2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第四章第3節(jié)　第2課時　簡單的三角恒等變換

第2課時簡單的三角恒等變換

考點分層突破考點聚焦?題型剖析

考點一三角函數(shù)式的化簡自主演練

sin(I800+2a)cos2?x

1;等于（

1÷cos2acos(90o÷a))

A.—sinaB.—cosa

C.sinaD.cosa

答案D

解析原式=

「2cosz當a(3"-sina)

-2Sinacosα?cos%

2cos2α(—sina)COSa'

2COS4X_2COS2X+Z

g(4cos4χ-4COS2X+1)

解析原式=

sin

2π

2?*?cosA~x

(2cos2χ-1)

xIcos

cos22%1C

=2COS2x=]c°s2x.

a?

3.化簡：tan+ltanot?tan

lan2

答案?

解析》(l+tanα?tan多

tan2

a,a

cos2sin?

------a)f?'(H

cos2

a.aa...a

cos72-sιn*22^cosacos^+sin?sin]

.aaa

SmiCoSZcosαcos,

a

2cosac°s2______2_

sinaasina'

coseicosa

感悟升華1.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：

一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征.

2.三角函數(shù)式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系（和、差、倍、互余、互補等），尋找式

子和三角函數(shù)公式之間的共同點.

考點二三角函數(shù)式的求值多維探究

角度1給值求值

3

例X--

4,

2sin(兀一x)+sin2x

1÷cosx'

⑵(2021?濰坊模擬)已知α∈(θ,與)，Sin(G—彳)=乎，則Uma=.

答案(1)|(2)3

解析（1）由題意得，4sin%=3cosx,

又sin12x+cos2x=l,

且x∈

解得cosx=τ,sinx=τ,

2sin(?！獂)+sin2>r2sinx+sin2/

1+cosXl÷cosx

2sin∕+2sinxcos尢2sinx(l+cosx)

l÷cosxl÷cosx

(2)因為a∈(θ,。所以(^4'￡)，故2π

?-4e>0,所以l-sin∣a~l

角度2給角求值

【例2】求下列各式的值：

/八π2π3π4π

(1)COSgCOS-^^COS^^COS^^";

sin2350-2

Q)CoS10o?cos80°;

⑶Sin50o(l+√3tan10°).

解⑴CoS氤OS得COS咨COS咨

Iπ2π4π

=2c0s9c0s'9^c0s"<9'

_.ππ2兀4兀

?8SlΠgCOSgCOS^g^COS^^"

c.4兀4π,8π

]2sιn-g^cos^ξ"]sing

2'.π-2'.π

8sιn∏8sιn∏

1—cos7001

20

sin35―2―2

(2)CoSlO°?cos80°cos10o?sinIO0

CoS70。_____Sin20。

2sin10o?cos10o-sin20°

(3)sin50o(l+√3tan10o)=sin50°?(l+小黑號)

10。+小Sin10。

cos10°

29cos10°+^sin10°

：

=Sin501——fθ≡

2sin50°?cos50°Sin100°CoS10°

cos10°-cos10o-cos10°

角度3給值求角

[例3]⑴已知cosa=；,CoS號且G<β<a<^,則B=

(2)已知α,∕J∈(0,π),且tan(α一份=],tanβ=—y,則2a—￡的值為

答案(謗(2)-y

解析(1)?..0<少<如看.二0"一在?多

sina=7-

13

又cos(α—4)=正，

sin(cc-β)=-?∕l-cos2(a~β)=^J4

Λcosβ=cos[a-(a-β)]

=CoSacos(α-^)÷sinαsin(α一夕)

一714+714~2'

TTπ

又0</?<2，:?B=0

tanQa-B)+tan夕

⑵?.?tana=tan[(a-β)+β]=

1—tan(a一4)tanβ

又α∈(0,π),.*.0<a<2,

C2×lC

r?.C2tanaJ3八

又?tan2ct=l-tan2?=-772=4>0>

「H

π

0<2a<2,

3.1

tan2σ-tanβ4'7

?"lan(2ct-^=1+tan2αtan=?'

147

1π

Ttan4=—y<0,:—兀<2］一β<0,

2a-.=-苧

感悟升華1.給值求值問題一般是將待求式子化簡整理，看需要求相關(guān)角的哪些三角函數(shù)

值，然后根據(jù)角的范圍求出相應(yīng)角的三角函數(shù)值，代入即可.

