山東省煙臺市2024-2025學年高二上學期期末數學試題【含答案解析】

2024~2025學年度第一學期期末學業(yè)水平診斷高二數學注意事項：1．本試題滿分150分，考試時間為120分鐘．2．答卷前，務必將姓名和準考證號填涂在答題紙上．3．使用答題紙時，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰，超出答題區(qū)書寫的答案無效，在草稿紙?試題卷上答題無效．一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.若一數列的前4項分別為，則該數列的通項公式可能為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據數列前項的規(guī)律，分別分析數列的符號規(guī)律和數值規(guī)律，進而得出數列的通項公式.【詳解】觀察數列的前項，可以發(fā)現奇數項為正，偶數項為負.根據當為偶數時結果為，當為奇數時結果為；當為奇數時結果為，當為偶數時結果為，可知該數列的符號規(guī)律可以用來表示.分母依次為3,5,7,9，得該數列分母的通項公式為.結合上述對符號規(guī)律和數值規(guī)律的分析，可知該數列的通項公式為.故選：A.2.已知橢圓一個焦點的坐標為，則的值為（）A.1 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】結合橢圓的幾何性質，即可求解.【詳解】因為橢圓的一個焦點坐標為，可得且，解得.故選：B.3.已知等差數列的前項和為，且，則（）A.52 B.104 C.112 D.120【答案】A【解析】【分析】根據等差數列求和公式和下標和性質即可得到答案.【詳解】.故選：A.4.已知分別為橢圓的左、右焦點，直線與交于兩點，則平行四邊形的周長為（）A. B.8 C. D.16【答案】C【解析】【分析】由題意，根據橢圓的定義計算直接得出結果.【詳解】由題意知，，由橢圓的定義知，四邊形的周長為.故選：C5.某隧道的垂直剖面圖近似為一拋物線，如圖所示．已知隧道高為，寬為，隧道內設置兩條車道，且隧道內行車不準跨過中間的實線．若載有集裝箱的貨車要經過此隧道，貨車寬度為，集裝箱寬度與貨車寬度相同，則貨車高度（即集裝箱最高點距地面的距離）的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立如圖平面直角坐標系，利用待定系數法求出拋物線方程，令得，則即為貨車高度的最大值.【詳解】以拋物線的頂點為原點，建立如圖平面直角坐標系，設拋物線方程，由圖可知拋物線過點，代入拋物線方程，得，解得，所以拋物線方程為.因為車道寬2米，兩車道中間有隔離帶，車寬2米，所以車行駛時，的取值范圍為.當時，，要使載貨最高的貨車通過隧道，貨車高度的最大值為米.故選：C6.設和分別表示正實數的整數部分、小數部分，例如．已知數列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據已知條件求出數列的前幾項，找出數列的規(guī)律，再根據規(guī)律求出的值.【詳解】已知，因為，所以，.根據，可得，化簡得到.因為，所以，.同理可得.通過前面的計算，可以發(fā)現數列的規(guī)律，（）.當時，.故選：C.7.若過點的直線與雙曲線相交于兩點，且關于直線對稱，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用已知可求得直線的方程為，設，將直線的方程代入雙曲線方程，求得點，利用點在直線上，可得，可求漸近線方程.【詳解】因為過點的直線與雙曲線相交于關于直線對稱，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即，代入雙曲線方程得，化簡整理得，設，所以，所以的中點的橫坐標為，所以，所以，所以，又因為點在直線上，所以，所以，解得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：B.8.已知等差數列的前項和，數列的前項和為，且，若不等式恒成立，則實數的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用的關系求得數列的通項公式，進而可得，對分奇偶求得，進而可求得實數的最小值.