝x的定義域?yàn)镽；y＝(eq\r(x))2的定義域?yàn)閇0，＋∞)；y＝eq\r(x2)＝|x|，對應(yīng)關(guān)系不同；y＝|x|對應(yīng)關(guān)系不同；y＝eq\r(3,x3)＝x，且定義域?yàn)镽.故選D.]3．將函數(shù)y＝eq\f(3,1－\r(1－x))的定義域用區(qū)間表示為________．(－∞，0)∪(0,1][由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x≥0，,1－\r(1－x)≠0，))解得x≤1且x≠0，用區(qū)間表示為(－∞，0)∪(0,1]．]4．已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)，(1)求f(x)的定義域；(2)求f(－1)，f(2)的值；(3)當(dāng)a≠－1時(shí)，求f(a＋1)的值．[解](1)要使函數(shù)f(x)有意義，必須使x≠0，∴f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)f(－1)＝－1＋eq\f(1,－1)＝－2，f(2)＝2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).(3)當(dāng)a≠－1時(shí)，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋eq\f(1,a＋1).《函數(shù)的概念》專題訓(xùn)練[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(3,x)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝()A.eq\f(1,a) B.eq\f(3,a)C．a(chǎn) D．3D[feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝3a，故選D.]2．下列表示y關(guān)于x的函數(shù)的是()A．y＝x2 B．y2＝xC．|y|＝x D．|y|＝|x|A[結(jié)合函數(shù)的定義可知A正確，選A.]3．函數(shù)y＝x2－2x的定義域?yàn)閧0,1,2,3}，那么其值域?yàn)?)A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}A[當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1－2＝－1；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4－2×2＝0；當(dāng)x＝3時(shí)，y＝9－2×3＝3，∴函數(shù)y＝x2－2x的值域?yàn)閧－1,0,3}．]4．函數(shù)y＝eq\f(\r(x＋1),x－1)的定義域是()A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)D[由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,x－1≠0，))所以x≥－1且x≠1，故函數(shù)y＝eq\f(\r(x＋1),x－1)的定義域?yàn)閧x|x≥－1且x≠1}．故選D.]5．下列四組函數(shù)中表示同一函數(shù)的是()A．f(x)＝x，g(x)＝(eq\r(x))2B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2C．f(x)＝eq\r(x2)，g(x)＝|x|D．f(x)＝0，g(x)＝eq\r(x－1)＋eq\r(1－x)C[∵f(x)＝x(x∈R)與g(x)＝(eq\r(x))2(x≥0)兩個(gè)函數(shù)的定義域不一致，∴A中兩個(gè)函數(shù)不表示同一函數(shù)；∵f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2兩個(gè)函數(shù)的對應(yīng)法則不一致，∴B中兩個(gè)函數(shù)不表示同一函數(shù)；∵f(x)＝eq\r(x2)＝|x|與g(x)＝|x|，兩個(gè)函數(shù)的定義域均為R，∴C中兩個(gè)函數(shù)表示同一函數(shù)；f(x)＝0，g(x)＝eq\r(x－1)＋eq\r(1－x)＝0(x＝1)兩個(gè)函數(shù)的定義域不一致，∴D中兩個(gè)函數(shù)不表示同一函數(shù)，故選C.]二、填空題6．若[a,3a－1]為一確定區(qū)間，則aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))[由題意知3a－1>a，則a>eq\f(1,2).]7．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,1＋x)，又知f(t)＝6，則t＝________.－eq\f(5,6)[由f(t)＝6，得eq\f(1,1＋t)＝6，即t＝－eq\f(5,6).]8．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,1)，則函數(shù)g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))＋f(x－1)的定義域是________．(0,2)[由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<\f(x,2)<1，,－1<x－1<1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2<x<2，,0<x<2.))解得0＜x＜2，于是函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?0,2)．]三、解答題9．求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)＝eq\r(3x－1)＋eq\r(1－2x)＋4；(2)f(x)＝eq\f(x＋30,\r(|x|－x)).[解](1)要使函數(shù)式有意義，必須滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－1≥0，,1－2x≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,3)，,x≤\f(1,2).))