專題提升 數(shù)軸、實(shí)數(shù)的運(yùn)算、代數(shù)式的化簡與求值測試題

專題提升一數(shù)軸、實(shí)數(shù)的運(yùn)算、代數(shù)式的化簡與求值一、數(shù)軸熱點(diǎn)解讀實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，利用數(shù)軸可以比較直觀地解決數(shù)和式的問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想，是中考的熱點(diǎn)．母題呈現(xiàn)(2016·臺灣)如圖，數(shù)軸上A、B、C三點(diǎn)所表示的數(shù)分別為a、b、c.若|a－b|＝3，|b－c|＝5，且原點(diǎn)O與A、B的距離分別為4、1，則關(guān)于O的位置，下列敘述何者正確？()A．在A的左邊B．介于A、B之間C．介于B、C之間D．在C的右邊對點(diǎn)訓(xùn)練1．如圖，數(shù)軸的單位長度為1，如果點(diǎn)A，B表示的數(shù)的絕對值相等，那么點(diǎn)A表示的數(shù)是()第1題圖A．－4B．－2C．2．(2017·廣州)如圖，數(shù)軸上兩點(diǎn)A，B表示的數(shù)互為相反數(shù)，則點(diǎn)B表示的數(shù)為()第2題圖A．－6B．6C．0D．無法確定3．實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則下列式子中正確的是()第3題圖A．a(chǎn)c>bcB．|a－b|＝a－bC．－a<－b<－cD．－a－c>－b－c(2016·泰安)如圖，四個(gè)實(shí)數(shù)m，n，p，q在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別為M，N，P，Q，若n＋q＝0，則m，n，p，q四個(gè)實(shí)數(shù)中，絕對值最大的一個(gè)是()第4題圖A．pB．qC．mD．n5．如圖，數(shù)軸上有A，B，C，D四點(diǎn)，根據(jù)圖中各點(diǎn)的位置，判斷哪一點(diǎn)所表示的數(shù)與11－2eq\r(39)最接近()第5題圖A．AB．BC．CD．D6．在如圖所示的數(shù)軸上，點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)A對稱，A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是eq\r(3)和－1，則點(diǎn)C所對應(yīng)的實(shí)數(shù)是()第6題圖A．1＋eq\r(3)B．2＋eq\r(3)C．2eq\r(3)－1D．2eq\r(3)＋1二、實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算熱點(diǎn)解讀先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號內(nèi)的，若沒有括號，在同一級運(yùn)算中，要從左至右依次進(jìn)行運(yùn)算．它是中考的必考題型．母題呈現(xiàn)(2016·紹興)計(jì)算:eq\f(5,\r(5))－(2－eq\r(5))0＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－2).對點(diǎn)訓(xùn)練7．(2016·臨沂)計(jì)算:eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－3))＋eq\r(3)tan30°－eq\r(12)－(2016－π)0.8．(2015·汕尾)計(jì)算:eq\r(8)＋|2eq\r(2)－3|－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－1)－(2015＋eq\r(2))0.9．(2015·內(nèi)江)計(jì)算:|－2|－(π－2015)0＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1)－2sin60°＋eq\r(12).10．已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－1)，b＝2cos45°＋1，c＝(2010－π)0，d＝|1－eq\r(2)|.(1)請化簡這四個(gè)數(shù)；(2)根據(jù)化簡結(jié)果，列式表示這四個(gè)數(shù)中“有理數(shù)的和”與“無理數(shù)的積”的差，然后計(jì)算結(jié)果．三、代數(shù)式的化簡與求值熱點(diǎn)解讀要注意運(yùn)算順序，并結(jié)合題目的具體情況及時(shí)化簡，以簡化運(yùn)算過程；適當(dāng)?shù)刈⒁饫眠\(yùn)算律，尋求合理運(yùn)算途徑；分式混合運(yùn)算時(shí)，各分式分子、分母能因式分解的應(yīng)進(jìn)行分解，并注意符號的處理，以便尋求公分母和約分化簡．它是中考的必考題型．母題呈現(xiàn)(2015·麗水)先化簡，再求值:a(a－3)＋(1－a)(1＋a)，其中a＝eq\f(\r(3),3).對點(diǎn)訓(xùn)練11．化簡:(a＋b)2＋(a－b)(a＋b)－2ab.12．(2015·梅州)已知a＋b＝－eq\r(2)，求代數(shù)式(a－1)2＋b(2a＋b)＋2a的值．先化簡，再求值:eq\f(a2－b2,a)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab－b2,a)－a))，其中，a＝1＋eq\r(2)，b＝1－eq\r(2).先化簡:eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x＋1)－x＋1))÷eq\f(x2－4x＋4,x＋1)，然后從－1≤x≤2中選一個(gè)合適的整數(shù)作為x的值代入求值．15．先化簡，再求值:eq\f(a2－2ab＋b2,2a－2b)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,a)))，其中a＝eq\r(5)＋1，b＝eq\r(5)－1.參考答案專題提升一數(shù)軸、實(shí)數(shù)的運(yùn)算、代數(shù)式的化簡與求值一、數(shù)軸【母題呈現(xiàn)】C【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.B2.B3.D4.A5.B6.D二、實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算【母題呈現(xiàn)】eq\r(5)＋3【對點(diǎn)訓(xùn)練】7.3－2eq\r(3).8.－19.3＋eq\r(3)10．(1)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－1)＝3，b＝2cos45°＋1＝2×eq\f(\r(2),2)＋1＝eq\r(2)＋1，c＝(2010－π)0＝1，d＝|1－eq\r(2)|＝eq\r(2)－1.(2)∵a，c為有理數(shù)，b，d為無理數(shù)，∴a＋c－bd＝3＋1－(eq\r(2)＋1)(eq\r(2)－1)＝4－(2－1)＝3.三、代數(shù)式的化簡與求值【母題呈現(xiàn)】－3a＋1，1－eq\r(3).【對點(diǎn)訓(xùn)練】11.2a212.313.－eq\f(a＋b,a－b)，－eq\f(\r(2),2).14．－eq\f(x＋2,x－2)，選x＝0，值為1.15.eq\f(ab,2)，2.專題提升二數(shù)式、圖形規(guī)律的問題熱點(diǎn)解讀探索規(guī)律題是模型化思想和歸納推理思想的體現(xiàn)．在中考中廣泛應(yīng)用，是熱點(diǎn)考題之一．母題呈現(xiàn)(2017·寧波)如圖，用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放:則第⑦個(gè)圖案有____________________個(gè)黑色棋子．對點(diǎn)訓(xùn)練1．(2015·河北模擬)觀察下列一組圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中第1個(gè)圖中共有4個(gè)點(diǎn)，第2個(gè)圖中共有10個(gè)點(diǎn)，第3個(gè)圖中共有19個(gè)點(diǎn)，…按此規(guī)律第5個(gè)圖中共有點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()第1題圖A．31B．46C．512.(2016·新疆)如圖，下面每個(gè)圖形中的四個(gè)數(shù)都是按相同的規(guī)律填寫的，根據(jù)此規(guī)律確定x的值為____________________.1121234103562747852nm20x第2題圖3．(2016·資陽)設(shè)一列數(shù)中相鄰的三個(gè)數(shù)依次為m、n、p，且滿足p＝m2－n，若這列數(shù)為－1，3，－2，a，－7，b…，則b＝.4．(2016·綏化)古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1，3，6，10，15，21，…叫做三角數(shù)，它有一定的規(guī)律性．若把第一個(gè)三角數(shù)記為a1，第二個(gè)三角數(shù)記為a2，…，第n個(gè)三角數(shù)記為an，計(jì)算a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…，由此推算a399＋a400＝.5．一組數(shù):2，1，3，x，7，y，23，…，滿足“從第三個(gè)數(shù)起，前兩個(gè)數(shù)依次為a、b，緊隨其后的數(shù)就是2a－b”，例如這組數(shù)中的第三個(gè)數(shù)“3”是由“2×2－1”得到的，那么這組數(shù)中y表示的數(shù)為____________________．