《直線與平面垂直的判定》教案、導(dǎo)學(xué)案、課后作業(yè)

《8.6.2直線與平面垂直》教案第1課時(shí)直線與平面垂直的判定【教材分析】在直線與平面的位置關(guān)系中，垂直是一種非常重要的關(guān)系，本節(jié)內(nèi)容既是直線與直線垂直關(guān)系的延續(xù)和提高，也是后續(xù)研究平面與平面垂直的基礎(chǔ)，既鞏固了前面所學(xué)的內(nèi)容，又為后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)做了知識上和方法上的準(zhǔn)備，在教材中起著承前啟后的作用?！窘虒W(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)1．理解直線和平面垂直的判定定理并能運(yùn)用其解決相關(guān)問題.2．理解直線與平面所成角的概念，并會求一些簡單的直線與平面所成角．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1．邏輯推理：探究歸納直線和平面垂直的判定定理，找垂直關(guān)系；2．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算：求直線與平面所成角；3．直觀想象：題中幾何體的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：①直線和平面垂直的判定定理及其應(yīng)用；②求直線與平面所成角.難點(diǎn)：直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，找垂直關(guān)系.【教學(xué)過程】一、情景導(dǎo)入問題1.在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常看到一些直線與平面垂直的現(xiàn)象，例如：“旗桿與地面，大橋的橋柱和水面等的位置關(guān)系”，你能舉出一些類似的例子嗎？問題2.易知旗桿與它在地面上的射影是垂直關(guān)系，那么一條直線與一個(gè)平面垂直的意義是什么？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本149-152頁，思考并完成以下問題1、直線與平面垂直的意義是什么？2、直線與平面垂直的判定定理是什么？用符號語言怎樣表示？3、什么是直線與平面所成角？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1.直線與平面垂直的概念如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,就說直線l與平面α互相垂直,記作l⊥α,直線l叫做平面α的垂線,平面α叫做直線l的垂面,直線與平面垂直時(shí),它們唯一的公共點(diǎn)叫做垂足.2.直線與平面垂直的判定定理文字語言圖形語言符號語言一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直a∩b=P?l⊥a∩b=P3.直線與平面所成的角(1)如圖,一條直線PA和一個(gè)平面α相交,但不和這個(gè)平面垂直,這條直線叫做這個(gè)平面的斜線,斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足,過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線PO,過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影,平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.(2)一條直線垂直于平面,稱它們所成的角是直角;一條直線在平面內(nèi)或一條直線和平面平行,稱它們所成的角是0°的角,于是,直線與平面所成的角θ的范圍是0°≤θ≤90°.四、典例分析、舉一反三題型一線面垂直的概念與定理的理解例1下列說法中正確的個(gè)數(shù)是()①若直線l與平面α內(nèi)一條直線垂直,則l⊥α;②若直線l與平面α內(nèi)兩條直線垂直,則l⊥α;③若直線l與平面α內(nèi)兩條相交直線垂直,則l⊥α;④若直線l與平面α內(nèi)任意一條直線垂直,則l⊥α;⑤若直線l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線垂直,則l⊥α.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由直線與平面垂直的判定定理和定義知正確的是③④,故選B.解題技巧（判定定理理解的注意事項(xiàng)）線面垂直的判定定理中,直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線,“相交”兩字必不可少,否則,就是換成無數(shù)條直線,這條直線也不一定與平面垂直.跟蹤訓(xùn)練一1、下列命題中,正確命題的序號是.①如果直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,那么l⊥α;②如果直線l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直,那么l⊥α;③若l不垂直于α,則在α內(nèi)沒有與l垂直的直線;④過一點(diǎn)和已知平面垂直的直線有且只有一條;⑤若a∥α,b⊥α,則a⊥b;⑥若a∥b,a⊥α,則b⊥α.【答案】④⑤⑥.