《平面與平面垂直的性質》教案、導學案、課后作業(yè)

《8.6.3平面與平面垂直》教案第2課時平面與平面垂直的性質【教材分析】在平面與平面的位置關系中，垂直是一種非常重要的關系，本節(jié)內容是直線與平面垂直關系延續(xù)和提高.通過本節(jié)使學生對整個空間中的垂直關系有一個整體的認知，線線垂直、線面垂直、面面垂直是可以相互轉化的.【教學目標與核心素養(yǎng)】課程目標1．理解平面和平面垂直的性質定理并能運用其解決相關問題.2．通過對性質定理的理解和應用，培養(yǎng)學生的空間轉化能力和邏輯推理能力．數(shù)學學科素養(yǎng)1.邏輯推理：探究歸納平面和平面垂直的性質定理，線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉化；2.直觀想象：題中幾何體的點、線、面的位置關系.【教學重點和難點】重點：平面和平面垂直的性質定理.難點：平面和平面垂直的性質定理的應用.【教學過程】一、情景導入已知面面平行則一個平面內的任意直線都平行與另一個平面，那么面面垂直，則一個平面內的任一直線與另一個平面是否垂直？要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.二、預習課本，引入新課閱讀課本159-161頁，思考并完成以下問題1、如果兩個平面垂直,那么滿足什么條件時，一個平面內的直線與另一個平面垂直?要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1、平面與平面垂直的性質定理文字語言圖形語言符號語言兩個平面垂直,則一個平面內垂直與交線的直線與另一個平面垂直&α⊥β&α∩β=l&a?α&a⊥l?探究:(1)如果α⊥β,則α內的直線必垂直于β內的無數(shù)條直線嗎?(2)如果α⊥β,過β內的任意一點作α與β交線的垂線,則這條直線必垂直于α嗎?答案:平行.答案:(1)正確.若設α∩β=l,a?α,b?β,b⊥l,則a⊥b,故β內與b平行的無數(shù)條直線均垂直于α內的任意直線.(2)錯誤.垂直于交線的直線必須在平面β內才與平面α垂直,否則不垂直.四、典例分析、舉一反三題型一平面與平面平行的性質定理的應用例1在三棱錐中，平面ABC，平面平面PBC.求證：BC⊥平面PAB.【答案】證明見解析【解析】證明：如圖所示，在平面AB內作于點D.∵平面平面PBC，且平面平面，∴平面PBC.又平面PBC，∴.∵平面ABC，平面ABC，∴.∵，∴平面PAB.解題技巧（性質定理應用的注意事項）利用面面垂直的性質定理,證明線面垂直的問題時,要注意以下三點:(1)兩個平面垂直;(2)直線必須在其中一個平面內;(3)直線必須垂直于它們的交線.跟蹤訓練一1.如圖,P是四邊形ABCD所在平面外一點,四邊形ABCD是∠DAB=60°,且邊長為a的菱形.側面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G為AD邊的中點,求證:BG⊥平面PAD;(2)求證:AD⊥PB.【答案】證明見解析.【解析】(1)如圖所示,連接BD.因為四邊形ABCD是菱形,且∠DAB=60°,所以△ABD是正三角形,因為G是AD的中點,所以BG⊥AD.又因為平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD.所以BG⊥平面PAD.(2)連接PG.因為△PAD為正三角形,G為AD的中點,所以PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD,而PG∩BG=G,PG?平面PBG,BG?平面PBG.所以AD⊥平面PBG.又因為PB?平面PBG,所以AD⊥PB.題型二線面、面面垂直的的綜合應用例2如圖,三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)證明:BC∥平面PDA;(2)證明:BC⊥PD;(3)求點C到平面PDA的距離.【答案】（1）見解析（2）見解析.(3).【解析】(1)證明:因為長方形ABCD中,BC∥AD,又BC?平面PDA,AD?平面PDA,所以BC∥平面PDA.(2)證明:取CD的中點H,連接PH,因為PD=PC,所以PH⊥CD.又因為平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,所以PH⊥平面ABCD.