全真模擬卷二（教師版）-2023年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（上海）

全真模擬卷二(教師版)

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題(本大題共6題，每題4分，滿分24分)

1.下列命題是真命題的是()

A.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形；B.對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；

C.對角線垂直的四邊形是菱形；D.對角線相等的四邊形是矩形.

【答案】B

【分析】根據(jù)菱形，矩形及正方形的判定定理逐項分析即可.

【詳解】解：A、對角線相等，互相垂直且互相平分的平行四邊形是正方形，故該選項是假命題，不符合

題意；

B、對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，故該選項是真命題，符合題意；

C、對角線互相垂直且互相平分的四邊形是菱形，故該選項是假命題，不符合題意；

D、對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，故該選項是假命題，不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了真假命題的判定，菱形，矩形及正方形的判定定理，掌握菱形，矩形及正方形的判定

定理是解題的關(guān)鍵.

2.拋物線y=-2(x-,〃y-〃(m,〃是常數(shù))的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.{m,-n)B.(-m,n)C.(m,n)D.(→w,-n)

【答案】A

【分析】已知拋物線的頂點(diǎn)式，可直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】解：由y=-2(x-"N-〃，根據(jù)頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)可知，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m,f),

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查將解析式化為頂點(diǎn)式y(tǒng)="(x-〃F+4,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(〃,4),對稱軸是直線x=〃.

3.下列方程中，有實(shí)數(shù)根的方程是()

,?XX-3-X-3x-3?I------

A.X2+16=OB.=-------C.------=--—D.Jx-2=-1.

x-3XX3

【答案】B

【分析】利用偶次方的非負(fù)性可對A選項進(jìn)行判斷；通過解分式方程可對B選項、C選項進(jìn)行判斷；通過

算術(shù)平方根的非負(fù)性可對D選項進(jìn)行判斷.

【詳解】解：A、Λ-2≥0,Λ2+16>0,方程f+16=0沒有實(shí)數(shù)解，故此選項不符合題意；；

XY—333

B、-?=-,去分母，得f=χ2-6jv+9,解得戶三,經(jīng)檢驗，A=是原分式方程的解，所以原分式方程

x-3X22

3

有實(shí)數(shù)解4］，故此選項符合題意；

C、Ξ∑3=Ξ∑2I去分母，得3X-9=∕-3X,解得：X∕=X2=3,經(jīng)檢驗，43不是原分式方程的根，是增根，

X3

故原分式方程無解，故此選項不符合題意；

D、?.?√Γ工κ）,.??√Γ二=」無實(shí)數(shù)根，故此選項不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了偶次方的非負(fù)性，算術(shù)平方根的非負(fù)性，解分式方程，解分式方程的基本思想是把分

式方程轉(zhuǎn)化為整式方程來解，在變形時往往會產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗根.

4.如果x:y=l:2,那么下列各式不一定成立的是（）

x÷l_2

D.7+T^3

【答案】D

【分析】根據(jù)x：y=i：2,設(shè)x=hy=2k,然后代入四個選項逐項驗證即可得到答案.

【詳解】解：x:y=l:2,

設(shè)X=%,y=2k,貝IJ

A、0===。，式子運(yùn)算正確，不符合題意；

y2k2k2

x—vk—2k—kI

B、—===式子運(yùn)算正確，不符合題意；

y2κ2κ2

2χ2χk

C、-==式子運(yùn)算正確，不符合題意；

y2κ

V-L1L-L12

D、--=τ-式子運(yùn)算錯誤，符合題意；

y+12rκ+?3

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查比例性質(zhì)和分式的基本性質(zhì)，熟練掌握此類題型的解題方法，根據(jù)比例設(shè)出各個未知數(shù)

是解決問題的關(guān)鍵.

5.如果從1、2、3這三個數(shù)字中任意選取兩個數(shù)字，組成一個兩位數(shù)，那么這個兩位數(shù)是素數(shù)的概率等

于（）

A.-B.—C.—D.一

2346

【答案】A

【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與這個兩位數(shù)是素數(shù)的情況，再

利用概率公式求解即可求得

【詳解】畫樹狀圖得:

???共有6種等可能的結(jié)果，這個兩位數(shù)是素數(shù)的有13,23,31共3種情況，

這個兩位數(shù)是素數(shù)的概率為：；=

62

故選A

【點(diǎn)睛】本題考核知識點(diǎn)：概率.解題關(guān)鍵點(diǎn)：根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果

與這個兩位數(shù)是素數(shù)的情況.

