2023年中考數(shù)學(xué)探究性試題復(fù)習(xí)3 新定義【含答案】

2023年中考數(shù)學(xué)探究性試題復(fù)習(xí)3新定義一、單選題1．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A滿足橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把點(diǎn)A叫做“整點(diǎn)”．如：B（3，0）、C（-1，3）都是“整點(diǎn)”．拋物線y＝ax2-2ax+a+2（a＜0）與x軸交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)，若該拋物線在M、N之間的部分與線段MN所圍的區(qū)域（包括邊界）恰有5個(gè)整點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A．-1≤a＜0 B．-2≤a＜-1 C．-1≤a＜?122．對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，n，如果滿足m2+n4=m+n2+4A．2 B．3 C．?4 D．?63．對(duì)于三個(gè)數(shù)a、b、c，P{a，b，c}表示這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，min{a，b，c}表示a、b、c這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)，max{a，b，c}表示這三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，例如：P{-1，2，3}＝?1+2+33=4下列判斷：①P{?2，0，18}=22；②max{?3，?5，A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．②③⑤ D．②④⑤4．若10x=N，則稱(chēng)x是以10為底N的對(duì)數(shù).記作：x=lgN.例如：102=100，則2=lg100；100=1A．5 B．2 C．1 D．05．對(duì)多項(xiàng)式x-y-z-m-n任意加括號(hào)后仍然只含減法運(yùn)算并將所得式子化簡(jiǎn)，稱(chēng)之為“加算操作”，例如：(x-y)-(z-m-n)=x-y-z+m+n，x-y-(z-m)-n=x-y-z+m-n，……，給出下列說(shuō)法：①至少存在一種“加算操作”，使其結(jié)果與原多項(xiàng)式相等；②不存在任何“加算操作”，使其結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0；③所有的“加算操作”共有8種不同的結(jié)果．以上說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題6．華羅庚說(shuō)過(guò)：“復(fù)雜的問(wèn)題要善于‘退’，足夠地‘退’，‘退’到最原始而不失重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅．”可見(jiàn)，復(fù)雜的問(wèn)題有時(shí)要“退”到本質(zhì)上去研究．如圖，已知拋物線y=?x2+2x?1的圖象與f的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，我們把探索線的變化規(guī)律“退”到探索點(diǎn)的變化規(guī)律上去研究，可以得到圖象f所對(duì)應(yīng)的關(guān)于x與y的關(guān)系式為x=?y2+2y?1．若拋物線7．我們根據(jù)指數(shù)運(yùn)算，得出了一種新的運(yùn)算，如表是兩種運(yùn)算對(duì)應(yīng)關(guān)系的一組實(shí)例：指數(shù)運(yùn)算222…333…新運(yùn)算lololo…lololo…根據(jù)上表規(guī)律，某同學(xué)寫(xiě)出了三個(gè)式子：①log216=4，②log其中正確的是．8．若a是不為2的有理數(shù)我們把22?a稱(chēng)為a的“哈利數(shù)”．如3的“哈利數(shù)”是22?3=?2；?2的“哈利數(shù)”是22?(?2)=12，已知a1=3，a2是9．對(duì)數(shù)的定義：一般地，若ax=N（a>0且a≠1），那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x=logaN，比如指數(shù)式23=8可以轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式3=10．平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(mx+y，x+my)，其中m為常數(shù)，則稱(chēng)點(diǎn)Q是點(diǎn)P的m級(jí)派生點(diǎn)，例如點(diǎn)P(1，2)的3級(jí)派生點(diǎn)是(3×1+2，1+3×2)，即Q(5，7)．