所以eq\f(1,3)≤x≤eq\f(1,2)，即函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))).(2)要使函數(shù)式有意義，必須滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3≠0，,|x|－x>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－3，,|x|>x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－3，,x<0.))所以函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，－3)∪(－3,0)．10．已知f(x)＝x2－4x＋2.(1)求f(2)，f(a)，f(a＋1)的值；(2)求f(x)的值域；(3)若g(x)＝x＋1，求f(g(3))的值．[解](1)f(2)＝22－4×2＋2＝－2，f(a)＝a2－4af(a＋1)＝(a＋1)2－4(a＋1)＋2＝a2－2a(2)f(x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2≥－2，∴f(x)的值域?yàn)閇－2，＋∞)．(3)g(3)＝3＋1＝4，∴f(g(3))＝f(4)＝42－4×4＋2＝2.[等級過關(guān)練]1．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，則下列圖形給出的對應(yīng)中能構(gòu)成從A到B的函數(shù)f：A→B的是()ABCDD[A中的對應(yīng)不滿足函數(shù)的存在性，即存在x∈A，但B中無與之對應(yīng)的y；B、C均不滿足函數(shù)的唯一性，只有D正確．]2．下列函數(shù)中，對于定義域內(nèi)的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的為()A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝－x2C．f(x)＝eq\f(1,x) D．y＝|x|A[對于A選項(xiàng)，f(x＋1)＝(x＋1)＋1＝f(x)＋1，成立．對于B選項(xiàng)，f(x＋1)＝－(x＋1)2≠f(x)＋1，不成立．對于C選項(xiàng)，f(x＋1)＝eq\f(1,x＋1)，f(x)＋1＝eq\f(1,x)＋1，不成立．對于D選項(xiàng)，f(x＋1)＝|x＋1|，f(x)＋1＝|x|＋1，不成立．]3．函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出．x123f(x)131x123g(x)321則f(g(1))的值為________；滿足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．12[∵g(1)＝3，f(3)＝1，∴f(g(1))＝1.當(dāng)x＝1時(shí)，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3，f(g(x))<g(f(x))，不合題意；當(dāng)x＝2時(shí)，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，f(g(x))>g(f(x))，符合題意；當(dāng)x＝3時(shí)，f(g(3))＝f(1)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3，f(g(x))<g(f(x))，不合題意．]4．已知一個(gè)函數(shù)的解析式為y＝x2，它的值域?yàn)閧1,4}，這樣的函數(shù)有________個(gè)．9[因?yàn)橐粋€(gè)函數(shù)的解析式為y＝x2，它的值域?yàn)閧1,4}，所以函數(shù)的定義域可以為{1,2}，{－1,2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{－1,1，－2}，{1,2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，－2,2}，共9種可能，故這樣的函數(shù)共9個(gè)．]5．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,1＋x2).(1)求f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的值；(2)求證：f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))是定值．[解]∵f(x)＝eq\f(x2,1＋x2)，∴f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(22,1＋22)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝1.f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(32,1＋32)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝1.(2)證明：f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x2,1＋x2)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2)＝eq\f(x2,1＋x2)＋eq\f(1,x2＋1)＝eq\f(x2＋1,x2＋1)＝1.3.1.2函數(shù)的表示法第1課時(shí)函數(shù)的表示法學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.掌握函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法．(重點(diǎn))2．會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)．(難點(diǎn))1.通過函數(shù)表示的圖象法培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)．2．