數(shù)學模型課件

建立數(shù)學模型1.1從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型1.2數(shù)學建模的重要意義1.3數(shù)學建模示例1.4數(shù)學建模的方法和步驟1.5數(shù)學模型的特點和分類1.6怎樣學習數(shù)學建模玩具、照片、飛機、火箭模型……~實物模型水箱中的艦艇、風洞中的飛機……~物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征1.1

從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型我們常見的模型原型是現(xiàn)實世界的實際對象,實際問題。你碰到過的數(shù)學模型——“航行問題”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x=20y=5求解航行問題建立數(shù)學模型的基本步驟

作出簡化假設（船速、水速為常數(shù)）；

用符號表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數(shù)學式子（二元一次方程）；

求解得到數(shù)學解答（x=20,y=5）；

回答原問題（船速每小時20千米/小時）。數(shù)學模型(MathematicalModel)和數(shù)學建模（MathematicalModeling)數(shù)學模型近藤次郎（日）的定義：數(shù)學模型是將現(xiàn)象的特征或本質(zhì)給以數(shù)學表述的數(shù)學關(guān)系式。它是模型的一種。本德（美）的定義：數(shù)學模型是關(guān)于部分現(xiàn)實世界和為一種特殊目的而作的一個抽象的簡化的數(shù)學結(jié)構(gòu)。對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數(shù)學建模數(shù)學模型姜啟源(中)的定義：1.2

數(shù)學建模的重要意義

電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；

數(shù)學以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學建模作為用數(shù)學方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。

在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學建模仍然大有用武之地；

在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學建模幾乎是必不可少的工具；

數(shù)學進入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學建模開辟了許多處女地。數(shù)學建模的具體應用

分析與設計

預報與決策

控制與優(yōu)化

規(guī)劃與管理數(shù)學建模計算機技術(shù)知識經(jīng)濟如虎添翼1.3

數(shù)學建模示例1.3.1

椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題分析模型假設通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地

四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;

地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面;

地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。模型構(gòu)成用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來

椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性xBADCOD′C′B′A′用

(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置

四只腳著地距離是

的函數(shù)四個距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f(

)B,D兩腳與地面距離之和~g(

)兩個距離

椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉(zhuǎn)正方形對稱性用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來f(

),g(

)是連續(xù)函數(shù)對任意

,f(

),g(

)至少一個為0數(shù)學問題已知：f(

),g(

)是連續(xù)函數(shù);

對任意

，f(

)?g(

)=0;

且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在

0，使f(

0)=g(

0)=0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面

椅子在任意位置至少三只腳著地連續(xù)函數(shù)的零點定理（介值定理）oxyab提示：利用零點定理（介值定理）模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h(

)=f(

)–g(

),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在

0,使h(

0)=0,即f(

0)=g(

0).因為f(

)?g(

)=0,所以f(

0)=g(

0)=0.評注:建模的關(guān)鍵~

和f(

),g(

)的確定長方形的椅子會有同樣的性質(zhì)嗎？思考:1.3.2

商人們怎樣安全過河問題(智力游戲)3名商人

3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步?jīng)Q策過程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)試一試模型構(gòu)成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,

sk=(xk,yk)~過程的狀態(tài)S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)vk~第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk,vk)~決策D={(u

,v)

u+v=1,2}~允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,

sk+1=sk

dk+(-1)k~狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求dk

D(k=1,2,n),使sk

S,并按轉(zhuǎn)移律由s1=(3,3)到達sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問題模型求解xy3322110

窮舉法~編程上機

圖解法狀態(tài)s=(x,y)~16個格點~10個點允許決策~移動1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,

，d11給出安全渡河方案評注和思考規(guī)格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態(tài)S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}思考：

(1)若船的情況不變，則2名商人2個隨從如何安全渡河？

(2)m名商人m個隨從(m≥4)能否安全渡河？

(3)一般地，m個商人n個隨從,m>n能否安全渡河?若能,怎樣渡河?六狗過河問題

有三條大狗A、B、C，三條小狗a，b，c要過河，只有大狗和c小狗能劃船。船最多能載兩條狗。問狗應如何過河?阿拉伯夫妻過河問題

有三對阿拉伯夫妻要過河，船最多可載兩人。

約束條件是根據(jù)阿拉伯法律，任一女子不得在其丈夫不在場的情況下與另外男子在一起，問此時這三對夫妻能否過河?四對夫妻呢？

人、狗、雞、米過河問題

某人要帶一條狗、一只雞、一籮米過河，但小船除需要人劃外，最多只能載一物過河，而當人不在場時，狗要咬雞、雞要吃米。問此人應如何過河?練習：

從表中看出，人口每增加十億的時間，由一百多年縮短至十二、三年。常此以往，人口問題將嚴重困擾世界經(jīng)濟的發(fā)展。1.3.3、人口增長的預報問題

隨著科學技術(shù)的發(fā)展，在近幾個世紀來，世界人口也得到了快速的的增長。下面的數(shù)據(jù)表反映了近幾個世紀的人口增長情況。年1625183019301960人口（億）5102030年197419871999人口（億）405060

下面介紹兩個基本的人口模型，并利用表1給出的近兩個世紀的美國人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)（單位：百萬）對模型作出檢驗，最后用它預報2010年美國的人口。

下表是我國在20世紀中人口發(fā)展的狀況：年1908193319531964人口（億）3.04.76.07.2年198219902000人口（億）10.311.312.95

認識人口數(shù)量變化的規(guī)律，建立合適的人口模型，作出準確的預報，是有效控制人口增長的前提。年179018001810182018301840人口3.95.37.29.612.917.1年185018601870188018901900人口23.231.438.650.262.976.0年191019201930194019501960人口92.0106.5123.2131.7150.7179.3年1970198019902000人口204.0226.5251.4281.4表1