又因為BC?平面ABCD,所以PH⊥BC.又因為長方形ABCD中,BC⊥CD,PH∩CD=H,所以BC⊥平面PDC.又因為PD?平面PDC,所以BC⊥PD.(3)解:連接AC.由(2)知PH為三棱錐P-ADC的高.因為PH===,S△ADC=·AD·CD=×3×6=9,所以=·S△ADC·PH=×9×=3.由(2)知BC⊥PD,又因為AD∥BC,所以AD⊥PD,所以S△PDA=·PD·AD=×4×3=6.設點C到平面PDA的距離為h.因為=,所以·S△PDA·h=3,所以h===.解題技巧(空間垂直關系的注意事項)直線、平面之間的平行、垂直關系是重點考查的位置關系,當已知線面、面面垂直或平行時考慮用性質定理轉化,要證線面、面面垂直或平行時要用判定定理進行論證.跟蹤訓練二1、如圖,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分別為線段AB,CD的中點,EP⊥平面ABCD.(1)求證:AQ∥平面CEP;(2)求證:平面AEQ⊥平面DEP.【答案】證明見解析【解析】證明:(1)在矩形ABCD中,因為AP=PB,DQ=QC,所以APCQ.所以AQCP為平行四邊形.所以CP∥AQ.因為CP?平面CEP,AQ?平面CEP,所以AQ∥平面CEP.(2)因為EP⊥平面ABCD,AQ?平面ABCD,所以AQ⊥EP.因為AB=2BC,P為AB的中點,所以AP=AD.連接PQ,則四邊形ADQP為正方形.所以AQ⊥DP.又EP∩DP=P,所以AQ⊥平面DEP.因為AQ?平面AEQ,所以平面AEQ⊥平面DEP.五、課堂小結讓學生總結本節(jié)課所學主要知識及解題技巧六、板書設計8.6.3平面與平面垂直第8.6.3平面與平面垂直第2課時平面與平面垂直的性質平面與平面垂直的性質定理例1例2七、作業(yè)課本161頁練習，162頁習題8.6的剩余題.【教學反思】直線與直線垂直，直線與平面垂直,平面與平面垂直的判定定理、性質定理,揭示了線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉化關系.故本節(jié)課課堂剩余5分鐘，讓學生將線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉化關系捋順.《8.6.3平面與平面垂直》導學案第2課時平面與平面垂直的性質【學習目標】知識目標1．理解平面和平面垂直的性質定理并能運用其解決相關問題.2．通過對性質定理的理解和應用，培養(yǎng)學生的空間轉化能力和邏輯推理能力．核心素養(yǎng)1.邏輯推理：探究歸納平面和平面垂直的性質定理，線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉化；2.直觀想象：題中幾何體的點、線、面的位置關系.【學習重點】：平面和平面垂直的性質定理.【學習難點】：平面和平面垂直的性質定理的應用.【學習過程】一、預習導入閱讀課本141-142頁，填寫。1、平面與平面垂直的性質定理文字語言圖形語言符號語言兩個平面垂直,則一個平面內_________的直線與另一個平面垂直&α⊥β&α∩β=l&a?α&

探究:(1)如果α⊥β,則α內的直線必垂直于β內的無數(shù)條直線嗎?(2)如果α⊥β,過β內的任意一點作α與β交線的垂線,則這條直線必垂直于α嗎?小試牛刀1.如圖,在三棱錐P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,則下列結論中錯誤的是()A.AP⊥ACB.AP⊥ABC.AP⊥平面ABCD.AP與BC所成的角為45°2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線l⊥平面A1C1(l與棱不重合),則()A.B1B⊥l B.B1B∥lC.B1B與l異面 D.B1B與l相交3.已知m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,且m∥α,n?β,則下列敘述正確的是()A.若α∥β,則m∥n B.若m∥n,則α∥βC.若n⊥α,則m⊥βD.若m⊥β,則α⊥β4.如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,則C1在平面ABC上的射影H必在直線上.