6．(2016·齊齊哈爾模擬)如圖，動點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運(yùn)動，第1次從原點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)(1，1)，第2次運(yùn)動到點(diǎn)(2，0)，第3次運(yùn)動到點(diǎn)(3，－1)，…，按照這樣的運(yùn)動規(guī)律，點(diǎn)P第2017次運(yùn)動到點(diǎn)____________________．第6題圖7．(2015·梅州)若eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq\f(a,2n－1)＋eq\f(b,2n＋1)，對任意自然數(shù)n都成立，則a＝____________________，b＝____________________；計(jì)算:m＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋eq\f(1,5×7)＋…＋eq\f(1,19×21)＝____________________.8．有一個(gè)計(jì)算程序，每次運(yùn)算都是把一個(gè)數(shù)先乘以2，再除以它與1的和，多次重復(fù)進(jìn)行這種運(yùn)算的過程如下:第8題圖則第n次的運(yùn)算結(jié)果＝________________(用含字母x和n的代數(shù)式表示)．9．(2017·玉環(huán)模擬)農(nóng)夫?qū)⑻O果樹種在正方形的果園內(nèi)．為了保護(hù)蘋果樹不怕風(fēng)吹，他在蘋果樹的周圍種針葉樹．在下圖里，你可以看到農(nóng)夫所種植蘋果樹的列數(shù)(n)和蘋果樹數(shù)量及針葉樹數(shù)量的規(guī)律:當(dāng)n為某一個(gè)數(shù)值時(shí)，蘋果樹數(shù)量會等于針葉樹數(shù)量，則n＝____________________.第9題圖用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放:第10題圖(1)第5個(gè)圖形有多少顆黑色棋子？(2)第幾個(gè)圖形有99顆黑色棋子？請說明理由．11．(2015·合肥模擬)現(xiàn)有一組有規(guī)律排列的數(shù):1、－1、eq\r(2)、－eq\r(2)、eq\r(3)、－eq\r(3)、1、－1、eq\r(2)、－eq\r(2)、eq\r(3)、－eq\r(3)、……其中，1、－1、eq\r(2)、－eq\r(2)、eq\r(3)、－eq\r(3)這六個(gè)數(shù)按此規(guī)律重復(fù)出現(xiàn)．問:(1)第50個(gè)數(shù)是什么數(shù)？(2)把從第1個(gè)數(shù)開始的前2015個(gè)數(shù)相加，結(jié)果是多少？(3)從第1個(gè)數(shù)起，把連續(xù)若干個(gè)數(shù)的平方加起來，如果和為520，則共有多少個(gè)數(shù)的平方相加？12．觀察下列關(guān)于自然數(shù)的等式:32－4×12＝5①52－4×22＝9②72－4×32＝13③…根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題:(1)完成第四個(gè)等式:92－4×____________________2＝____________________；(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式(用含n的式子表示)，并驗(yàn)證其正確性．一個(gè)容器裝有1升水，按照如下要求把水倒出:第1次倒出eq\f(1,2)升水，第2次倒出水量是eq\f(1,2)升的eq\f(1,3)，第3次倒出水量是eq\f(1,3)升的eq\f(1,4)，第4次倒出水量是eq\f(1,4)升的eq\f(1,5)，…，第n次倒出水量是eq\f(1,n)升的eq\f(1,n＋1)…按照這種倒水的方法，這1升水能倒完嗎？若不能，請說明理由；若能，經(jīng)多少次可以倒完？參考答案專題提升二數(shù)式、圖形規(guī)律的問題【母題呈現(xiàn)】19【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.B2.3703.1284.1.6×105或1600005.－96.(2017，1)7.eq\f(1,2)－eq\f(1,2)eq\f(10,21)8.eq\f(2nx,（2n－1）x＋1)9.810．(1)18顆(2)設(shè)第n個(gè)圖形有99顆黑色棋子，3(n＋1)＝99.∴n＝32，第32個(gè)圖形有99顆黑色棋子．11．(1)∵50÷6＝8……2，∴第50個(gè)數(shù)是－1.(2)∵2015÷6＝335……5，1＋(－1)＋eq\r(2)＋(－eq\r(2))＋eq\r(3)＝eq\r(3)，∴從第1個(gè)數(shù)開始的前2015個(gè)數(shù)的和是eq\r(3).(3)∵12＋(－1)2＋(eq\r(2))2＋(－eq\r(2))2＋(eq\r(3))2＋(－eq\r(3))2＝12，520÷12＝43……4且12＋(－1)2＋(eq\r(2))2＝4，∴43×6＋3＝261，即共有261個(gè)數(shù)的平方相加．12．(1)417(2)第n個(gè)等式為:(2n＋1)2－4n2＝2(2n＋1)－1，左邊＝4n＋1，右邊＝4n＋1.∴(2n＋1)2－4n2＝2(2n＋1)－1.13．不能；倒n次水后剩下的水＝1－[eq\f(1,2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,n（n＋1）)]＝1－(eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))＝eq\f(1,n＋1)升．無論倒水次數(shù)n有多大，剩余水總不能為0.專題提升三以方程(組)、不等式為背景的應(yīng)用一、方程(組)的應(yīng)用熱點(diǎn)解讀利用方程(組)解決實(shí)際問題，關(guān)鍵是揭示數(shù)量、數(shù)量關(guān)系，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，這是熱點(diǎn)考題之一．母題呈現(xiàn)(2015·寧波)寧波火車站北廣場將于2015年底投入使用，計(jì)劃在廣場內(nèi)種植A、B兩種花木共6600棵，若A花木數(shù)量是B花木數(shù)量的2倍少600棵．(1)A、B兩種花木的數(shù)量分別是多少棵？(2)如果園林處安排26人同時(shí)種植這兩種花木，每人每天能種植A花木60棵或B花木40棵，應(yīng)分別安排多少人種植A花木和B花木，才能確保同時(shí)完成各自的任務(wù)？對點(diǎn)訓(xùn)練1．(2017·湖州模擬)桌面上有甲、乙、丙三個(gè)圓柱形的杯子，杯深均為15公分，各裝有10公分高的水，且表記錄了甲、乙、丙三個(gè)杯子的底面積．今小明將甲、乙兩杯內(nèi)一些水倒入丙杯，過程中水沒溢出，使得甲、乙、丙三杯內(nèi)水的高度比變?yōu)?∶4∶5.若不計(jì)杯子厚度，則甲杯內(nèi)水的高度變?yōu)開_____公分()底面積(平方公分)甲杯60乙杯80丙杯100A．5.4B．5.7C．7.2D．7.52．(2016·長春)A、B兩種型號的機(jī)器加工同一種零件，已知A型機(jī)器比B型機(jī)器每小時(shí)多加工20個(gè)零件，A型機(jī)器加工400個(gè)零件所用時(shí)間與B型機(jī)器加工300個(gè)零件所用時(shí)間相同，求A型機(jī)器每小時(shí)加工零件的個(gè)數(shù)．3．(2015·長沙)現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展，據(jù)調(diào)查，長沙市某家小型“大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)”的快遞公司，今年三月份與五月份完成投遞的快遞總件數(shù)分別為10萬件和12.1萬件．現(xiàn)假定該公司每月的投遞總件數(shù)的增長率相同:(1)求該快遞公司投遞快遞總件數(shù)的月平均增長率；(2)如果平均每人每月最多可投遞快遞0.6萬件，那么該公司現(xiàn)有的21名快遞投遞業(yè)務(wù)員能否完成今年6月份的快遞投遞任務(wù)？如果不能，請問至少需要增加幾名業(yè)務(wù)員？4．(2016·云南)食品安全是關(guān)乎民生的重要問題，在食品中添加過量的添加劑對人體健康有害，但適量的添加劑對人體健康無害而且有利于食品的儲存和運(yùn)輸．為提高質(zhì)量，做進(jìn)一步研究，某飲料加工廠需生產(chǎn)A、B兩種飲料共100瓶，需加入同種添加劑270克，其中A飲料每瓶需加添加劑2克，B飲料每瓶需加添加劑3克，飲料加工廠生產(chǎn)了A、B兩種飲料各多少瓶？5．(2015·紹興)某校規(guī)劃在一塊長AD為18m，寬AB為13m的長方形場地ABCD上，設(shè)計(jì)分別與AD，AB平行的橫向通道和縱向通道，第5題圖(1)如圖1，若設(shè)計(jì)三條通道，一條橫向，兩條縱向，且它們的寬度相等，其余六塊草坪相同，其中一塊草坪兩邊之比AM∶AN＝8∶9，問通道的寬是多少？(2)為了建造花壇，要修改(1)中的方案，如圖2，將三條通道改為兩條通道，縱向的寬度改為橫向?qū)挾鹊?倍，其余四塊草坪相同，且每一塊草坪均有一邊長為8m，這樣能在這些草坪上建造花壇．如圖3，在草坪RPCQ中，已知RE⊥PQ于點(diǎn)E，CF⊥PQ于點(diǎn)F，求花壇RECF的面積．二、不等式的應(yīng)用熱點(diǎn)解讀利用不等式解決實(shí)際問題，關(guān)鍵是揭示數(shù)量、數(shù)量關(guān)系，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，這是熱點(diǎn)考題之一．