6.下列二次根式中，與G是同類二次根式的是（）

A.B.y∣2aC.?∣4ciD.~j4+a

【答案】C

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)把各個二次根式化簡，根據(jù)同類二次根式的定義判斷即可.

【詳解】A.√7=Hi與右不是同類二次根式；

B.信與右不是同類二次根式；

C.屈=2右勺而是同類二次根式；

D.與&不是同類二次根式.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了同類二次根式的定義，一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被

開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式.

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.已知線段C是線段〃和b的比例中項，且α=4,b=9,那么C=

【答案】6

【分析】根據(jù)線段比例中項、平方根的性質(zhì)計算，即可得到答案.

【詳解】V線段C是線段a和b的比例中項，

2

?>?c=ab9

?「α=4,。=9,

?*?c2=ab=36,

:?c=6或C=-6(不符合題意)，

?*?c=6,

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段、平方根的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握比例中項的含義.

8.(2x)3√÷(l6x>>2)=.

【答案】→2y

【分析】根據(jù)積的乘方、同底數(shù)基的除法可以解答本題；

【詳解】(2x)3yj÷(16Λy2)

=8rj?y,÷(16x∕)

故答案為：^χ2y.

【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確整式混合運(yùn)算的計算方法；

9.如圖，扇形Q4。的弧A￡>與BC相切于點(diǎn)P,若No=N8=NC=90。，AB=2,8=1,則圖中陰影

面積是.(結(jié)果保留T)

【分析】連接0P，作AEJ"OP,DFA.OP,首先證明出四邊形43PE和四邊形CDEP是矩形，得到

PE=AB=2,PF=CD=],然后證明出VoAE絲V。。尸(AAS),得至IJAE=OF=r-1,DF=OE=-2,

然后根據(jù)勾股定理列方程求出r=5,然后利用割補(bǔ)法求解即可.

【詳解】連接。P,作A￡_L0P,DF±OP

O

B

PC

?.?扇形Qw的弧AO與BC相切于點(diǎn)P

：.OP.LBC

VAElOP1DFLOP.Zβ=NC=900

???四邊形ABPE和四邊形CDFP是矩形

：?PE=AB=2,PF=CD=I

???設(shè)扇形OAZ)的半徑為一

ΛOA=OP=r1OE=「2,OF=r-?

,.,NAoD=90。，

??.ZAOE+ZDOF=90°

?：AElOP

：.ZDAE+ZAOE=90°

???ZOAE=DOF

又YZAEO=NoFo=90。，OA=OD

：.VQAEgVoO尸(AAS)

：.AE=OF=r-lfDF=0E=r-2

J在RtΔOAEψ,OA2=AE2+OE2

.?r2=(r-l)2+(—2)2

Λ(r-l)(r-5)=0

?*??i=1,弓=5

，當(dāng)E時,r-l=0,r-2=-l<0,不合題意

Λr=5

?BP=AE=r-1=4,PC=DF=Y-2=3

二?陰影面積為S四邊形"BP+S四邊形0PCD-S扇形OAQ

=；x(2+5)x4+；x(l+5)x3-90O×^-×52

360。

?25

23-----π

4

故答案為：23-丁.

【點(diǎn)睛】此題考查了求陰影部分面積，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確作

Hl輔助線構(gòu)造全等三角形.

10.若正多邊形的一個外角為30。，則這個多邊形為正_____邊形.

【答案】12.

【詳解】試題分析：正多邊形的一個外角等于30。，而多邊形的外角和為360。，則：多邊形的邊數(shù)

=360°÷30°=12,

考點(diǎn)：多邊形內(nèi)角與外角

11.在RtAABC中，ZC=90o,BC的垂直平分線與AB、BC分別相交于點(diǎn)M、N,如果AC=6,那么MN

【答案】3

【分析】先判定出MN是AABC的中位線，然后根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半

解答.

【詳解】解:如圖，

；BC的垂直平分線與A8、8C分別相交于點(diǎn)歷、N,ZC=90o,

.'.MN∕∕AC,BN=NC,

,MN是AABC的中位線，

VAC=6,

,MN=TAC=TX6=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理、線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握三角形的中位線平行于第三

邊并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀.