通過函數(shù)解析式的求法培養(yǎng)運(yùn)算素養(yǎng).【新課導(dǎo)入】函數(shù)的表示法思考：任何一個(gè)函數(shù)都可以用解析法、列表法、圖表法三種形式表示嗎？提示：不一定．并不是所有的函數(shù)都可以用解析式表示，不僅如此，圖象法也不適用于所有函數(shù)，如D(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x∈Q，,1，x∈?RQ.))列表法雖在理論上適用于所有函數(shù)，但對于自變量有無數(shù)個(gè)取值的情況，列表法只能表示函數(shù)的一個(gè)概況或片段．1．已知函數(shù)f(x)由下表給出，則f(3)等于()x1≤x<222<x≤4f(x)123A.1B．2C．3D．不存在C[∵當(dāng)2<x≤4時(shí)，f(x)＝3，∴f(3)＝3.]2．二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為(0，－1)，對稱軸為y軸，則二次函數(shù)的解析式可以為()A．y＝－eq\f(1,4)x2＋1 B．y＝eq\f(1,4)x2－1C．y＝4x2－16 D．y＝－4x2＋16B[把點(diǎn)(0，－1)代入四個(gè)選項(xiàng)可知，只有B正確．]3．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則其定義域是______．[－2,3][由圖象可知f(x)的定義域?yàn)閇－2,3]．]【合作探究】函數(shù)的三種表示方法【例1】某商場新進(jìn)了10臺彩電，每臺售價(jià)3000元，試求售出臺數(shù)x與收款數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系，分別用列表法、圖象法、解析法表示出來．[解]①列表法如下：x(臺)12345y(元)3000600090001200015000x(臺)678910y(元)1800021000240002700030000②圖象法：如圖所示．③解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．列表法、圖象法和解析法是從三個(gè)不同的角度刻畫自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，同一個(gè)函數(shù)可以用不同的方法表示．在用三種方法表示函數(shù)時(shí)要注意：①解析法必須注明函數(shù)的定義域；②列表法中選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征；③圖象法中要注意是否連線．1．(1)某學(xué)生離家去學(xué)校，一開始跑步前進(jìn)，跑累了再走余下的路程．下列圖中縱軸表示離校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時(shí)間，則較符合該學(xué)生走法的是()ABCD(2)由下表給出函數(shù)y＝f(x)，則f(f(1))等于()x12345y45321A.1 B．2C．4 D．5(1)D(2)B[(1)結(jié)合題意可知，該生離校的距離先快速減少，又較慢減少，最后到0，故選D.(2)由題意可知，f(1)＝4，f(4)＝2，∴f(f(1))＝f(4)＝2，故選B.]圖象的畫法及應(yīng)用【例2】作出下列函數(shù)的圖象并求出其值域．(1)y＝－x，x∈{0,1，－2,3}；(2)y＝eq\f(2,x)，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2)．[解](1)列表x01－23y0－12－3函數(shù)圖象只是四個(gè)點(diǎn)(0,0)，(1，－1)，(－2,2)，(3，－3)，其值域?yàn)閧0，－1,2，－3}．(2)列表x2345…y1eq\f(2,3)eq\f(1,2)eq\f(2,5)…當(dāng)x∈[2，＋∞)時(shí)，圖象是反比例函數(shù)y＝eq\f(2,x)的一部分，觀察圖象可知其值域?yàn)?0,1]．(3)列表x－2－1012y0－1038畫圖象，圖象是拋物線y＝x2＋2x在－2≤x<2之間的部分．由圖可得函數(shù)的值域?yàn)閇－1,8)．描點(diǎn)法作函數(shù)圖象的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)1畫函數(shù)圖象時(shí)首先關(guān)注函數(shù)的定義域，即在定義域內(nèi)作圖.2圖象是實(shí)線或?qū)嶞c(diǎn)，定義域外的部分有時(shí)可用虛線來襯托整個(gè)圖象.3要標(biāo)出某些關(guān)鍵點(diǎn)，例如圖象的頂點(diǎn)、端點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等.要分清這些關(guān)鍵點(diǎn)是實(shí)心點(diǎn)還是空心圈.提醒：函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等.2．畫出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．[解](1)y＝x＋1(x≤0)表示一條射線，圖象如圖①.(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或x<－1)是拋物線y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之間的部分后剩余曲線．如圖②.函數(shù)解析式的求法[探究問題]已知f(x)的解析式，我們可以用代入法求f(g(x))，反之，若已知f(g(x))，如何求f(x)．提示：若已知f(g(x))的解析式，我們可以用換元法或配湊法求f(x)．【例3】(1)已知f(eq\r(x)＋1)＝x－2eq\r(x)，則f(x)＝________；(2)已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，若f(f(x))＝4x＋8，則f(x)＝________；(3)已知函數(shù)f(x)對于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，則f(x[思路點(diǎn)撥](1)用換元法或配湊法求解；(2)用待定系數(shù)法求解；(3)用方程組法求解．