美國人口數(shù)據(jù)統(tǒng)計在上面的問題中，假定人口的年增長率是一個不變的常數(shù)。⑴指數(shù)增長模型

一個簡單的人口模型是指數(shù)模型：記今年人口為，年增長率為，則以后第年的人口為

200多年前，馬爾薩斯基于人口增長率不變的基礎(chǔ)，建立了著名的人口指數(shù)模型。⑴

建模記時刻時的人口為，并視其為連續(xù)變量，初始時的人口為，從到時間內(nèi)人口的增量為，則有令則得到應滿足的微分方程：⑵由這個方程容易解得：當時，⑶式表明人口將按指數(shù)規(guī)律無限增長。故稱為指數(shù)增長模型。⑶

參數(shù)估計：⑶式中的和可以用表1中的數(shù)據(jù)進行估計。為了利用簡單的最小二乘法，將⑶式取對數(shù)后得其中：。⑷

以1790年到1900年的數(shù)據(jù)擬合⑷式，可得

以1790年到2000年的全部數(shù)據(jù)擬合⑷式，可得1790—1900實際人口與計算人口的比較計算人口曲線實際人口1790—2000實際人口與計算人口比較計算人口曲線實際人口年179018001810182018301840人口3.95.37.29.612.917.1x14.25.57.29.512.516.5x26.07.49.111.113.616.6年185018601870188018901900人口23.231.438.650.262.976.0x121.728.637.649.565.185.6x220.324.930.537.345.755.9表2

指數(shù)增長模型擬合美國人口數(shù)據(jù)的結(jié)果

結(jié)果分析用上面得到的參數(shù)代入⑶式，將計算結(jié)果與實際數(shù)據(jù)作比較得下表，表中計算人口是用1790年的數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果；計算人口是用全部數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果，用這個模型基本上能夠描述19世紀以前美國人口的增長情況，但是進入20世紀后，美國人口增長明顯放慢，此時模型不再適合了。這是為什么?年191019201930194019501960人口92.0106.5123.2131.7150.7179.3x1x268.483.7102.5125.5153.6188.0年1970198019902000人口204.0226.5251.4281.4x1x2230.1281.7344.8422.1阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數(shù)r或r,xm

利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位~百萬）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4專家估計阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較實際為281.4(百萬)模型應用——預報美國2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)Logistic模型在經(jīng)濟領(lǐng)域中的應用(如耐用消費品的售量)阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0一、機理分析法----根據(jù)對客觀事物特性的認識，找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律面得出模型。

1.比例分析法----建立變量之間函數(shù)關(guān)系的最基本最常用的方法。

2.代數(shù)方法----求解離散問題（離散的數(shù)據(jù)、符號、圖形）的主要方法。

3.邏輯方法----是數(shù)學理論研究的重要方法，對社會學和經(jīng)濟學等領(lǐng)域的實際問題，在決策，對策等學科中得到廣泛應用。

4.常微分方程----解決兩個變量之間的變化規(guī)律，關(guān)鍵是建立"瞬時變化率"的表達式。

5.偏微分方程----解決因變量與兩個以上自變量之間的變化規(guī)律。

數(shù)學建模的基本方法1.4

數(shù)學建模的方法和步驟二、測試分析(或數(shù)據(jù)分析法)----將對象看作“黑箱”,通過大量對測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型。

1.回歸分析法----用于對函數(shù)f（x）的一組觀測值（xi,fi）i=1,2,…,n，確定函數(shù)的表達式，由于處理的是靜態(tài)的獨立數(shù)據(jù)，故稱為數(shù)理統(tǒng)計方法。

2.時序分析法----處理的是動態(tài)的相關(guān)數(shù)據(jù)，又稱為過程統(tǒng)計方法。

數(shù)學建模的基本方法三、仿真和其他方法

1.計算機仿真（模擬）----實質(zhì)上是統(tǒng)計估計方法，等效于抽樣試驗。

①離散系統(tǒng)仿真----有一組狀態(tài)變量。

②連續(xù)系統(tǒng)仿真----有解析表達式或系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。

2.因子試驗法----在系統(tǒng)上作局部試驗，再根據(jù)試驗結(jié)果進行不斷分析修改，求得所需的模型結(jié)構(gòu)。

數(shù)學建模的基本方法機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究(CaseStudies)來學習。以下建模主要指機理分析。結(jié)合用機理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測試分析確定模型參數(shù)

數(shù)學建模的一般步驟模型準備模型假設模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗模型應用模型準備了解實際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對象特征形成一個比較清晰的‘問題’模型假設針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設在合理與簡化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學的語言、符號描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學工具

數(shù)學建模的一般步驟模型求解各種數(shù)學方法(解方程、畫圖形、證明定理以及邏輯運算)、軟件和計算機技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗模型的合理性、適用性(符合,不符合,階段性或局部性符合)模型應用

數(shù)學建模的一般步驟應用中可能發(fā)現(xiàn)新問題，需繼續(xù)完善。數(shù)學建模的全過程現(xiàn)實對象的信息數(shù)學模型現(xiàn)實對象的解答數(shù)學模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗證根據(jù)建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數(shù)學問題選擇適當?shù)臄?shù)學方法求得數(shù)學模型的解答將數(shù)學語言表述的解答“翻譯”回實際對象用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答實踐現(xiàn)實世界數(shù)學世界理論實踐1.5

數(shù)學模型的特點和分類模型的逼真性和可行性模型的漸進性模型的強健性模型的可轉(zhuǎn)移性模型的非預制性模型的條理性模型的技藝性模型的局限性

數(shù)學模型的特點數(shù)學模型的分類應用領(lǐng)域人口、交通、經(jīng)濟、生態(tài)……數(shù)學方法初等數(shù)學、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計……表現(xiàn)特性描述、優(yōu)化、預報、決策……建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機靜態(tài)和動態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)1.6怎樣學習數(shù)學建模數(shù)學建模與其說是一門技術(shù)，不如說是一門藝術(shù)技術(shù)大致有章可循藝術(shù)無法歸納成普遍適用的準則想像力洞察力判斷力

學習、分析、評價、改進別人作過的模型

親自動手，認真作幾個實際問題經(jīng)驗直覺與靈感練習1某甲早8時從山下旅店A出發(fā)沿一條路徑上山，下午6時到達山頂B并留宿；次日早8時從山頂B沿同一條路徑下山，下午6時回到旅店A。某乙說，甲必在兩天中的同一時刻經(jīng)過路徑中的同一地點。為什么？AB甲乙解：我們從A點為始點記路程，設從A點到B點的路程函數(shù)為，設從B點到A點的路程函數(shù)為。由題意有：

