《棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積》教學設計、導學案、同步練習

《8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積》教學設計【教材分析】本節(jié)課選自《普通高中課程標準數(shù)學教科書-必修第二冊》（人教A版）第八章《立體幾何初步》，本節(jié)課主要學習棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的表面積、體積公式及其求法，還有簡單組合體的體積的求解。教材從分析簡單幾何體的側(cè)面展開圖得到了它們的表面積公式，體現(xiàn)了立體問題平面化的解決策略，這是本節(jié)課的靈魂，也是立體幾何的靈魂，在立體幾何中，要注意將立體問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，在教學中應加以重視?！窘虒W目標與核心素養(yǎng)】課程目標學科素養(yǎng)A..通過對棱柱、棱錐、棱臺的研究，掌握棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積的求法．B．會求棱柱、棱錐、棱臺有關(guān)的組合體的表面積與體積．1.數(shù)學抽象：棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積的公式；2.邏輯推理：推導棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積的公式；3.數(shù)學運算：求棱柱、棱錐、棱臺及有關(guān)組合體的表面積與體積；4.直觀想象：棱柱、棱錐、棱臺體積之間的關(guān)系?！窘虒W重點】：棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積；【教學難點】：求棱柱、棱錐、棱臺有關(guān)的組合體的表面積與體積．【教學過程】教學過程教學設計意圖復習回顧，溫故知新1.北京奧運會場館圖2.北京奧運會結(jié)束后，國家對體育場館都進行了改造，從專業(yè)比賽場館逐步成為公眾觀光、健身的綜合性體育場館，國家游泳中心也完成了上述變身，新增了內(nèi)部開放面積，并建成了大型的水上樂園．經(jīng)營方出于多種考慮，近幾年內(nèi)“水立方”外墻暫不承接商業(yè)化廣告，但出于長遠考慮，決定為水立方外墻訂制特殊顯示屏，屆時“水立方”將重新煥發(fā)活力，大放異彩．能否計算出“水立方”外墻所用顯示屏的面積？3.學生回答下列公式矩形面積、三角形面積、梯形面積、長方體體積、正方體體積4.在初中已經(jīng)學過了正方體和長方體的表面積，你知道正方體和長方體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？二、探索新知探究：棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計算它們的表面積？思考1：棱柱的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？側(cè)面展開圖是幾個矩形，表面積是上下底面面積與側(cè)面展開圖的面積的和。思考2：棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？【答案】棱錐的側(cè)面展開圖是幾個三角形。表面積是側(cè)面展開圖的面積加上底面積。思考3：棱臺的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？【答案】側(cè)面展開圖為幾個梯形，表面積為側(cè)面幾個梯形面積的和再加上上下底面面積。1.結(jié)論：棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的側(cè)面展開圖還是平面圖形，計算它們的表面積就是計算它的各個側(cè)面面積和底面面積之和．例1.四面體P-ABCD的各棱長均為a，求它的表面積。解：因為是正三角形，其邊長為a，所以，因此，四面體P-ABC的表面積2.一般棱柱的體積公式也是V=Sh，其中S為底面面積，h為高（即兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點向另一個底面作垂線，這點與垂足（垂線與底面的交點）之間的距離。3.棱錐的體積是與它同底同高的棱柱的體積的三分之一。。棱錐的高是指從頂點向底面作垂線，頂點與垂足之間的距離。思考4：根據(jù)臺體的特征，如何求臺體的體積？【答案】由于棱臺是由棱錐截成的，因此可以利用兩個錐體的體積差．得到棱臺的體積公式。棱臺的高是指兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點向下底面作垂線，這點與垂足之間的距離。思考5：柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么關(guān)系？