(1)x2－4x＋3(x≥1)(2)2x＋eq\f(8,3)或－2x－8(3)eq\f(2,3)x－1[(1)法一(換元法)：令t＝eq\r(x)＋1，則t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．法二(配湊法)：f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)＋1－4eq\r(x)－4＋3＝(eq\r(x)＋1)2－4(eq\r(x)＋1)＋3，因?yàn)閑q\r(x)＋1≥1，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．(2)設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.又f(f(x))＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＋b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\f(8,3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－8.))所以f(x)＝2x＋eq\f(8,3)或f(x)＝－2x－8.(3)由題意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，聯(lián)立可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx－2f－x＝1＋2x，,f－x－2fx＝1－2x，))消去f(－x)可得f(x)＝eq\f(2,3)x－1.]1．(變條件)把本例(2)的題干改為“已知函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x.”求f(x)的解析式．[解]設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(0)＝1得c＝1.又f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1，∴f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b.由2ax＋a＋b＝2x，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,a＋b＝0，))解得a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.2．(變條件)把本例(3)的題干改為“2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋f(x)＝x(x≠0)”，求f(x)的解析式．[解]f(x)＋2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝x，令x＝eq\f(1,x)，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋2f(x)＝eq\f(1,x).于是得關(guān)于f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))的方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＋2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝x，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋2fx＝\f(1,x).))解得f(x)＝eq\f(2,3x)－eq\f(x,3)(x≠0)．求函數(shù)解析式的四種常用方法1待定系數(shù)法：若已知fx的解析式的類型，設(shè)出它的一般形式，根據(jù)特殊值確定相關(guān)的系數(shù)即可.2換元法：設(shè)t＝gx，解出x，代入fgx，求ft的解析式即可.3配湊法：對fgx的解析式進(jìn)行配湊變形，使它能用gx表示出來，再用x代替兩邊所有的“gx”即可.4方程組法或消元法：當(dāng)同一個(gè)對應(yīng)關(guān)系中的兩個(gè)之間有互為相反數(shù)或互為倒數(shù)關(guān)系時(shí)，可構(gòu)造方程組求解.提醒：應(yīng)用換元法求函數(shù)解析式時(shí)，務(wù)必保證函數(shù)在換元前后的等價(jià)性.1．函數(shù)有三種常用的表示方法，可以適時(shí)的選擇，以最佳的方式表示函數(shù)．2．作函數(shù)圖象必須要讓作出的圖象反映出圖象的伸展方向，與x軸、y軸有無交點(diǎn)，圖象有無對稱性，并標(biāo)明特殊點(diǎn)．3．求函數(shù)解析式的主要方法有：代入法、待定系數(shù)法、換元法、解方程組法(消元法)，注意有的函數(shù)要注明定義域.【課堂達(dá)標(biāo)】1．思考辨析(1)任何一個(gè)函數(shù)都可以用解析法表示．()(2)函數(shù)的圖象一定是定義區(qū)間上一條連續(xù)不斷的曲線．()[答案](1)×(2)×2．已知函數(shù)f(x＋1)＝3x＋2，則f(x)的解析式是()A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝3x＋1C．f(x)＝3x＋2 D．f(x)＝3x＋4A[令x＋1＝t，則x＝t－1，∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1.∴f(x)＝3x－1.]3．已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出．x456f(x)131x123g(x)454則g(f(5))＝________；f(g(2))＝________.43[由題表可知f(5)＝3，g(3)＝4，∴g(f(5))＝g(3)＝4.又g(2)＝5，f(5)＝3，∴f(g(2))＝f(5)＝3.]4．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)．(1)畫出f(x)圖象的簡圖；(2)根據(jù)圖象寫出f(x)的值域．[解](1)f(x)圖象的簡圖如圖所示．(2)觀察f(x)的圖象可知，f(x)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是[－1,3]，即f(x)的值域是[－1,3]．