又都是連續(xù)函數(shù)，因此也為連續(xù)函數(shù)，由零點定理，一定存在某一時刻使37支球隊進行冠軍爭奪賽，每輪比賽中出場的每兩支球隊中的勝者及輪空者進入下一輪，直至比賽結(jié)束。問共需進行多少場比賽？一般思維：逆向思維：每場比賽淘汰一名失敗球隊，只有一名冠軍，即就是淘汰了36名球隊，因此比賽進行了36場。3某人家住T市在他鄉(xiāng)工作，每天下班后乘火車于6時抵達T市車站，它的妻子駕車準時到車站接他回家。一日他提前下班搭早一班火車于5時半抵達T市車站，隨即步行回家，它的妻子像往常一樣駕車前來，在半路上遇到他接回家時，發(fā)現(xiàn)比往常提前了10分鐘。問他步行了多長時間？車站家5：30相遇早10鐘5分鐘5分鐘6：005：55共走了25分鐘。甲乙兩站有電車相通，每隔10分鐘甲乙兩站互發(fā)一趟車，但發(fā)車時間不一定相同。甲乙兩站有一中間站丙，某人每天在隨機的時刻到達丙站，并搭乘最先經(jīng)過丙站的那趟車，結(jié)果發(fā)現(xiàn)100天中約有90天到達甲站，僅約有10天到達乙站。問開往甲乙兩站的電車經(jīng)過丙站的時刻表是如何安排的？8:008:108:208:30甲至乙乙至甲xX-8:00=0:09x=8:098:098:195.兄妹二人沿某街分別在離家3公里與2公里處同向散步回家，家中的小狗一直在二人之間來回奔跑。已知哥哥的速度為3公里/小時，妹妹的速度為2公里/小時，狗的速度為5公里/小時。試分析半小時后，狗在何處？一小時后，狗又在何處？（1）由于本題并未給出開始散步時狗的具體位置，因此，我們無法確定半小時后狗在何處。即使假設開始散步時狗在哥哥處，我們?nèi)匀粺o法確定狗在半小時后的位置，因為題目中并沒有給出狗的奔跑方式（比如說狗是從哥哥處沒街道跑到妹妹處，再沿路返回，周而復始）。因此，最后的答案仍是狗可以在任何位置。（2）由于哥哥的速度為3公里/小時，妹妹的速度為2公里/小時，因此一小時后，哥哥和妹妹都已到家，而狗一直在二人之間，因此狗也到家了。練習：一男孩和一女孩分別在離家2km和1km且方向相反的兩所學校上學，每天同時放學后分別以4km/h和2km/h的速度步行回家。一小狗以6km/h的速度由男孩處奔向女孩，又從女孩處奔向男孩，如此往返直至回到家中。問小狗奔波了多少路程？如果男孩和女孩上學時小狗也往返奔波在他們中間，問當他們到達學校時小狗在何處？6某人由A處到B處去，途中需到河邊取些水，如下圖。問走那條路最近？（用盡可能簡單的辦法求解。）dAB河思考題長方形椅子穩(wěn)定性問題oxyABCD

思考題1長方形椅子穩(wěn)定性問題表示A,B與地面距離之和表示C,D與地面距離之和則由三點著地，有ACABCD思考2：

(1)若船的情況不變，則2名商人2個隨從如何安全渡河？

(2)m名商人m個隨從(m≥4)能否安全渡河？

(3)一般地，m個商人n個隨從,m>n能否安全渡河?若能,怎樣渡河?一.比例代表制例：有A、B、C、D四個政黨，代表50萬選民，各政黨的選民數(shù)為：

A黨：199,000B黨：127,500C黨：124,000D黨：49,500要選出5名代表：

A黨：2席B黨：1席

C黨：1席D黨：0席缺少1席，如何分配這最后一席呢？

2.1

公平的席位分配1、大余數(shù)法按每10萬選民1席分配后，按余數(shù)大小排序，多余的席位分給余數(shù)較大的各黨。黨名代表選民數(shù)整數(shù)席余數(shù)余額席總席數(shù)

A199,000199,00012B127,500127,50001C124,000124,00001D49,500049,500112.1

公平的席位分配2、洪德(d

Hondt)規(guī)則分配辦法是：把各黨代表的選民數(shù)分別被1、2、3、…除，按所有商數(shù)的大小排序，席位按此次序分配。即若A黨的人數(shù)比D黨的人數(shù)還多，那么給A黨3席、給D黨0席也是合理的。除數(shù)A黨B黨C黨D黨1199,000(1)127,500(2)124,000(3)49,500299,500(4)63,75062,00024,750366,333(5)42,50041,33316,500449,75031,875－－總席位31102.1

公平的席位分配3、北歐折衷方案作法與洪德規(guī)則類似，所采用的除數(shù)依次為1.4、3、5、7、…

A黨B黨C黨D黨

2

2

1

0三種分配方案，得到了完全不同的結(jié)果，最大余數(shù)法顯然對小黨比較有利，洪德規(guī)則則偏向最大的黨，北歐折衷方案對最大和最小黨都不利2.1

公平的席位分配二．份額分配法(QuotaMethod)一種以“相對公平”為標準的席位分配方法，來源于著名的“阿拉巴瑪悖論”(AlabamaParadox)。美國憲法第1條第2款對議會席位分配作了明確規(guī)定，議員數(shù)按各州相應的人數(shù)進行分配。最初議員數(shù)只有65席，因為議會有權(quán)改變它的席位數(shù)，到1910年，議會增加到435席。憲法并沒有規(guī)定席位的具體分配辦法，因此在1881年，當考慮重新分配席位時，發(fā)現(xiàn)用當時的最大余數(shù)分配方法，阿拉巴瑪州在299個席位中獲得8個議席，而當總席位增加為300席時，它卻只能分得7個議席。這一怪事被稱為有名的“阿拉巴瑪悖論”。2.1