母題呈現(xiàn)(2017·紹興模擬)為了保護(hù)環(huán)境，某開發(fā)區(qū)綜合治理指揮部決定購買A，B兩種型號的污水處理設(shè)備共10臺．已知用90萬元購買A型號的污水處理設(shè)備的臺數(shù)與用75萬元購買B型號的污水處理設(shè)備的臺數(shù)相同，每臺設(shè)備價(jià)格及月處理污水量如下表所示:污水處理設(shè)備A型B型價(jià)格(萬元/臺)mm－3月處理污水量(噸/臺)220180(1)求m的值；(2)由于受資金限制，指揮部用于購買污水處理設(shè)備的資金不超過165萬元，問有多少種購買方案？并求出每月最多處理污水量的噸數(shù)．對點(diǎn)訓(xùn)練6．(2017·益陽模擬)為響應(yīng)市政府“創(chuàng)建國家森林城市”的號召，某小區(qū)計(jì)劃購進(jìn)A、B兩種樹苗共17棵，已知A種樹苗每棵80元，B種樹苗每棵60元．(1)若購進(jìn)A、B兩種樹苗剛好用去1220元，問購進(jìn)A、B兩種樹苗各多少棵？(2)若購買B種樹苗的數(shù)量少于A種樹苗的數(shù)量，請你給出一種費(fèi)用最省的方案，并求出該方案所需費(fèi)用．7．(2015·山西)某蔬菜經(jīng)營戶從蔬菜批發(fā)市場批發(fā)蔬菜進(jìn)行零售，部分蔬菜批發(fā)價(jià)與零售價(jià)格如下表:蔬菜品種西紅柿青椒西蘭花豆角批發(fā)價(jià)(元/kg)3.65.484.8零售價(jià)(元/kg)5.48.4147.6請解答下列問題．(1)第一天，該經(jīng)營戶批發(fā)西紅柿和西蘭花兩種蔬菜共300kg，用去了1520元錢，這兩種蔬菜當(dāng)天全部售完一共能賺多少錢？(2)第二天，該經(jīng)營戶用1520元錢仍然批發(fā)西紅柿和西蘭花，要想當(dāng)天全部售完后所賺的錢不少于1050元，則該經(jīng)營戶最多能批發(fā)西紅柿多少kg?8．(2017·蘇州模擬)某汽車銷售公司經(jīng)銷某品牌A款汽車，隨著汽車的普及，其價(jià)格也在不斷下降．今年5月份A款汽車的售價(jià)比去年同期每輛降價(jià)1萬元，如果賣出相同數(shù)量的A款汽車，去年銷售額為100萬元，今年銷售額只有90萬元．(1)今年5月份A款汽車每輛售價(jià)多少萬元？(2)為了增加收入，汽車銷售公司決定再經(jīng)銷同品牌的B款汽車，已知A款汽車每輛進(jìn)價(jià)為7.5萬元，B款汽車每輛進(jìn)價(jià)為6萬元，公司預(yù)計(jì)用不多于105萬元且不少于99萬元的資金購進(jìn)這兩款汽車共15輛，有幾種進(jìn)貨方案？(3)如果B款汽車每輛售價(jià)為8萬元，為打開B款汽車的銷路，公司決定每售出一輛B款汽車，返還顧客現(xiàn)金a萬元，要使(2)中所有的方案獲利相同，a值應(yīng)是多少？此時(shí)，哪種方案對公司更有利？參考答案專題提升三以方程(組)、不等式為背景的應(yīng)用一、方程(組)的應(yīng)用【母題呈現(xiàn)】(1)設(shè)B種花木的數(shù)量是x棵，則A種花木的數(shù)量是(2x－600)棵．根據(jù)題意，得x＋(2x－600)＝6600，解得x＝2400，2x－600＝4200棵．答:A種花木的數(shù)量是4200棵，B種花木的數(shù)量是2400棵．(2)設(shè)安排y人種植A種花木，則安排(26－y)人種植B種花木．根據(jù)題意，得eq\f(4200,60y)＝eq\f(2400,40（26－y）)，解得y＝14.經(jīng)檢驗(yàn)，y＝14是原方程的根，且符合題意.26－y＝12人．答:安排14人種植A種花木，安排12人種植B種花木，才能確保同時(shí)完成各自的任務(wù)．【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.C2．設(shè)A型機(jī)器每小時(shí)加工零件x個(gè)，則B型機(jī)器每小時(shí)加工零件(x－20)個(gè)．根據(jù)題意列方程得:eq\f(400,x)＝eq\f(300,x－20)，解得:x＝80.經(jīng)檢驗(yàn)，x＝80是原方程的解．答:A型機(jī)器每小時(shí)加工零件80個(gè)．3．(1)設(shè)該快遞公司投遞快遞總件數(shù)的月平均增長率為x，根據(jù)題意得:10(1＋x)2＝12.1，解得:x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)，即月平均增長率為10%.(2)6月份的快遞數(shù)量為:12.1×1.1＝13.31(萬件)，快遞員能送的快遞數(shù)量為:21×0.6＝12.6萬件＜13.31萬件，∴不能完成快遞投遞任務(wù).22＜eq\f(13.31,0.6)＜23，∴23－21＝2(名)，即至少需要增加2名業(yè)務(wù)員．4．設(shè)A種飲料生產(chǎn)了x瓶，B種飲料生產(chǎn)了y瓶，根據(jù)題意，得:eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝100，,2x＋3y＝270，))解得:eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝30，,y＝70.))答:A種飲料生產(chǎn)了30瓶，B種飲料生產(chǎn)了70瓶．5．(1)設(shè)通道的寬度為xm，AM＝8ym，∵AM∶AN＝8∶9，∴AN＝9y.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋24y＝18，,x＋18y＝13，))解得:eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝\f(2,3).))∴通道的寬度應(yīng)設(shè)計(jì)成1m.(2)∵四塊相同草坪中的每一塊，有一條邊長為8m，若RP＝8，則AB＞13，不合題意，∴RQ＝8，∴縱向通道的寬為2m，橫向通道的寬為1m，∴RP＝6，∵RE⊥PQ，四邊形RPCQ是長方形，∴PQ＝10，∴RE·PQ＝PR·QR＝6×8，∴RE＝4.8，∵RP2＝RE2＋PE2，∴PE＝3.6，同理可得:QF＝3.6，∴EF＝2.8，∴四邊形RECF的面積＝4.8×2.8＝13.44(平方米)．答:花壇RECF的面積為13.44平方米．二、不等式的應(yīng)用【母題呈現(xiàn)】(1)eq\f(90,m)＝eq\f(75,m－3)，解得m＝18.(2)設(shè)買A型污水處理設(shè)備x臺，則B型(10－x)臺，∴18x＋15(10－x)≤165，解得x≤5，由于x是整數(shù)，則有6種方案，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝10，月處理污水量為1800噸，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝9，月處理污水量為220＋180×9＝1840噸，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝8，月處理污水量為220×2＋180×8＝1880噸，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝7，月處理污水量為220×3＋180×7＝1920噸，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝6，月處理污水量為220×4＋180×6＝1960噸，當(dāng)x＝5時(shí)，y＝5，月處理污水量為220×5＋180×5＝2000噸，答:有6種購買方案，每月最多處理污水量的噸數(shù)為2000噸．【對點(diǎn)訓(xùn)練】6．(1)設(shè)購進(jìn)A種樹苗x棵，則購進(jìn)B種樹苗(17－x)棵，得80x＋60(17－x)＝1220，解得x＝10，∴17－x＝7棵，答:購進(jìn)A種樹苗10棵，B種樹苗7棵；(2)設(shè)購進(jìn)A種樹苗x棵，則購進(jìn)B種樹苗(17－x)棵，得17－x＜x，得x＞8eq\f(1,2)，購進(jìn)A、B兩種樹苗所需費(fèi)用為80x＋60(17－x)＝(20x＋1020)元，因?yàn)锳種樹苗貴，則費(fèi)用最省需x取最小整數(shù)9，此時(shí)17－x＝8棵，這時(shí)所需費(fèi)用為20×9＋1020＝1200(元)．答:費(fèi)用最省方案為:購進(jìn)A種樹苗9棵，B種樹苗8棵．這時(shí)所需費(fèi)用為1200元．7．(1)設(shè)批發(fā)西紅柿xkg，西蘭花ykg.由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝300，,3.6x＋8y＝1520.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝200，,y＝100.))200×(5.4－3.6)＋100×(14－8)＝960(元)．答:這兩種蔬菜當(dāng)天全部售完后一共能賺960元錢．(2)設(shè)批發(fā)西紅柿xkg，由題意得(5.4－3.6)x＋(14－8)×eq\f(1520－3.6x,8)≥1050，解得:x≤100.答:該經(jīng)營戶最多能批發(fā)西紅柿100kg.8．(1)設(shè)今年5月份A款汽車每輛售價(jià)m萬元．則:eq\f(90,m)＝eq\f(100,m＋1)，解得:m＝9.經(jīng)檢驗(yàn)，m＝9是原方程的根且符合題意．答:今年5月份A款汽車每輛售價(jià)9萬元；(2)設(shè)購進(jìn)A款汽車x輛．則:99≤7.5x＋6(15－x)≤105.解得:6≤x≤10.因?yàn)閤的正整數(shù)解為x＝6，7，8，9，10，所以共有5種進(jìn)貨方案；(3)設(shè)總獲利為W元．則:W＝(9－7.5)x＋(8－6－a)(15－x)＝(a－0.5)x＋30－15a.當(dāng)a＝0.5時(shí)，(2)中所有方案獲利相同．