《函數(shù)的表示法》專題訓(xùn)練[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．購買某種飲料x聽，所需錢數(shù)為y元．若每聽2元，用解析法將y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函數(shù)為()A．y＝2x B．y＝2x(x∈R)C．y＝2x(x∈{1,2,3，…}) D．y＝2x(x∈{1,2,3,4})D[題中已給出自變量的取值范圍，x∈{1,2,3,4}，故選D.]2．已知函數(shù)y＝f(x)的對應(yīng)關(guān)系如下表，函數(shù)y＝g(x)的圖象是如圖的曲線ABC，其中A(1,3)，B(2，1)，C(3,2)，則f(g(2))的值為()x123f(x)230A．3 B．2C．1 D．0B[由函數(shù)g(x)的圖象知，g(2)＝1，則f(g(2))＝f(1)＝2.]3．小明騎車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間后，為了趕時(shí)間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是()C[距學(xué)校的距離應(yīng)逐漸減小，由于小明先是勻速運(yùn)動(dòng)，故前段是直線段，途中停留時(shí)距離不變，后段加速，直線段比前段下降的快，故應(yīng)選C.]4．如果feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x,1－x)，則當(dāng)x≠0,1時(shí)，f(x)等于()A.eq\f(1,x) B.eq\f(1,x－1)C.eq\f(1,1－x) D.eq\f(1,x)－1B[令eq\f(1,x)＝t，則x＝eq\f(1,t)，代入feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x,1－x)，則有f(t)＝eq\f(\f(1,t),1－\f(1,t))＝eq\f(1,t－1)，故選B.]5．若f(x)是一次函數(shù)，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，則fA．3x＋2B．3x－2C．2x＋3B[設(shè)f(x)＝ax＋b，由題設(shè)有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(22a＋b－3a＋b＝5，,20·a＋b－－a＋b＝1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－2.))所以選B.]二、填空題6．已知f(2x＋1)＝x2－2x，則f(3)＝________.－1[由2x＋1＝3得x＝1，∴f(3)＝1－2＝－1.]7．f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的值域?yàn)開_______．[－4,3][由函數(shù)的圖象可知，f(x)的值域?yàn)閇－2,3]∪[－4,2.7]，即[－4,3]．]8．若一個(gè)長方體的高為80cm，長比寬多10cm，則這個(gè)長方體的體積y(cm3)與長方體的寬x(cm)之間的表達(dá)式是________．y＝80x(x＋10)，x∈(0，＋∞)[由題意可知，長方體的長為(x＋10)cm，從而長方體的體積y＝80x(x＋10)，x>0.]三、解答題9．畫出二次函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋3的圖象，并根據(jù)圖象回答下列問題：(1)比較f(0)，f(1)，f(3)的大?。?2)求函數(shù)f(x)的值域．[解]f(x)＝－(x－1)2＋4的圖象如圖所示：(1)f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(1)>f(0)>f(3)．(2)由圖象可知二次函數(shù)f(x)的最大值為f(1)＝4，則函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－∞，4]．10．(1)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x(2)已知f(x)為二次函數(shù)，且滿足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式；(3)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)＋1，求f(x)的解析式．[解](1)設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋所以a＝2，b＝5，所以f(x)＝2x＋5.(2)因?yàn)閒(x)為二次函數(shù)，設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c＝1.又因?yàn)閒(x－1)－f(x)＝4x，所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x，求得a＝－2，b＝－2，所以f(x)＝－2x2－2x＋1.(3)∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))2＋2＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))2＋3.∴f(x)＝x2＋3.[等級過關(guān)練]1．已知函數(shù)f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝2，則a的值為()A．－1 B．5C．1 D．8C[由3x＋2＝2得x＝0，所以a＝2×0＋1＝1.故選C.]2．一等腰三角形的周長是20，底邊長y是關(guān)于腰長x的函數(shù)，則它的解析式為()A．y＝20－2x B．y＝20－2x(0<x<10)C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5<x<10)D[由題意得y＋2x＝20，所以y＝20－2x，又2x>y，即2x>20－2x，即x>5，由y>0即20－2x>0得x<10，所以5<x<10.故選D.]3．