2.給角求值問題一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細觀察非特殊

角與特殊角之間總有一定的關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角

并且消除特殊角三角函數(shù)而得解.

3.給值求角問題一般先求角的某一三角函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角.遵照以下原則：

(1)已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)：若角的范圍

是(0,選正、余弦皆可；(2)若角的范圍是(0,π),選余弦較好；若角的范圍為(一5,

選正弦較好.

?、“+▼-t.，I兀?Smt小Sinα+cosa

【訓(xùn)練1】(1)已知tan(α+Q)=)，則年=()

V?/2?3cos6(-sιna

A.ξB.害egD坐

(2)(2021?石家莊綜合訓(xùn)練)若cosa(l÷√3tanI0o)=L則?的一個可能值為()

A.70oB.50oC.40oD.10o

答案(I)B(2)C

解析⑴因為tan(α+3=坐,

缶N17_1_兀)兀一

所以Iana=tanI^+?∣-?

_tan(α+%ta或孚f—近

1+tan(^α+^)tan∣1+坐X√5

所以小Sinα+cosa小tana+1

√3cos?-sina√3-tana

√3

=^r=9?

CoS10。+小Sin10。

oV§sin10°

(2)cosa(l+√3tan10)=cosd140

cos100,="cosIO

2sin(10o+30o)

=8S?-=1>

即2sin40ocosα=COSIO0=sin80o=2sin40ocos40o,所以cosa=cos40o,貝(]a的一個可能

值為40。，故選C.

考點三三角恒等變換的應(yīng)用師生共研

［例4］已知函數(shù)於）=坐SinQ-x）+坐COS仔一，

⑴求函數(shù)段）在區(qū)間，，用上的最值；

（2）若COSO=aOe（當,2π）,求《20+，的值.

解（1）由題意得於）=坐Sin住-x）+半CoSA—x）=^X百出^一*）+坐COS（AX）］

=一乎Sin（L賴

因為Xe［々，屈，所以X一相G—?,晉，

所以Sin（X—司∈［-坐，1］,

所以一坐Sin（L用∈［—乎,用

即函數(shù)7Cr）在區(qū)間，，用上的最大值為小，最小值為一坐.

（2）因為COSe=9∈（芋，2兀），所以sin夕=一,,所以Sin20=2sinOcos夕=一急

所以cos20=cos20-sin20=^∣-

所以｛2嗚）=-察in（2瀉一卷

=一坐sin（20一1）

=—2（sin20—cos2。）=T（CoS20—sin20）

感悟升華1.進行三角恒等變換要抓?。鹤兘?、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；

注意公式的逆用和變形使用.

2.把形如y=αsinx+bcosX化為屋Sin(X+°)(tan9="J,可進一步研究函數(shù)的周期

性、單調(diào)性、最值與對稱性.

【訓(xùn)練2】已知函數(shù)加)=疝篝，+2SinX.

3

(1)在AABC中，CoSA=一亍求兀4)的值；

(2)求函數(shù)/U)的最小正周期及其圖象的對稱軸的方程.

JT

解(1)由SinX+cosx≠0得x≠&π一不Λ∈Z.

因為凡r)=W?3+2sinx

cos2χ-Sin2無

?2sinX

SinX+cosX

=cosx+sinx9

37Γ

在AABC中，CoSA=-W<0,所以］<A<π,

所以sinA=?√1-COs2A=P

431

所以J(A)=SinA+cosA=g^~5=亍

⑵由⑴可得以)=√‰in(x+/),

所以/(x)的最小正周期T=2π.

JT

因為函數(shù)y=sin上的對稱軸為X=E+],fc∈Z,

TrTrTr

又由x+W=?π+g,?∈Z,得X=E+不?∈Z,

Tr

所以HX)的對稱軸的方程為X=E+不?∈Z.

課后鞏固作業(yè)分層訓(xùn)練?提升能力

A級基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.(2021?成都診斷)已知角α的終邊與單位圓的交點為P[x,且sinα?cosa>0,則

71—sin2α+d2+2cos2α的值等于()

976

A.§B.gC.gD.3

答案A

3

解析根據(jù)三角函數(shù)的定義得Sina=一率由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及SinaCoSa>0,得

4247I------：-----

cos6(=-7,所以Sin2a=2sinQCoScos2a=cos2a-sin2a—25,所以弋1-sin2a+

。。。?漢中模擬）化簡：-（

22?an?θ^)

C.1D.-坐

答案A

0oo

工LsinIOsin10cos10

W￡MT--------=-----------=------------------=-----------

1-√3tan1Oocos10°-√3sin10°

2sin10°cos10°sin20°

故選A.