【詳解】當時，，當時，，當時，適合上式，所以的通項公式為，所以，當為偶數時，所以，當為奇數時，所以，又因為不等式恒成立，所以，所以，所以實數的最小值為.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：關鍵在于分為奇數與為偶數兩種情況求得，坐而求得的最大值，進而求得實數的最小值.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在平面直角坐標系中，若一曲線的方程為，則（）A.當時，該曲線為橢圓B.當時，該曲線為焦點在軸上的雙曲線C.當時，該曲線為焦點在軸上的雙曲線D.無論取何值，該曲線不可能為等軸雙曲線【答案】BCD【解析】【分析】據的不同取值范圍對曲線方程進行變形分析，根據橢圓、雙曲線以及等軸雙曲線的標準方程來判斷曲線的類型即可.【詳解】當時，，方程可化為因為，所以，，當，即時，方程，所以此時該曲線為圓，A選項錯誤.當時，，方程可化為因為，，滿足焦點在軸上的雙曲線的標準方程，所以此時該曲線為焦點在軸上的雙曲線，B選項正確.當時，，方程可化為因為，所以，，滿足焦點在軸上的雙曲線的標準方程，所以此時該曲線為焦點在軸上的雙曲線，C選項正確.若曲線為等軸雙曲線，則，兩邊平方可得，解得.當時，方程為，即，表示圓，不是等軸雙曲線，D選項正確.故選：BCD.10.已知數列的前項和為，且滿足，則（）A. B.C.為遞減數列 D.【答案】AD【解析】【分析】令，計算可判斷A；當，可得，兩式相減可求得通項公式判斷B；由，可判斷C；利用錯位相減法可求得可判斷D.【詳解】當時，，故A正確；當時，，又，兩式相減得，所以，當時，適合上式，所以，故B錯誤；所以，所以，當時，，所以從第二項起遞減數列，故C錯誤；，所以，兩式相減得所以，故D正確.故選：AD.11.已知為拋物線上一點，為的焦點，直線的方程為，則下列說法正確的有（）A.若，則B.點到直線的距離的最小值為C.點到直線與到直線的距離之和的最小值為2D.若存在點，使得過點可作兩條垂直的直線與圓相切，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，利用定義轉化長度，即可利用幾何法求出最小值；對于B，利用點到直線的距離公式，消去縱坐標，即得二次函數求其最小值即得；對于C，利用定義轉化長度，也可利用幾何法求出最小值；對于D，把存在點，使得過點可作兩條垂直的直線與圓相切問題轉化為圓心距的范圍問題，即可求解.【詳解】對于A，拋物線，焦點，準線，，過點作準線的垂線，垂足為，再過點作準線的垂線，垂足為，由拋物線定義可知：，故A正確；對于B，設點，則，由點到直線：的距離公式可得：，故B正確；對于C，過點作準線的垂線，垂足為，過點作直線的垂線，垂足為，過點作直線的垂線，垂足為，過點作直線的垂線，垂足為，由點到直線：的距離公式可得：，則點到直線與到直線的距離之和為：，故C錯誤；對于D，根據過點可作兩條垂直的直線與圓相切，可知，由于兩條切線垂直，可知，即，所以有，從而把問題轉化為拋物線上存在點到圓心的距離為，先求拋物線上點到圓心的距離：，當時，取到最小值，即，解得，故D正確.故選：ABD.【點睛】思路點睛：利用拋物線的定義可把相關距離進行轉化再求最值；與圓有關的切線問題可轉化為點到圓心的距離問題，即可求解.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在平面直角坐標系中，到軸的距離與到點的距離相等的點的軌跡方程為__________．【答案】【解析】【分析】設出動點坐標，由給定條件列出方程并化簡即得.【詳解】設動點坐標為，依題意，，兩邊平方整理得，所以所求軌跡方程為.故答案為：13.已知為等比數列的前項和，且，則的值為__________．【答案】4【解析】【分析】由已知可得，可求得.【詳解】因為為等比數列的前項和，，若公比為，所以為等比數列，所以，所以，所以，解得或，又，所以.故答案為：.14.已知橢圓的左、右焦點分別為，過左焦點且斜率為1的直線與交于兩點，，則橢圓離心率的值為__________；當時，設的內切圓圓心為，外接圓圓心為，則的值為__________．【答案】①.②.【解析】【分析】直線的方程為，設，聯立方程組利用弦長公式求得，結合弦長可得，進而可求離心率，結合，求得橢圓的方程，進而求得的坐標，進而利用外心與內心的性質求得的坐標，進而可求.