【解析】根據(jù)線面垂直的定義,當(dāng)直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直時(shí),l⊥α,如果α內(nèi)的無數(shù)條直線互相平行,l與α不一定垂直,故①不正確;根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知,如果平面α內(nèi)的兩條直線不相交時(shí),l與α不一定垂直,故②不正確;當(dāng)l與α不垂直時(shí),l可能與α內(nèi)的無數(shù)條互相平行的直線垂直,故③不正確;由于過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.故④正確;⑤,⑥顯然正確.題型二直線與平面垂直的判定例2在三棱錐P-ABC中,H為△ABC的垂心,AP⊥BC,PC⊥AB,求證:PH⊥平面ABC.【答案】證明見解析【解析】如圖,連接AH,因?yàn)镠為△ABC的垂心,所以AH⊥BC,又AP⊥BC,AH∩AP=A,所以BC⊥平面AHP,又PH?平面AHP,所以PH⊥BC.同理可證PH⊥AB,又AB∩BC=B,所以PH⊥平面ABC.解題技巧(應(yīng)用判定定理的注意事項(xiàng))利用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直的關(guān)鍵是在這個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線,證明它們都和這條直線垂直.跟蹤訓(xùn)練二1、如圖,Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)S,且SA=SB=SC.點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn).(1)求證:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求證:BD⊥平面SAC.【答案】證明見解析【解析】:(1)如圖,取AB中點(diǎn)E,連接SE,DE,在Rt△ABC中,D,E分別為AC,AB的中點(diǎn),所以DE∥BC,且DE⊥AB.在△SAB中,因?yàn)镾A=SB,所以SE⊥AB.又SE∩DE=E,所以AB⊥平面SDE.因?yàn)镾D?平面SDE,所以AB⊥SD.在△SAC中,因?yàn)镾A=SC,D為AC的中點(diǎn),所以SD⊥AC.因?yàn)镾D⊥AC,SD⊥AB,AC∩AB=A,所以SD⊥平面ABC.(2)因?yàn)锳B=BC,D為斜邊AC的中點(diǎn),所以BD⊥AC.由(1)可知,SD⊥平面ABC.而BD?平面ABC,所以SD⊥BD.因?yàn)镾D⊥BD,BD⊥AC,SD∩AC=D,所以BD⊥平面SAC.題型三直線與平面所成角例3在正方體中，求直線與平面所成的角？【答案】30°（或）【解析】連接，交于點(diǎn)O，再連接，因?yàn)槭窃谡襟w中，所以平面，所以是直線與平面所成的角．設(shè)正方體的邊長為1，所以在△A1BO中，，，所以，所以直線與平面所成的角的大小等于30°．解題技巧(求平面的斜線與平面所成的角的一般步驟)(1)確定斜線與平面的交點(diǎn)(斜足);(2)通過斜線上除斜足以外的某一點(diǎn)作平面的垂線,連接垂足和斜足即為斜線在平面上的射影,則斜線和射影所成的銳角即為所求的角;(3)求解由斜線、垂線、射影構(gòu)成的直角三角形.跟蹤訓(xùn)練三1、已知正三棱錐S-ABC的所有棱長都相等,則SA與平面ABC所成角的余弦值為.【答案】.【解析】因?yàn)镾-ABC為正三棱錐,所以點(diǎn)S在底面ABC上的射影為△ABC的中心O,連接SO,AO,則∠SAO為SA與底面ABC所成的角,設(shè)正三棱錐的棱長為a,在Rt△SOA中,AO=·asin60°=a,SA=a,所以cos∠SAO==.五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識及解題技巧六、板書設(shè)計(jì)8.8.6.2直線與平面垂直第1課時(shí)直線與平面垂直的判定1、直線與平面垂直的定義例1例2例32、直線與平面垂直的判定定理3、直線與平面所成角七、作業(yè)課本152頁練習(xí)，162頁習(xí)題8.6的1、2、4、5題.【教學(xué)反思】本節(jié)課，學(xué)生基本掌握判定定理和線面角，但是在應(yīng)用中，書寫證明過程不太規(guī)范，需提高學(xué)生的邏輯思維能力.另一方面，求線面角時(shí)，找線面角有一定的困難，需給學(xué)生強(qiáng)調(diào)找垂線的方法.《8.6.2直線與平面垂直》導(dǎo)學(xué)案第1課時(shí)直線與平面垂直的判定【學(xué)習(xí)目標(biāo)】知識目標(biāo)1．理解直線和平面垂直的判定定理并能運(yùn)用其解決相關(guān)問題.2．理解直線與平面所成角的概念，并會求一些簡單的直線與平面所成角．核心素養(yǎng)1．邏輯推理：探究歸納直線和平面垂直的判定定理，找垂直關(guān)系；2．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算：求直線與平面所成角；3．直觀想象：題中幾何體的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】：①直線和平面垂直的判定定理及其應(yīng)用；②求直線與平面所成角.