2023年高考理科數(shù)學(xué)《函數(shù)的定義與性質(zhì)》題型訓(xùn)練

2023年高考理科數(shù)學(xué)《函數(shù)的定義與性質(zhì)》題型歸納與訓(xùn)練

【題型歸納】

題型一求函數(shù)的定義域、值域

例1(1)函數(shù)/(x)=Jin(JX2-3χ+2+J---3χ+4)的定義域?yàn)?)

X

A.(-∞,-4)U[2,+∞)；B.(-4,0)U(0,1)；C.[,T,0)U(0,l]DI,O)U(0,1)

(2)設(shè)/(χ)=Ig/二，則/[5)+/[彳)的定義域?yàn)?)

A.(-4,0)U(0,4);B.(-4-l)∪(l,4);C(一2,-I)U(1,2)；D.(-4-2)U(2,4)

【答案】(1)D；(2)B

【解析】(1)欲使函數(shù)有意義，必須并且只需

X2-3x+2≥0

—x~—3x+4≥0

<l__________=X∈[-4,0)U(0,1)，故應(yīng)選擇

Jx~—3x+2+J-—3x+4>0

x≠Q(mào)

—2<--<2,

(2)由2＞0得，的定義域?yàn)橐?＜無(wú)＜2,故，2

2—%

-2<-<2.

X

解得x∈(TT)(1,4)。故/的定義域?yàn)?一4,—1)U(1,4).選B.

【易錯(cuò)點(diǎn)】抽象函數(shù)的定義域

【思維點(diǎn)撥】如沒(méi)有標(biāo)明定義域，則認(rèn)為定義域?yàn)槭沟煤瘮?shù)解析式有意義的的取值范圍，實(shí)際操作時(shí)要注

意：①分母不能為0；②對(duì)數(shù)的真數(shù)必須為正；③偶次根式中被開(kāi)方數(shù)應(yīng)為非負(fù)數(shù)；④零指數(shù)幕中，底數(shù)

不等于0；⑤負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)基中，底數(shù)應(yīng)大于0；⑥若解析式由幾個(gè)部分組成，則定義域?yàn)楦鱾€(gè)部分相應(yīng)集合

的交集；⑦如果涉及實(shí)際問(wèn)題，還應(yīng)使得實(shí)際問(wèn)題有意義，而且注意：研究函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題一定要注意定

義域優(yōu)先原則，實(shí)際問(wèn)題的定義域不要漏寫(xiě)。求復(fù)合函數(shù)定義域,即已知函數(shù)的定義為，則函數(shù)/Tg(x)］的

定義域是滿足不等式a≤g(x)≤b的X的取值范圍;一般地,若函數(shù)/［g(x)］的定義域是,指的是X∈［a,b］,

要求的定義域就是Xe［a,b↑時(shí)的值域。

x~+2x+ci

例2.已知函數(shù)/(x)=:-------------,x∈［l,+∞).

(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；

(2)若對(duì)任意X∈［1,+8),/(Λ)>O恒成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍。

7

【答案】(1)在區(qū)間［1,+8)上的最小值為/⑴=］

(2)。>一3

【解析】(D當(dāng)α=’時(shí)，f{x)=x+-+2,f?x)=?一一二

22x2X2

,∕,(x)>0,在區(qū)間［1,+8)上為增函數(shù)。

7

在區(qū)間［l,+∞)上的最小值為/(1)=-o

r~4-?r4-/7

(2)f(x)=-——>0在區(qū)間［1,+oo)上恒成立；

X

χ2+2x+a>0在區(qū)間工+00)上恒成立；

X2+2x>-a在區(qū)間［1,+oo)上恒成立；

函數(shù)y=/+2χ在區(qū)間［l,+oθ)上的最小值為3,-fl<3

即α>-3

【易錯(cuò)點(diǎn)】不會(huì)求函數(shù)的值域。

【思維點(diǎn)撥】對(duì)于函數(shù)/(x)=X+1-+2,若,則優(yōu)先考慮用均值不等式求最小值,但要注意等號(hào)是否成立,

2x

否則會(huì)得到/(X)=(x+，-)+2≥2+2=√2+2

2x

而認(rèn)為其最小值為、歷+2,但實(shí)際上，要取得等號(hào)，必須使得X=」-,這時(shí)xed,+8)