你能用棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征來解釋這種關(guān)系嗎？例2.如圖，一個漏斗的上面部分是一個長方體，下面部分是一個四棱錐，兩部分的高都是0.5cm，公共面ABCD是邊長為1cm的正方形，那么這個漏斗的容積是多少立方米（精準到0.01m3）？解：由題意知所以這個漏斗的容積。通過觀看圖片及復習初中所學知識，引入本節(jié)新課。建立知識間的聯(lián)系，提高學生概括、類比推理的能力。通過思考，得到棱柱的表面積的求法，提高學生的解決問題、分析問題的能力。通過思考，得到棱錐、棱臺的表面積的求法，提高學生的解決問題、分析問題的能力。通過例題，熟悉棱柱的表面積的求法，提高學生解決問題的能力。通過思考，推出棱臺的體積公式，提高學生的分析、概括問題的能力。通過思考，推出棱柱、棱錐、棱臺的體積之間的關(guān)系，提高學生的分析、概括問題的能力。通過例題鞏固棱柱、棱錐的體積求法，提高解決問題的能力。三、達標檢測1．判斷正誤(1)錐體的體積等于底面積與高之積．()(2)臺體的體積，可轉(zhuǎn)化為兩個錐體體積之差．()(3)正方體的表面積為96，則正方體的體積為64.()【答案】(1)×(2)√(3)√2．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則三棱錐D1-ACD的體積是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．1【答案】A【解析】三棱錐D1-ADC的體積V＝eq\f(1,3)S△ADC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×DC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).故選A。3．已知高為3的棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形(如圖)，則三棱錐B1-ABC的體積為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6) D.eq\f(\r(3),4)[答案]D4．把一個棱長為a的正方體，切成27個全等的小正方體，則所有小正方體的表面積為．【答案】18a2【解析】原正方體的棱長為a，切成的27個小正方體的棱長為eq\f(1,3)a，每個小正方體的表面積S1＝eq\f(1,9)a2×6＝eq\f(2,3)a2，所以27個小正方體的表面積是eq\f(2,3)a2×27＝18a2.5．如圖所示，三棱錐的頂點為P，PA，PB，PC為三條側(cè)棱，且PA，PB，PC兩兩互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱錐P-ABC的體積V.【解析】三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)Sh，其中S為底面積，h為高，而三棱錐的任意一個面都可以作為底面，所以此題可把B看作頂點，△PAC作為底面求解．故V＝eq\f(1,3)S△PAC·PB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×4×3＝4.通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學思想，增強學生的應用意識。四、小結(jié)1.棱柱、棱錐、棱臺的表面積；2.棱柱、棱錐、棱臺的體積。五、作業(yè)習題8.31,2題通過總結(jié)，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內(nèi)容，提高概括能力,提高學生的數(shù)學運算能力和邏輯推理能力?！窘虒W反思】本節(jié)應多讓學生動手，多做幾個模型，從而能更好地理解及記憶棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積、體積公式?！?.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積》導學案【學習目標】1.通過對棱柱、棱錐、棱臺的研究，掌握棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積的求法；2．會求棱柱、棱錐、棱臺有關(guān)的組合體的表面積與體積．【教學重點】：棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積；【教學難點】：求棱柱、棱錐、棱臺有關(guān)的組合體的表面積與體積．【知識梳理】1．棱柱、棱錐、棱臺的表面積多面體的表面積就是圍成多面體各個面的．2．棱柱、棱錐、棱臺的體積棱柱的體積公式V＝(S為底面面積，h為高)；棱錐的體積公式V＝。(S為底面面積，h為高)；棱臺的體積公式V＝．其中，臺體的上、下底面面積分別為S′、S，高為h.