12.如圖，在二ABC中，點(diǎn)。、E分別在邊AB、AC上，且BD=CE,延長EZ）交CB的延長線于F,若

AB:AC=3:2,DF=A,則EF=.

B

【答案】6

ΛDFMFMFFARFF

【分析】證明ABCS一EMC,-BDF*,得就=正，而=而，由如CE得前=而，從

而即可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)E作EM〃AB交尸C于點(diǎn)

EMAB1

?ZA=/MEC,ZABC=/EMC,/DBF=NEMF,ZBDF=NMEF,

??ABCs-EMC,BDFS-MEF,

.ABEMEMEF

Λ^?C~~EC1~BD~~DF'

：BD=CE,

.ABEF

*AC^DF,

：AB:AC=3:2,DF=4,

.3EF

?—=-----,

24

?.EF=6.

故答案為6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及相似三角形的判定及性質(zhì)，構(gòu)造輔助線證明三角形相似得

ABEMEM=黑是解題的關(guān)鍵.

AC^^C,BDDF

13.定義：在平面直角坐標(biāo)系χQy中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，對于任意兩點(diǎn)P(XI,%)、Q(%,M)稱IXl-Wl+∣y-%l

的值為P、Q兩點(diǎn)的“直角距離直線y=-x+5與坐標(biāo)軸交于4、B兩點(diǎn)，。為線段A8上與點(diǎn)A、B不重

合的一點(diǎn)，那么。、Q兩點(diǎn)的“直角距離”是.

【答案】5

【分析】根據(jù)“直角距離”的概念，設(shè)。(加-加+5),判斷出。點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的正負(fù)性，計算即得結(jié)果;

【詳解】解:由題意知0(0,0),設(shè)。(加一機(jī)+5),

??.0、Q兩點(diǎn)的“直角距離”是：|加一0|+|-％+5—0∣=W]+∣τn+5∣,

將X=O代入y=-x+5得，y=0+5=5,故4(0,5)；

將y=O代入y=-x+5得，0=—x+5,解得：x=5,故B(5,0)；

為線段AB上與點(diǎn)4、8不重合的一點(diǎn),

m>0,-m+5>0

∣w∣+∣-wt+5∣=∕M-m+5=5

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握題目中的“直角距離''的概念，結(jié)合一次函數(shù)知識進(jìn)行解題是

關(guān)鍵.

14.如圖，四個白色全等直角三角形與四個黑色全等三角形按如所示方式擺放成“風(fēng)車”型，且黑色三角形

的頂點(diǎn)區(qū)F、G、H分別在白色直角三角形的斜邊上，已知NABo=90。，OB=3,AB=4,若點(diǎn)A、E、D

【答案】白45捌白8

3737

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，得出點(diǎn)A、B、C、。的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法分別求出直線4。，直線。C

的解析式，聯(lián)立解方程組可得點(diǎn)E的坐標(biāo)，即可求解.

VZABO=90o,OB=3,AB=4,?ABO^Δ,CDO,

：.OD=OB=3,CD=AB=4,

.?.點(diǎn)A(-4,-3),B(0,-3),C(3,-4),D(3,0),

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,

-4?+?=-3

3k+b=0'解得'

???直線AD的解析式為y=；3Xg9

設(shè)直線。。的解析式為廣皿，

把C(3,?4)代入,

4

：?3Z72=-4,解得m~-~，

4

?,?直線OC的解析式為產(chǎn)-1X,

3927

y=-x——X=一

聯(lián)立7/47，解得37

36，

產(chǎn)亍J=--

，心一)，

3737

，OE=(―)2+(-)2=—

373737

故答案為：2452.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，建立平面直角坐標(biāo)

系是解題的關(guān)鍵.

15.在方程f+丁丁-4x+4=0中，如果設(shè)y=χ2-4x,那么原方程可化為關(guān)于y的整式方程是

ΛΓ-4x

【答案】/+4y+3=0

【分析】先把方程整理出含有χ2-4x的形式，然后換成y再去分母即可得解.

3I

【詳解】方程X2+?-一?+4=0可變形為x2-4x÷÷4=0,

x--4xx--4x

3

因為y=χ2-4χ,所以y+-+4=0,

y

整理得，y2+4),+3=0

16.方程組X^v的解為________.

[χ-y=ι

X=2

【答案】

Iy=I1

【分析】先求出χ+y=3,再利用加減消元法進(jìn)行求解χ,y即可.