【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】：直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，找垂直關(guān)系.【學(xué)習(xí)過程】一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本149-152頁，填寫。1.直線與平面垂直的概念如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都________,就說直線l與平面α互相垂直,記作________,直線l叫做平面α的________,平面α叫做直線l的________,直線與平面垂直時(shí),它們唯一的公共點(diǎn)叫做________.2.直線與平面垂直的判定定理文字語言圖形語言符號語言一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的______________都垂直,則該直線與此平面垂直?l⊥α3.直線與平面所成的角(1)如圖,一條直線PA和一個(gè)平面α相交,但不和這個(gè)平面________,這條直線叫做這個(gè)平面的________,斜線和平面的交點(diǎn)A叫做________,過斜線上________的一點(diǎn)向平面引垂線PO,過垂足O和________的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影,平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的________,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.(2)一條直線垂直于平面,稱它們所成的角是________;一條直線在平面內(nèi)或一條直線和平面平行,稱它們所成的角是________的角,于是,直線與平面所成的角θ的范圍是0°≤θ≤90°.小試牛刀1.如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的:①三角形的兩邊;②梯形的兩邊;③圓的兩條直徑;④正六邊形的兩條邊,則能保證該直線與平面垂直的是()A.①③ B.② C.②④ D.①②④2.已知直線a⊥平面α,直線b∥平面α,則a與b的關(guān)系為()A.a∥b B.a⊥bC.a,b相交不垂直 D.a,b異面不垂直3.若三條直線OA,OB,OC兩兩垂直,則直線OA垂直于()A.平面OAB B.平面OACC.平面OBC D.平面ABC4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC1與底面ABCD所成角的正弦值為.

【自主探究】題型一線面垂直的概念與定理的理解例1下列說法中正確的個(gè)數(shù)是()①若直線l與平面α內(nèi)一條直線垂直,則l⊥α;②若直線l與平面α內(nèi)兩條直線垂直,則l⊥α;③若直線l與平面α內(nèi)兩條相交直線垂直,則l⊥α;④若直線l與平面α內(nèi)任意一條直線垂直,則l⊥α;⑤若直線l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線垂直,則l⊥α.A.1 B.2 C.3 D.4跟蹤訓(xùn)練一1、下列命題中,正確命題的序號是.

①如果直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,那么l⊥α;②如果直線l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直,那么l⊥α;③若l不垂直于α,則在α內(nèi)沒有與l垂直的直線;④過一點(diǎn)和已知平面垂直的直線有且只有一條;⑤若a∥α,b⊥α,則a⊥b;⑥若a∥b,a⊥α,則b⊥α.題型二直線與平面垂直的判定例2在三棱錐P-ABC中,H為△ABC的垂心,AP⊥BC,PC⊥AB,求證:PH⊥平面ABC.跟蹤訓(xùn)練二1、如圖,Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)S,且SA=SB=SC.點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn).(1)求證:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求證:BD⊥平面SAC.題型三直線與平面所成角例3在正方體中，求直線與平面所成的角？跟蹤訓(xùn)練三1、已知正三棱錐S-ABC的所有棱長都相等,則SA與平面ABC所成角的余弦值為.

【達(dá)標(biāo)檢測】1.設(shè)l,m是兩條不同的直線,α是一個(gè)平面,則下列命題正確的是()A.若l⊥α,l∥m,則m⊥α B.若l∥α,m?α,則l∥mC.若l⊥m,m?α,則l⊥α D.若l∥α,m∥α,則l∥m2.已知P為△ABC所在平面外一點(diǎn),PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面ABC,垂足H,則H為△ABC的()A.重心 B.垂心 C.外心 D.內(nèi)心3.如圖所示,PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是_________.4.如圖所示,∠ACB=90°,平面ABC外有一點(diǎn)P,PC=4cm,PF,PE垂直于BC,AC于點(diǎn)F,E,且PF=PE=2cm,那么PC與平面ABC所成角的大小為.