【詳解】由題意可得直線方程為，設，聯立，消去，得，整理得，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以，解得或（舍去），所以，所以離心率；當時，可得，所以橢圓的方程為，所以，直線的方程為，代入橢圓方程得，解得或，可得，故在軸上，設內切圓的半徑為，所以，所以，所以，即，又的中點坐標為，的中點坐標為，，所以的垂直平分線的方程為，即，垂直平分線的方程為，即，聯立，解得，所以，所以.故答案為：；；【點睛】關鍵點點睛：關鍵在于利用直線方程與橢圓方程聯立方程組求得弦長，利用已知可得，進而可求離心率.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知公差不為0的等差數列的前項和為，且滿足，．（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設等差數列的公差為，根據題意結合等差數列通項公式列式求，即可得通項公式；（2）由（1）可知：，利用錯位相減法求和即可.【小問1詳解】設等差數列的公差為，因為，則，整理得，且，即．又因為，則，解得，所以．【小問2詳解】由（1）可知：，則，．兩式相減得，所以．16.已知拋物線的焦點為，直線交拋物線于點，且．（1）求拋物線C的標準方程；（2）過點的直線與拋物線交于兩點，且，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設點，根據焦半徑公式求得，將點的坐標代入拋物線方程即可求解.（2）設直線的方程為，聯立直線與拋物線的方程，結合坐標關系利用韋達定理求出，再結合焦半徑公式求解焦點弦弦長即可.【小問1詳解】設點，則，所以．將代入得，解得，所以拋物線C的標準方程為；【小問2詳解】拋物線的焦點，設直線的方程為，因為，所以，所以．聯立，得，，所以，即，又，所以，解得．所以．17.已知橢圓上的點到其右焦點的最大距離為3．（1）求橢圓的方程；（2）設橢圓的左、右頂點分別為，過點的直線與橢圓交于兩點（異于）．①若的面積為，求直線的方程；②若直線與直線交于點，證明：點在一條定直線上．【答案】（1）（2）①；②證明見解析【解析】【分析】（1）由題意可得，求出即可求解；（2）①設直線的方程和，聯立橢圓方程，利用韋達定理，表示出弦長，結合點到直線的距離公式和三角形面積公式建立方程，解之即可求解；②聯立直線可得，由①知，化簡計算即可求解.【小問1詳解】由題意可知，，所以．又，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】①設過點的直線方程為，點，聯立，得，則，則．又因為點到直線的距離．令，解得，所以直線方程為．②由①知，則直線，直線，由，整理得．由①知，得，所以，即，解得，所以點在直線上．18.已知雙曲線的離心率為2，且過點．（1）求雙曲線的標準方程；（2）過的右焦點的直線與的左、右兩支分別交于兩點（異于頂點），①證明：以為直徑的圓恒過定點，并求出的坐標；②對于①中的，設過的中點且與軸平行的直線與的右支交于點，直線與的交點為，證明：．【答案】（1）（2）①證明見解析，；②證明見解析【解析】【分析】（1）根據題意可得關于的方程組，求解即可得雙曲線的方程；（2）（i）設點，直線方程為，與雙曲線方程聯立方程組可得，設，利用對恒成立可求得定點的坐標；（ii）求得的坐標，可求得，進而可得四點共圓，可證得結論．【小問1詳解】由題意．將點代入雙曲線方程得，解得．所以，雙曲線的方程為；【小問2詳解】（i）設點，直線方程為，聯立方程，得，所以，，．設，則，即對任意恒成立．所以，解得所以，以為直徑的圓恒過點．（ii）．由題意可知，代入雙曲線方程可得，設的中點為，則，所以，所以．又，所以四點共圓．由相交弦定理得．19.已知數列的前項和為，且．（1）求數列的通項公式；（2）令，數列的前項和為，是否存在正整數，使得成等差數列？若存在，求出的值，若不存在，說明理由；（3）記，證明：．【答案】（1）（2）存在；或（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用的關系可得，利用累乘法可求數列的通項公式；（2）利用裂項相消法可求得，假設存在正整數，使得成等差數列，可得，求解即可；（3）當時，可得，利用放縮法可證明不等式成立.【小問1詳解】因為，所以當時，，兩式相減得，即．累乘得．經檢驗也符合上式，所以．【小問2詳解】因為，所以，所以，假設存在正整數，使得成等差數列，則，即，即，顯然是18的正約數，又因為，所以，所以或18，當，即時，，當，即時，．