2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第七章第3節(jié)　基本不等式及其應(yīng)用

第3節(jié)基本不等式及其應(yīng)用

考綱要求1.了解基本不等式的證明過(guò)程；2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問(wèn)題.

知識(shí)分類落實(shí)回扣知識(shí)?夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)梳理

1.基本不等式：

(1)基本不等式成立的條件：ɑ≥0,?≥o.

(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)寸取等號(hào).

(3)其中等稱為正數(shù)α,匕的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).

2.兩個(gè)重要的不等式

(l)α2+?2?:2<∕?(α,?∈R),當(dāng)且僅當(dāng)α=6時(shí)取等號(hào).

(2)46<(區(qū)芋)(α,?∈R),當(dāng)且僅當(dāng)α=6時(shí)取等號(hào).

3.利用基本不等式求最值

已知x>0,y?≈0,則

⑴如果積盯是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)正上時(shí)，x+y有最小值是25(簡(jiǎn)記：積定和最小).

(2)如果和x+y是定值s,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),外，有最大值是］(簡(jiǎn)記：和定積最大).

?——常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒

I?+注2(α,b同號(hào))，當(dāng)且僅當(dāng)“=匕時(shí)取等號(hào).

4.應(yīng)用基本不等式求最值要注意：”一定，二正，三相等"，忽略某個(gè)條件，就會(huì)出錯(cuò).

5.在利用不等式求最值時(shí)，一定要盡量避免多次使用基本不等式.若必須多次使用，則一

定要保證它們等號(hào)成立的條件一致.

診斷自測(cè)

〉思考辨析

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“X”)

(1)兩個(gè)不等式“2+∕N2ab與的成立的條件是相同的.()

(2)函數(shù)y=x+；的最小值是2.()

4

⑶函數(shù)./U)=Sinx+而：的最小值為4.()

(4)尤>0且y>0是的充要條件.()

答案(I)X(2)×(3)×(4)×

解析(1)不等式〃2+從224匕成立的條件是b∈R;

不等式成立的條件是a20,bW.

(2)函數(shù)y=x+；的值域是(一8,-2]U[2,+∞),沒(méi)有最小值.

4

(3)函數(shù)/(x)=Sinx+而G沒(méi)有最小值.

(4)x>0且)，>0是：+旨2的充分不必要條件.

〉教材衍化

2.若x>0,>'>0,且x+y=18,則的最大值為()

A.9B.18C.36D.81

答案A

解析因?yàn)閤+y=18,所以甘?=9,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=9時(shí)，等號(hào)成立.

3.若x<0,貝∣Jx+:()

A.有最小值，且最小值為2

B.有最大值，且最大值為2

C.有最小值，且最小值為一2

D.有最大值，且最大值為一2

答案D

解析因?yàn)閄e0,所以一x>0,x+:=------》+(—：)]w—21y(—x)(一1)=—2,當(dāng)且僅當(dāng)X

=-1時(shí)，等號(hào)成立，所以x+gw-2.

>考題體驗(yàn)

4.(2021?東北三省三校聯(lián)考)若函數(shù)y(x)=x+>2)在X=”處取最小值，則。等于()

A.l+√2B.l+√3

C.3D.4

答案C

解析當(dāng)x>2時(shí)，χ-2>0,#X)=(X-2)+4+2〉2、/(工一2)乂占+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)X-

2=占(x>2),即x=3時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)KX)取得最小值時(shí)，x=3,即α=3,故選C.

5.(2020?玉溪一中月考)一段長(zhǎng)為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)18m,

則這個(gè)矩形的長(zhǎng)為m,寬為m時(shí)菜園面積最大.

答案15y

解析設(shè)矩形的長(zhǎng)為Xm,寬為ym.則x+2y=30,所以S=Xy=%?(2y)W娶苧牛=亨,

當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即x=15,y=與時(shí)取等號(hào).

6.(2018?天津卷)已知”,?∈R,且〃一36+6=0,則2"+白的最小值為.