√-r=3Φ

【詳解】解:

x-y=l(2)

由①得：(X-y)(χ+y)=3③

將②代入③得：χ+y=3④

②+④得：2x=4,貝IJX=2

將χ=2代入④得，y=l

X=2

所以

y=ι

?x=2

故答案為1

Iy=I

【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法.

17.如圖，過原點(diǎn)且平行于y=3x-1的直線與反比例函數(shù)y=Α(λ≠0,x>0)的圖像相交X于點(diǎn)C,過直

X

線OC上的點(diǎn)A(l,3),作ABlX軸于點(diǎn)8,交反比例函數(shù)圖像于點(diǎn)D且45=2%>,那么點(diǎn)C的坐標(biāo)為

【答案】(迫,⑸

3

【分析】由條件可求得。點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得反比例函數(shù)解析式，聯(lián)立直線與反比例函數(shù)解析式可求得。點(diǎn)

坐標(biāo).

【詳解】解：4L3),ABLt軸點(diǎn)8,

???A8=3,OB=1,

AD=ZBD,

?*?BD=1,

?￡)(1,1),

?,?點(diǎn)。在反比例函數(shù)圖象上，

.?.l=p解得仁1,

??.反比例函數(shù)解析式為y=1,

X

y=3x

聯(lián)立直線與反比例函數(shù)解析式可得1

>=一

IX

(√3[_?/?

解得X二三或^-T,

O=6[y=-√3

.?.c(冬⑸.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及，函數(shù)圖象的交點(diǎn)，聯(lián)立方程

組求交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵

18.在RtZXABC中，ZC=90°,/3=30。，AC=2,點(diǎn)。、E分別在邊8C、AB上，且DEL8C,BD=2,

將△雙沖繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至.BD∣E∣,點(diǎn)D、E分別對應(yīng)點(diǎn)A、￡二3A、R、百三點(diǎn)共線時，CD1的長為_____.

【答案】2或4##4或2

【分析】分點(diǎn)。在線段AE/上和點(diǎn)D在線段AB的延長線上,兩種情況討論，由矩形的性質(zhì)和圓的性質(zhì),

全等三角形的性質(zhì)即可可求解.

【詳解】解：如圖I,當(dāng)點(diǎn)D在線段A?上，

/N?……?央…?嚴(yán)

圖1

?.?∕ACB=90°,ZABC=30o,AC=2,

.?AB=4,BC=2√3,

:將ABDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至ABDIEI,

IDiB=DB=2,NBDE=90°,

22

：.AD∣=y]AB-D1B=√16-4=2石，

.?.AZλ=BC,且AC=Bo/,

.?.四邊形ACBD是平行四邊形，且NACB=90°,

.?.四邊形ACB。是矩形，

：.CDi=AB=4；

如圖2,當(dāng)點(diǎn)S在線段A0的延長線上，

VZACB=ZAD∕B=90o,

??.點(diǎn)A,點(diǎn)3,點(diǎn)。/,點(diǎn)。四點(diǎn)共圓，

ΛZADiC=ZABC=3O°,

AC=BDhAB=ABf

.?.RtΔABC^RtΔBAD/(HL)

：.ZDiAB=ZABC=3>O0,且Nft4C=60°,

o

ΛZCΛD∕=30=ZAD1C9

：.AC=CD1=I.

A

圖2

綜上所述：CD/=2或4.

故答案為：2或4

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾

股定理等知識，圓的性質(zhì)等知識，綜合性較強(qiáng)，利用分類討論解決問題是本題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共7題，19~22小題各10分，23、24題各12分，25題14分）

19.計算:H)+27.(5)。骨

【答案】容

【分析】先分別計算負(fù)指數(shù)、二次根式化簡、0指數(shù)、絕對值和分母有理化，再進(jìn)行加減即可.

【詳解】解:

=-2+3√3+l-1

√3-l

_3g(即)

(^-1)(√3+1)

=3也一"為

2

5√3-3

―_2-

【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練按照法則進(jìn)行計算是解題關(guān)鍵.

15-9x≤10-4x,

20.解不等式組：L-Iχ+2Λ，并將解集在數(shù)軸上表示出來.

--------->——2

I362

IlllllllIllA

-5-4-3-2-1012345

【答案】1夕<4,數(shù)軸上表示見解析

【分析】先解出每個不等式的解集，再求得它們的公共部分即為不等式組的解集，然后將解集表示在數(shù)軸

上即可.