【自主探究】題型一平面與平面平行的性質定理的應用例1在三棱錐中，平面ABC，平面平面PBC.求證：BC⊥平面PAB.跟蹤訓練一1.如圖,P是四邊形ABCD所在平面外一點,四邊形ABCD是∠DAB=60°,且邊長為a的菱形.側面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G為AD邊的中點,求證:BG⊥平面PAD;(2)求證:AD⊥PB.題型二線面、面面垂直的的綜合應用例2如圖,三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)證明:BC∥平面PDA;(2)證明:BC⊥PD;(3)求點C到平面PDA的距離.跟蹤訓練二1、如圖,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分別為線段AB,CD的中點,EP⊥平面ABCD.(1)求證:AQ∥平面CEP;(2)求證:平面AEQ⊥平面DEP.【達標檢測】1.已知兩個平面垂直,下列說法:①一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面內的任意一條直線②一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面的無數(shù)條直線③一個平面內的任一條直線必垂直于另一個平面④過一個平面內任意一點作交線的垂線,則此垂線必垂直于另一個平面.其中正確說法個數(shù)是()A.3 B.2 C.1 D.02.在空間四邊形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,則△ABC是()A.直角三角形 B.等腰三角形B.等邊三角形 D.等腰直角三角形3.如圖,平行四邊形ABCD中,AB⊥BD.沿BD將△ABD折起,使平面ABD⊥平面BCD,連接AC,則在四面體ABCD的四個面所在平面中,互相垂直的平面的對數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.44.如圖所示,三棱錐PABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,P,A,B是定點,則動點C運動形成的圖形是.5.如圖,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC=CA=,AD=CD=1.(1)求證:BD⊥AA1;(2)若E為棱BC的中點,求證:AE∥平面DCC1D1.答案小試牛刀1．D.2．B.3．D.4.AB.自主探究例1【答案】證明見解析【解析】證明：如圖所示，在平面AB內作于點D.∵平面平面PBC，且平面平面，∴平面PBC.又平面PBC，∴.∵平面ABC，平面ABC，∴.∵，∴平面PAB.跟蹤訓練一1.【答案】證明見解析.【解析】(1)如圖所示,連接BD.因為四邊形ABCD是菱形,且∠DAB=60°,所以△ABD是正三角形,因為G是AD的中點,所以BG⊥AD.又因為平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD.所以BG⊥平面PAD.(2)連接PG.因為△PAD為正三角形,G為AD的中點,所以PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD,而PG∩BG=G,PG?平面PBG,BG?平面PBG.所以AD⊥平面PBG.又因為PB?平面PBG,所以AD⊥PB.例2【答案】（1）見解析（2）見解析.(3).【解析】(1)證明:因為長方形ABCD中,BC∥AD,又BC?平面PDA,AD?平面PDA,所以BC∥平面PDA.(2)證明:取CD的中點H,連接PH,因為PD=PC,所以PH⊥CD.又因為平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,所以PH⊥平面ABCD.又因為BC?平面ABCD,所以PH⊥BC.又因為長方形ABCD中,BC⊥CD,PH∩CD=H,所以BC⊥平面PDC.又因為PD?平面PDC,所以BC⊥PD.(3)解:連接AC.由(2)知PH為三棱錐P-ADC的高.因為PH===,S△ADC=·AD·CD=×3×6=9,所以=·S△ADC·PH=×9×=3.由(2)知BC⊥PD,又因為AD∥BC,所以AD⊥PD,所以S△PDA=·PD·AD=×4×3=6.設點C到平面PDA的距離為h.因為=,所以·S△PDA·h=3,所以h===.跟蹤訓練二1、【答案】證明見解析【解析】證明:(1)在矩形ABCD中,因為AP=PB,DQ=QC,所以APCQ.所以AQCP為平行四邊形.所以CP∥AQ.因為CP?平面CEP,AQ?平面CEP,所以AQ∥平面CEP.(2)因為EP⊥平面ABCD,AQ?平面ABCD,所以AQ⊥EP.因為AB=2BC,P為AB的中點,所以AP=AD.連接PQ,則四邊形ADQP為正方形.所以AQ⊥DP.又EP∩DP=P,所以AQ⊥平面DEP.因為AQ?平面AEQ,所以平面AEQ⊥平面DEP.當堂檢測 1-3.CAC4.以AB為直徑的圓(除去A,B兩點).5．【答案】證明見解析.