此時(shí)，購買A款汽車6輛，B專題提升四以函數(shù)為背景的綜合運(yùn)用熱點(diǎn)解讀函數(shù)的綜合問題，一般都會用到待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，涉及比較大小、兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)等，有時(shí)會與幾何問題結(jié)合，利用數(shù)形結(jié)合巧妙地將圖形與數(shù)量關(guān)系結(jié)合起來，使數(shù)學(xué)問題更直觀、更容易解決．該類問題是中考的熱點(diǎn)．母題呈現(xiàn)2017·臺州)如圖，直線l1:y＝2x＋1與直線l2:y＝mx＋4相交于點(diǎn)P(1，b)．(1)求b，m的值；(2)垂直于x軸的直線x＝a與直線l1，l2分別交于點(diǎn)C，D，若線段CD長為2，求a的值．對點(diǎn)訓(xùn)練1．(2016·江陰模擬)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(－3，1)，B(－1，1)，C(－2，2)，當(dāng)直線y＝－eq\f(1,2)x＋b與△ABC有公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍是()A．－1≤b≤eq\f(1,2)B．－1≤b≤1C．－eq\f(1,2)≤b≤1D．－eq\f(1,2)≤b≤eq\f(1,2)第1題圖2．(2017·金華)在一空曠場地上設(shè)計(jì)一落地為矩形ABCD的小屋，AB＋BC＝10m，拴住小狗的10m長的繩子一端固定在B點(diǎn)處，小狗在不能進(jìn)入小屋內(nèi)的條件下活動，其可以活動的區(qū)域面積為S(m2(1)如圖1，若BC＝4m，則S＝____________________m2；(2)如圖2，現(xiàn)考慮在(1)中矩形ABCD小屋的右側(cè)以CD為邊拓展一正△CDE區(qū)域，使之變成落地為五邊形ABCED的小屋，其他條件不變，則在BC的變化過程中，當(dāng)S取得最小值時(shí)，邊BC的長為____________________m.第2題圖3．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C分別在y軸和x軸上，AB∥x軸，sinC＝eq\f(4,5)，點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿邊OA、AB、BC勻速運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿邊CO勻速運(yùn)動．點(diǎn)P與點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t(s)，△CPQ的面積為S(cm2)，已知S與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖2中曲線段OE、線段EF與曲線段FG給出．第3題圖(1)點(diǎn)P的運(yùn)動速度為____________________cm/s，點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為____________________，____________________；(2)求曲線FG段的函數(shù)解析式；(3)當(dāng)t為何值時(shí)，△CPQ的面積是四邊形OABC的面積的eq\f(4,13)？4．(2015·宜賓)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是矩形，AD∥x軸，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))，AB＝1，AD＝2.第4題圖(1)直接寫出B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)將矩形ABCD向右平移m個(gè)單位，使點(diǎn)A、C恰好同時(shí)落在反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(x>0)的圖象上，得矩形A′B′C′D′.求矩形ABCD的平移距離m和反比例函數(shù)的解析式．5．如圖，直線y＝－eq\f(4,3)x＋8與x軸交于A點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿AO方向向點(diǎn)O勻速運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，連結(jié)PQ，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t(s)(0＜t≤3)．(1)寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)△AQP的面積為S，試求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；并求出當(dāng)t為何值時(shí)，△AQP的面積最大？(3)當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABO相似，并直接寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．第5題圖參考答案專題提升四以函數(shù)為背景的綜合運(yùn)用【母題呈現(xiàn)】(1)∵點(diǎn)P(1，b)在直線l1:y＝2x＋1上，∴b＝2×1＋1＝3；∵點(diǎn)P(1，3)在直線l2:y＝mx＋4上，∴3＝m＋4，∴m＝－1.(2)當(dāng)x＝a時(shí)，yC＝2a＋1；當(dāng)x＝a時(shí)，yD＝4－a.∵CD＝2，∴|2a＋1－(4－a)|＝2，解得:a＝eq\f(1,3)或a＝eq\f(5,3).∴a的值為eq\f(1,3)或eq\f(5,3).【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.C2.(1)88π(2)eq\f(5,2)3．(1)2(5，4)(8，0)(2)∵當(dāng)0≤t≤2時(shí)，S＝t2；當(dāng)2≤t≤4.5時(shí)，S＝2t；當(dāng)4.5≤t≤7時(shí)，S＝－eq\f(4,5)t2＋eq\f(28,5)t；∴曲線FG段的函數(shù)解析式為S＝－eq\f(4,5)t2＋eq\f(28,5)t.(3)t＝4或t＝5.4．(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，BC＝AD＝2，∵Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))，AD∥x軸，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(1,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2))).(2)∵將矩形ABCD向右平移m個(gè)單位，∴A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3＋m，\f(3,2)))，C′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋m，\f(1,2)))，∵點(diǎn)A′，C′在反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(x>0)的圖象上，∴eq\f(3,2)(－3＋m)＝eq\f(1,2)(－1＋m)，解得:m＝4，∴A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，∴k＝eq\f(3,2)，∴矩形ABCD的平移距離m＝4，反比例函數(shù)的解析式為:y＝eq\f(3,2x).5．(1)A(6，0)，B(0，8)；(2)由勾股定理得，AB＝10，∵點(diǎn)P的速度是每秒2個(gè)單位，點(diǎn)Q的速度是每秒1個(gè)單位，∴AP＝2t，AQ＝AB－BQ＝10－t，∴點(diǎn)Q到AP的距離為AQ·sin∠OAB＝(10－t)×eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)(10－t)，∴△AQP的面積S＝eq\f(1,2)×2t×eq\f(4,5)(10－t)＝－eq\f(4,5)(t2－10t)＝－eq\f(4,5)(t－5)2＋20，∵－eq\f(4,5)＜0，0＜t≤3，∴當(dāng)t＝3時(shí)，S最大＝－eq\f(4,5)(3－5)2＋20＝eq\f(84,5)；(3)若∠APQ＝90°，則cos∠OAB＝eq\f(AP,AQ)，∴eq\f(2t,10－t)＝eq\f(6,10)，得t＝eq\f(30,13)，若∠AQP＝90°，則cos∠OAB＝eq\f(AQ,AP)，∴eq\f(10－t,2t)＝eq\f(6,10)，解得t＝eq\f(50,11)，∵0＜t≤3，∴t的值為eq\f(30,13)，此時(shí)，OP＝6－2×eq\f(30,13)＝eq\f(18,13)，PQ＝AP·tan∠OAB＝(2×eq\f(30,13))×eq\f(8,6)＝eq\f(80,13)，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,13)，\f(80,13))).專題提升五以特殊三角形為背景的探究性問題熱點(diǎn)解讀特殊三角形的探究問題，主要會把復(fù)雜圖形分解出等腰三角形、直角三角形，找相互之間的共性，從而揭示數(shù)量關(guān)系，同時(shí)又要用運(yùn)動變換的思想分析問題，抓住一些不變的圖形和不變的量、等量關(guān)系．以特殊三角形為背景的探究性問題是中考熱點(diǎn)題型．母題呈現(xiàn)(2017·紹興模擬)如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長線于點(diǎn)F.(1)求∠F的度數(shù)；(2)若CD＝2，求DF的長．