2x2

所以，用均值不等式來(lái)求最值時(shí)，必須注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式恒成立問(wèn)題常

轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值。本題考查求函數(shù)的最小值的三種通法：利用均值不等式，利用函數(shù)單調(diào)性，二次函

數(shù)的配方法，考查不等式恒成立問(wèn)題以及轉(zhuǎn)化化歸思想；

題型二函數(shù)圖像

例1(1)函數(shù)y=e"T-∣x-1］的圖象大致是()

(2)設(shè)函數(shù)的集合

P=<f(x)-?og2(x+a)+ba?--,θ,?,1;/?=-1,0,1■,

平面上點(diǎn)的集合

Q=?(x,y)x=-pθ?l;y=-l,O,l■,

則在同一直角坐標(biāo)系中，中函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過(guò)中兩個(gè)點(diǎn)的函數(shù)的個(gè)數(shù)是

(A)4(B)6(C)8(D)10

(3)如圖所示，一質(zhì)點(diǎn)P(χ,y)在平面上沿曲線運(yùn)動(dòng)，速度大小不變，其在軸上的投影點(diǎn)Q(X,O)的運(yùn)動(dòng)速度

V=VQ)的圖象大致為)

【答案】⑴D；

(2)答案B

(3)答案B

13

【解析】(1)當(dāng)時(shí)，y=x-(x-l)=l,可以排除A和C；又當(dāng)X=］時(shí)，y=∣,可以排除B

13

(2)當(dāng)時(shí)，y=χ-(χ-1)=1,可以排除A和C；又當(dāng)x=2時(shí)，?=-,可以排除B

22

(3)解析由圖可知，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)P(X,y)在兩個(gè)封閉曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，投影點(diǎn)。(X,O)的速度先由正到0、到

負(fù)數(shù)，再到0,到正，故錯(cuò)誤；質(zhì)點(diǎn)尸(χ,y)在終點(diǎn)的速度是由大到小接近0,故錯(cuò)誤；質(zhì)點(diǎn)P(χ,y)在

開(kāi)始時(shí)沿直線運(yùn)動(dòng)，故投影點(diǎn)Q(χ,O)的速度為常數(shù)，因此是錯(cuò)誤的，故選.

【易錯(cuò)點(diǎn)】不能很好的領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想。

【思維點(diǎn)撥】可以從特殊點(diǎn)、極限、定義域、值域、函數(shù)的性質(zhì)角度思考

122

例2求函數(shù)〃x)=,9(X-3)2+(爐-I2)+∣9χ+fχ-^j的最小值.

【答案】∕≥τ

【解析】由于丫+三一

l∕(x)=(x—34…①

3y???

2(??3

令y=上x(chóng)，此為拋物線方程，其焦點(diǎn)為F[θ,]J,準(zhǔn)線方程為y=-：,

記點(diǎn)A(3,4),則①可以改寫(xiě)為

I/(%)=7(-^-3)2+(y-4)2+Jχ2+b-^，它表示為拋物線上的

點(diǎn)M(X,y)到點(diǎn)A與到焦點(diǎn)尸的距離之和：^f=MA+MF,注意點(diǎn)A在拋物線的上方，由于點(diǎn)例到焦

點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離：Λ∕?=MH,故當(dāng)點(diǎn)M移至使在垂線A"∣上時(shí)，M4+MH的值最小,

?1g1IQ57

為AΛ∕∣+Λ∕"∣=A∕7∣=4+巳==，即一/2上，所以∕≥3L

,1144344

【易錯(cuò)點(diǎn)】不能很好的領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想。

【思維點(diǎn)撥】因數(shù)配形。

題型三函數(shù)的性質(zhì)