O

答案I

1/Γa-3bI

解析由題設(shè)知。-3匕=-6,又2">0,8〃>0,所以2"十殲》272“g=2?2三一=不當(dāng)且僅當(dāng)

2"==,即°=—3,6=1時(shí)取等號(hào).故2"+上的最小值為由

考點(diǎn)分層突破考點(diǎn)聚焦?題型剖析

考點(diǎn)一利用基本不等式求最值多維探究

角度1配湊法求最值

【例I】⑴(2021?成都診斷)設(shè)0<x<∣,則函數(shù)>=4x(3—2x)的最大值為.

(2)已知?jiǎng)t段)=4x—2+不￡的最大值為.

T

(3)已知函數(shù)y(x)=市(x<—1),貝∣J()

A.人尤)有最小值4B.危)有最小值一4

C../W有最大值4D.7U)有最大值一4

9

答案(1)2(2)1(3)A

解析(l)y=4x(3—2x)=2[2x(3-2x)]

V產(chǎn)+(3—2尤)}:9

T2J~2,

當(dāng)且僅當(dāng)2X=3-2Λ,即X=利，等號(hào)成立.

?,?(∈(θ,I),/.函數(shù)y=4x(3-2x)(θVXVg的最大值為

(2)因?yàn)閤<∣,所以5—4x>0,

則危)=4xT3=—(5-4x+^^)+3W—z??(5-4x)-^^+3=-2+3=1,

當(dāng)且僅當(dāng)5—4x=~-,即x=l時(shí)，取等號(hào).

5—4X

故7U)=4?X-2+“、的最大值為I.

因?yàn)閄V—1,所以x+l<O,—(x+l)>O,

所以7U)22√T+2=4,

當(dāng)且僅當(dāng)一(x+l)=丁即x=-2時(shí)，等號(hào)成立.

一(工L十1N)

故yu)有最小值4.

角度2常數(shù)代換法求最值

【例2】若正數(shù)〃2,鹿?jié)M足2團(tuán)+〃=1,則5+1的最小值為()

A.3+2√2B.3+√2

C.2+2√2D.3

答案A

解析因?yàn)?〃z+〃=l,

則A+1=(?+O?(2"7+")=3+A+羿

2+2普=3+2隹

當(dāng)且僅當(dāng)”=小根，即W=2?,〃=啦一1時(shí)等號(hào)成立，

所以5+5的最小值為3+2啦，故選A.

角度3消元法求最值

【例3】(2020?江蘇卷)已知5x2y2+y4=i(χ,y∈R),則x2+y2的最小值是.

4

答案5

解析由題意知yW0.由5x2y2+y4=l,可得f=g,所以/+9=/+產(chǎn)=與^=

@+4)2)*義2、$X4√=*當(dāng)且僅當(dāng)/=4p即),=：^乎時(shí)取等號(hào).所以χ2+V的最小

4

值為亍

感悟升華利用基本不等式求最值的方法

(1)知和求積的最值：”和為定值，積有最大值”.但應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：

①具備條件——正數(shù)；②臉證等號(hào)成立.

(2)知積求和的最值：“積為定值，和有最小值”，直接應(yīng)用基本不等式求解，但要注意利

用基本不等式求最值的條件.

(3)構(gòu)造不等式求最值：在求解含有兩個(gè)變量的代數(shù)式的最值問(wèn)題時(shí)，通常采用“變量替換”

或“常數(shù)1”的替換，構(gòu)造不等式求解.

【訓(xùn)練1】(1)已知實(shí)數(shù)X,>->0,且/一肛=2,則x+g+-r的最小值為()

^xy

A.6B.6√2C.3D.3√2

(2)若正數(shù)X,y滿足x+3y=5Xy,則3x+4y的最小值為.

答案(I)A(2)5

解析⑴由X,)>0,『一個(gè)=2得x-y=5,則三二=9所以x+2+=：=x+§+尹3(，+1)

?AyZ-ΛXyΛΔ人/

?3×2Λ∕I×1=6^

當(dāng)且僅當(dāng)專―，即x=2,y=l時(shí)等號(hào)成立，所以x+g+—L?的最小值為6.

2XXχ-y

⑵由χ+3y=5孫可得/卷=1,所以3x+4y=(3x+4y)(?+?)=γ+^+?≥γ+y=

5(當(dāng)且僅當(dāng)新甯，即尤=1,γ=∣?,等號(hào)成立)，所以3x+4y的最小值是5.

