山東省青島市萊西市2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)

初四數(shù)學(xué)試題

（考試時(shí)間：120分鐘；滿分：120分）

說明：

1.本試題分第I卷和第H卷兩部分，共25題.第I卷為選擇題，共8小題，24分；第n卷為

非選擇題，共17小題，96分.

2.所有題目均在答題卡上作答，在試題上作答無效.

第I卷（選擇題共24分）

一、選擇題（本題滿分24分，共8道小題，每小題3分）

2023

1.已知2022則。的倒數(shù)是（)

2022202220232022

A.B.--------C.--------D.

2023202320222021

【答案】A

【解析】

【分析】直接根據(jù)倒數(shù)的定義：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：-一20匕2士3的倒數(shù)是—2022

20222023

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了倒數(shù)的求法，掌握倒數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

2.下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠

互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)18（）°,如果

旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心，進(jìn)行逐

一判斷即可.

【詳解】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故A選項(xiàng)不合題意；

B、既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故B選項(xiàng)符合題意；

C、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故C選項(xiàng)不合題意：

D、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故D選項(xiàng)不合題意.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)

稱圖形的定義.

3.地球是太陽(yáng)系由內(nèi)及外的第三顆行星，也是太陽(yáng)系中直徑、質(zhì)量和密度最大的類地行星，距離太陽(yáng)約1.496

億千米（1天文單位）.用科學(xué)記數(shù)法表示1.496億為（）

A.1.496xl06B.1496xlO3C.1.496xl08D.1.496xl09

【答案】C

【解析】

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中l(wèi)4|a|<10,〃為整數(shù).確定〃的值時(shí)，要看把原數(shù)

變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.

【詳解】解：1.496億千米=149600000千米=1.496x10'千米，

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中l(wèi)4|a|<10,n

為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定。的值以及”的值.

4.如圖是一種“工”型液壓機(jī)的配件，它的左視圖是（）

【答案】A

【解析】

【分析】左視圖是從物體左面看，所得到的圖形.

【詳解】解：從物體左面看，是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的內(nèi)部有兩條橫向的實(shí)線.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關(guān)鍵.注意所有看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在三視圖中.

5.下列運(yùn)算正確的是……()

A.。2+“三B.(.ah)2=ab2C.(a+h)，=@+力D.(.a+h)(a-h)=a2-h-

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)整式加法判定A；運(yùn)用積的乘方計(jì)算關(guān)判定B；運(yùn)用完全平方公式計(jì)算并判定C；運(yùn)用平方

差公式計(jì)算并判定D.

【詳解】解：A.N+.3沒有同類項(xiàng)不能合并，故此選項(xiàng)不符合題意；

B.(ab)2-a2b2,故此選項(xiàng)不符合題意；

C.(a+b)2=4+2浦+爐，故此選項(xiàng)不符合題意

D.(.a+b)(a-b)-a2-b2,故此選項(xiàng)符合題意

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查整理式加法，積的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟練掌握積的乘方運(yùn)算法則、完

全平方公式、平方差公式是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，是匚。的兩條直徑，E是劣弧的中點(diǎn)，連接8C,DE.若〃WC=22°,則

A.22°B.32°C.34°D.44°

【答案】C

【解析】

【分析】連接由題意易得NOC3=NABC=22。，則有NCOB=136。，然后可得NCOE=68°,

進(jìn)而根據(jù)圓周角定理可求解.

【詳解】解：連接0E,如圖所示:

cE

D

?：OB=OC,ZABC=22°,

ZOCB=ZABC^22°,

：.NCOB=136。,

是劣弧8C的中點(diǎn)，

ZCOE=-ZCOB=6S°,

2

NCO￡=LNCOE=34。；

2

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理及垂徑定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理及垂徑定理是解題的關(guān)健.