公平的席位分配

某校有200名學生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若學生代表會議設20個席位，問三系各有多少個席位？按慣例分配席位方案，即按人數(shù)比例分配原則

表示某單位的席位數(shù)

表示某單位的人數(shù)

表示總?cè)藬?shù)

表示總席位數(shù)1問題的提出2.1

公平的席位分配問題20個席位的分配結(jié)果系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲100100/200(50/100)?20=10乙6060/200(30/100)?20=6丙4040/200(20/100)?20=4現(xiàn)丙系有6名學生分別轉(zhuǎn)到甲、乙系各3名。系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲103103/200=51.5%51.5%?20=10.3乙6363/200=31.5%31.5%?20=6.3丙3434/200=17.0%17.0%?20=3.410641064現(xiàn)象1

丙系雖少了6人，但席位仍為4個。（不公平?。榱嗽诒頉Q提案時可能出現(xiàn)10：10的平局，再設一個席位。21個席位的分配結(jié)果系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲103103/200=51.5%51.5%?21=10.815乙6363/200=31.5%31.5%?21=6.615丙3434/200=17.0%17.0%?21=3.5701173現(xiàn)象2

總席位增加一席，丙系反而減少一席。（不公平！）慣例分配方法：按比例分配完取整數(shù)的名額后，剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者。存在不公平現(xiàn)象，能否給出更公平的分配席位的方案？2建模分析目標：建立公平的分配方案。反映公平分配的數(shù)量指標可用每席位代表的人數(shù)來衡量。系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)公平程度甲10310103/10=10.3中乙63663/6=10.5差丙34434/4=8.5好系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)甲10010100/10=10乙60660/6=10丙40440/4=10系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)公平程度甲10311103/11=9.36中乙63763/7=9好丙34334/3=11.33差一般地，單位人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)AB當席位分配公平但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下標準來判斷。此值越小分配越趨于公平，但這并不是一個好的衡量標準。單位人數(shù)p席位數(shù)n每席位代表的人數(shù)絕對不公平標準A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100C,D的不公平程度大為改善！2）相對不公平表示每個席位代表的人數(shù)，總?cè)藬?shù)一定時，此值越大，代表的人數(shù)就越多，分配的席位就越少。則A吃虧,或?qū)是不公平的。定義“相對不公平”對A的相對不公平值；同理，可定義對B的相對不公平值為：對B的相對不公平值；建立了衡量分配不公平程度的數(shù)量指標制定席位分配方案的原則是使它們的盡可能的小。3建模若A、B兩方已占有席位數(shù)為用相對不公平值討論當席位增加1個時，應該給A還是B方。不失一般性，有下面三種情形。情形1說明即使給A單位增加1席，仍對A不公平，所增這一席必須給A單位。情形2說明當對A不公平時，給A單位增加1席，對B又不公平。計算對B的相對不公平值情形3說明當對A不公平時，給B單位增加1席，對A不公平。計算對A的相對不公平值則這一席位給A單位，否則給B單位。結(jié)論：當（*）成立時，增加的一個席位應分配給A單位，反之，應分配給B單位。記則增加的一個席位應分配給Q值較大的一方。這樣的分配席位的方法稱為Q值方法。若A、B兩方已占有席位數(shù)為4推廣有m方分配席位的情況設方人數(shù)為，已占有個席位，當總席位增加1席時，計算則1席應分給Q值最大的一方。從開始，即每方至少應得到以1席，（如果有一方1席也分不到，則把它排除在外。）5舉例甲、乙、丙三系各有人數(shù)103，63，34，有21個席位，如何分配？按Q值方法：甲1乙1丙1456789101112131415161718192021甲：11，乙：6，丙：4練習：學校共1000學生，235人住在A樓，333人住在B樓，432住在C樓。學生要組織一個10人委員會，試用慣例分配方法，d’Hondt方法和Q值方法分配各樓的委員數(shù)，并比較結(jié)果。思考題：現(xiàn)有外形相同的１2個球，其中有一個的重量與其他11個不同。請用一架天平稱三次，將那個不同的球找出來。d’Hondt方法有k個單位，每單位的人數(shù)為pi

，總席位數(shù)為n。做法：用自然數(shù)1,2,3,…分別除以每單位的人數(shù)，從所得的數(shù)中由大到小取前n個，（這n個數(shù)來自各個單位人數(shù)用自然數(shù)相除的結(jié)果），這n個數(shù)中哪個單位有幾個所分席位就為幾個。進一步的討論Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？席位分配的理想化準則已知:m方人數(shù)分別為

p1,p2,…,pm,記總?cè)藬?shù)為P=p1+p2+…+pm,待分配的總席位為N。設理想情況下m方分配的席位分別為n1,n2,…,nm(自然應有n1+n2+…+nm=N)，記qi=Npi/P,i=1,2,…,m,ni應是N和p1,…,pm

的函數(shù)，即ni

=ni(N,p1,…,pm)若qi

均為整數(shù)，顯然應ni=qi

qi=Npi/P不全為整數(shù)時，ni

應滿足的準則：記[qi]–=floor(qi)~向

qi方向取整；[qi]+=ceil(qi)~向

qi方向取整.1)[qi]–

ni

[qi]+(i=1,2,…,m),2)ni

(N,p1,…,pm)

ni

(N+1,p1,…,pm)(i=1,2,…,m)

即ni必取[qi]–,[qi]+之一即當總席位增加時，ni不應減少“比例加慣例”方法滿足1），但不滿足2）Q值方法滿足2）,但不滿足1）。令人遺憾！問題在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過大半，計數(shù)器讀數(shù)為4450，問剩下的一段還能否錄下1小時的節(jié)目？2.2

錄像機計數(shù)器的用途經(jīng)試驗，一盤標明180分鐘的錄像帶從頭走到尾，時間用了184分，計數(shù)器讀數(shù)從0000變到6061。錄像機計數(shù)器的工作原理0000左輪盤右輪盤磁頭計數(shù)器錄像帶錄像帶運動方向問題背景要求不僅回答問題，而且建立計數(shù)器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過時間的關(guān)系。思考計數(shù)器讀數(shù)是均勻增長的嗎？主動輪壓輪0000左輪盤右輪盤磁頭計數(shù)器錄像帶錄像帶運動方向錄像帶運動右輪盤半徑增大右輪轉(zhuǎn)速不是常數(shù)錄像帶運動速度是常數(shù)計數(shù)器讀數(shù)增長變慢問題分析觀察計數(shù)器讀數(shù)增長越來越慢！模型假設