已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，則f(xf(x)＝eq\f(1,3)x2－2x[以－x代替x得：f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.與f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x聯(lián)立得：f(x)＝eq\f(1,3)x2－2x.]4．設(shè)f(x)＝2x＋a，g(x)＝eq\f(1,4)(x2＋3)，且g(f(x))＝x2－x＋1，則a的值為________．－1[因?yàn)間(x)＝eq\f(1,4)(x2＋3)，所以g(f(x))＝eq\f(1,4)[(2x＋a)2＋3]＝eq\f(1,4)(4x2＋4ax＋a2＋3)＝x2－x＋1，求得a＝－1.]5．如圖，某灌溉渠的橫斷面是等腰梯形，底寬為2m，渠深為1.8m，斜坡的傾斜角是45°.(臨界狀態(tài)不考慮)(1)試將橫斷面中水的面積A(m2)表示成水深h(m)的函數(shù)；(2)確定函數(shù)的定義域和值域．[解](1)由已知，橫斷面為等腰梯形，下底為2m，上底為(2＋2h)m，高為hm，∴水的面積A＝eq\f([2＋2＋2h]h,2)＝h2＋2h(m2)．(2)定義域?yàn)閧h|0<h<1.8}．值域由二次函數(shù)A＝h2＋2h(0<h<1.8)求得．由函數(shù)A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的圖象可知，在區(qū)間(0,1.8)上函數(shù)值隨自變量的增大而增大，∴0<A<6.84.故值域?yàn)閧A|0<A<6.84}．第2課時(shí)分段函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解分段函數(shù)的概念，會求分段函數(shù)的函數(shù)值，能畫出分段函數(shù)的圖象．(重點(diǎn)，難點(diǎn))2．能在實(shí)際問題中列出分段函數(shù)，并能解決有關(guān)問題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3．通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解分段函數(shù)的含義，提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力．(重點(diǎn))1.通過分段函數(shù)求值問題培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2．利用分段函數(shù)解決實(shí)際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．【新課導(dǎo)入】分段函數(shù)如果函數(shù)y＝f(x)，x∈A，根據(jù)自變量x在A中不同的取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，則稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù)．思考：分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)還是幾個(gè)函數(shù)？提示：分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)．1．下列給出的式子是分段函數(shù)的是()①f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，1≤x≤5，,2x，x<1.))②f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x∈R，,x2，x≥2.))③f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3，1≤x≤5，,x2，x≤1.))④f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋3，x<0，,x－1，x≥5.))A．①② B．①④C．②④ D．③④B[結(jié)合分段函數(shù)的定義可知①④是分段函數(shù)，②③中不同對應(yīng)關(guān)系的定義域有重疊部分，故選B.]2．函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x＜0))的值域是________．[答案][0，＋∞)3．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤1，,－x＋3，x>1，))則f(f(4))＝________.0[∵f(4)＝－4＋3＝－1，f(－1)＝－1＋1＝0，∴f(f(4))＝f(－1)＝0.]【合作探究】分段函數(shù)的求值問題【例1】已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤－2，,x2＋2x，－2<x<2，,2x－1，x≥2.))(1)求f(－5)，f(－eq\r(3))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))))的值；(2)若f(a)＝3，求實(shí)數(shù)a的值．[解](1)由－5∈(－∞，－2]，－eq\r(3)∈(－2,2)，－eq\f(5,2)∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－eq\r(3))＝(－eq\r(3))2＋2×(－eq\r(3))＝3－2eq\r(3).∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝－eq\f(5,2)＋1＝－eq\f(3,2)，而－2<－eq\f(3,2)<2，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(9,4)－3＝－eq\f(3,4).(2)當(dāng)a≤－2時(shí)，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合題意，舍去．當(dāng)－2<a<2時(shí)，a2＋2a即a2＋2a∴(a－1)(a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3.