例1(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽,若/(x+l)與/(X—1)都是奇函數(shù)，則()

A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)

Cj(X)=/(x+2)DJ(X+3)是奇函數(shù)

(2)對(duì)于正實(shí)數(shù)，記為滿足下述條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：?玉,々eR且々>西，有

-a(x2-xl)</(x2)-/(x1)<cz(x2-%l).下列結(jié)論中正確的是()

A.若/(X)∈此］,g(X)∈Ma2,則/(x)?g(x)∈Mαi?ɑ2

B.若/(x)eΛ√ɑi,g(x)eMα2,且g*)H。，貝

g(χ)法

c.?∕(x)∈Mαl,g(x)∈此2，則∕3+g(x)eM"∣+α2

D.若/(x)∈Λfɑ],g(?)∈Ma2,且%>/，則/(x)-g(x)eM0∣-α2

【答案】(1)D；(2)C；

【解析】(1)/(x+l)與/(x—D都是奇函數(shù)，

.?√(-x+l)=-∕(x+l),∕(-x-D=-f(x-1),

函數(shù)關(guān)于點(diǎn)，及點(diǎn)(—1,0)對(duì)稱(chēng)，函數(shù)是周期7=2口一(一1)]=4的周期函數(shù).

.?./(-Λ-1+4)=-∕(Λ-1+4),/(—X+3)=—/(X+3),即/(x+3)是奇函數(shù)。故選D

(2)對(duì)于一一玉)</(々)-/(XI)<。(工2-XI)，即有一a<~~/"I<a,令

龍2一玉

,3)'"'J=,,有一α<左<α,不妨設(shè)/(x)WMzI,g(x)∈Ma2,即有一4<即<四,

X2~Xl

-a2<kg<a2,因此有一α∣<μ+與<，+%，因此有/(x)+g(x)6/°1+42?

【易錯(cuò)點(diǎn)】函數(shù)性質(zhì)掌握不夠透徹

【思維點(diǎn)撥】構(gòu)造函數(shù)、特殊化、數(shù)形結(jié)合、推理論證

x∈(0,+∞).

例2.已知函數(shù)小)=τ?+τ?r信'

(1).當(dāng)α=8時(shí)，求/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2).對(duì)任意正數(shù)α,證明：l<∕(x)<2.

【答案】F(X)在(0,1]中單調(diào)遞增,而在口,+8)中單調(diào)遞減.

【解析】(1)、當(dāng)α=8時(shí)，/(X)=:亙+！，求得r(x)=—

于是當(dāng)x∈(o,ι時(shí),∕,(x)≥0;而當(dāng)XGn,+8)時(shí)，∕,(x)≤o.

即F(X)在(0,1］中單調(diào)遞增，而在［1,+00)中單調(diào)遞減.

(2).對(duì)任意給定的α>0,Λ>0,由/(x)

Q111

若令b=—，貝IJCibx=8...①，而于(尤)=iT—/T—/...②

ClXyj?-?-XΛ∕1+Q>J?+b

(一)、先證/(x)>l;因?yàn)橐?---,----->-----,r>-->

√l+x1+x√1+Σ]+α√l+?l+?

又由2+α+L+x≥2j^+≥闌2abx=8,得α+A+x≥6.所以

?,1111113+2(〃+/?+%)+(Clb+0r+bx)

f(Xx)=/H—/H—/>-----------1-----------1---------

√l+x√1+ΣJl+/?1+x]+Ql+?(l+x)(l+α)(l+力

、9+((2+∕?+x)+(ab+ox+bx)1+(tι÷∕?+x)+(ab+ox+bx)+abx1

(1+x)(l+Q)(1+。)(1+x)(l+α)(l+Z?)

(二)、再證/(x)<2;由①、②式中關(guān)于x,α,人的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)XNa2爪則0<0≤2

(i)-.當(dāng)a+Z??7,則α≥5,所以無(wú)≥α≥5,因?yàn)橐?<1,

√l+?