對點(diǎn)訓(xùn)練如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(0，2)，B(0，6)，動點(diǎn)C在直線y＝x上．若以A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是()第1題圖A．2B．3C．4D．5(2017·營口)如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在BC上，BD＝3，DC＝1，點(diǎn)P是AB上的動點(diǎn)，則PC＋PD的最小值為()第2題圖A．4B．5C．6D．73．(2016·長春)感知:如圖1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知:DB＝DC.探究:如圖2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°，求證:DB＝DC.應(yīng)用:如圖3，四邊形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，則AB－AC＝________(用含a的代數(shù)式表示)．第3題圖4．(2016·孝感)感知:如圖1，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊BC上，BF⊥AE于點(diǎn)F，DG⊥AE于點(diǎn)G，可知△ADG≌△BAF.(不要求證明)拓展:如圖2，點(diǎn)B、C分別在∠MAN的邊AM、AN上，點(diǎn)E、F在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC，求證:△ABE≌△CAF.應(yīng)用:如圖3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AB＞BC.點(diǎn)D在邊BC上，CD＝2BD，點(diǎn)E、F在線段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC.若△ABC的面積為9，則△ABE與△CDF的面積之和為.第4題圖5．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒2cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為t秒(0＜t＜6)，過點(diǎn)D作DF⊥BC(1)試用含t的式子表示AE、AD的長；(2)如圖1，在D、E運(yùn)動的過程中，四邊形AEFD是平行四邊形，請說明理由；(3)如圖2，連結(jié)DE，當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？(4)如圖3，將△ADE沿DE翻折得到△A′DE，試問當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形AEA′D為菱形？第5題圖6．(2017·大連)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D，E分別在AC，BC上(點(diǎn)D與點(diǎn)A，C不重合)，且∠DEC＝∠A，將△DCE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DC′E′.當(dāng)△DC′E′的斜邊、直角邊與AB分別相交于點(diǎn)P，Q(點(diǎn)P與點(diǎn)Q不重合)時(shí)，設(shè)CD＝x，PQ＝y(tǒng).(1)求證:∠ADP＝∠DEC；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍．第6題圖參考答案專題提升五以特殊三角形為背景的探究性問題【母題呈現(xiàn)】∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.(2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等邊三角形．∴ED＝DC＝2.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.B2.B3．探究:如圖2中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵DA平分∠BAC，∴DE＝DF，∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD，在△DFC和△DEB中，∵∠F＝∠DEB，∠FCD＝∠B，DF＝DE，∴△DFC≌△DEB，∴DC＝DB.應(yīng)用:如圖3，連結(jié)AD，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD，在△DFC和△DEB中，∵∠F＝∠DEB，∠FCD＝∠B，DC＝DB，∴△DFC≌△DEB，∴DF＝DE，CF＝BE，在Rt△ADF和Rt△ADE中，∵AD＝AD，DE＝DF，∴△ADF≌△ADE，∴AF＝AE，∴AB－AC＝(AE＋BE)－(AF－CF)＝2BE，在Rt△DEB中，∵∠DEB＝90°，∠B＝∠EDB＝45°，BD＝a，∴BE＝eq\f(\r(2),2)a，∴AB－AC＝eq\r(2)a.故答案為:eq\r(2)a.第3題圖4．拓展:∵∠1＝∠2，∴∠BEA＝∠AFC，∵∠1＝∠ABE＋∠BAE，∠BAE＋∠DAC＝∠BAC，∠1＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ABE＋∠BAE，∴∠DAC＝∠ABE，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEB＝∠AFC，,∠ABE＝∠DAC，,AB＝AC，))∴△ABE≌△CAF(AAS)．應(yīng)用:∵在等腰三角形ABC中，AB＝AC，CD＝2BD，∴△ABD與△ADC等高，底邊比值為1∶2，∴△ABD與△ADC的面積比為1∶2，∵△ABC的面積為9，∴△ABD與△ADC面積分別為3，6；∵∠1＝∠2，∴∠BEA＝∠AFC，∵∠1＝∠ABE＋∠BAE，∠BAE＋∠DAC＝∠BAC，∠1＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ABE＋∠BAE，∴∠DAC＝∠ABE，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEB＝∠AFC，,∠ABE＝∠DAC，,AB＝AC，))∴△ABE≌△CAF(AAS)，∴△ABE與△CAF面積相等，∴△ABE與△CDF的面積之和為△ADC的面積，∴△ABE與△CDF的面積之和為6，故答案為:6.5．(1)AE＝tcm，AD＝(12－2t)cm.(2)∵DF⊥BC，∠C＝30°，∴DF＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)×2t＝t.∵AE＝t，∴DF＝AE.∵∠ABC＝90°，DF⊥BC，∴DF∥AE.∴四邊形AEFD是平行四邊形．(3)①顯然∠DFE＜90°.②如圖1，當(dāng)∠EDF＝90°時(shí)，四邊形EBFD為矩形，此時(shí)AE＝eq\f(1,2)AD，∴t＝eq\f(1,2)(12－2t)．∴t＝3.③如圖2，當(dāng)∠DEF＝90°時(shí)，此時(shí)∠ADE＝90°，∴∠AED＝90°－∠A＝30°.∴AD＝eq\f(1,2)AE.∴12－2t＝eq\f(1,2)t.∴t＝eq\f(24,5).綜上:當(dāng)t＝3秒或t＝eq\f(24,5)秒時(shí)，△DEF為直角三角形．(4)如圖3，若四邊形AEA′D為菱形，則AE＝AD.∴t＝12－2t.∴t＝4.∴當(dāng)t＝4時(shí)，四邊形AEA′D為菱形．第5題圖6．(1)如圖1，∵∠EDE′＝∠C＝90°，∴∠ADP＋∠CDE＝90°，∠CDE＋∠DEC＝90°，∴∠ADP＝∠DEC.(2)如圖1，當(dāng)C′E′與AB相交于Q時(shí)，即eq\f(6,5)＜x≤eq\f(12,7)時(shí)，過P作MN∥DC′，設(shè)∠B＝α，∴MN⊥AC，四邊形DC′MN是矩形，∴PM＝PQ·cosα＝eq\f(4,5)y，PN＝eq\f(4,3)×eq\f(1,2)(3－x)，∴eq\f(2,3)(3－x)＋eq\f(4,5)y＝x，∴y＝eq\f(25,12)x－eq\f(5,2)，當(dāng)DC′交AB于Q時(shí)，即eq\f(12,7)＜x＜3時(shí)，如圖2，作PM⊥AC于M，PN⊥DQ于N，則四邊形PMDN是矩形，∴PN＝DM，∵DM＝eq\f(1,2)(3－x)，PN＝PQ·sinα＝eq\f(3,5)y，∴eq\f(1,2)(3－x)＝eq\f(3,5)y，∴y＝－eq\f(5,6)x＋eq\f(5,2).綜上所述，y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)x＋\f(5,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,7)<x<3))，,\f(25,12)x－\f(5,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)<x≤\f(12,7))).))第6題圖專題提升六以平行四邊形為背景的探究性問題熱點(diǎn)解讀解決平行四邊形和特殊平行四邊形問題，一方面要充分利用圖形本身的性質(zhì)，另一方面轉(zhuǎn)化為特殊三角形，這樣便于揭示圖中的數(shù)量關(guān)系．要用運(yùn)動變換的思想去分析問題，揭示圖中不變的圖形和圖形之間不變的關(guān)系．以平行四邊形為背景的探究性問題是中考熱點(diǎn)題型．母題呈現(xiàn)(2017·湖州模擬)已知:如圖，在?ABCD中，O為對角線BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線EF分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連結(jié)BE，DF.