7.我們?cè)谕赓u平臺(tái)點(diǎn)單時(shí)會(huì)有點(diǎn)餐用的錢和外賣費(fèi)6元，我們計(jì)算了點(diǎn)單的總額和不計(jì)算外賣費(fèi)的總額的

數(shù)據(jù)，則兩種情況計(jì)算出的數(shù)據(jù)一樣的是（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.方差

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)和方差的特點(diǎn)，這組數(shù)據(jù)都加上6得到一組新的數(shù)據(jù)，方差不變，平

均數(shù)，中位數(shù)改變，眾數(shù)改變，即可得出答案.

【詳解】解：將這組數(shù)據(jù)都加上6得到一組新的數(shù)據(jù)，

則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)改變，眾數(shù)改變，中位數(shù)改變，但是方差不變；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義.理解求解一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，眾數(shù)，中位

數(shù)，方差時(shí)的內(nèi)在規(guī)律，掌握“新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)之間在這四個(gè)統(tǒng)計(jì)量上的內(nèi)在規(guī)律”是解本題的關(guān)鍵.

8.二次函數(shù)y=a?+Ox+c（a,b,c為常數(shù)，a^Q）中的》與》的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

X…-1013???

y???-1353???

下列結(jié)論不正確的是()

A.ac<0B.當(dāng)xNL5時(shí)，>的值隨x值的增大而減小

C.方程+(b—l)x+c=O無實(shí)數(shù)根D.當(dāng)一1<X<3時(shí)，itv*+(h—l)x+c>。

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=匕2=1.5,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)分

2

析判斷即可得解.

【詳解】解：由圖表中數(shù)據(jù)可得出：x=l時(shí)，y=5值最大，

所以二次函數(shù)y="？+/?x+c開口向下，a<0；

又x=()時(shí)，>=3,所以c=3>(),

所以ac<(),故A正確，不符合題意；

?.?二次函數(shù)y=aV+灰開口向下，且對(duì)稱軸為》=等=1.5,

.?.當(dāng)XNL5時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，故B正確，不符合題意；

:尤=3時(shí)，y=3,

9。+38+c=3,

c=3,

9a+3Z?+3=3,

**?9a+3Z?=0,

9Q+3〃—3+3=0,

.?.3是方程辦2+S—1)%+C=O的一個(gè)根，故C不正確，符合題意；

：戶一1時(shí)，ax2+bx+c=-\<

%=-1時(shí)、tzx2+(/?-l)x+c=0,

：x=3時(shí)，O￥2+(/?-1)X+C=0,且函數(shù)有最大值，

.,.當(dāng)一l<x<3時(shí)，cv^+(h-\)x+c>Q,故D正確，不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與X軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)與不

等式，有一定難度.熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

第II卷（非選擇題共96分）

二.填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

9.計(jì)算后-J/x房的結(jié)果是.

【答案】-底

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式的四則運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可求解.

【詳解】解：原式=2指-■x3石

=2瓜-3瓜

故答案為：—壓.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題，計(jì)算過程中細(xì)心即可求解.

10.一次演講比賽中，評(píng)委將從演講內(nèi)容、演講能力、演講效果三個(gè)方面為選手打分.各項(xiàng)成績(jī)均按百分制

計(jì)，然后再按演講內(nèi)容占5（）%,演講能力占4（）%、演講效果占1（）%,計(jì)算選手的綜合成績(jī)（百分制）.進(jìn)

入決賽的前兩名選手的單項(xiàng)成績(jī)?nèi)绫硭荆瑒t獲得第一名的選手為.

選手演講內(nèi)容演講能力演講效果

小明908090

小紅809090

【答案】小明

【解析】

【分析】利用加權(quán)平均數(shù)的定義計(jì)算出兩人選手的綜合成績(jī)，從而得出答案.

【詳解】小明的綜合成績(jī)?yōu)椋?0x50%+80x40%+90xl0%=86（分）；

小紅的綜合成績(jī)?yōu)椋?0x50%+90x40%+90xl0%=85（分）；

86>85,

???獲得第一名的選手為小明.

故答案為：小明

【點(diǎn)睛】本題主要考查加權(quán)平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握加權(quán)平均數(shù)的定義.