如圖點(diǎn)Q(3，?1)是點(diǎn)P(x，y)的?3級(jí)派生點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，且S△APQ=3，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為11．我們規(guī)定：使得a?b=ab成立的一對(duì)數(shù)a，b為“差積等數(shù)對(duì)”，記為(a，b)．例如，因?yàn)??0.75=3×0.75，(?2)?2＝(?2)×2，所以數(shù)對(duì)(3，12．我們知道四邊形具有不穩(wěn)定性，容易變形（給定四邊形各邊的長(zhǎng)，其形狀和大小不確定）．如圖，一個(gè)矩形發(fā)生變形后成為一個(gè)平行四邊形，設(shè)這個(gè)平行四邊形中較小的內(nèi)角為α，我們把sinα的值叫做這個(gè)平行四邊形的“變形系數(shù)”．如果矩形的面積為5，其變形后的平行四邊形的面積為4，那么這個(gè)平行四邊形的“變形系數(shù)”是13．定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于任意兩點(diǎn)P(x1，y1)、Q(x2，三、綜合題14．定義：對(duì)于一個(gè)三位正整數(shù)，如果十位數(shù)字恰好等于百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和的一半，我們稱(chēng)這個(gè)三位正整數(shù)為“半和數(shù)”．例如，三位正整數(shù)234，因?yàn)?=1（1）判斷147是否為“半和數(shù)”，并說(shuō)明理由；（2）小林列舉了幾個(gè)“半和數(shù)”：111、123、234、840…，并且她發(fā)現(xiàn)：111÷3=37，123÷3=41，234÷3=78，840÷3=280…，所以她猜測(cè)任意一個(gè)“半和數(shù)”都能被3整除．小林的猜想正確嗎？若正確，請(qǐng)你幫小林說(shuō)明該猜想的正確性；若錯(cuò)誤，說(shuō)明理由．15．對(duì)于某些三角形，我們可以直接用面積公式或是用割補(bǔ)法等來(lái)求它們的面積，下面我們研究一種求面積的新方法：如圖1所示，分別過(guò)三角形的頂點(diǎn)A、C作水平線的鉛垂線l1、l2，l1、l2之間的距離d叫做水平寬；如圖1所示，過(guò)點(diǎn)B作水平線的鉛垂線交結(jié)論提煉：容易證明，“三角形的面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半”，即“S=1嘗試應(yīng)用：（1）已知：如圖2，點(diǎn)A(?5，3)、B(4，0)、C(0，6)，則△ABC的水平寬為，鉛垂高為（2）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的解析式為：y=?x2+2x+3，點(diǎn)B為拋物線的頂點(diǎn)，圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于E、C兩點(diǎn)，BD為△ABC的鉛垂高，延長(zhǎng)BD交x軸于點(diǎn)F，則頂點(diǎn)B坐標(biāo)為，鉛垂高BD=，△ABC16．定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱(chēng)該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”，例如：點(diǎn)(1，1)是函數(shù)（1）分別判斷函數(shù)y=x+1，y=x（2）設(shè)函數(shù)y=3x(x>0)，y=?x+b的圖像的“等值點(diǎn)”分別為點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C.當(dāng)△ABC（3）若函數(shù)y=x2?2(x≥m)的圖像記為W1，將其沿直線x=m翻折后的圖像記為W2，當(dāng)W17．【材料閱讀】在等腰三角形中，我們把底邊與腰長(zhǎng)的比叫做頂角的張率(scop)．如圖11-1，在△XYZ中，XY＝XZ，頂角X的張率記作scop∠X=底邊腰=如圖11-2，P是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，點(diǎn)C，D分別是線段AP，BP的中點(diǎn)，以AC，CD，DB為邊分別在AB的同側(cè)作等邊三角形△ACE，△CDF，△DBG，連接PE和PG.（1）【理解應(yīng)用】①若等邊三角形△ACE，△CDF，△DBG的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則a，b，c三者之間的關(guān)系為；②scop∠EPG＝；（2）【猜想證明】如圖11-3，連接EF，F(xiàn)G，猜想scop∠EFG的值是多少，并說(shuō)明理由；（3）【拓展延伸】如圖11-4，連接EF，EG，若AB＝12，EF=2718．閱讀下列材料，按要求解答問(wèn)題：閱讀理解：若p、q、m為整數(shù)，且三次方程x3+px2+qx+m=0有整數(shù)解c，則將c代入方程得：c3+p上述過(guò)程說(shuō)明：整數(shù)系數(shù)方程x3例如：方程x3+4x解決問(wèn)題：①根據(jù)上面的學(xué)習(xí)，請(qǐng)你確定方程x3②方程x319．