錄像帶的運動速度是常數(shù)

v

；

計數(shù)器讀數(shù)

n與右輪轉(zhuǎn)數(shù)

m成正比，記

m=kn；

錄像帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù)

w；

空右輪盤半徑記作r

；

時間

t=0時讀數(shù)n=0.建模目的建立時間t與讀數(shù)n之間的關(guān)系（設v,k,w,r為已知參數(shù)）模型建立建立t與n的函數(shù)關(guān)系有多種方法1.右輪盤轉(zhuǎn)第

i圈的半徑為r+wi,

m圈的總長度等于錄像帶在時間t內(nèi)移動的長度vt,所以2.考察右輪盤面積的變化，等于錄像帶厚度乘以轉(zhuǎn)過的長度，即3.考察t到t+dt錄像帶在右輪盤纏繞的長度，有模型建立思考13種建模方法得到同一結(jié)果但仔細推算會發(fā)現(xiàn)稍有差別，請解釋。模型中有待定參數(shù)一種確定參數(shù)的辦法是測量或調(diào)查，請設計測量方法。思考2模型求解參數(shù)估計另一種確定參數(shù)的方法——測試分析將模型改記作只需估計a,b理論上，已知t=184,n=6061,

再有一組(t,n)數(shù)據(jù)即可。實際上，由于測試有誤差，最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合現(xiàn)有一批測試數(shù)據(jù)：

t020406080n00001141201927603413

t

100120140160184n40044545505155256061用最小二乘法可得用最小二乘法模型檢驗應該另外測試一批數(shù)據(jù)檢驗模型：模型應用回答提出的問題：由模型算得n=4450時t=116.4分，剩下的錄像帶能錄184-116.4=67.6分鐘的節(jié)目。揭示了“t

與n之間呈二次函數(shù)關(guān)系”這一普遍規(guī)律，當錄像帶的狀態(tài)改變時，只需重新估計a,b

即可。2d墻室內(nèi)T1室外T2dd墻l室內(nèi)T1室外T2問題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失假設熱量傳播只有傳導，沒有對流T1,T2不變，熱傳導過程處于穩(wěn)態(tài)材料均勻，熱傳導系數(shù)為常數(shù)建模熱傳導定律Q1Q2Q~單位時間單位面積傳導的熱量

T~溫差,d~材料厚度,k~熱傳導系數(shù)2.3

雙層玻璃窗的功效dd墻l室內(nèi)T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導的熱量Q1Ta~內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb~外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度k1~玻璃的熱傳導系數(shù)k2~空氣的熱傳導系數(shù)建模記單層玻璃窗傳導的熱量Q22d墻室內(nèi)T1室外T2Q2雙層與單層窗傳導的熱量之比k1=410-3~810-3,k2=2.510-4,

k1/k2=16~32對Q1比Q2的減少量作最保守的估計，取k1/k2=16建模hQ1/Q24200.060.030.026模型應用取h=l/d=4,則Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失。結(jié)果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導系數(shù)k2,而這要求空氣非常干燥、不流通。房間通過天花板、墻壁……損失的熱量更多。雙層窗的功效不會如此之大2.4

汽車剎車距離美國的某些司機培訓課程中的駕駛規(guī)則：背景與問題

正常駕駛條件下,車速每增10英里/小時，后面與前車的距離應增一個車身的長度。

實現(xiàn)這個規(guī)則的簡便辦法是“2秒準則”：

后車司機從前車經(jīng)過某一標志開始默數(shù)

2秒鐘后到達同一標志，而不管車速如何判斷“2秒準則”與“車身”規(guī)則是否一樣；建立數(shù)學模型，尋求更好的駕駛規(guī)則。問題分析常識：剎車距離與車速有關(guān)10英里/小時(

16公里/小時)車速下2秒鐘行駛29英尺(

9米)>>車身的平均長度15英尺(=4.6米)“2秒準則”與“10英里/小時加一車身”規(guī)則不同剎車距離反應時間司機狀況制動系統(tǒng)靈活性制動器作用力、車重、車速、道路、氣候……最大制動力與車質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運動。車速常數(shù)反應距離制動距離常數(shù)假設與建模1.剎車距離d等于反應距離d1與制動距離d2之和2.反應距離d1與車速v成正比3.剎車時使用最大制動力F，F(xiàn)作功等于汽車動能的改變;Fd2=mv2/2F

mt1為反應時間且F與車的質(zhì)量m成正比

反應時間t1的經(jīng)驗估計值為0.75秒?yún)?shù)估計

利用交通部門提供的一組實際數(shù)據(jù)擬合k模型最小二乘法

k=0.06計算剎車距離、剎車時間車速(英里/小時)(英尺/秒)實際剎車距離（英尺）計算剎車距離（英尺）剎車時間（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3“2秒準則”應修正為“t秒準則”模型車速(英里/小時)剎車時間（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3車速（英里/小時）0~1010~4040~6060~80t（秒）1234

