簡單任意四邊形的求積公式

簡單任意四邊形的求積公式----擴展后的婆羅摩笈多公式和海倫公式設四邊形的的邊長分別為a、b、c、d，兩對角線長分別為e、f，其夾角θ，四邊形的四頂點分別為A、B、C、D(如圖所示)，求此任意四邊形的面積表達式。1、〖擴展的婆羅摩笈多公式〗由三角形面積公式得：S四邊形＝(1/2)adsinA+(1/2)bcsinCS2＝(1/4)(adsinA)2+(1/4)(bcsinC)2+(1/2)abcdsinAsinC＝(1/4)(a2d2+b2c2)+(1/4)(adcosA)2+(1/4)(bccosC)2+(1/2)＝(1/4)(ad+bc)2-(1/4)2abcd+(1/4)(a2d2cos2A)+(1/4)(b2c2cos2C)+其中：因f2=a2+d2-2adcosA=b2+c2-2bccosC有：a2+d2-b2-c2=2adcosA-2bccosC(a2+d2-b2-c2)2=(2adcosA)2+(2bccosC)2-8abcdcosAcosC得：4(adcosA)2+4(bccosC)2=(a2+d2-b2-c2)2-8abcdcosAcosC代入時有:S2＝(1/4)(ad+bc)2-(1/16)(a2+d2-b2-c2)2-(1/4)2abcd-(1/2)abcdcosAcosC+(1/2)abcdsinAsinCS2＝(1/4)(ad+bc)2-(1/16)(a2+d2-b2-c2)2-(1/4)2abcd-(1/2)abcdcos(A+C)＝(1/16)｛〔4(ad+bc)2+(a2+d2-b2-c2)2〕｝-(1/2)abcd-(1/2)abcdcos(A+C)＝(1/16)｛〔4(ad+bc)2+(a2+d2-b2-c2)2〕｝-(1/2)abcd｛1-cos(A+C)｝＝(1/16)｛〔2(ad+bc)+(a2+d2-b2-c2)〕〔2(ad+bc)-(a2+d2-b2-c2)〕｝-abcdcos2〔(A+C)/2〕＝(1/16)｛〔(a+d)2-(b-c)2〕〔(b+c)2-(a-d)2〕｝-abcdcos2〔(A+C)/2〕＝(1/16)｛〔(a+d)+(b-c)〕〔(a+d)-(b-c)〕〔(b+c)+(a-d)〕〔(b+c)-(a-d)〕｝-abcdcos2〔(A+C)/2〕令2p＝a+b+c+d，代入后化簡:S2＝(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)–abcdcos2〔(A+C)/2〕S＝√｛(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)–abcdcos2〔(A+C)/2〕｝此為著名的擴展后的婆羅摩笈多公式。2、〖婆羅摩笈多公式的基本形式〗婆羅摩笈多公式的最簡單易記的形式，是圓內接四邊形面積計算。若四邊形ABCD為園內接四邊形時，則有cos〔(A+C)/2〕=0，則上面推導的面積公式為：S＝√｛(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcdcos〔(A+C)/2〕｝＝√｛(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)｝就是著名的婆羅摩笈多公式。3、〖更特殊的情況〗若圓O的圓內接四邊形的四邊長為a,b,c,d，且外切于圓C，則其面積為：證明：由于四邊形內接于圓O，所以：其中p為半周長：又因為四邊形外切圓C，所以：則：同理:，，綜上：證畢。4、〖三角形面積的海倫公式〗\o"海倫公式"海倫公式給出\o"三角形"三角形的面積。它是婆羅摩笈多公式取的特殊情形。S＝√｛p(p-a)(p-b)(p-c)｝5、〖若四邊形的對角線夾角為θ時〗若四邊形的對角線夾角為θ時，四邊形的面積S＝(1/4)│(a2-b2+c2-d2)tanθ│證明：因：a2＝e12+f12-2e1f1cos(180。-θ〕b2＝f12+e22-2f1e2cosθc2＝e22+f22-2e2f2cos(180。-θ〕d2＝f22+e12-2f2e1cosθ得：a2-b2+b2-d2＝-2(e1f1+f1e2+e2f2+f2e1)cosθ又因：(1/2)(e1f1+f1e2+e2f2+f2e1)sinθ＝S四邊形所以：S＝(1/4)│(a2-b2+c2-d2)tanθ│證畢。6、〖若四邊形的兩對角線長為e、f時〗若四邊形的兩對角線為e、f時，S＝(1/4)√｛4e2f2-(a2-b2+c2-d2)2｝證明：因：a2＝e12+f12-2e1f1cos(180。-θ〕b2＝f12+e22-2f1e2cosθc2＝e22+f22-2e2f2cos(180。-θ〕d2＝f22+e12-2f2e1cosθ得：a2-b2+b2-d2＝-2(e1f1+f1e2+e2f2+f2e1)cosθ(a2-b2+b2-d2)2＝4(e1f1+f1e2+e2f2+f2e1)2cos2θ(a2-b2+b2-d2)2＝4(ef)2cos2θ(其中：因e1+e2＝e，f1+f2＝f)又因：S＝(1/2)efsinθ，S2＝(1/4)(ef)2sin2θ＝(1/4)(ef)2(1+cos2θ)得：S2＝(1/4)e2f2-(1/4)(ef)2cos2θ＝(1/4)e2f2-(1/4)2(a2-b2+b2-d2)2所以：S＝(1/4)√｛4e2f2-(a2-b2+c2-d2)2｝證畢。7、〖若四邊形為平行四邊形時〗若四邊形為平行四邊形時，且平行四邊形的邊長分別為a、b(a≥b)，兩對角線的夾角為θ(θ＜90。)，則平行四邊形的面積S＝(1/2)(a2-b2)tanθ，且tan(θ/2)≤(b/a)。證明：因：四邊形為平行四邊形，則在上題中有c=a，d=b，所以：S＝(1/4)│(a2-b2+a2-b2)tanθ│＝(1/2)│(a2-b2│tanθ同時：由題意設兩對角線分別為2x、2y，有：a2＝e2＋f2＋2efcosθ，b2＝x2＋y2－2xycosθ，xy＝(a2－b2)/(4cosθ)，x2＋y2＝(a2＋b2)/2得：x4－[(a2＋b2)/2]x2＋[(a2－b2)/(4cosθ)]2＝0依題意，方程的根判別式應大于等于零，即B2－4AC≥0故有：{－[(a2＋b2)/2]}2－4[(a2－b2)/(4cosθ)]2≥0，[(a2＋b2)2－[(a2－b2)