112,…\111

-/H—/≤-/<1,此時(shí)f(X)——]H—/H—]<2.

√l+x√1+Σ√l+5√l+x√1+ΣJl+/?

(ii)、當(dāng)a+b<7……③，由①得，x=§,-TL=J—

ab√1+ΛNab+8

因?yàn)棣?<>上+h2，[1——--]2所以-J=<ι——--

7④

1+b4(1+?)22(1+份√∏與2(1+勿

同理得/<1-------------⑤，于是

√l+A2(1+a)

/(x)<2-∣ab

---------1---------⑥

、1+Q1+〃?！?8,

今證明T?+T?>2忌?一⑦,因?yàn)?/p>

只要證—————即ab+8>(?+a)(l+b),也即α+0<7,據(jù)③，此為顯然.因此⑦

(l+^)(l+?)。8+8

得證.故由⑥得f(x)<2.

綜上所述，對(duì)任何正數(shù)α,X,皆有l(wèi)<∕(x)<2.

【易錯(cuò)點(diǎn)】函數(shù)性質(zhì)掌握不夠透徹

【思維點(diǎn)撥】構(gòu)造函數(shù)、特殊化、數(shù)形結(jié)合、推理論證

【鞏固訓(xùn)練】

題型一求函數(shù)的定義域和值域

1.設(shè)表示不超過(guò)的最大整數(shù)(如[2]=2,[5]=1),對(duì)于給定的N*,定義C；=〃(〃-D—目+1),[1,+00),

4X(X—1)■(?—Ixj+1)

-3、

求當(dāng)-,3時(shí)，函數(shù)的值域

L2)

【答案】(4,1]U(可,28]

v

【解析】(4,—]∪(—,28]；當(dāng)xe[3,2)時(shí)，[x]=l,C8=-,因?yàn)楹瘮?shù)〃在B,2)上是減函數(shù)，

332X尤2

得4<日≤3;當(dāng)xe[2,3)時(shí)，㈤=2,=56,因?yàn)?<x(xT)<6,由單調(diào)性得

X3x(x-l)

—<-56-≤28,故當(dāng)∣^±3]時(shí)，函數(shù)的值域是(4,3]U(型,28]

3X(X-I)L2)33

2.設(shè)函數(shù)/(X)=In4三，則函數(shù)g(x)=/(-)+/(?)的定義域是.

2-X2X

【答案】(-4,—)U(—,4)

22

-2<-<2

2+無(wú)

【解析］由士±」>0得，的定義域?yàn)橐?<x<20故12

2-Λ

-2<-<2

X

解得一4<x<一工或LVXV4。

22

3.求函數(shù)f(x)=J—廠+1OX—9+?∣-f+68x—256的最大值.

【答案】最大值3莊.

【解析】f(x)=√(x-l)(9-x)+λ∕(x-4)(64-X),則定義域?yàn)?≤x≤9.

為了從兩個(gè)根式中移出相同的常數(shù)，注意(X-1)+(64-X)=63,即

9—X

令?=sin夕,—^―=COS/?,夕為銳角;

所以JX-I=V^COSα,?j9-x=?/?cosβ,764-Λ=?/e?sina,

?∣x-4=V^Sinβ,于是,

f(x)=3Λ∕35(COSaCOS∕?+Sinasinβ}=3√35cos(a-∕?)≤3√35,當(dāng)α=/?時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)

x—19—x(X-I)+(9—x)

~63^~~5~~63+5

8_2126,126143而詈∈[4,9]

x—l——,x=l+——

68^∏171717

即當(dāng)X=史，/(X)取得最大值3屈.

解二：利用4ab+4cd≤y∣(a+c)(b+d)，

(因?yàn)?b+Cd+2&由Cd≤ab+cd+(ad+hc),即+VZJ)?≤(a+c)(b+d),

兩邊開(kāi)方便得上式，其中取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)αd=bc):

因此f(x)=yJ(x-V)(9-x)+Λ∫(64-x)(x-4)≤λ∕(x-l+64-x)(9-x+x-4)

=√63^5=3√35,其中取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)(x—l)(x—4)=(9—x)(64-x),即x=——.