(1)求證:△DOE≌△BOF；(2)當(dāng)∠DOE等于多少度時(shí)，四邊形BFDE為菱形？請說明理由．對點(diǎn)訓(xùn)練1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(－2，1)，B(－2，－1)，O(0，0)．若以A、B、C、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，那么點(diǎn)C的坐標(biāo)是____________________．2．(2017·湖州模擬)如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E，F(xiàn)分別為AD，CD上的動點(diǎn)，且AE＋CF＝2，則線段EF長的最小值是____________________．第2題圖3．正方形ABCD的邊長為1cm，M、N分別是BC、CD上兩個(gè)動點(diǎn)，且始終保持AM⊥MN，當(dāng)BM＝____________________cm時(shí)，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為____________________cm2.第3題圖4．(2015·河北)嘉淇同學(xué)要證明命題“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”是正確的，她先用尺規(guī)作出了如圖的四邊形ABCD，并寫出了如下不完整的已知和求證．第4題圖已知:如圖，在四邊形ABCD中，BC＝AD，AB＝____________________.求證:四邊形ABCD是____________________四邊形．(1)在橫線上填空，以補(bǔ)全已知和求證；(2)按嘉淇的想法寫出證明:(3)用文字?jǐn)⑹鏊C命題的逆命題為____________________．5．在同一平面內(nèi)，△ABC和△ABD如圖1放置，其中AB＝BD.小明做了如下操作:將△ABC繞著邊AC的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△CEA，將△ABD繞著邊AD的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△DFA，如圖2，請完成下列問題:(1)試猜想四邊形ABDF是什么特殊四邊形，并說明理由；(2)連結(jié)EF，CD，如圖3，求證:四邊形CDFE是平行四邊形．第5題圖6．準(zhǔn)備一張矩形紙片，按如圖操作:將△ABE沿BE翻折，使點(diǎn)A落在對角線BD上的M點(diǎn)，將△CDF沿DF翻折，使點(diǎn)C落在對角線BD上的N點(diǎn)．(1)求證:四邊形BFDE是平行四邊形；(2)若四邊形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面積．第6題圖7．(2015·綿陽模擬)如圖，已知△ABC中，AB＝AC，D為△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，過D作DE∥AB，DF∥AC分別交直線AC、直線AB于點(diǎn)E、F.(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，通過觀察分析線段DE、DF、AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上，其他條件不變時(shí)，試猜想線段DE、DF、AB之間的數(shù)量關(guān)系(請直接寫出等式，不需證明)；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過D作DE∥AB，DF∥AC分別交直線AC、直線AB和直線BC于E、F和G.試猜想線段DE、DF、DG與AB之間的數(shù)量關(guān)系(請直接寫出等式，不需證明)．第7題圖8.(2016·寧夏)如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，動點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿AB向點(diǎn)B移動；同時(shí)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，仍以每秒1個(gè)單位的速度，沿BC向點(diǎn)C移動，連結(jié)QP，QD，PD.若兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動的時(shí)間為x秒(0＜x≤3)，解答下列問題:(1)設(shè)△QPD的面積為S，用含x的函數(shù)關(guān)系式表示S；當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值？并求出最小值；(2)是否存在x的值，使得QP⊥DP？試說明理由．第8題圖9．(2017·舟山)如圖，AM是△ABC的中線，D是線段AM上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)．DE∥AB交AC于點(diǎn)F，CE∥AM，連結(jié)AE.第9題圖(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與M重合時(shí)，求證:四邊形ABDE是平行四邊形；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不與M重合時(shí)，(1)中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；(3)如圖3，延長BD交AC于點(diǎn)H，若BH⊥AC，且BH＝AM.①求∠CAM的度數(shù)；②當(dāng)FH＝eq\r(3)，DM＝4時(shí)，求DH的長．參考答案專題提升六以平行四邊形為背景的探究性問題【母題呈現(xiàn)】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴∠EDO＝∠FBO，∠OED＝∠OFB.∴△DOE≌△BOF(AAS)．(2)當(dāng)∠DOE＝90°時(shí)，四邊形BFDE為菱形，理由如下:∵△DOE≌△BOF，∴DE＝BF.又∵ED∥BF，∴四邊形BEDF是平行四邊形．∵∠DOE＝90°，∴EF⊥BD.∴?BEDF是菱形．【對點(diǎn)訓(xùn)練】1．(0，－2)，(0，2)，(－4，0)2.eq\r(3)3.eq\f(1,2)eq\f(5,8)4．(1)CD平行(2)證明:連結(jié)BD.在△ABD和△CDB中，∵AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB，∴△ABD≌△CDB.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴AB∥CD，AD∥CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形．(3)平行四邊形的兩組對邊分別相等第4題圖5．(1)四邊形ABDF是菱形．理由如下:∵△ABD繞著邊AD的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△DFA，∴AB＝DF，BD＝FA，∵AB＝BD，∴AB＝BD＝DF＝FA，∴四邊形ABDF是菱形；(2)∵四邊形ABDF是菱形，∴AB∥DF，且AB＝DF，∵△ABC繞著邊AC的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△CEA，∴AB＝CE，BC＝EA，∴四邊形ABCE為平行四邊形，∴AB∥CE，且AB＝CE，∴CE∥FD，CE＝FD，∴四邊形CDFE是平行四邊形．6．(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠EBD＝∠FDB，∴EB∥DF，∵ED∥BF，∴四邊形BFDE為平行四邊形．(2)∵四邊形BFDE為菱形，∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝30°，∵∠A＝90°，AB＝2，∴AE＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3)，BF＝BE＝2AE＝eq\f(4\r(3),3)，∴菱形BFDE的面積為:eq\f(4\r(3),3)×2＝eq\f(8\r(3),3).7．(1)DE＋DF＝AB.理由如下:∵DE∥AB，DF∥AC，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴DE＝AF.∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠FDB＝∠B，∴DF＝FB，∴DE＋DF＝AF＋FB＝AB；(2)當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上時(shí)，分三種情況:①當(dāng)點(diǎn)D在CB延長線上時(shí)，如圖1，AB＝DE－DF；②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，同(1)，AB＝DE＋DF；③當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí)，如圖2，AB＝DF－DE；(3)AB＝DE＋DF＋DG.第7題圖8．