考點(diǎn)二基本不等式的綜合應(yīng)用師生共研

【例4】(1)(2021.湘東七校聯(lián)考)己知於)=*+0t2+3-4)x+l(α>0,6>0)在X=I處取得

極值，貝吟+加最小值為()

C.3D.9

(2)已知不等式(x+y)Q+f)29對(duì)任意正實(shí)數(shù)X,y恒成立，則正實(shí)數(shù)”的最小值為()

A.2B.4C.6D.8

答案(I)C(2)B

解析(1)因?yàn)?U)=∣X3+QX2+S-4)x+l(α>0,?>O),

所以，(X)=X2+2GC+/?-4.

因?yàn)?U)在X=I處取得極值，

所以(1)=0,所以l+2α+b-4=0,解得24+b=3.

所以>Ad+(??(2"+b)

=《5+號(hào)+為>；(5+2\^^)=3(當(dāng)且僅當(dāng)α=b=l時(shí)取等號(hào)).故選C.

(2)已知不等式(x+y)g+f)》9對(duì)任意正實(shí)數(shù)X,y恒成立，只要求(x+y)(}+1)的最小值大

于或等于9,

1+α+'+-72a+2^'J^+1,

χy

當(dāng)且僅當(dāng)y=√2時(shí)，等號(hào)成立，

Λα+2>∕ɑ÷1^9,二皿22或WW—4(舍去)，Λα>4,

即正實(shí)數(shù)。的最小值為4,故選B.

感悟升華1.當(dāng)基本不等式與其他知識(shí)相結(jié)合時(shí)，往往是提供一個(gè)應(yīng)用基本不等式的條件，

然后利用常數(shù)代換法求最值.

2.求參數(shù)的值或范圍時(shí)，要觀察題目的特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)成立的條件，從而

得到參數(shù)的值或范圍.

【訓(xùn)練2】⑴在AABC中，4=也A4BC的面積為2,則.到「+誓的最小值為

osinC+02s°mBsinC

()

A近B逆C3d5

??.2o?4V-/*21-**3

(2)在AABC中，點(diǎn)。是4C上一點(diǎn)，且n=4俞,P為BD上一點(diǎn)，向量壽=加+〃啟(2>0,

41

〃>0),則升加最小值為()

A.16B.8C.4D.2

答案(I)C(2)A

解析(1)由AABC的面積為2,

I]兀

所以SC=IbCSinA=∕csin5=2,得反=8,

在aABC中，由正弦定理得

2sinCSinB_2。b

sinC+2sinBSinCc+2?c

8

~

?>16

-n/8?

8-8+2?2

-2+?28

?-?

8,?2+4

4+b-8

?/8fe2+4113

》2，了+-廬飛…-『2一廠菱,

當(dāng)且僅當(dāng)6=2,c=4時(shí)，等號(hào)成立，故選C.

(2)由題意可知，崩=癡+4〃屐)，支B,P,。共線，由三點(diǎn)共線的充要條件可得2+4/=l,

又因?yàn)?>0,">0,所以:+"=(*+0以+44)=8+爭(zhēng)+念8+2?^^=16,當(dāng)且僅當(dāng)7

1141

=],〃=W時(shí)等號(hào)成立，故]+/的最小值為16.故選A.

考點(diǎn)三基本不等式的實(shí)際應(yīng)用師生共研

【例5】網(wǎng)店和實(shí)體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來(lái)一段時(shí)期內(nèi)，成為商業(yè)的一個(gè)主要

發(fā)展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2019年1月起開(kāi)展網(wǎng)絡(luò)銷售與實(shí)體店體驗(yàn)安

裝結(jié)合的銷售模式.根據(jù)幾個(gè)月運(yùn)營(yíng)發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷量X萬(wàn)件與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)

用t萬(wàn)元之間滿足函數(shù)關(guān)系式x=3—篇■.已知網(wǎng)店每月固定的各種費(fèi)用支出為3萬(wàn)元,產(chǎn)品

每1萬(wàn)件進(jìn)貨價(jià)格為32萬(wàn)元，若每件產(chǎn)品的售價(jià)定為“進(jìn)貨價(jià)的150%”與“平均每件產(chǎn)

品的實(shí)體店體驗(yàn)安裝費(fèi)用的一半”之和，則該公司最大月利潤(rùn)是萬(wàn)元.