4sin(30o-10o)-4,

10o-

3.(2021?大慶模?4)設(shè)α=岸(sin560—cos56°),?=cos50ocos128o+cos40ocos38o,c=

cos80o,則①b,C的大小關(guān)系是（）

?.a>b>cB.h>a>c

C.c>a>bD.a>c>b

答案B

解析由題意可知。=竽(Sin56o-cos560)=sin(56o-45o)=sinH0,?=cos(90o-

400)cos(900÷38o)÷cos40ocos38°=—sin40osin38o÷cos40ocos38o=cos780=sin12o,

c=cos80o=sin10o,'.,sin12o>sinllo>sin10o,.β.b>a>c,故選B.

4.已知O<α<φ~^<β<0fCOS(a—￡)=一看，Sina=予則SinS=()

答

案D

解析4

-Tr3717r

50<a<2，所以CoSa=予因為一0<?<2，所以a—￡￡(0,π),

所以sin(a-β)=-?∕l-cos2Ca-β)=]3?所以Sinβ-sin[?—(a—yS)]=sinacos(a一份一

cos公抽(。_4)=1*(一卷)_]乂^|=一!!.故選D.

5.若sin(a—曰=*,且a∈(θ,。則cos(2a+1)=()

2412

A---B--C-12D24

25252525

會

4π

-且α∈

二5x

(2a+?=cos(2a-5+?=-sin(2a-

cos

=—2sin^a-244、生

∣cosa石.故選Aa.

7TT1÷sinβ

6.(2021?鄭州模擬)設(shè)a=τπ,若0∈(o,H且，則

1otanα=-6=()

?5πC兀C年、4π

A18Bqe18D?豆

答案A

1÷sinβ八,C

解析由tanα=,COS夕行SinacosP=COSα÷cosasin0,

0,S-

C（R兀、π

7,>ɑ∈(θ,?

0=育，所以2^J2/

所以2a一6=看

所以S=Y^TL故選A.

二、填空題

7.（2021?天津和平區(qū)模擬）已知如α<兀，且cos（α-看）=—予則cosQ=.

-3—4小

答案

10

缶刀士匚??兀J.冗,兀__5兀

解析?5<a<τι,<?1<a一丁了'

4,√33、，1—3—4√3

=:——Xs-M———X--------1—

525210

8.已知180。CaV360。,化簡：

,,,,X(-ad

(1+sincc+cos?)Isin2-∞s2

y∣2+2cosa

答案cosa

∏

因為180。VaV360。,所以90。VEVI80。,

所以COS^<0,所以原式=COS0.

9.已知Sina=乎，sin（α一6）=—a,4均為銳角，則夕=

歸口末案~4

解析因為α,尸均為銳角，所以—口一廠今

v,,——遮/N(.?3√io

又siπ(<z6)—?θ,所以CoS(OtB)—?0?

P.近g-p,

?sina—$，所f以cosa—?,

所以si∏4=sin[α-(a—￡)]=Sinacos(α~/?)—cosɑsin(ɑ-∕?)

=讓宮叵班仁返H

—5X10510J-2-

所以?=：.

三、解答題

八八3Sin(2α÷5),C

10.化間：sina-2cos(α+4).

sin(2α÷5)—2sinacos(α÷β)

解原式=---------------------------

sina

sin[α+(a+,)]—2sinacos(α+夕)

sina

SinaCOS(α+S)+cosαsin(a+￡)—2SinaCoS(α+S)

sina

CoSαsin(α+S)-sinαcos(0r+￡)

sina

sin[(α+S)-a]Sinl

sinasina

11.已知tana=-；,COSS=乎,a∈(j,π?蚱(0,。求tan(a+4)的值，并求出a+￡的

值.

解由CoS片坐,.∈(θ,9，

2R

得sin/?=~5,tan,=2.

一

tanα+tan夕5+2

所以tan(α+jδ)-

1-tan?tanβ

1+3

因為α∈0,πj,4∈(θ,

所以5<α+p<亨，所以。+夕=竽.

B級能力提升

12.(2021?長春模擬)已知α,￡滿足sin(2α+")=3sin/?,若三7—7^—=>Uanα,則實數(shù)力的值

IanpIana

為()

A.2B.3C.4D.6

答案A

解析