閱讀以下材料：指數(shù)與對(duì)數(shù)之間有密切的聯(lián)系，它們之間可以互化.對(duì)數(shù)的定義：一般地，若ax=N（a>0且a≠1），那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x=logaN，比如指數(shù)式24=16我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：loga（M?N）=logaM+logaN設(shè)logaM=m，loga∴M?N=am又∵m+n=log∴l(xiāng)og請(qǐng)解決以下問(wèn)題：（1）將指數(shù)式34=81轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式（2）求證：logaMN=logaM?log（3）拓展運(yùn)用：計(jì)算log620．在平面直角坐標(biāo)系中，P(a，b)是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，給出如下定義：k1=a（1）求點(diǎn)P(6，2)的“傾斜系數(shù)”k的值；（2）①若點(diǎn)P(a，b)的“傾斜系數(shù)”k=2，請(qǐng)寫(xiě)出a和b的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②若點(diǎn)P(a，b)的“傾斜系數(shù)”k=2，且a+b=3，求OP的長(zhǎng)；（3）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿直線AC：y=x運(yùn)動(dòng)，P(a，b)是正方形ABCD上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)P的“傾斜系數(shù)”k<321．對(duì)于一個(gè)各數(shù)位上的數(shù)字均不為0的三位自然數(shù)N，若N能被它的各數(shù)位上的數(shù)字之和m整除，則稱(chēng)N是m的“和倍數(shù)”．例如：∵247÷(2+4+7)=247÷13=19，∴247是13的“和倍數(shù)”.又如：∵214÷(2+1+4)=214÷7=30……4，∴214不是“和倍數(shù)”.（1）判斷357，441是否是“和倍數(shù)”？說(shuō)明理由；（2）三位數(shù)A是12的“和倍數(shù)”，a，b，c分別是數(shù)A其中一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，且a>b>c在a，b，c中任選兩個(gè)組成兩位數(shù)，其中最大的兩位數(shù)記為F(A)，最小的兩位數(shù)記為G(A)，若F(A)+G(A)1622．【問(wèn)題】探究一次函數(shù)y＝kx+k+1（k≠0）圖象特點(diǎn)．【探究】可做如下嘗試：y＝kx+k+1＝k（x+1）+1，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，可以消去k，求出y＝1．【發(fā)現(xiàn)】結(jié)合一次函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)無(wú)論k取何值，一次函數(shù)y＝kx+k+1的圖象一定經(jīng)過(guò)一個(gè)固定的點(diǎn)，該點(diǎn)的坐標(biāo)是▲；【應(yīng)用】一次函數(shù)y＝（k+2）x+k的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P．①點(diǎn)P的坐標(biāo)是▲；②已知一次函數(shù)y＝（k+2）x+k的圖象與y軸相交于點(diǎn)A，若△OAP的面積為3，求k的值．23．?dāng)?shù)學(xué)教育家波利亞曾說(shuō)：“對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則”.材料一：把根式x±2y進(jìn)行化簡(jiǎn)，若能找到兩個(gè)數(shù)m、n，是m2+n2=x且mn=y例如：化簡(jiǎn)3+2解：∵3+2∴3+2材料二：在直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P（x，y）和Q（x，y'）給出如下定義：若y'=y，(x≥0)?y，(x<0)，則稱(chēng)Q點(diǎn)為P點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”.例如點(diǎn)（3，2）的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為（3，2），點(diǎn)（?2，5）的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為（?2，請(qǐng)選擇合適的材料解決下面的問(wèn)題：（1）點(diǎn)（2，?3）的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為（2）化簡(jiǎn)：7+210（3）已知a為常數(shù)（1≤a≤2），點(diǎn)M（?2，m）且m=