一個雨天，你有件急事需要從家中到學校去，學校離家不遠，僅一公里，況且事情緊急，你來不及花時間去翻找雨具，決定碰一下運氣，頂著雨去學校。假設剛剛出發(fā)雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你將被大雨淋濕。一個似乎很簡單的事情是你應該在雨中盡可能地快走，以減少雨淋的時間。但如果考慮到降雨方向的變化，在全部距離上盡力地快跑不一定是最好的策略。試建立數(shù)學模型來探討如何在雨中行走才能減少淋雨的程度。2.5雨中行走問題1建模準備建模目標：在給定的降雨條件下，設計一個雨中行走的策略，使得你被雨水淋濕的程度最小。主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（風），路程的遠近，行走的速度2）降雨大小用降雨強度厘米/時來描述，降雨強度指單位時間平面上的降下水的厚度。在這里可視其為一常量。3）風速保持不變。4）你一定常的速度米/秒跑完全程米。2模型假設及符號說明1）把人體視為長方體，身高米，寬度米，厚度米。淋雨總量用升來記。3模型建立與計算1）不考慮雨的方向，此時，你的前后左右和上方都將淋雨。淋雨的面積雨中行走的時間降雨強度模型中結(jié)論，淋雨量與速度成反比。這也驗證了盡可能快跑能減少淋雨量。從而可以計算被淋的雨水的總量為2.041（升）。經(jīng)仔細分析，可知你在雨中只跑了2分47秒，但被淋了2升的雨水，大約有4酒瓶的水量。這是不可思議的。表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合實際。原因：不考慮降雨的方向的假設，使問題過于簡化。2）考慮降雨方向。人前進的方向若記雨滴下落速度為（米/秒）雨滴的密度為雨滴下落的反方向表示在一定的時刻在單位體積的空間內(nèi)，由雨滴所占的空間的比例數(shù)，也稱為降雨強度系數(shù)。所以，因為考慮了降雨的方向，淋濕的部位只有頂部和前面。分兩部分計算淋雨量。頂部的淋雨量前表面淋雨量總淋雨量（基本模型）可以看出：淋雨量與降雨的方向和行走的速度有關(guān)。問題轉(zhuǎn)化為給定，如何選擇使得最小。情形1結(jié)果表明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當速度盡可能大時淋雨量達到最小。假設你以6米/秒的速度在雨中猛跑，則計算得情形2結(jié)果表明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當速度盡可能大時淋雨量達到最小。假設你以6米/秒的速度在雨中猛跑，則計算得情形3

此時，雨滴將從后面向你身上落下。出現(xiàn)這個矛盾的原因：我們給出的基本模型是針對雨從你的前面落到身上情形。因此，對于這種情況要另行討論。當行走速度慢于雨滴的水平運動速度，即這時，雨滴將淋在背上，而淋在背上的雨水量是淋雨總量為再次代如數(shù)據(jù)，得結(jié)果表明：當行走速度等于雨滴下落的水平速度時，淋雨量最小，僅僅被頭頂上的雨水淋濕了。若雨滴是以的角度落下，即雨滴以的角從背后落下，你應該以此時，淋雨總量為這意味著你剛好跟著雨滴前進，前后都沒淋雨。當行走速度快于雨滴的水平運動速度，即你不斷地追趕雨滴，雨水將淋濕你的前胸。被淋得雨量是淋雨總量為4結(jié)論若雨是迎著你前進的方向向你落下，這時的策略很簡單，應以最大的速度向前跑；若雨是從你的背后落下，你應控制你在雨中的行走速度，讓它剛好等于落雨速度的水平分量。5注意

關(guān)于模型的檢驗，請大家觀察、體會并驗證。雨中行走問題的建模過程又一次使我們看到模型假設的重要性，模型的階段適應性。2.5

劃艇比賽的成績賽艇2000米成績t(分)種類1234平均單人7.167.257.287.177.21雙人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84艇長l

艇寬b(米)(米)l/b7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.0空艇重w0(kg)

漿手數(shù)n

16.313.618.114.7對四種賽艇（單人、雙人、四人、八人）4次國際大賽冠軍的成績進行比較，發(fā)現(xiàn)與漿手數(shù)有某種關(guān)系。試建立數(shù)學模型揭示這種關(guān)系。問題準備調(diào)查賽艇的尺寸和重量l/b,w0/n

基本不變問題分析

前進阻力~浸沒部分與水的摩擦力

前進動力~漿手的劃漿功率分析賽艇速度與漿手數(shù)量之間的關(guān)系賽艇速度由前進動力和前進阻力決定劃漿功率

賽艇速度賽艇速度前進動力前進阻力漿手數(shù)量艇重浸沒面積

對漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定

運用合適的物理定律建立模型模型假設1）艇形狀相同(l/b為常數(shù)),w0與n成正比2）v是常數(shù)，阻力f與sv2成正比符號：艇速v,浸沒面積

s,浸沒體積A,空艇重w0,阻力f,漿手數(shù)n,漿手功率

p,漿手體重

w,艇重W艇的靜態(tài)特性艇的動態(tài)特性3）w相同，p不變，p與w成正比漿手的特征模型建立f

sv2p

wv

(n/s)1/3s1/2

A1/3A

W(=w0+nw)

ns

n2/3v

n1/9比賽成績

t

n

–1/9npfv模型檢驗n

t17.2126.8846.3285.84最小二乘法利用4次國際大賽冠軍的平均成績對模型

t

n

–1/9進行檢驗tn12487.216.886.325.84????與模型巧合！問題的提出：四足動物的軀干的長度(不含頭尾)與它的體重有什么關(guān)系？這個問題有一定的實際意義。比如，在生豬收購站或屠宰場工作的人們，往往希望能從生豬的身長估計出它的體重。動物的生理構(gòu)造因種類不同而異，如果陷入對生物學復雜生理結(jié)構(gòu)的研究，將很難得到滿足上述目的有使用價值的模型．這里我們僅在十分粗賂的假設基礎(chǔ)上，利用類比方法，借助力學的某些結(jié)果，建立動物身長和體重間的比例關(guān)系。2.6

動物的身長和體重1、問題的分析與假設

把四足動物的軀干看作圓柱體，長度l、直徑d、斷面面積s如下圖所示。將這種圓柱體的軀干類比作—根支撐在四肢上的彈性梁，以便利用彈性力學的一些研究結(jié)果。2、模型的建立：原理：動物在自身體重f作用下軀干的最大下垂度b，即梁的最大彎曲，根據(jù)對彈性粱的研究，有：進一步分析b/l的意義……3、生物學角度分析b/lb/l生理學意義：

b/l是動物軀干的相對下垂度。b/l太大，四肢將無法支撐；b/l太小，四肢的材料和尺寸超過了支撐軀干的需要，無疑是一種浪費。生物學進化角度：經(jīng)過長期進化，對每一種動物而言b/l已經(jīng)達到其最合適的數(shù)值，即b/l應視為與這種動物的尺寸無關(guān)的常數(shù)。4、結(jié)論（1）關(guān)系式：（前面分析）（2）另一些比例關(guān)系：（3）最終結(jié)論：