5．如圖，在四棱錐中，平面，，，且，是的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：平面.答案小試牛刀1.A.2．B.3．C.4.33自主探究例1【答案】B【解析】由直線與平面垂直的判定定理和定義知正確的是③④,故選B.跟蹤訓(xùn)練一1、【答案】④⑤⑥.【解析】根據(jù)線面垂直的定義,當(dāng)直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直時(shí),l⊥α,如果α內(nèi)的無數(shù)條直線互相平行,l與α不一定垂直,故①不正確;根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知,如果平面α內(nèi)的兩條直線不相交時(shí),l與α不一定垂直,故②不正確;當(dāng)l與α不垂直時(shí),l可能與α內(nèi)的無數(shù)條互相平行的直線垂直,故③不正確;由于過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.故④正確;⑤,⑥顯然正確.例2【答案】證明見解析【解析】如圖,連接AH,因?yàn)镠為△ABC的垂心,所以AH⊥BC,又AP⊥BC,AH∩AP=A,所以BC⊥平面AHP,又PH?平面AHP,所以PH⊥BC.同理可證PH⊥AB,又AB∩BC=B,所以PH⊥平面ABC.跟蹤訓(xùn)練二1、【答案】證明見解析【解析】:(1)如圖,取AB中點(diǎn)E,連接SE,DE,在Rt△ABC中,D,E分別為AC,AB的中點(diǎn),所以DE∥BC,且DE⊥AB.在△SAB中,因?yàn)镾A=SB,所以SE⊥AB.又SE∩DE=E,所以AB⊥平面SDE.因?yàn)镾D?平面SDE,所以AB⊥SD.在△SAC中,因?yàn)镾A=SC,D為AC的中點(diǎn),所以SD⊥AC.因?yàn)镾D⊥AC,SD⊥AB,AC∩AB=A,所以SD⊥平面ABC.(2)因?yàn)锳B=BC,D為斜邊AC的中點(diǎn),所以BD⊥AC.由(1)可知,SD⊥平面ABC.而BD?平面ABC,所以SD⊥BD.因?yàn)镾D⊥BD,BD⊥AC,SD∩AC=D,所以BD⊥平面SAC.例3【答案】30°（或）【解析】連接，交于點(diǎn)O，再連接，因?yàn)槭窃谡襟w中，所以平面，所以是直線與平面所成的角．設(shè)正方體的邊長為1，所以在△A1BO中，，，所以，所以直線與平面所成的角的大小等于30°．跟蹤訓(xùn)練三1、【答案】.【解析】因?yàn)镾-ABC為正三棱錐,所以點(diǎn)S在底面ABC上的射影為△ABC的中心O,連接SO,AO,則∠SAO為SA與底面ABC所成的角,設(shè)正三棱錐的棱長為a,在Rt△SOA中,AO=·asin60°=a,SA=a,所以cos∠SAO==.當(dāng)堂檢測 1-2.AB3.4.4.45°.5．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，，所以平面，又平面，所?（2）由，，可得，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.由（1）知，且，所以平面.又平面，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所?又，，，平面，所以平面，又平面，所以.又，所以平面.《8.6.2直線與平面垂直》課后作業(yè)第1課時(shí)直線與平面垂直的判定基礎(chǔ)鞏固1．已知和是兩條不同的直線，和是兩個(gè)不重合的平面，那么下面給出的條件中，一定能推出的是（）A．，且 B．，且C．，且 D．，且2．如圖所示的正方形中，分別是，的中點(diǎn)，現(xiàn)沿，，把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使，，重合為點(diǎn)，則有（）A．平面 B．平面C．平面 D．平面3．把正方形沿對角線折起，當(dāng)以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的棱錐體積最大時(shí)，直線和平面所成的角的大小為（）A．90° B．60 C．45° D．30°4．如圖，在正方體中，是底面的中心，，為垂足，則與平面的位置關(guān)系是（）A．垂直 B．平行 C．斜交 D．以上都不對5．在長方體中，，與平面所成的角為，則該長方體的體積為（）A． B． C． D．6．一條與平面相交的線段，其長度為10cm，兩端點(diǎn)到平面的距離分別是2cm，3cm，則線段與平面所成的角是________.7．