電路函數(shù)公式

單位沖激函數(shù)又稱為狄拉克函數(shù)δ(?x)=δ(x)δ(ax)=|a|?1δ(x)xδ(x)=0,xδ(x?a)=aδ(x?a)δ(x2?a2=(2|a|)?1[δ(x+a)+δ(x?a)]1.5.1單位斜變信號

斜變信號是從某一時刻開始隨時間成正比例增加的信號。斜變信號也稱斜坡信號或斜升信號。若增長的變化率為1，就稱為單位斜變信號，其表達式為

其波形如圖a所示：

(a)(b)

單位斜變信號(a)和截頂?shù)膯挝恍弊冃盘?b)的波形

單位斜變信號是理想信號，是不可實現(xiàn)的?，F(xiàn)實中常見的充電過程可以理想化地表示為截頂?shù)膯挝恍弊冃盘?，其波形如圖b,表達式為

1.5.2單位階躍信號

單位階躍信號u(t)的函數(shù)表達式為

其波形如圖所示。

單位階躍信號的波形

單位階躍函數(shù)的物理背景是，在t=0時刻對某一路電路接入單位電源，并且無限持續(xù)下去。如果接入電源的時間推遲到t=t0時刻（t0>0），我們就可以用一個延時的單位階躍函數(shù)來表示。其波形如圖

延時的單位階躍信號的波形

單位斜變信號R(t)與單位階躍信號U(t)之間的關(guān)系為

為了書寫方便常常利用階躍信號與其延時信號之差來表示矩形脈沖,表達式為

R(t)=u(t)-u(t-T)

其波形如圖

1.5.3單位矩形脈沖信號

寬度為t、中心位于原點的單位矩形脈沖信號的表達式為：

其波形如圖所示。

單位矩形脈沖信號的波形

顯然，利用信號運算，單位矩形脈沖信號以用單位階躍函數(shù)來表示：

在矩形脈沖信號中，有幾個概念比較常用。

（1）脈寬：即矩形脈沖的寬度(非零區(qū)間的寬度)，簡稱為脈寬。

（2）脈高：即矩形脈沖的高度，簡稱脈高。

顯然，單位矩形脈沖信號的脈高為1。

有時，我們也稱矩形脈沖信號為矩形窗信號、門信號等。1.5.4符號函數(shù)

符號函數(shù)簡寫作sgn(t)，其定義為：

其波形如下圖所示：

符號函數(shù)的波形

符號函數(shù)在零點處有跳變，可以不定義符號函數(shù)信號在該點的取值，也可以規(guī)定取值為sgn(0)=0。1.5.5單位沖激信號

單位沖激信號又可稱為沖激函數(shù)、d函數(shù)或狄拉克函數(shù)等，其符號常記為d(t)。單位沖激信號反映一種持續(xù)時間極短、函數(shù)值極大的信號類型。而某些物理現(xiàn)象正需要這樣的函數(shù)模型來描述。如電學中的雷擊電閃、數(shù)字通信中的抽樣脈沖、力學中的瞬間作用的沖擊力等。"沖激函數(shù)"的概念正是以這類實際問題為背景而引出的。

大家可以思考一下，還有什么樣的物理現(xiàn)象也要用沖激函數(shù)來描述？

這種特殊的函數(shù)，其定義也是特殊的。下面我們來看看如何定義單位沖激信號。

沖激函數(shù)可由不同的定義方式來定義。

(1)狄拉克定義法

大家要注意，在上面的定義中，兩個部分是一個整體，不能分開。

它是狄拉克最初提出并定義的，所以又稱狄拉克函數(shù)。定義式表示集中在t=0的面積為1的沖激，這是工程上的定義，由于它不是普通函數(shù)，因此從嚴格的數(shù)學意義來說，它是一個頗為復雜的概念。然而為了應(yīng)用，并不強調(diào)其數(shù)學上的嚴謹性，而只強調(diào)使運算方便。

沖激信號的一個重要標志是它的積分值。而關(guān)于它的形狀的精確細節(jié)，則是無關(guān)緊要的。

為了對有一個直觀的認識，可將看成某些普通函數(shù)的極限來定義。

(2)規(guī)則函數(shù)取極限定義法

1.用矩形脈沖：

2.用三角形脈沖：

3.用鐘形脈沖：

還可以用雙邊指數(shù)脈沖、Sa(t)信號的極限來定義沖激函數(shù)。同學們可以自己試著寫出用這些函數(shù)的極限定義的沖激函數(shù)定義式。

上述兩種定義方法，從數(shù)學上講都是不夠嚴格的。要準確理解函數(shù)的意義，需要借助于分配函數(shù)的理論。用分配函數(shù)或廣義函數(shù)的概念來研究奇異信號，就可以給出嚴格的數(shù)學定義，而且其一系列有關(guān)的性質(zhì)也有嚴格的數(shù)學證明。關(guān)于這部分內(nèi)容，不在本課程的要求范圍內(nèi)。有興趣的同學可以自己參考有關(guān)的書籍。

那么，沖激函數(shù)有哪些性質(zhì)呢？下面我們來看看沖激函數(shù)的一些重要性質(zhì)。這些性質(zhì)，我們在后面學習的過程中，會經(jīng)常用到，希望同學們能深刻理解這些性質(zhì)。

單位沖激信號有下面一些重要性質(zhì)：

(1)對稱性：

是偶函數(shù)，即，函數(shù)關(guān)于縱軸是對稱的。

所以才把這條性質(zhì)稱為"對稱性"。

(2)時域壓擴性：

可見，經(jīng)過尺度變換后的結(jié)果仍是一個沖激函數(shù)。這條性質(zhì)需要用到單位沖激函數(shù)的定義來證明。

(3)與u(t)的關(guān)系

單位階躍信號和單位沖激信號是微分與積分的關(guān)系。由的定義，可得：

兩邊進行微分運算，可得：

由該式我們可以看出，正是由于引入了單位沖激函數(shù)，對于那些存在間斷點的信號，函數(shù)在間斷點處的導數(shù)也是可以表示出來的。

另外，單位沖激信號還有兩個有著非常重要的用途的特性：

(1)抽樣特性：

連續(xù)時間信號f(t)與沖激信號d(t)相乘，并在整個時間范圍內(nèi)取積分，可以得到信號f(t)在t0（沖激發(fā)生的時刻）的函數(shù)值，也即將信號在該點的取值篩選出來了。