11.端午節(jié)是中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日，人們有吃粽子的習(xí)俗.利群商廈從5月12日起開始打折促銷，肉粽六折，白

粽七折，打折前購(gòu)買4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后購(gòu)買5盒肉粽和10盒臼粽需360元.設(shè)打折前

每盒肉粽的價(jià)格為x元，每盒白粽的價(jià)格為丫元，則可列方程組.

4x+5y=350

【答案】

3x+7y=360

【解析】

【分析】由題意：打折前購(gòu)買4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后購(gòu)買5盒肉粽和10盒白粽需360元,

列出二元一次方程組即可.

4x+5y=350

【詳解】解:由題意得:

'5x0.6x+10x0.7y=360

'4x+5y=350

整理得:

3x+7y=360

4x+5.y=350

故答案為：＜

3x+7y=360

【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題

的關(guān)鍵.

12.如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3),點(diǎn)8在x軸上，把AOAB沿x軸向右平移到AECD,若四邊形ABOC的

面積為9,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

【分析】過點(diǎn)A作AHLx軸于點(diǎn)兒得到A”=3,根據(jù)平移的性質(zhì)證明四邊形A8Z)C是平行四邊形，得到

AC=BD,根據(jù)平行四邊形的面積是9得至I」BDAH=9,求出8。即可得到答案.

【詳解】過點(diǎn)A作AHLx軸于點(diǎn)H,

VA(1,3),

：.AH=3,

由平移得AB〃CQ,AB=CD,

四邊形ABDC是平行四邊形,

：.AC=BD,

?：BDAH=9,

：.BD=3,

：.AC=3,

；.C(4,3),

故答案為：(4,3).

【點(diǎn)睛】此題考查平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，直角坐標(biāo)系中

點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系.

13.如圖，在矩形ABC。中，AB=2,對(duì)角線AC,80的交點(diǎn)為0,分別以A、。為圓心，A8的長(zhǎng)為

半徑畫弧，恰好經(jīng)過點(diǎn)。，則圖中陰影部分的面積為.（結(jié)果保留萬）.

【答案】3上-土兀

3

【解析】

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到O8=OC=Q4=OC，AB=DC,再結(jié)合分別以A、。為圓心A3的長(zhǎng)為

半徑畫弧恰好經(jīng)過點(diǎn)0,可推出0DC是等邊三角形，最后根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可

得到結(jié)論.

【詳解】???四邊形ABCO是矩形，AB=2,

AOB=OC=OA=OC,AB=DC=2,0為5。中點(diǎn)，

?..分別以A、。為圓心，A6的長(zhǎng)為半徑畫弧，恰好經(jīng)過點(diǎn)。，

OB=OC=OA=OC=AB=DC=2，

，.OA8、—ODC是等邊三角形,

ZBAO=NCW=60°,

.__60°xlx2?_2.71

??3扇形=3扇形a,。-痛心=~，

OB=OC=OA=OC=AB=DC=2,

：.60=4，

AD=VBD2—AB2=\IA2—22=2-J?>'

???SVAOD=；SVABO=；x；x2x2g=G,

...陰影部分的面積=S矩形ASS-S扇形804-S扇形coo-SAOD

=2x2?—

故答案為：3-\/3------.

3

【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積公式，矩形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟

練運(yùn)用扇形的面積公式以及三角形的面積公式，本題屬于中等題型.

14.如圖，正方形A8CO中，AB=6,點(diǎn)E在邊CO上，ilCD=3DE,將VADE沿AE對(duì)折至"FE，

延長(zhǎng)Eb交邊BC于點(diǎn)G,連接AG、CF.下列結(jié)論正確的序號(hào)有.

Ig

①ZVIBG羔△AF’G；②BG=GC；③4G〃C「；④qGC尸是等邊三角形；⑤5（松=二.