題型二函數(shù)圖像問(wèn)題

1.已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足/(x—4)=—/(x),且在區(qū)間［0,2］上是增函數(shù),若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間

［一8,8］上有四個(gè)不同的根玉,工2，工3，％4,則玉+工2+%3+/=.

【答案】-8

【解析】因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)，滿足/(X—4)=—/(x),所以/(x—4)=.f(—x),所以，由為奇函數(shù),所

以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)且/(0)=0,由/(%-4)=-/(%)知/(x—8)=f(x),所以函數(shù)是以8為周期的周

期函數(shù),又因?yàn)樵趨^(qū)間［0,2］上是增函數(shù),所以在區(qū)間［-2,0］上也是增函數(shù).如圖所示,那么方程0）=111（01>0）在區(qū)

間［一8,8］上有四個(gè)不同的根玉,工2，工3，彳4，不妨設(shè)演<%2<%3<%4由對(duì)稱(chēng)性知X∣+々=-12七+/=4所

以％+%2+X3+X4=-12+4=—8

2.如圖，動(dòng)點(diǎn)在正方體ABC。-A4GA的對(duì)角線上.過(guò)點(diǎn)作垂直于平面。。的直線，與正方體表面

相交于M,N.設(shè)BP=%,MN=y,則函數(shù)y=∕（x）的圖象大致是（）

A.

【答案】B；

【解析】過(guò)點(diǎn)作垂直于平面B4A。的直線，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，線與正方體表面相交于M,N兩點(diǎn)形成的軌跡

為平行四邊形，可以看出與的變化趨勢(shì)是先遞增再遞減，并且在的中點(diǎn)值時(shí)取最大

3.證明：滿足不等式‘1一+—2++—竺200一>10的實(shí)數(shù)X的集合E可以表為一些互不相交的開(kāi)區(qū)間之

x-lx-2x-200

并，試求出這些區(qū)間長(zhǎng)度的總和.

200

【答案】S=Zxj-IOX2010=2010

i=l

12200

【解析】考慮函數(shù)/(X)=——+——++——――10,由于當(dāng)x<l時(shí)，/(x)<(),故在區(qū)間(—8,1)

x—1%-2x-200

內(nèi)，不存在使/(x)>()的實(shí)數(shù)X；

對(duì)于集｛1,2,,200｝中的任一個(gè)上,由于當(dāng)x→Z-0時(shí)，/(Λ)→-∞,而當(dāng)

x→Z+O時(shí)，/(x)→+8,且當(dāng)X→?F8時(shí)，x→-10,所以方程/(x)=0在區(qū)間

(1,2),(2,3),,(199,200),(20(),+∞)內(nèi)各有一個(gè)解；依次記這200個(gè)解為x∣,%，,?>

于是函數(shù)y=f(x)的圖像大致如下:

y

今構(gòu)作多項(xiàng)式P(X)=(X—l)(x—2)(x-2(X))√(x),由于P(X)是一個(gè)200次多項(xiàng)式，故方程

P(X)=O至多有200個(gè)互異根，顯然每個(gè)使/(x)=0的Xj都是P(X)=O的根(注意

X=1,2,,200都不是P(X)=O的根，因?yàn)槊總€(gè)X=左均使/(x)無(wú)意義).

因此七,工2，，Woo便是P(X)=O的全部根.這表明,每個(gè)隊(duì)是其所在區(qū)間

(k,k+l),k=?,2,,199及(200,4W)中的唯一根.