如圖，在直三棱柱中，底面是為直角的等腰直角三角形，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，當(dāng)_______時(shí)，平面.8．如圖，在四面體中，，，，分別為，的中點(diǎn)，且.求證：平面.能力提升9．在正三棱柱中，側(cè)棱長為，底面三角形的邊長為1，則與側(cè)面所成角的大小為（）A． B． C． D．10．如圖，在正方體中，有下列結(jié)論：①AC//平面；②平面；③與底面所成角的正切值是；④與為異面直線.其中正確結(jié)論的序號是______.（把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上）11．如圖，正方形的邊長為2，與的交點(diǎn)為，平面，，且.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正切值.素養(yǎng)達(dá)成12．如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中（側(cè)棱與底面垂直的棱柱），AC=BC=1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中點(diǎn)．（1）求證：C1D⊥平面AA1B1B；（2）當(dāng)點(diǎn)F在BB1上的什么位置時(shí)，AB1⊥平面C1DF？并證明你的結(jié)論．《8.6.2直線與平面垂直》課后作業(yè)答案解析第1課時(shí)直線與平面垂直的判定基礎(chǔ)鞏固1．已知和是兩條不同的直線，和是兩個(gè)不重合的平面，那么下面給出的條件中，一定能推出的是（）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】B【解析】A中，，且，則，故A錯(cuò)誤；一條直線垂直于平面，則與這條平行的直線也垂直于這個(gè)平面，易知B正確；C、D中，或或m與相交均有可能，故C、D錯(cuò)誤.故選：B2．如圖所示的正方形中，分別是，的中點(diǎn)，現(xiàn)沿，，把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使，，重合為點(diǎn)，則有（）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】A【解析】由題意：，，，平面所以平面正確，D不正確；.又若平面，則，由平面圖形可知顯然不成立；同理平面不正確；故選：A3．把正方形沿對角線折起，當(dāng)以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的棱錐體積最大時(shí)，直線和平面所成的角的大小為（）A．90° B．60 C．45° D．30°【答案】C【解析】記正方形的對角線與交于點(diǎn)，將正方形沿對角線折起后，如圖，當(dāng)平面時(shí)，三棱錐的體積最大.為直線和平面所成的角，∵因?yàn)檎襟w對角線相互垂直且平分，所以在Rt△DOB中，，∴直線和平面所成的角大小為45°.故選：C.4．如圖，在正方體中，是底面的中心，，為垂足，則與平面的位置關(guān)系是（）A．垂直 B．平行 C．斜交 D．以上都不對【答案】A【解析】連接.∵幾何體是正方體，底面是正方形，∴.又∵，∴平面.∵平面，∴.∵，∴平面.故選A.5．在長方體中，，與平面所成的角為，則該長方體的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】在長方體中，連接，根據(jù)線面角的定義可知，因?yàn)椋?，從而求得，所以該長方體的體積為，故選C.6．一條與平面相交的線段，其長度為10cm，兩端點(diǎn)到平面的距離分別是2cm，3cm，則線段與平面所成的角是________.【答案】.【解析】如圖，作出，，則，確定的平面與平面交于，且與相交于，因?yàn)?，則，.即線段與平面所成的角是.故答案為7．如圖，在直三棱柱中，底面是為直角的等腰直角三角形，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，當(dāng)_______時(shí)，平面.【答案】或【解析】由已知得是等腰直角三角形，，是的中點(diǎn)，∴，∵平面平面，平面平面，∴平面，又∵平面，∴.若平面，則.設(shè)，則，，∴，解得或.8．如圖，在四面體中，，，，分別為，的中點(diǎn)，且.求證：平面.【答案】證明見解析【解析】取的中點(diǎn)為，連接，.∵，分別為，的中點(diǎn)，∴//，又為的中點(diǎn)，，∴.∵，∴，∴，∴.∵，∴.又，平面∴平面.能力提升9．在正三棱柱中，側(cè)棱長為，底面三角形的邊長為1，則與側(cè)面所成角的大小為（）A． B． C．