答案37.5

解析由題意知，=黃11(1<*<3),設(shè)該公司的月利潤(rùn)為y萬(wàn)元，則y=(48+§L32x一

3-f=I6χ-3=16χ-3=45.5—16(3-χ)+^τJw45.5-237.5,

當(dāng)且僅當(dāng)X=V時(shí)取等號(hào)，即最大月利潤(rùn)為37.5萬(wàn)元.

感悟升華1.設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).

2.根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.

3.在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問(wèn)題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.

【訓(xùn)練3】某公司一年購(gòu)買某種貨物600噸，每次購(gòu)買X噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總

存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則X的值是.

答案30

解析一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為y=6X絆+4x=1+4x22df?x=240,

當(dāng)且僅當(dāng)3,Q=4X,即x=30時(shí)，y有最小值240.

課后鞏固作業(yè)分層訓(xùn)練?提升能力

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.己知”,?∈R,且αb≠0,則下列結(jié)論恒成立的是（）

A.a+b^2??[abB.

C.5=2D.a2+b2>2ab

答案C

解析因班檔同號(hào),所以年+皆=拗+1沿2.

2.若3x+2y=2,則8'+4v的最小值為（）

A.4B.4√2C.2D.2√2

答案A

解析因?yàn)?x+2y=2,所以8Λ+4V22√F不=2位詬'=4,

當(dāng)且僅當(dāng)3x+2y=2且3x=2y,即x=1,y=；時(shí)等號(hào)成立.故選A.

3.下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)x>0且XWI,lgx+±》2

B?7+7<IU∈R）

C.當(dāng)QO時(shí)，√x+ψ≥2

W

D.當(dāng)0<xW2時(shí)，x—：無(wú)最大值

答案C

解析對(duì)于A,當(dāng)O<x<l時(shí)，lgx<O,不等式不成立;

對(duì)于B,當(dāng)X=O時(shí)，有j1=l,不等式不成立；

對(duì)于C,當(dāng)QO時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)等號(hào)成立;

13

對(duì)于D,當(dāng)0<rW2時(shí)，y=x—十單調(diào)遞增，所以當(dāng)尸2時(shí)，取得最大值，最大值為宗

4.已知QO,y>0f且Vγ+j=/則x+y的最小值為（）

A.3B.5C.7D.9

答案C

解析?.?χ>0,)?>O,且Wj^+54.?.x+l+y=2f+3(x+l+y)=2(l+1+%?+(?)

x+1

?2∣2+2Λ/I1?∣≈8,當(dāng)且僅當(dāng)87=中，即x=3,y=4時(shí)取等號(hào)，.?.x+y27,

故x+y的最小值為7.

5.要制作一個(gè)容積為4∏Λ高為Im的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器.已知該容器的底面造價(jià)是每平方

米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是()

A.80元B.120元

C.160元D.240元

答案C

解析由題意知，體積V=4∏P,高∕ι=lm,所以底面積S=4π?,設(shè)底面矩形的一條邊長(zhǎng)

是Xm,則另一條邊長(zhǎng)是?m,又設(shè)總造價(jià)是)，元，則y=20X4+10X(2x+§280+20?，j[

Q

=160,當(dāng)且僅當(dāng)2x=*即x=2時(shí)取得等號(hào).

6.若實(shí)數(shù)X,)，滿足f+V+Xy=1,則x+y的最大值是()

A.6B.C.4D.I

答案B

解析x2+y2+xy=1≠>(x+y)2-xy=1,

:孫〈(W21,當(dāng)且僅當(dāng)χ=y時(shí)取等號(hào)，

；.(x+y)2一傳24，

即條+y>w1,.?.一￥<+〉?￥，

.?.x+y的最大值是￥.故選B.