【答案】①②③⑤

【解析】

【分析】由翻折的性質(zhì)可得AE=AD，44￡￡=/。=90°，。￡=石尸，由“HL”證明RtAA/JG2RtZVUG,

得出①正確；由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得3G=FG,再求出DE的長(zhǎng)，設(shè)3G=x,得出CG、EG,由

勾股定理列出方程求出x,得出BG=FG=CG,得出②正確；由等邊對(duì)等角可得NGb=NGFC,由

全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得NAGS=NAGP,由三角形的外角性質(zhì)得出NBGFuNGCF+NGPC,得出

ZAGB=NGCF,即可證出AG〃CE,得出③正確；求出468=/6€尸。60°，得出④錯(cuò)誤；然后

求出_C￡G的面積，再根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出ACG尸的面積，得出⑤正確.

【詳解】解：AD后沿AE對(duì)折至八鈿國(guó)，

:.AF=AD，ZAFE=ZD=90°,DE=EF，

四邊形ABC。是正方形，

:.AB=AD^

AB=AF,

在RtAABGflRtAAFG中，

AG=AG

AB=AF'

?■?RtABG^Rt.AFG(HL),故①正確；

BG=FG,

AB=6,CD=3DE,

DE=2>CE=6—2=4,

設(shè)3G=x,則CG=6—x,EG=x+2,

在Rt^CEG中，CG2+CE2=EG2>

即(6—X)2+4?=(X+2)2,

解得：x=3,

:.BG=FG=CG=3,故②正確；

4GCF=4GFC，

由RtZ\A8G和Rt^AfG得，ZAGB-ZAGF,

由三角形的外角性質(zhì)，ZBGF=ZGCF+ZGFC.

ZAGB=/GCF,

AG//CF,故③正確；

'：AB=2BG,

：./BAGH30。,

/.ZAGB=ZGCF^60°,即一GCF不是等邊三角形，故④不正確;

二CEG的面積=,CG?CE=!x3x4=6,

22

318

.上CFG的面積=x6=不，故⑤正確；

故答案為：①②③⑤.

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用；熟練

掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵.

三.作圖題（本題滿分4分）用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.

15.已知：Na,線段a.

求作：矩形A8CQ,使對(duì)角線的夾角為/a,對(duì)角線長(zhǎng)為a.

【答案】畫圖見解析

【解析】

【分析】作射線AM，在射線AM上截取線段AC,使得AC=a,作線段AC的垂直平分線垂足為0,

作NAON=a,以。為圓心。4為半徑畫弧，交直線QV于點(diǎn)8,點(diǎn)。，連接AO，BC,四邊形ABCQ

即為所求.

【詳解】解：如圖，四邊形A3CO即為所求.

理由如下：

由作圖可得：OA=OC=OB=OD,

四邊形ABC。是矩形，

而AC=a,ZAON=a,

四邊形ABC。即為所求作的矩形.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，靈活運(yùn)

用所學(xué)知識(shí)解決問題.

四.解答題（本大題共10小題，共74分）

16.計(jì)算

⑵解不等式組〈x+3x+2.

----+1>----

I32

【答案】（1）金

a

（2）x<l

【解析】

【分析】（1）先把括號(hào)內(nèi)通分，再把除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，然后把分子分母因式分解，最后約分即可;

（2）分別解兩個(gè)不等式得到xWl和x<6,然后根據(jù)同小取小確定不等式組的解集.

小問1詳解】

（4-3）24-2

a{a-2）a-3

a—3

【小問2詳解】

‘3（x-l）W2x-2①

解①得x<1>

解②得x<6,

所以不等式組的解集為xWL

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算：分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順

序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的.也考查了解一元一次不等式組.

17.如圖，將下列3張撲克牌洗勻后數(shù)字朝下放在桌面上.

(1)從中隨機(jī)抽取1張，抽得撲克牌上的數(shù)字為3的概率為；

(2)從中隨機(jī)抽取2張，用列表或畫樹狀圖的方法，求抽得2張撲克牌的數(shù)字不同的概率.

2

【答案】(1)-

(2)-

3

【解析】

【分析】(1)直接由概率公式求解即可；

(2)列表或畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中抽到2張撲克牌的數(shù)字不同的結(jié)果有4種，再由概率

公式求解即可.