15-9X≤10-4ΛΦ

【詳解】解：，x-1x+2XCe，

I362

解①得：忘1,

解②得：x<4,

二不等式組的解集為1%<4,

解集表示在數(shù)軸上如圖所示:

-5-4-3-2-102345

【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式組、在數(shù)軸上表示不等式的解集，正確求得不等式組的解集是解答的

關(guān)鍵.

2

21.如圖，在梯形ABCD中，AB//CD,E是CD的中點(diǎn)，且EC=MAB,AC與8E交于點(diǎn)F.

DEC

產(chǎn)_

(1)若AB="，AD=ny請用歷，〃來表示。C、AF；

⑵請直接在圖中畫出AC在優(yōu)，〃方向上的分向量.

434

【答案】AF=-n+-m.

(2)見解析

【分析】(1)利用平行向量的性質(zhì)，以及三角形法則求解即可;

(2)利用平行四邊形法則畫出圖形即可.

2

【詳解】(1)CD//AB,EC=-AB,

EC=-ιn

39

石是C。的中點(diǎn)，

4

.,.DC=2EC=—m,

3

EC//AB,

?CFEC2

,,AF-AB^3,

3

.?.AF=^ACf

4

AC=AD+DC=h+-tn,

3

4廠3.4

.*.Ar=-n+-m；

55

(2)過點(diǎn)C作CT〃AD交AB于點(diǎn)T，AD>AT即為所求.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，平面向量，三角形法則，平行四邊形法則等知識，解題的關(guān)鍵是掌握

三角形法則，平行四邊形法則，屬于中考常考題型.

22.一艘輪船自南向北航行，在4處測得北偏東23。方向有一座小島C繼續(xù)向北航行60海里到達(dá)B處,

測得小島C此時在輪船的北偏東53。方向上.在小島。周圍35海里有暗礁，若輪船繼續(xù)向北航行，是否有

觸確的危險？(參考數(shù)據(jù)：sin23o≈0.4,tan23o≈0.4,sin53o≈0.8,tan53o≈1.3)

【答案】輪船繼續(xù)向北航行，有觸確的危險，理由見解析

【分析】如圖，過C作CE)_LABrO,由題意可得：ABAC=23o,ZDBC=53°,設(shè)BD=x海里，而A8=60

海里，AQ=(60+x)海里，再表示Cr)=I.3x(海里)，利用tanNOBC=tan23。=W。0.4,再建立方程求

解即可.

【詳解】解：如圖，過C作C0_LAB于。，

A

由題意可得：NBAC=23。，NDBC=53。,

設(shè)5D=x海里，而A3=60海里，

???AO=(60+x)海里，

CD

??tan/DBC=tan530=——≈1.3,

BD

ΛCD=1.3x(海里)，

CD

?：tanZDBC=tan23°=—≈0.4,

AD

?l?3x…5080

??―――0.4,解得：X=――,

x+603

經(jīng)檢驗符合題意，

V—<35,

3

輪船繼續(xù)向北航行，有觸確的危險.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用,熟練的借助方位角與三角函數(shù)解決觸礁問題是解本題的

關(guān)鍵.

23.如圖，在：ABC中，AB=AC,點(diǎn)。、1入尸分別在邊AB、BC、AC上，且滿足“所=ZB.

Δ

BEC

(1)求證：ABDEs∕?CEF；

(2)當(dāng)點(diǎn)E是BC中點(diǎn)時，求證：DE平分ZBDF.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)可得NB=NC,由外角的性質(zhì)可得NCEF=NBDE,即可證明

ABDEs∕?CEF

RFΓ?E,upnF

(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到受=胃，等量代換得到法=若，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可得

CFEFCFEF

到DE平分ZBDF

【詳解】(1)VAB=AC,

???ZB=ZC,

VZDEC=ZB+ZBDE=ZDEF+ZFEC,ZDEF=ZB,

：.ZCEF=NBDE,

又丁ZDEF=ZB,

：?∕?BDE^∕?CEF

(2)由(1)知ABDESACEF,

.BEDE

**CF^￡F,

Y點(diǎn)七是BC中點(diǎn)，

JBE=CE1

.CEDE

**CF^EF,

?：/DEF=NB=ZC,

：?ΛDEF^ΛECF,

:?ΛDFE=∕CFE,

???DE①分ZBDF

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵

24.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-jχ2+fer+c與y軸交于點(diǎn)A(0,3),與X軸的正半軸交于點(diǎn)3(5,0),