【解析】證明:(1)在四邊形ABCD中,因為AB=BC,AD=DC,所以BD⊥AC,又平面AA1C1C⊥平面ABCD,且平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD?平面ABCD,所以BD⊥平面AA1C1C,又因為AA1?平面AA1C1C,所以BD⊥AA1.(2)在三角形ABC中,因為AB=AC,且E為棱BC的中點,所以AE⊥BC,又因為在四邊形ABCD中,AB=BC=CA=,AD=CD=1.所以∠ACB=60°,∠ACD=30°,所以DC⊥BC,所以AE∥CD.因為CD?平面DCC1D1,AE?平面DCC1D1,故得AE∥平面DCC1D1.《8.6.3平面與平面垂直》課后作業(yè)第2課時平面與平面垂直的性質基礎鞏固1．若平面與平面互相垂直，則（）A．內任一條直線都垂直于 B．中只有一條直線垂直于C．平行于的直線必垂直于 D．內垂直于交線的直線必垂直于2．已知長方體，在平面上任取點，作于點，則（）A．平面B．平面C．平面D．以上都有可能3．如圖所示，在三棱錐P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，則()A．PD平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD與平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC4．如圖，在斜三棱柱中，，且，過作底面，垂足為，則點在().A．直線上 B．直線上 C．直線上 D．內部5．在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是邊長為4的正三角形，PC=4，M是AB邊上的一動點，則PM的最小值為()A．2 B． C．4 D．46．平面平面，，，，直線（，是兩條不同的直線），則直線與的位置關系是______.7．如圖所示，為空間四點，在△ABC中，，等邊三角形以為軸運動，當平面平面時，________.8．已知是△ABC所在平面外的一點，且平面，平面平面.求證:.能力提升9．如圖，在四邊形中，，，，將四邊形沿對角線折成四面體，使平面平面，則下列結論正確的是（）A． B．C．△A′DC是正三角形 D．四面體的體積為10．如圖，平面平面，，，是正三角形，O為的中點，則圖中直角三角形的個數(shù)為______.11．如圖所示，在三棱錐中，平面，為直角三角形，，過點分別作，，，分別為垂足.（1）求證：平面平面.（2）求證：.素養(yǎng)達成12．如圖所示，平面平面，平面平面，平面，為垂足.（1）求證：平面；（2）當為△PBC的垂心時，求證：△ABC是直角三角形.《8.6.3平面與平面垂直》課后作業(yè)答案解析第2課時平面與平面垂直的性質基礎鞏固1．若平面與平面互相垂直，則（）A．內任一條直線都垂直于 B．中只有一條直線垂直于C．平行于的直線必垂直于 D．內垂直于交線的直線必垂直于【答案】D【解析】如果兩個平面互相垂直，一個平面內的一條直線垂直于兩個平面的交線，則這條直線垂直另一個平面.根據(jù)這一性質可知D選項正確.2．已知長方體，在平面上任取點，作于點，則（）A．平面B．平面C．平面D．以上都有可能【答案】A【解析】∵平面，平面平面，且平面平面，∴平面.3．如圖所示，在三棱錐P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，則()A．PD平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD與平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC【答案】B【解析】∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.故選B4．如圖，在斜三棱柱中，，且，過作底面，垂足為，則點在().A．直線上 B．直線上 C．直線上 D．內部【答案】B【解析】連接，如圖.∵，∴，∵，，∴平面.又在平面內，∴根據(jù)面面垂直的判定定理，知平面平面，則根據(jù)面面垂直的性質定理知，在平面內一點向平面作垂線，垂足必落在交線上.5．在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是邊長為4的正三角形，PC=4，M是AB邊上的一動點，則PM的最小值為()A．2 B． C．4 D．4【答案】B【解析】連接CM，則由題意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM=，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，當CM⊥AB時CM有最小值，此時有CM=4×=2，所以PM的最小值為2.選B.6．平面平面，，，，直線（，是兩條不同的直線），則直線與的位置關系是______.【答案】【解析】因為平面平面，，，，由面面垂直的性質可得，又，所以.故答案為：7．如圖所示，為空間四點，在△ABC中，，等邊三角形以為軸運動，當平面平面時，________.【答案】2.【解析】取的中點，連接.因為是等邊三角形，所以.當平面平面