【學習過程】一、探索新知探究：棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計算它們的表面積？思考1：棱柱的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？思考2：棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？思考3：棱臺的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？1.結(jié)論：棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的側(cè)面展開圖還是平面圖形，計算它們的表面積就是計算它的各個側(cè)面面積和底面面積之和．例1.四面體P-ABCD的各棱長均為a，求它的表面積。2.一般棱柱的體積公式也是V=Sh，其中S為底面面積，h為高（即兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點向另一個底面作垂線，這點與垂足（垂線與底面的交點）之間的距離。3.棱錐的體積是與它同底同高的棱柱的體積的三分之一，即。棱錐的高是指從頂點向底面作垂線，頂點與垂足之間的距離。思考4：根據(jù)臺體的特征，如何求臺體的體積？思考5：柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么關(guān)系？你能用棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征來解釋這種關(guān)系嗎？例2.如圖，一個漏斗的上面部分是一個長方體，下面部分是一個四棱錐，兩部分的高都是0.5cm，公共面ABCD是邊長為1cm的正方形，那么這個漏斗的容積是多少立方米（精準到0.01m3）？【達標檢測】1．判斷正誤(1)錐體的體積等于底面積與高之積．()(2)臺體的體積，可轉(zhuǎn)化為兩個錐體體積之差．()(3)正方體的表面積為96，則正方體的體積為64.()2．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則三棱錐D1-ACD的體積是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．13．已知高為3的棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形(如圖)，則三棱錐B1-ABC的體積為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6) D.eq\f(\r(3),4)4．把一個棱長為a的正方體，切成27個全等的小正方體，則所有小正方體的表面積為．5．如圖所示，三棱錐的頂點為P，PA，PB，PC為三條側(cè)棱，且PA，PB，PC兩兩互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱錐P-ABC的體積V.參考答案：思考1.側(cè)面展開圖是幾個矩形，表面積是上下底面面積與側(cè)面展開圖的面積的和。思考2.【答案】棱錐的側(cè)面展開圖是幾個三角形。表面積是側(cè)面展開圖的面積加上底面積。思考3.【答案】側(cè)面展開圖為幾個梯形，表面積為側(cè)面幾個梯形面積的和再加上上下底面面積。例1.解：因為是正三角形，其邊長為a，所以，因此，四面體P-ABC的表面積思考4.由于棱臺是由棱錐截成的，因此可以利用兩個錐體的體積差．得到棱臺的體積公式。棱臺的高是指兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點向下底面作垂線，這點與垂足之間的距離。思考5.例2.1.解：由題意知所以這個漏斗的容積。達標檢測1.【答案】(1)×(2)√(3)√2.【答案】A【解析】三棱錐D1-ADC的體積V＝eq\f(1,3)S△ADC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×DC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).故選A。3.[答案]D4.【答案】18a2【解析】原正方體的棱長為a，切成的27個小正方體的棱長為eq\f(1,3)a，每個小正方體的表面積S1＝eq\f(1,9)a2×6＝eq\f(2,3)a2，所以27個小正方體的表面積是eq\f(2,3)a2×27＝18a2.5.【解析】三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)Sh，其中S為底面積，h為高，而三棱錐的任意一個面都可以作為底面，所以此題可把B看作頂點，△PAC作為底面求解．故V＝eq\f(1,3)S△PAC·PB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×4×3＝4.《8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積》同步練習一、選擇題1．