(1)∵四邊形ABCD為矩形，∴BC＝AD＝4，CD＝AB＝3，當(dāng)運(yùn)動x秒時(shí)，則AQ＝x，BP＝x，∴BQ＝AB－AQ＝3－x，CP＝BC－BP＝4－x，∴S△ADQ＝eq\f(1,2)AD·AQ＝eq\f(1,2)×4x＝2x，S△BPQ＝eq\f(1,2)BQ·BP＝eq\f(1,2)(3－x)x＝eq\f(3,2)x－eq\f(1,2)x2，S△PCD＝eq\f(1,2)PC·CD＝eq\f(1,2)·(4－x)·3＝6－eq\f(3,2)x，又S矩形ABCD＝AB·BC＝3×4＝12，∴S＝S矩形ABCD－S△ADQ－S△BPQ－S△PCD＝12－2x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x－\f(1,2)x2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(3,2)x))＝eq\f(1,2)x2－2x＋6＝eq\f(1,2)(x－2)2＋4，即S＝eq\f(1,2)(x－2)2＋4，∴S為開口向上的二次函數(shù)，且對稱軸為直線x＝2，∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，S隨x的增大而減小，當(dāng)2＜x≤3時(shí)，S隨x的增大而增大，又當(dāng)x＝0時(shí)，S＝6，當(dāng)x＝3時(shí)，S＝eq\f(9,2)，但x的范圍內(nèi)取不到x＝0，∴S不存在最大值，當(dāng)x＝2時(shí)，S有最小值，最小值為4；(2)存在，理由如下:由(1)可知BQ＝3－x，BP＝x，CP＝4－x，當(dāng)QP⊥DP時(shí)，則∠BPQ＋∠DPC＝∠DPC＋∠PDC，∴∠BPQ＝∠PDC，且∠B＝∠C，∴△BPQ∽△CDP，∴eq\f(BQ,PC)＝eq\f(BP,CD)，即eq\f(3－x,4－x)＝eq\f(x,3)，解得x＝eq\f(7＋\r(13),2)(舍去)或x＝eq\f(7－\r(13),2)，∴當(dāng)x＝eq\f(7－\r(13),2)時(shí)，QP⊥DP.9．(1)如圖1中，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠ABM，∵CE∥AM，∴∠ECD＝∠ADB，∵AM是△ABC的中線，且D與M重合，∴BD＝DC，∴△ABD≌△EDC，∴AB＝ED，∵AB∥ED，∴四邊形ABDE是平行四邊形．(2)結(jié)論:成立．理由如下:如圖2中，過點(diǎn)M作MG∥DE交CE于G.∵CE∥AM，∴四邊形DMGE是平行四邊形，∴ED＝GM，且ED∥GM，由(1)可知AB＝GM，AB∥GM，∴AB∥DE，AB＝DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形．(3)①如圖3中，取線段HC的中點(diǎn)I，連結(jié)MI，∵BM＝MC，∴MI是△BHC的中位線，∴MI∥BH，MI＝eq\f(1,2)BH，∵BH⊥AC，且BH＝AM.∴MI＝eq\f(1,2)AM，MI⊥AC，∴∠CAM＝30°.②設(shè)DH＝x，則AH＝eq\r(3)x，AD＝2x，∴AM＝4＋2x，∴BH＝4＋2x，∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴DF∥AB，∴eq\f(HF,HA)＝eq\f(HD,HB)，∴eq\f(\r(3),\r(3)x)＝eq\f(x,4＋2x)，解得x＝1＋eq\r(5)或1－eq\r(5)(舍棄)，∴DH＝1＋eq\r(5).第9題圖專題提升七以圓的切線為背景的計(jì)算與證明熱點(diǎn)解讀直線與圓相切時(shí)，常用的輔助線是過切點(diǎn)的半徑，且構(gòu)造直角三角形來解決問題；動圓與直線相切(或動直線與圓相切)時(shí)，要注意有兩種位置．直線與圓相切是中考常見題型．母題呈現(xiàn)(2017·常德)如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD與⊙O相切于C，BE∥CO.(1)求證:BC是∠ABE的平分線；(2)若DC＝8，⊙O的半徑OA＝6，求CE的長．對點(diǎn)訓(xùn)練1．(2016·臺州)如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以邊AB的中點(diǎn)O為圓心，作半圓與AC相切，點(diǎn)P，Q分別是邊BC和半圓上的動點(diǎn)，連結(jié)PQ，則PQ長的最大值與最小值的和是()A．6B．2eq\r(13)＋1C．9D.eq\f(32,2)第1題圖2．如圖，若以平行四邊形一邊AB為直徑的圓恰好與對邊CD相切于點(diǎn)D，則∠C＝____________________度．第2題圖3．如圖，AB，BC，CD分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G.且AB∥CD.BO＝6cm，CO＝8cm，則BE的長為____________________cm.第3題圖4．如圖，平面直角坐標(biāo)系的長度單位是厘米，直線y＝－eq\f(\r(3),3)x＋6分別與x軸、y軸相交于B、A兩點(diǎn)．點(diǎn)C在射線BA上以3厘米/秒的速度運(yùn)動，以C點(diǎn)為圓心作半徑為1厘米的⊙C.點(diǎn)P以2厘米/秒的速度在線段OA上來回運(yùn)動，過點(diǎn)P作直線l∥x軸．若點(diǎn)C與點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)B、點(diǎn)O開始運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，則在整個(gè)運(yùn)動過程中直線l與⊙C最后一次相切時(shí)t＝____________________秒．第4題圖5．(2016·天津)在⊙O中，AB為直徑，C為⊙O上一點(diǎn)．(1)如圖1.過點(diǎn)C作⊙O的切線，與AB的延長線相交于點(diǎn)P，若∠CAB＝27°，求∠P的大?。?2)如圖2，D為弧AC上一點(diǎn)，且OD經(jīng)過AC的中點(diǎn)E，連結(jié)DC并延長，與AB的延長線相交于點(diǎn)P，若∠CAB＝10°，求∠P的大?。?題圖6．如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F在AC的延長線上，且AC＝CF，∠CBF＝∠CFB.第6題圖(1)求證:直線BF是⊙O的切線；(2)若點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是弧AB的三等分點(diǎn)，當(dāng)AD＝5時(shí)，求BF的長；(3)填空:在(2)的條件下，如果以點(diǎn)C為圓心，r為半徑的圓上總存在不同的兩點(diǎn)到點(diǎn)O的距離為5，則r的取值范圍為______________________．7.(2017·山西)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，OD⊥AB，與AC交于點(diǎn)E，與過點(diǎn)C的⊙O的切線交于點(diǎn)D.(1)若AC＝4，BC＝2，求OE的長；(2)試判斷∠A與∠CDE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．第7題圖8．(2017·玉林)如圖，AB是⊙O的直徑，AC是上半圓的弦，過點(diǎn)C作⊙O的切線DE交AB的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作切線DE的垂線，垂足為D，且與⊙O交于點(diǎn)F，設(shè)∠DAC，∠CEA的度數(shù)分別是α，β.(1)用含α的代數(shù)式表示β，并直接寫出α的取值范圍；(2)連結(jié)OF與AC交于點(diǎn)O′，當(dāng)點(diǎn)O′是AC的中點(diǎn)時(shí)，求α，β的值．第8題圖參考答案專題提升七以圓的切線為背景的計(jì)算與證明【母題呈現(xiàn)】(1)∵DE是切線，∴OC⊥DE，∵BE∥CO，∴∠OCB＝∠CBE，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠CBE＝∠CBO，∴BC平分∠ABE.(2)在Rt△CDO中，∵DC＝8，OC＝OA＝6，∴OD＝eq\r(CD2＋OC2)＝10，∵OC∥BE，∴eq\f(DC,CE)＝eq\f(DO,OB)，∴eq\f(8,CE)＝eq\f(10,6)，∴CE＝4.8.【對點(diǎn)訓(xùn)練】1．C2.453.3.64.eq\f(26,7)5．(1)如圖，連結(jié)OC，∵⊙O與PC相切于點(diǎn)C，∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°，∵∠CAB＝27°，∴∠COB＝2∠CAB＝54°，在Rt△COP中，∠P＋∠COP＝90°，∴∠P＝90°－∠COP＝36°；(2)∵E為AC的中點(diǎn)，∴OD⊥AC，即∠AEO＝90°，在Rt△AOE中，由∠EAO＝10°，得∠AOE＝90°－∠EAO＝80°，∴∠ACD＝eq\f(1,2)∠AOD＝40°，∵∠ACD是△ACP的一個(gè)外角，∴∠P＝∠ACD－∠A＝40°－10°＝30°.第5題圖6．(1)如圖，∵∠CBF＝∠CFB，∴CB＝CF.又∵AC＝CF，∴CB＝eq\f(1,2)AF，∴△ABF是直角三角形，∴∠ABF＝90°，即AB⊥BF.又∵AB是直徑，∴直線BF是⊙O的切線．第6題圖(2)如圖，連結(jié)DO，EO，∵點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是弧AB的三等分點(diǎn)，∴∠AOD＝60°.又∵OA＝OD，∴△AOD是等邊三角形，∴OA＝AD＝OD＝5，∠OAD＝60°，∴AB＝10.∴在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，BF＝AB·tan60°＝10eq\r(3)；(3)如圖，連結(jié)OC.則OC是Rt△ABF的中位線，∵由(2)知，BF＝10eq\r(3)，∴中位線OC＝5eq\r(3)，∵⊙O半徑OA＝5.∴5eq\r(3)－5＜r＜5eq\r(3)＋5.7．