點(diǎn)。在線段OB上，且OD=I,聯(lián)結(jié)A。，將線段AO繞著點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段。E,過點(diǎn)E作

直線X軸，垂足為H,交拋物線于點(diǎn)F.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)聯(lián)結(jié)DF,求COtZEDF的值；

⑶點(diǎn)尸在直線/上，且NEDP=45。，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

710

【答案】(Dy=-1/+μ龍+3；

(2)cotZEDF=2；

3

⑶(4,6)或(4,：).

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可解決問題；

(2)證明A04注Δ∕ffiE(A4S),再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得硝=。。=1,DH=OA=3,可得E(4,l),F(4,3),

求出切=DH=3,則NDfH=45。，DF=30，過點(diǎn)E作EK_L。產(chǎn)于K,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得

KF=KE=則￡>K=DF-KF=2及，在RtΔDKE中，根據(jù)余切的定義即可求解；

(3)分兩種情形①點(diǎn)尸在點(diǎn)E的上方時；②點(diǎn)尸在點(diǎn)E的下方時，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可解決

問題.

(1)

解：把點(diǎn)40,3),點(diǎn)B(5,0)代入y=-"2+fev+c,

,f-15+5?+c=0

得：a，

[c=3

b=υ

解得：,5,

c=3

312

拋物線的解析式為'=-：/+不欠+3；

(2)

解：如圖:

ZAoD=ZADE=NDHE=%)。,

：.ZADo+NOAD=90o,ZADO+/EDH=90。,

.?.ZOAP=ZEP//,

AD=DEf

:.AOAI運(yùn)MDE(AAS),

.?EH=OD=?,DH=OA=3,

???E(4,l),

?∣7

過點(diǎn)E作直線/_Lx軸，垂足為“，交拋物線>=-(爐+行工+3于點(diǎn)JF.

???F(4,3),

.?FH=3f

:.FH=DH=3,

,ZDHE=90。,

."DFH=45。,DF=3√2，

過點(diǎn)E作EK_L。廠于K,

EF=3-1=2,

KF=KE=血,

.-.DK=DF-KF=Iyfl，

nκ?B

在RtΔDKE中，COtNEDF="=竿=2；

KE√2

(3)

解：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E的上方時,

ZEDP=ZDFH=45。,NT)Ep是公共角,

.,.MDFSmPD,

.EFED

??=?

EDEP

:.ED2=EF-EP，

設(shè)P(4,y),則EP=y-l,

又,.EF=2>ED=?/?2+12=y∕↑0，

.J0=2(γ-l),解得y=6,

，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(4,6)；

②當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)E的下方時，

NEDP="FP=45o,NDPF是公共角，

.?.ΔPED^SPDF,

.PEDP

"~PD~~FP'

:.DP-=PEPF,

設(shè)P(4,y),則EP=I-y,FP=3-y,IOP=歷丁，

3

.?.9+y2=(]-y)(3-y),解得y=-],

?**點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,—1)；

綜上所述，當(dāng)/￡DP=45。時，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（4,6）或（4,-∣）.

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查二次函數(shù)的應(yīng)用、旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角

形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì).

25.在邊長為2的菱形ABCO中，E是邊AQ的中點(diǎn)，點(diǎn)F、G、H分別在邊AB、BC、CDL,且FGLEB

EH上EF.

圖2備用圖

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)F是邊Ag中點(diǎn)時，求證：四邊形EFG〃是矩形；

（2）如圖2,當(dāng)?shù)?:時，求普值；

GC2EH

（3）當(dāng)COS?。?,且四邊形EFG〃是矩形時（點(diǎn)F不與4B中點(diǎn)重合），求AF的長.

??Q

【答案】（1）見解析；（2）-；（3）■或

?1?1?

【分析】（1）連接AC、BD,由菱形的性質(zhì)及三角形的中位線定理證得GF〃￡”，GF=EH,從而可知

四邊形E尸GH是平行四邊形，再由有一個角為直角的平行四邊形是矩形得出結(jié)論；

（2）連接EG,由菱形的性質(zhì)及尸G//E//可得？8GF2DEH,及/B=ZD,從而判定DBGFSDOEH,結(jié)

合強(qiáng)=