7.(2021.鄭州一模)若Iog2?r+log4y=l,則/+y的最小值為()

A.2B.2√3C.4D.2√2

答案C

解析因?yàn)閘ogu+Iog4γ=Iogu2+∣0g4y=log4(x2>,)=1,所以x2γ=4(x>0,y>0),則x2+y22也丐

=4,當(dāng)且僅當(dāng)x2=y=2時(shí)等號(hào)成立，即x2+y的最小值為4.故選C.

8.(2021?廈門(mén)聯(lián)考)對(duì)任意〃?，∕2∈(0,+o°),都有加2—C+2∕20,則實(shí)數(shù)。的最大值為

)

9

?BC4-

√22√2D.2

答案B

解析T對(duì)任意如〃e(0,÷°o),都有加2—卬〃〃+2〃220,

J.nλ+2nλ^amn,即恒成立，

tinnnin

?.?：+普22寸々普=2小,當(dāng)且僅當(dāng)：=誓即"=6"時(shí)取等號(hào)，.?.”<2√5,故”的最大

值為2吸,故選B.

二、填空題

9.若直線/會(huì)=l(α>O,6>0)過(guò)點(diǎn)(1,2),則2“+人的最小值為

答案8

12

解析由題設(shè)可得4+石=1,?.,4>0,b>O,

.?2a+h=(2a+h)(j+l)

一。I4。、/ICIbAa

=4+-+^τ^?^4+2Λ-T

ab?∣cib

=8(當(dāng)且僅當(dāng)《=與，即b=20=4時(shí)，等號(hào)成立).

故24+6的最小值為8.

10.已知x>0,y>0,x+3y+xy=9f則x+3y的最小值為

答案6

解析法一(換元消元法)

由已知得x+3y=9-xyf

因?yàn)閤>0,y>0,

所以x+3y225面，

所以3Λ>W(笞§2,

當(dāng)且僅當(dāng)尤=3%即x=3,y=l時(shí)取等號(hào)，

即(x+3y)2+12(x+3y)-108^0,

令x+3y=t9則/>0且?+12t-10820,

得/26,即x+3y的最小值為6.

法二(代入消元法)

9—3y

由x+3y+xy=9,得x=??,

所以x+3y=]+,+3y

9+3y23(l+y)2-6(l+y)+12

一↑+y~1+y

12/12~

=3(1+丫)+幣一6》2弋3(1+力田—6

=12—6=6,

12

當(dāng)且僅當(dāng)3(l+y)=含，即y=l,x=3時(shí)取等號(hào)，

所以x+3y的最小值為6.

11Q

11.(2020.天津卷)已知α>0,?>0,且歷=1,則五+五+在^的最小值為?

答案4

解析因?yàn)棣?gt;0,b>0,ab=?,所以原式=嚷+M+4T=R+-?722?/華?-?=

Za2ba~vbZa~?~b?∣Za~?~7b

4,當(dāng)且僅當(dāng)華=士，即α+b=4時(shí)，等號(hào)成立.故；?+∕+-?7的最小值為4.

2a-r-bLa2。a~rb

X2+2

12.函數(shù)y=不13>1)的最小值為.

答案25+2

解析Vx>1,/.χ-1>0,

.x2-h2(x2—2r+l)+(2x-2)+3

??y%—1%—1

(X—1)2+2(X-1)+3

χ-l

=(x—1)+κ_]+222y∕3+2.

當(dāng)且僅當(dāng)》一1=一二,即》=小+1時(shí)，等號(hào)成立.

X—IV

B級(jí)能力提升

13.(2020?西安一模)《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題)成為后世西

方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)

證明，也稱之為無(wú)字證明.現(xiàn)有如圖所示的圖形，點(diǎn)尸在半圓。上，點(diǎn)C在直徑A8上，

SiOF.LAB,設(shè)AC=〃，BC=b,則該圖形可以完成的無(wú)字證明為()

F

ACB

a-?-bI-

Ar2-2y[Σb(a>0,Z?>0)

B.a2+b1^2ab(a>0?>O)

C.^~≤√^(6∕>O,b>O)

a+b∣a1+b2

D.-y~≤Λ/2-(a>0,b>O)

答案D

解析由圖形可知OF=)"/+份，OC=^(a+h)-h=∣(0i)，