從而不等式/(X)>O的解集是E=(Lx)UQ,/)-:.(200,?),故得所有區(qū)間長(zhǎng)度的總和為

—

S=(x∣—1)+(%22)++(X2oo—200)

200

=(x1÷x2++x200)-(1+2++200)=XXj-IOX2010......①

/=1

12200

注意p(%)=(x-l)(x-2)(x-200)?(—→—-++——-10)…②

x-lx-2%-200

如將P(X)展開(kāi)，其最高項(xiàng)系數(shù)為-10,設(shè)

2001m

p(x)=-IOx+alx"+a2x+???+αl99x+a200......③

XWP(X)=-IO(X-Xl)(X-X2)--(X-X200)......④

200I

據(jù)③④得，EWal(其中4為P(X)的￠99的系數(shù))

/=1lθ

下面由②直接計(jì)算的系數(shù)q:

1?7∩n

由于在MX)=(X—l)(x—2)(x-200)?(——+——++—--------10)中，寸99的系數(shù)是

X—1X—2X—200

L

10?(l+2++200)=10x20100,(這是因?yàn)椋?x—l)(x—2)(x—200)?-中，x"9的系數(shù)為女，

x-k

Z=I,2,,200.)

所以P(X)中的/9的系數(shù)是QO+1).20100,即Ol=11-20100；

2001200

從而ZXj=-4=11x2010.由①得，S=ZXj-IOX2010=2010.

I=IlθI=I

題型三函數(shù)的性質(zhì)

1.設(shè)函數(shù)/(x)在(—,KO)上滿足/(2—x)=∕(2+x),∕(7-x)=∕(7+x),且在閉區(qū)間上，只有

/(1)=/(3)=0.

(I)試判斷函數(shù)y=∕(x)的奇偶性；

(11)試求方程/(x)=0在閉區(qū)間【-2005,2005]上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】(I)方法一：若是偶函數(shù)，則

/(-X)=/[2-(x+2)]=∕[2+(x+2)]=/(4+X)=/(x)

于是有/(7)=/(4+3)=/(3)=0,這與在閉區(qū)間上，只有/(1)=/(3)=0.矛盾

故不是偶函數(shù)；

若是奇函數(shù)，則/(O)=/(-0)=—/(0)=0,這與在閉區(qū)間上，只有/(1)=/(3)=0.矛盾，故若不是奇

函數(shù)

所以既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)

方法二：因?yàn)樵陂]區(qū)間上，只有/(1)=/(3)=0.故/(0)≠0,即不是奇函數(shù)

又由/(2-x)=∕(2+x)知,/(-1)=/(5),而/(5)≠0,所以/(—1)≠0,又/⑴=0.

所以/(一1)￥/?),可見(jiàn)不是偶函數(shù)

所以既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)

(H)方法一：因?yàn)?(X)=∕T2+(X-2)]=力2-(x-2)]=∕(4-x)

/W=∕[7+(x-7)]=/[7-(x-7)]=∕(14-x)

所以/(14-x)=∕(4-x),即/[10+(4-x)]=/(4-X)

所以/(10+x)=/(%),即f(x)=f(x+lθn)(n∈Z)

X/(D=/(3)=O.,所以x=l(M+l和X=I0〃+3(〃eZ)都是方程/(x)=0的根

由一2005≤10;1+1≤2(X)5和一2005≤10n+3≤2005及“eZ得到

n=0,±l,zt2,???,±200

故方程/(x)=0在閉區(qū)間[一2005,2005]上的根至少有802個(gè)

如果存在Ce(7,10]使得/(c)=0,則/(14-C)=/(c)=0

但7>14-cN4,這與在閉區(qū)間上，只有/(1)=/(3)=0.矛盾

故/(x)=O在［0,10］上只有兩個(gè)根，即和

設(shè)是方程/(x)=0在閉區(qū)間［-2005,2005］上任意一個(gè)根，則存在整數(shù)，使得

d=iθn+r,r^［0,10］,且f(d)=/(10〃+r)=/(r)=0

由上可知或，所以。=Io"+1或d=10"+3CneZ)

所以故方程/(x)=0在閉區(qū)間［-2005,2005］上僅有802個(gè)根

方法二：由/(X)=。2+(%—2)］=02—。-2)］=/(4—力

=/［7-(3+x)］=∕［7+(3+x)］=/(10+x)知是周期為10的函數(shù)，

由/(7-x)=/(7+x)知的圖象關(guān)于直線X=7對(duì)稱(chēng)