若底面是菱形的棱柱其側(cè)棱垂直于底面，且側(cè)棱長為5，它的對角線的長分別是9和15，則這個棱柱的側(cè)面積是()．A．130 B．140 C．150 D．1602．若正方體的棱長為，則以該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的體積為（）A． B． C． D．3．長方體的過一個頂點的三條棱長的比是1：2：3，對角線長為，則這個長方體的體積為（）A．6 B．12 C．24 D．484．三棱柱中，，，，，側(cè)棱長為，則其側(cè)面積為（）A． B． C． D．（多選題）下列結(jié)論中，正確的是（）B.在棱柱中，；C.在正棱錐中，；D.棱錐的體積是棱柱體積的三分之一。6.（多選題）如圖，直三棱柱中，，，，側(cè)面中心為O，點E是側(cè)棱上的一個動點，有下列判斷，正確的是（）A．直三棱柱側(cè)面積是 B．直三棱柱體積是C．三棱錐的體積為定值 D．的最小值為三、填空題7．如圖，長方體的體積是120，E為的中點，則三棱錐E-BCD的體積是_____.8．如圖所示，在上、下底面對應邊的比為1：2的三棱臺中，過上底面一邊作一個平行于棱的平面，記平面分三棱臺兩部分的體積為（三棱柱），兩部分，那么______.9．正六棱柱的高為，最長的對角線為，則它的側(cè)面積為______．10．已知正三棱柱ABC—A1B1C1的高為6，AB＝4，點D為棱BB1的中點，則四棱錐C—A1ABD的表面積是________，三棱柱的體積為。四、解答題11．如圖，已知四棱錐的底面是正方形，且邊長為4cm，側(cè)棱長都相等，E為BC的中點，高為PO，且，求該四棱錐的側(cè)面積和表面積．12．現(xiàn)需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P－A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍，若AB＝6m，PO1＝2m，則倉庫的容積是多少？《8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積》同步練習答案解析一、選擇題1．若底面是菱形的棱柱其側(cè)棱垂直于底面，且側(cè)棱長為5，它的對角線的長分別是9和15，則這個棱柱的側(cè)面積是()．A．130 B．140 C．150 D．160【答案】D【解析】設直四棱柱中，對角線，因為平面,平面，所以，在中，，可得,同理可得，因為四邊形為菱形，可得互相垂直平分，所以，即菱形的邊長為，因此，這個棱柱的側(cè)面積為，故選D.2．若正方體的棱長為，則以該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：所求八面體體積是兩個底面邊長為1，高為，的四棱錐的體積和，一個四棱錐體積V1=，故八面體體積V=2V1=，故選B．3．長方體的過一個頂點的三條棱長的比是1：2：3，對角線長為，則這個長方體的體積為（）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】D【解析】∵長方體的過一個頂點的三條棱長的比是1：2：3，∴設三條棱長分別為k，2k，3k則長方體的對角線長為=k=2∴k=2長方體的長寬高為6，4，2∴這個長方體的體積為6×4×2=48故答案為48應選D4．三棱柱中，，，，，側(cè)棱長為，則其側(cè)面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，由已知條件可知，側(cè)面和側(cè)面為一般的平行四邊形，側(cè)面為矩形.在中，，，∴，∴.∵，，∴點到直線的距離為.∴.∴.故選C（多選題）下列結(jié)論中，正確的是（）B.在棱柱中，；C.在正棱錐中，；D.棱錐的體積是棱柱體積的三分之一?！敬鸢浮緽C【解析】直棱柱的側(cè)面積是底面周長乘以側(cè)棱長，選項A錯；根據(jù)棱錐的體積公式可知選項B正確；選項C正確；等底等高的棱錐體積是棱柱體積的三分之一，選項D錯。故選BC。6.（多選題）如圖，直三棱柱中，，，，側(cè)面中心為O，點E是側(cè)棱上的一個動點，有下列判斷，正確的是（）A．直三棱柱側(cè)面積是 B．直三棱柱體積是C．三棱錐的體積為定值 D．的最小值為【答案】ACD【解析】在直三棱柱中，，，底面和是等腰直角三角形，側(cè)面全是矩形，所以其側(cè)面積為1×2×2+，故A正確；直三棱柱的體積為，故B不正確；由BB1∥平面AA1C1C，且點E是側(cè)棱上的一個動點，三棱錐的高為定值，××2＝，××＝，故C正確；設BE＝x，則B1E＝2﹣x，在和中，∴＝．由其幾何意義，即平面內(nèi)動點（x，1）與兩定點（0，0），（2，0）距離和的最小值，由對稱可知，當為的中點時，其最小值為，故D正確．故選：ACD．三、填空題7．如圖，長方體的體積是120，E為的中點，則三棱錐E-BCD的體積是_____.【答案】10.【解析】因為長方體的體積為120，所以，因為為的中點，所以，由長方體的性質(zhì)知底面，所以是三棱錐的底面上的高，所以三棱錐的體積.8．如