小問1詳解】

解：根據(jù)題意，3張撲克牌中，數(shù)字為2的撲克牌有一張，數(shù)字為3的撲克牌有兩張，

2

從中隨機(jī)抽取1張，抽得撲克牌上的數(shù)字為3的概率為:，

_2

故答案為：—;

【小問2詳解】

解：畫樹狀圖如下：

開始

233

八八八

332323

如圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中抽到2張撲克牌的數(shù)字不同的結(jié)果有4種,

_42

抽得2張撲克牌的數(shù)字不同的概率為P=-=一.

【點(diǎn)睛】本題考查用列表或畫樹狀圖求概率，列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏地列出所有可能的結(jié)

果，適合兩步或兩步以上完成的事件，解題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確利用列表法或畫樹狀圖法找出總情況數(shù)及所求

情況數(shù).

18.某校計(jì)劃成立學(xué)生體育社團(tuán)，為了解學(xué)生對(duì)不同體育項(xiàng)目的喜愛情況，學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行

“我最喜愛的一個(gè)體育項(xiàng)目”問卷調(diào)查，規(guī)定每人必須并且只能在“籃球”“足球”“乒乓球”“健美

操”“跑步”五個(gè)項(xiàng)目中選擇一項(xiàng)，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

“我最喜愛的一個(gè)體育項(xiàng)目”學(xué)生人數(shù)分布扇形統(tǒng)計(jì)圖

請(qǐng)解答下列問題：

（1）在這次調(diào)查中，該校一共抽樣調(diào)查了名學(xué)生，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“跑步”項(xiàng)目所對(duì)應(yīng)的扇形圓心

角的度數(shù)是°;

（2）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）若該校共有1200名學(xué)生，試估計(jì)該校學(xué)生中最喜愛“籃球”項(xiàng)目的人數(shù).

【答案】（1）200,72

（2）補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖見解析

（3）估計(jì)該校學(xué)生中最喜愛“籃球”項(xiàng)目的有180名

【解析】

【分析】（1）利用選擇乒乓球的人數(shù)+所占百分比得到總?cè)藬?shù)，再利用選擇跑步的人數(shù)+總?cè)藬?shù)得到跑步所

占的百分比，利用360°x百分比即可得到圓心角度數(shù)；

（2）先求出選擇足球的人數(shù)，再補(bǔ)全條形圖即可；

（3）用總體數(shù)量X喜愛籃球項(xiàng)目的人所占的百分比即可得解.

【小問1詳解】

60-5-30%=200（名），

40

在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“跑步”項(xiàng)目所對(duì)應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)是360°x——=72°,

200

故答案為：200,72；

【小問2詳解】

選擇足球的學(xué)生有：200—30—60—20—40=50（人），

補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：

“我最喜愛的一個(gè)體育項(xiàng)目”學(xué)生人數(shù)條形統(tǒng)計(jì)圖

【小問3詳解】

200

答：估計(jì)該校學(xué)生中最喜愛“籃球”項(xiàng)目的有180名.

【點(diǎn)睛】本題考查條形圖和扇形圖綜合應(yīng)用.從條形圖和扇形圖中有效的獲取信息，熟練掌握相關(guān)計(jì)算

公式是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸A,B兩點(diǎn)間的距離，數(shù)學(xué)興趣小組在河岸南側(cè)選定觀測(cè)點(diǎn)C,測(cè)得A,B均在

C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測(cè)點(diǎn)。，測(cè)得A在。的正北方向，B在。的北偏西

53°方向上.求A,8兩點(diǎn)間的距離.參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,cos37°?0.80,tiin37°?0.75.

【答案】96米

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得AACD是直角三角形，解RtAACD可求出AC的長(zhǎng)，再證明她口）是直角三角形,

求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)4B=AC-BC可得結(jié)論.