(1)∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得:AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，∴OA＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(5)，∵OD⊥AB，∴∠AOE＝∠ACB＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△AOE∽△ACB，∴eq\f(OE,BC)＝eq\f(OA,AC)，即eq\f(OE,2)＝eq\f(\r(5),4)，解得:OE＝eq\f(\r(5),2).第7題圖(2)∠CDE＝2∠A，理由如下:連結(jié)OC，如圖所示:∵OA＝OC，∴∠1＝∠A，∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∴∠2＋∠CDE＝90°，∵OD⊥AB，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠3＝∠CDE，∵∠3＝∠A＋∠1＝2∠A，∴∠CDE＝2∠A.8．(1)連結(jié)OC.∵DE是⊙O的切線，∴OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAE＝2α，∵∠D＝90°，∴∠DAE＋∠E＝90°，∴2α＋β＝90°(0°＜α＜45°)．第8題圖(2)連結(jié)OF交AC于O′，連結(jié)CF.∵AO′＝CO′，∴AC⊥OF，∴FA＝FC，∴∠FAC＝∠FCA＝∠CAO，∴CF∥OA，∵AF∥OC，∴四邊形AFCO是平行四邊形，∵OA＝OC，∴四邊形AFCO是菱形，∴AF＝AO＝OF，∴△AOF是等邊三角形，∴∠FAO＝2α＝60°，∴α＝30°，∵2α＋β＝90°，∴β＝30°，∴α＝β＝30°.專題提升八以圖形變換為背景的作圖與計(jì)算一、圖形變換的作圖與計(jì)算熱點(diǎn)解讀圖形變換要揭示變換過程中的隱含條件；對比變換前后圖形中的對應(yīng)量，從而找到問題中的等量關(guān)系而求解．該題型是中考常用題型．母題呈現(xiàn)1．(2017·北京市海淀區(qū)模擬)如圖，在△ABC中，AB＝2，AC＝4，將△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，使CB′∥AB，分別延長AB，CA′相交于點(diǎn)D，則線段BD的長為.2．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長都是1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△AB′C′.(1)在正方形網(wǎng)格中，畫出△AB′C′；(2)計(jì)算線段AB在變換到AB′的過程中掃過區(qū)域的面積．對點(diǎn)訓(xùn)練1．如圖所示把一張長方形紙片對折，折痕為AB，再以AB的中點(diǎn)O為頂點(diǎn)，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展開鋪平后得到的平面圖形一定是()第1題圖A．正三角形B．正方形C．正五邊形D．正六邊形2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，3)，△OAB沿x軸向右平移后得到△O′A′B′，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)在直線y＝eq\f(3,4)x上，則點(diǎn)B與其對應(yīng)點(diǎn)B′間的距離為______________________．第2題圖3．(2016·廣州)如圖，△ABC中，AB＝AC，BC＝12cm，點(diǎn)D在AC上，DC＝4cm.將線段DC沿著CB的方向平移7cm得到線段EF，點(diǎn)E，F(xiàn)分別落在邊AB，BC上，則△EBF的周長為第3題圖第4題圖4．(2016·溫州)如圖，將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，使點(diǎn)A′落在BC的延長線上．已知∠A＝27°，∠B＝40°，則∠ACB′＝度．5．(2016·內(nèi)江)如圖所示，已知點(diǎn)C(1，0)，直線y＝－x＋7與兩坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，D，E分別是AB，OA上的動點(diǎn)，則△CDE周長的最小值是.第5題圖6．(2017·寧波)如圖，在菱形紙片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處，折痕為FG，點(diǎn)F，G分別在邊AB，AD上，則cos∠EFG的值為____________________．第6題圖7．(2016·畢節(jié))如圖，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC繞A點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△ADE，連結(jié)BD，CE交于點(diǎn)F.(1)求證:△AEC≌△ADB；(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，當(dāng)四邊形ADFC是菱形時(shí)，求BF的長．第7題圖二、旋轉(zhuǎn)變換中探究性問題熱點(diǎn)解讀旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等，所以借此可以在較復(fù)雜的圖形中發(fā)現(xiàn)等量(或全等)關(guān)系，或通過旋轉(zhuǎn)(割補(bǔ))圖形，把分散的已知量聚合起來，便于打通解題思路，疏通解題突破口．用旋轉(zhuǎn)來設(shè)計(jì)中考題是命題策略之一．母題呈現(xiàn)(2017·襄陽)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中線，AC＝BC，一個(gè)以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使角的兩邊分別與AC、BC的延長線相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，DF與AC交于點(diǎn)M，DE與BC交于點(diǎn)N.(1)如圖1，若CE＝CF，求證:DE＝DF；(2)如圖2，在∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，①探究三條線段AB，CE，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若CE＝4，CF＝2，求DN的長．對點(diǎn)訓(xùn)練8．(2016·丹東模擬)如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(3).將矩形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至矩形AB′C′D′，使得點(diǎn)B′恰好落在對角線BD上，連結(jié)DD′，則DD′的長度為()A.eq\r(3)B.eq\r(5)C.eq\r(3)＋1D．2第8題圖9．(2016·大連模擬)如圖1，教室里有一只倒地的裝垃圾的灰斗，BC與地面的夾角為50°，∠C＝25°，小賢同學(xué)將它扶起平放在地面上(如圖2)，則灰斗柄AB繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動的角度為____________________．第9題圖10．(2016·蘇州模擬)如圖，邊長為6的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個(gè)動點(diǎn)，連結(jié)EC，將線段EC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到FC，連結(jié)DF.則在點(diǎn)E運(yùn)動過程中，DF的最小值是____________________．第10題圖11．(2016·福州模擬)已知，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)P在直線BC上，點(diǎn)G在直線AD上(P、G不與正方形頂點(diǎn)重合，且在CD的同側(cè))，PD＝PG，DF⊥PG于點(diǎn)H，交直線AB于點(diǎn)F，將線段PG繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，連結(jié)EF.(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G分別在線段BC與線段AD上時(shí)．①求證:DG＝2PC；②求證:四邊形PEFD是菱形；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G分別在線段BC與線段AD的延長線上時(shí)，請猜想四邊形PEFD是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想．第11題圖12.現(xiàn)有一副直角三角板，已知含45°角的直角三角板的斜邊恰與含30°角的直角三角板的較長直角邊完全重合(如圖1)．即△C′DA′的頂點(diǎn)A′、C′分別與△BAC的頂點(diǎn)A、C重合．現(xiàn)在讓△C′DA′固定不動，將△BAC通過變換使斜邊BC經(jīng)過△C′DA′的直角頂點(diǎn)D.(1)如圖2，將△BAC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度α(0°＜α＜180°)，使BC邊經(jīng)過點(diǎn)D，則α＝____________________°；(2)如圖3，將△BAC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使BC邊經(jīng)過點(diǎn)D.試說明:BC∥A′C′；(3)如圖4，若將△BAC沿射線A′C′方向平移m個(gè)單位長度，使BC邊經(jīng)過點(diǎn)D，已知AB＝eq\r(2)，求m的值．第12題圖參考