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】D6．【答案】x=7．【答案】①③8．【答案】129．【答案】010．【答案】(5，0)或(?7，0)11．【答案】?12．【答案】313．【答案】514．【答案】（1）解：∵147的百位數(shù)字為1，十位數(shù)字為4，個(gè)位數(shù)字為7，且4=1+7∴147是“半和數(shù)”；（2）解：小林的猜想正確．理由：設(shè)一個(gè)“半和數(shù)”的百位數(shù)字為m，個(gè)位數(shù)字為n（m，n均為整數(shù)，且m不為0），則這個(gè)“半和數(shù)”用含m，n的代數(shù)式表示為：100m+10×m+n∵m，n均為整數(shù)，∴35m+2n為整數(shù)，∴3(35m+2n)是3的倍數(shù)，∴任意一個(gè)“半和數(shù)”都能被3整除．故小林的猜想正確．15．【答案】（1）9；143（2）(1，4)；2；316．【答案】（1）解：在y=x+1中，令x=x+1，得0=1不成立，∴函數(shù)y=x+1的圖像上不存在“等值點(diǎn)”；在y=x2?x解得：x1=0，∴函數(shù)y=x2?x的圖像上有兩個(gè)“等值點(diǎn)”(0綜上所述，y=x+1不存在“等值點(diǎn)”，y=x2?x存在“等值點(diǎn)”，有兩個(gè)“等值點(diǎn)”(0（2）解：在函數(shù)y=3x(x>0)中，令x=∴A(3在函數(shù)y=?x+b中，令x=?x+b，解得：x=1∴B(1∵BC⊥x軸，∴C(1∴BC=1∵△ABC的面積為3，∴12當(dāng)<0時(shí)，b2?23當(dāng)0≤b<23時(shí)，b∵Δ=(?2∴方程b2當(dāng)b≥23時(shí)，b2?2綜上所述，b的值為?23或4（3）解：m<?9817．【答案】（1）b=a+c；3（2）解：scop∠EPG=3理由如下：如圖6，連結(jié)FP.∵點(diǎn)C是AP的中點(diǎn)，△ACE，△CDF都是等邊三角形，∴CP=EC，∠ECF=∠PCF=60°，又CF=CF，∴△ECF≌△PCF.∴∠EFC=∠PFC，同理，∠GFD=∠PFD，∴∠EFG=2∠CFD=120°，∴scop∠EPG=scop120°=3（3）解：△EPG的周長(zhǎng)是22118．【答案】解：①由閱讀理解可知：該方程如果有整數(shù)解，它只可能是7的因數(shù)，而7的因數(shù)只有：1，-1，7，-7這四個(gè)數(shù)．②該方程有整數(shù)解．方程的整數(shù)解只可能是3的因數(shù)，即1，-1，3，-3，將它們分別代入方程x3-2x2-4x+3=0進(jìn)行驗(yàn)證得：x=3是該方程的整數(shù)解．19．【答案】（1）4=lo（2）證明：設(shè)logaM=m，loga∴M∴l(xiāng)og∴l(xiāng)og（3）220．【答案】（1）解：由題意，得62=3，∵3>13∴點(diǎn)P(6，2)的“傾斜系數(shù)”k=3；（2）解：①a=2b或b=2a，∵點(diǎn)P(a，b)的“傾斜系數(shù)”k=2，當(dāng)ab當(dāng)ba∴a=2b或b=2a；②∵P(a，b)的“傾斜系數(shù)”k=2，當(dāng)ab∵a+b=3，∴2b+b=3，∴b=1，∴a=2，∴P(2，1)，∴OP=22當(dāng)ba∵a+b=3，∴a+2a=3，∴a=1，∴b=2，∴P(1，2)∴OP=12綜上，OP=5；（3）解：3+1<a<3+321．【答案】（1）解：∵357÷（3+5+7）=23.8，

∴357不是15的“和倍數(shù)”，

∵441÷（4+4+1）=49，

∴441是9的“和倍數(shù)”；（2）解：設(shè)三位數(shù)A=abc，∵A是12的“和倍數(shù)”

∴a+b+c=12，∵a＞b＞c，

∴F（A）=ab，G（A）=cb，

∴F（A）+（GA）16=ab+cb16=10a+10c+2b16，

∴10a+10c+2b16為整數(shù)，

∵a+c=12-b，

∴10a+10c+2b16