即體重與軀干長度的4次方戊正比。這樣，對于某一種四足動物比如生豬，在根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)確定出上述比例系數(shù)以后，就能從軀干長度估計出動物的體重了。討論題：

大小包裝問題

在超市購物時你注意到大包裝商品比小包裝商品便宜這種現(xiàn)象嗎？比如潔銀牙膏50g裝的每支1.50元，120g裝的每支3.00元，二者單位重量的價格比是1.2:1，試用比例方法構(gòu)造模型解釋這種現(xiàn)象。（1）分析商品價格C與商品重量w的關(guān)系。（2）給出單位重量價格c與w的關(guān)系，并解釋其實際意義。提示：價格由生產(chǎn)成本，包裝成本和其他成本等決定，這些成本中有的與重量w成正比有的與表面積成正比，還有與w無關(guān)的因素。提要：決定商品價格的主要因素：生產(chǎn)成本、包裝成本、其他成本。單價隨重量增加而減少單價的減少隨重量增加逐漸降低

問題:

我們每個人都有跑步的經(jīng)歷,有人會因此而疲憊不堪,但有誰會想:怎么跑步能使我們消耗的能量最少?2.7跑步與走路時如何節(jié)省能量

假設:(1)跑步所花費的時間分成兩部分:第一部分為兩條腿同時離地的時間；第二部分為一條腿或兩條腿同時落地的時間。于是人體重心運動軌跡如圖。根據(jù)經(jīng)驗：ABCdhab（2）假設跑步是勻速的，設為，則跑步是消耗的總能量為2.8、棋子顏色的變化1、問題：任意拿出黑白兩種顏色的棋子共8個，排成如下圖所示的圓圓，然后在兩顆顏色相同的棋子中間放一顆黑色棋子，在兩顏色不同的棋子中間放一顆白色棋子，放完后撤掉原來所放的棋子。再重復以上的過程，問這樣重復進行下去各棋子的顏色會怎樣變化呢?2、最終結(jié)論是什么？

可完全用數(shù)學的推理方法說明最多經(jīng)過8次變換，各棋子的顏色都會變黑。3、分析注意：規(guī)則是兩同色的棋子中間加黑色棋子，兩異色的棋子中間加白色棋子，即黑黑得黑，白白得黑，黑白得白，與有理數(shù)符號規(guī)則類似。方法：用+1表爾黑色，用－l表示白色，開始擺的八顆棋子記為a1，a2，...，a8，并且ak＝+1或-1，

k＝1，2，…，8，下一次在al與a2中間擺的棋子的顏色由a1和a2是同色還是異色而定。類似的akak+1正好給出了所放棋子的顏色。4、符號運算規(guī)則規(guī)則：黑黑得黑，白白得黑，黑白得白引入記號⊙，則：

(＋1)⊙(＋1)＝(＋１)^２=＋１

(－1)⊙(－1)＝(－１)^２=＋１

(＋1)⊙(－1)＝－１5、各次顏色的確定

可見：最多經(jīng)過8次變換以后，各個數(shù)都變成了+1，這意味著所有棋子都是黑色，且以后重復上述過程，顏色也就不再變化了。問題：要用40塊方形瓷磚鋪如右圖所示形狀的地面,但當時市場上只有長方形瓷磚,每塊大小等于方形的兩塊。一人買了20塊長方形瓷磚,試著鋪地面,結(jié)果弄來弄去始終無法鋪好。試問是這人的功夫不到家還是這個問題根本無解？2.9鋪瓷磚問題首先必須分析是否可能用20塊長方形瓷磚鋪成如圖所示的地面。為此，在圖上黑白相間地染色。發(fā)現(xiàn)共有19個白格和21個黑格。鋪上19塊后，總要剩下2個黑格無法鋪，因為一塊長方形瓷磚無法蓋住兩個黑格。唯一的解決辦法就是把最后一塊分兩為兩塊。這種方法在數(shù)學上稱為奇偶校驗，即可認為涂黑格子是偶數(shù)，涂白格子的是奇數(shù)，同色的格子有相同的奇偶性。一塊長方形瓷磚只能覆蓋奇偶性相反的一對方格，只有在剩下的兩個方格具有相反的奇偶性時，才可能把最后一塊長方形瓷磚鋪上。顯然這該問題是無解的。即任何改變鋪設方式的努力都是徒勞。

問題：哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。18世紀在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個島和河岸聯(lián)結(jié)起來，如圖所示。人們閑暇時經(jīng)常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最后又回到原來的位置。這就是著名七橋問題。ABCD2.10

哥尼斯堡七橋問題這個問題看起來很簡單有很有趣的問題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到。1736年，有人帶著這個問題找到了當時的大數(shù)學家歐拉。歐拉以深邃的洞察力很快證明了這樣的走法不存在。歐拉是這樣解決問題的：既然陸地是橋梁的連接地點，不妨把圖中被河隔開的陸地看成A、B、C、D四個點，7座橋表示成7條連接這4個點的線，如圖所示。問題可以轉(zhuǎn)化成從四個點中的任意一個出發(fā)，每條線只能走一次，最后回到這一點。即能不能用一筆就把這個圖形畫出來。除起點和終點處，一筆畫中出現(xiàn)在交點處的邊總是一進一出的，故交點的度數(shù)總和為偶數(shù)。即從每一點出發(fā)的線的條數(shù)只能是偶數(shù)，而圖中每一點處都只有奇數(shù)條線，故不可能！一般結(jié)論：(1)連接奇數(shù)個橋的陸地僅有一個或超過兩個以上，不能實現(xiàn)一筆畫；(2)連接奇數(shù)個橋的陸地僅有兩個時，則從兩者任一陸地出發(fā)，可以實現(xiàn)一筆畫而停在另一陸地(3)每個陸地都連接有偶數(shù)個橋時，則從任一陸地出發(fā)都能實現(xiàn)一筆畫，而回到出發(fā)點。小結(jié):歐拉把這個問題首先簡化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個點，而把七座橋看作這四個點之間的連線。那么這個問題就簡化成，經(jīng)過進一步的分析，歐拉得出結(jié)論——不可能每座橋都走一遍，最后回到原來的位置。并且給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應具有的條件。問題：均勻正方體骰子的六個面分別刻有1,2,3,4,5,6的字樣,將一對骰子拋25次決定勝負。問將賭注押在“至少出現(xiàn)一次雙六”或“完全不出現(xiàn)雙六”的哪一種上面有利？2.11