∵1∈(－2,2)，－3?(－2,2)，∴a＝1符合題意．當(dāng)a≥2時(shí)，2a－1＝3，即a綜上可得，當(dāng)f(a)＝3時(shí)，a＝1或a＝2.1．分段函數(shù)求函數(shù)值的方法：(1)確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間．(2)代入該段的解析式求值，直到求出值為止．當(dāng)出現(xiàn)f(f(x0))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．2．已知函數(shù)值求字母取值的步驟：(1)先對字母的取值范圍分類討論．(2)然后代入不同的解析式中．(3)通過解方程求出字母的值．(4)檢驗(yàn)所求的值是否在所討論的區(qū)間內(nèi)．提醒：求某條件下自變量的值時(shí)，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后相應(yīng)求出自變量的值，切記代入檢驗(yàn)．1．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3，x≥10，,ffx＋5，x<10，))則f(7)＝________.8[∵函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3，x≥10，,ffx＋5，x<10，))∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8.]分段函數(shù)的解析式【例2】如圖所示，已知底角為45°的等腰梯形ABCD，底邊BC長為7cm，腰長為2eq\r(2)cm，當(dāng)垂直于底邊BC(垂足為F)的直線l從左至右移動(dòng)(與梯形ABCD有公共點(diǎn))時(shí)，直線l把梯形分成兩部分，令BF＝x，試寫出左邊部分的面積[思路點(diǎn)撥]可按點(diǎn)E所在的位置分E在線段AB，E在線段AD及E在線段CD三類分別求解．[解]過點(diǎn)A，D分別作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分別是G，H.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，底角為45°，AB＝2eq所以BG＝AG＝DH＝HC＝2cm，又BC＝7cm，所以AD＝GH＝3cm.(1)當(dāng)點(diǎn)F在BG上，即x∈[0,2]時(shí)，y＝eq\f(1,2)x2；(2)當(dāng)點(diǎn)F在GH上，即x∈(2,5]時(shí)，y＝eq\f(x＋x－2,2)×2＝2x－2；(3)當(dāng)點(diǎn)F在HC上，即x∈(5,7]時(shí)，y＝S五邊形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝eq\f(1,2)(7＋3)×2－eq\f(1,2)(7－x)2＝－eq\f(1,2)(x－7)2＋10.綜合(1)(2)(3)，得函數(shù)的解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2，x∈[0，2]，,2x－2，x∈2，5]，,－\f(1,2)x－72＋10，x∈5，7].))圖象如圖所示．1．當(dāng)目標(biāo)在不同區(qū)間有不同的計(jì)算表達(dá)方式時(shí)，往往需要用分段函數(shù)模型來表示兩變量間的對應(yīng)關(guān)系，而分段函數(shù)圖象也需要分段畫．2．通過本例讓學(xué)生初步嘗試用分段函數(shù)解決實(shí)際問題的意識，培養(yǎng)學(xué)生的建模素養(yǎng)．2．某市“招手即?！惫财嚨钠眱r(jià)按下列規(guī)則制定：(1)5公里以內(nèi)(含5公里)，票價(jià)2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票價(jià)增加1元(不足5公里按照5公里計(jì)算)．如果某條線路的總里程為20公里，請根據(jù)題意，寫出票價(jià)與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖象．[解]設(shè)票價(jià)為y元，里程為x公里，定義域?yàn)?0,20]．由題意得函數(shù)的解析式如下：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，0<x≤5，,3，5<x≤10，,4，10<x≤15，,5，15<x≤20.))函數(shù)圖象如圖所示：分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用[探究問題]1．函數(shù)f(x)＝|x－2|能用分段函數(shù)的形式表示嗎？能否作出其圖象？提示：能．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2，x≥2，,2－x，x<2.))函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．2．結(jié)合探究點(diǎn)1，你能說一下畫含有絕對值的函數(shù)圖象的方法嗎？提示：含有絕對值的函數(shù)，要作出其圖象，首先應(yīng)根據(jù)絕對值的意義去掉絕對值符號，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后分段作出函數(shù)圖象．【例3】已知函數(shù)f(x)＝1＋eq\f(|x|－x,2)(－2<x≤2)．(1)用分段函數(shù)的形式表示f(x)；(2)畫出f(x)的圖象；(3)寫出函數(shù)f(x)的值域．[思路點(diǎn)撥](1)分－2<x<0和0≤x≤2兩種情況討論，去掉絕對值可把f(x)寫成分段函數(shù)的形式；(2)利用(1)的結(jié)論可畫出圖象；(3)由(2)中得到的圖象，找到圖象最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可得值域．[解](1)當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f(x)＝1＋eq\f(x－x,2)＝1，當(dāng)－2<x<0時(shí)，f(x)＝1＋eq\f(－x－x,2)＝1－x，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，0≤x≤2，,1－x，－2<x<0.))