又因?yàn)?(x)=0在上僅有/(1)=/(3)=0.所以/(x)=0在［7,10］上沒(méi)有根

即/(x)=0在［0,10］上只有兩個(gè)根，即和

于是，/(x)=0在［0,2000］內(nèi)只有400個(gè)根，在［2000,2005］上僅有2個(gè)根，在［—2000,0］內(nèi)僅有400個(gè)

根，在［—2005,-2000］上沒(méi)有根。

所以故方程/(x)=0在閉區(qū)間［一2005,2005］上僅有802個(gè)根

γ

2.定義在R上的奇函數(shù)有最小正周期4,且x∈(0,2)時(shí)，/W=F求在［-2,2］上的解析式。

0,x∈{-2,0,2},(—4,-■-)U(?,4)

【答案】/(X)=

22

【解析】(1)當(dāng)一2<x<0時(shí)，0<-x<2,∕(-x)=^—

9^jr+l9v+l

γ

又為奇函數(shù)，；./(X)=-/(-》)=--，

1+9

當(dāng)時(shí)，由/(-0)=-/(0)=>∕(0)=0/(x)有最小正周期4,

.?-∕(-2)=/(-2+4)=/(2)n/(-2)=/(2)=0

(3"

-?-,0<x<2,

9'+l

綜上，/(X)=0,x∈{-2,0,2},

3Λ'

一一?—,-2<x<0

[9v+l

3.已知函數(shù)的圖象在回可上連續(xù)不斷，定義：

工(x)=min{/(r)|?≤r≤x)(x∈[Λ,?]),f2(X)=max{∕(∕)∣w≤f≤x)(x∈[?,/?]),

其中min{∕(x)IXe￡)}表示函數(shù)/(x)在。上的最小值，max{∕(x)∣x∈￡>}表示函數(shù)/(x)在。上的最大

值.若存在最小正整數(shù)3使得Λ(x)-Z(x)MMX-")對(duì)任意的X∈[a,b]成立，則稱(chēng)函數(shù)“x)為[”封上的“Z

階收縮函數(shù)

(I)若/(x)=COSX,XE[O,Λ?],試寫(xiě)出工(x),&(x)的表達(dá)式;

(H)已知函數(shù)/U)=/,χ∈[-l,4],試判斷/(x)是否為[-1,4]上的“上階收縮函數(shù)”，如果是，求出

對(duì)應(yīng)的A；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由;

(Ill)已知b>0,函數(shù)〃x)=-v+3f是［0,可上的2階收縮函數(shù)，求6的取值范圍.

【答案】最大值3莊.

【解析】(I)由題意可得/(X)=COSX,X∈[θ,jτ],力(X)=1,x∈[θ,%].

x∈[-1,0)χ∈[-l,l)

(II)E(X)=

OXw[0,4]"：2x∈[l,4]

1-X2Λ∈[-1,0)

人(x)-/(X)=TX∈[O,1)

X2x∈[l,4]

當(dāng)xw[-l,0]時(shí)，I-X2≤k(χ+ι),解得左≥l-%,故左≥2;

當(dāng)Xe(0,1)時(shí)，l≤Z(x+l),解得左≥-L,故∕≥1;

x+1

當(dāng)x∈[l,4]時(shí)，X2≤A(x+l),解得攵≥-^?,故女≥?^,

綜上所述，k≥-.

5

即存在％=4,使得/(x)是上的4階收縮函數(shù).

(III)∕,(x)=-3X2+6x=-3x(%-2),令/(力=0,得X=O或X=2.

函數(shù)Γ(χ)，/(χ)的變化情況如下:

X(-∞,o)O(0,2)2(2,+∞)

廣⑺-O+O-

?(?)減極小值O增極大值4減

令"x)=0,解得X=O或3.

(i)6≤2時(shí)，/(x)在[0,句上單調(diào)遞增，因此，^(X)=∕(Λ)=-X3+3