賭博問題從數(shù)學上看是確定哪一種事件發(fā)生的概率大。記A為“至少出現(xiàn)一個雙六”這一事件，則為“完全不出現(xiàn)雙六”事件。故有記Ai為第i次拋擲這對骰子時出現(xiàn)雙六這一事件，則一對骰子拋擲一次可視為1次隨機實驗，拋擲25次可視為25次獨立隨機實驗，所以問題甲有物品X,乙有物品Y,雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分。研究實物交換方案。yxp.用x,y分別表示甲(乙)占有X,Y的數(shù)量。設交換前甲占有X的數(shù)量為x0,乙占有Y的數(shù)量為y0,作圖：若不考慮雙方對X,Y的偏愛，則矩形內(nèi)任一點p(x,y)都是一種交換方案：甲占有(x,y)，乙占有(x0-x,y0-y)xyyo0xo??2.12

實物交換xyyoy1y20x1x2xop1p2..甲的無差別曲線分析與建模如果甲占有(x1,y1)與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度，即p1,p2對甲是無差別的，MN將所有與p1,p2無差別的點連接起來，得到一條無差別曲線MN,線上各點的滿意度相同,線的形狀反映對X,Y的偏愛程度，N1M1p3(x3,y3).比MN各點滿意度更高的點如p3，在另一條無差別曲線M1N1上。于是形成一族無差別曲線（無數(shù)條）。p1.p2.c1

y0xf(x,y)=c1無差別曲線族的性質(zhì)：

單調(diào)減(x增加,y減小)

下凸(凸向原點)

互不相交在p1點占有x少、y多，寧愿以較多的

y換取較少的x;在p2點占有y少、x多，就要以較多的

x換取較少的y。甲的無差別曲線族記作f(x,y)=c1c1~滿意度（f~等滿意度曲線）xyOg(x,y)=c2c2

乙的無差別曲線族g(x,y)=c2具有相同性質(zhì)（形狀可以不同）

雙方的交換路徑xyyoOxof=c1O‘x’y’g=c2乙的無差別曲線族g=c2

(坐標系x’O’y’,且反向）甲的無差別曲線族f=c1ABp

P’

雙方滿意的交換方案必在AB（交換路徑）上因為在AB外的任一點p’,(雙方)滿意度低于AB上的點p兩族曲線切點連線記作ABABp

交換方案的進一步確定交換方案~交換后甲的占有量(x,y)0

x

x0,0

y

y0矩形內(nèi)任一點交換路徑AB雙方的無差別曲線族等價交換原則X,Y用貨幣衡量其價值，設交換前x0,y0價值相同，則等價交換原則下交換路徑為CD(x0,0),(0,y0)兩點的連線CDAB與CD的交點p設X單價a,Y單價b,則等價交換下ax+by=s(s=ax0=by0)yyo0xo..x2.13

量綱分析與無量綱化物理量的量綱長度

l的量綱記L=[l]質(zhì)量

m的量綱記M=[m]時間t

的量綱記T=[t]動力學中基本量綱

L,M,T速度v的量綱[v]=LT-1導出量綱加速度a

的量綱[a]=LT-2力f

的量綱[f]=LMT-2引力常數(shù)

k

的量綱[k]對無量綱量

，[

]=1(=L0M0T0)2.13.1量綱齊次原則=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2量綱齊次原則等式兩端的量綱一致量綱分析~利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系例：單擺運動lmgm求擺動周期t

的表達式設物理量t,m,l,g

之間有關(guān)系式

1,

2,

3

為待定系數(shù)，

為無量綱量(1)的量綱表達式對比對x,y,z的兩組測量值x1,y1,z1

和x2,y2,z2，

p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)為什么假設這種形式設p=f(x,y,z)x,y,z的量綱單位縮小a,b,c倍p=f(x,y,z)的形式為單擺運動中t,m,l,g

的一般表達式y(tǒng)1~y4為待定常數(shù),

為無量綱量設f(q1,q2,,qm)=0

ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(

1,

2,…,

m-r)=0

與

f(q1,q2,,qm)=0

等價,F未定Pi定理(Buckingham)是與量綱單位無關(guān)的物理定律，X1,X2,

,

Xn

是基本量綱,n

m,q1,q2,

,

qm

的量綱可表為量綱矩陣記作線性齊次方程組有m-r

個基本解，記作為m-r

個相互獨立的無量綱量,且則[g]=LT-2,[l]=L,[

]=L-3M,[v]=LT-1,,[s]=L2,[f]=LMT-2量綱分析示例：波浪對航船的阻力航船阻力f航船速度v,船體尺寸l,浸沒面積s,海水密度

,重力加速度g。m=6,n=3Ay=0有m-r=3個基本解rankA=3rankA=rAy=0有m-r個基本解ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T

s=1,2,…,m-rm-r

個無量綱量

F(

1,

2,

3)=0與

(g,l,,v,s,f)=0等價為得到阻力f的顯式表達式F=0

未定F(

1,

2,…,

m-r)=0與

f(q1,q2,,qm)=0等價量綱分析法的評注

物理量的選取

基本量綱的選取

基本解的構(gòu)造

結(jié)果的局限性

(…)=0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的基本量綱個數(shù)n;選哪些基本量綱有目的地構(gòu)造Ay=0的基本解

方法的普適性函數(shù)F和無量綱量未定不需要特定的專業(yè)知識2.12.2量綱分析在物理模擬中的應用例:航船阻力的物理模擬通過航船模型確定原型船所受阻力~模型船的參數(shù)(均已知)可得原型船所受阻力已知模型船所受阻力~原型船的參數(shù)(f1未知，