(2)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域?yàn)閇1,3)．把本例條件改為“f(x)＝|x|－2”，再求本例的3個(gè)問題．[解](1)f(x)＝|x|－2＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2，x≥0，,－x－2，x<0.))(2)函數(shù)的圖象如圖所示．(3)由圖可知，f(x)的值域?yàn)閇－2，＋∞)．分段函數(shù)圖象的畫法作分段函數(shù)的圖象時(shí)，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時(shí)，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內(nèi)的一段圖象即可，作圖時(shí)要特別注意接點(diǎn)處點(diǎn)的虛實(shí)，保證不重不漏.1．分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)．2．分段函數(shù)求值要先找準(zhǔn)自變量所在的區(qū)間；分段函數(shù)的定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集．3．分段函數(shù)的圖象分段函數(shù)有幾段，它的圖象就由幾條曲線組成．在同一直角坐標(biāo)系中，根據(jù)分段函數(shù)每段的定義區(qū)間和表達(dá)式依次畫出圖象，要注意確定每段圖象的端點(diǎn)是空心點(diǎn)還是實(shí)心點(diǎn)，各段函數(shù)圖象組合到一起就可得到整個(gè)分段函數(shù)的圖象．【課堂達(dá)標(biāo)】1．思考辨析(1)分段函數(shù)由幾個(gè)函數(shù)構(gòu)成．()(2)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤1，,－x＋3，x>1))是分段函數(shù)．()[答案](1)×(2)√2．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤1，,\f(2,x)，x>1，))則f(f(3))＝()A.eq\f(1,5)B．3C.eq\f(2,3)D.eq\f(13,9)D[∵f(3)＝eq\f(2,3)≤1，∴f(f(3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋1＝eq\f(13,9).]3．函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則其解析式為________．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，0≤x≤1，,2，1<x<2，,3，x≥2))[當(dāng)0≤x≤1時(shí)，設(shè)f(x)＝kx，又過點(diǎn)(1,2)，故k＝2，∴f(x)＝2x；當(dāng)1<x<2時(shí)，f(x)＝2；當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)＝3.綜上f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，0≤x≤1，,2，1<x<2，,3，x≥2.))]4．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，,1，x>1或x<－1.))(1)畫出f(x)的圖象；(2)求f(x)的定義域和值域．[解](1)利用描點(diǎn)法，作出f(x)的圖象，如圖所示．(2)由條件知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.由圖象知，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(x)＝x2的值域?yàn)閇0,1]，當(dāng)x>1或x<－1時(shí)，f(x)＝1，所以f(x)的值域?yàn)閇0,1]．《分段函數(shù)》專題訓(xùn)練[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋5，x≥4，,x－2，x<4，))則f(3)的值是()A．1B．2C．8D．9A[f(3)＝3－2＝1.]2．函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(|x|,x)的圖象是()ABCDC[當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x＋eq\f(x,x)＝x＋1，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x－1，且x≠0，根據(jù)一次函數(shù)圖象可知C正確．故選C.]3．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，0≤x≤1，,2，1<x<2，,3，x≥2))的值域是()A．R B．[0,2]∪{3}C．[0，＋∞) D．[0,3]B[當(dāng)0≤x≤1時(shí)，0≤2x≤2，即0≤f(x)≤2；當(dāng)1<x<2時(shí)，f(x)＝2；當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)＝3.綜上可知f(x)的值域?yàn)閇0,2]∪{3}．]4．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤0，,x2，0<x≤3，))若f(x)＝3，則x的值是()A.eq\r(3) B．9C．－1或1 D．－eq\r(3)或eq\r(3)A[依題意，若x≤0，則x＋2＝3，解得x＝1，不合題意，舍去．若0<x≤3，則x2＝3，解得x＝－eq\r(3)(舍去)或x＝eq\r(3).故選A.]5．某單位為鼓勵(lì)職工節(jié)約用水，作出了如下規(guī)定：每位職工每月用水量不超過10立方米的，按每立方米m元收費(fèi)；用水量超過10立方米的，超過部分按每立方米2m元收費(fèi)．某職工某月繳水費(fèi)16A．13立方米 B．14立方米C．18立方米 D．26立方米A[該單位職工每月