【詳解】解：；A,8均在C的北偏東37。方向上，A在。的正北方向，且點(diǎn)。在點(diǎn)C的正東方，

A4CD是直角三角形，

48=90°—37°=53°,

ZA=90°-ZBCD=90o-53°=37°,

在RsACD中,——=sinNA,C￡>=90米,

AC

????Sr荒="0米,

,/ZCDA=90°,ABDA=53°,

ZBDC=90°-53°=37°,

ABCD+ZBDC=370+53°=90°，

：.ZCBD=90°,即ABC。是直角三角形，

?BC一./RM

??------sinNBZJC，

CD

：.BC=CD-sinZBDC=90x0.60=54米，

AB=AC-3C=150-54=96米，

答：A,B兩點(diǎn)間的距離為96米.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形-方向角問題的應(yīng)用，解一般三角形，求三角形的邊或高的問題一般

可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.

20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)>="+匕和反比例函數(shù)y=的圖象都經(jīng)過點(diǎn)4(3,根)，

如-3).

(1)求加，〃的值和一次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)直接寫出不等式丘+匕2-色成立時(shí)，x的取值范圍.

X

【答案】(1)機(jī)=一2,n=2,丁二%—5

(2)%23或0<xK2

【解析】

【分析】(1)先由4(3,加)，伏〃,一3)在反比例函數(shù)丁=-9的圖象上求出加=—2,〃=2,得A(3,—2),

k=\

3(2,-3),再代入y="+b,解得<,即可得一次函數(shù)的表達(dá)式為y=x-5；

b=-5

(2)畫出大致圖象，數(shù)形結(jié)合即可得到不等式區(qū)+82-9的解集.

X

【小問1詳解】

解：將A(3,m),倒〃,-3)代入y=—￡得：

x

66

m----,-3=—,解得m=-2,〃=2,

3”

AA(3,-2),B(2,-3),

將A(3,-2),8(2,-3)代入)，=丘+。得:

2=3左+。心=1

，解得，「

—3=2k+bb=-5

，一次函數(shù)的表達(dá)式為y=%-5；

【小問2詳解】

圖象大致如圖：

根據(jù)圖象可得，不等式履+02-9的解集是3或0<xW2.

x

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法和數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

21.【實(shí)踐探究】

小明在學(xué)習(xí)“因式分解”時(shí)，用如圖1所示編號(hào)為①②③④的四種長(zhǎng)方體各若干塊，進(jìn)行實(shí)踐探究：

X

(1)現(xiàn)取其中兩個(gè)拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，如圖2,據(jù)此寫出一個(gè)多項(xiàng)式的因式分解：.

【問題解決】

(2)若要用這四種長(zhǎng)方體拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為(X+1)的正方體，需要②號(hào)長(zhǎng)方體個(gè)，③號(hào)長(zhǎng)方體

個(gè)，據(jù)此寫出一個(gè)多項(xiàng)式的因式分解：

【拓展與延伸】

(3)如圖3,在一個(gè)邊長(zhǎng)為。的正方體中挖出一個(gè)邊長(zhǎng)為人的正方體，據(jù)此寫出

【答案】(1)x3+x*2=x2(x+l)

⑵3,3,x3+3x2+3x+\=(x+\)3

(3)^a-b)[cr+ab+b2^

【解析】

【分析】(1)根據(jù)圖2所示，用字母表示出小長(zhǎng)方體的體積，再表示出大長(zhǎng)方體的體積，它們體積相等，由

此即可求解；

(2)①號(hào)是長(zhǎng)，寬，高為x的正方體，②號(hào)是長(zhǎng)，寬為x,高為1的長(zhǎng)方體，③號(hào)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為x,寬，高

為1的長(zhǎng)方體，④號(hào)是長(zhǎng)，寬，高為1的正方體，要拼成棱長(zhǎng)為(x+1)的正方體，整體的體積等于幾個(gè)小長(zhǎng)

方體的體積和，由此即可求解；

(3)如圖所示，將挖去剩下部分的立體幾何分割后，求出各自的體積，最后求和即可求解.

【小問1詳解】

解：從圖中1中選擇①②拼接，①是一個(gè)邊長(zhǎng)都為x的正方體，②是長(zhǎng)，寬為x,高為1的長(zhǎng)方體，

，體積為：x3+x2，

圖2中體積為：x2(x+l),

???體積相等,

Z.x3+x2=x2(x+l),

故答案為：x3+x2=x2(x+l).

【小問2詳解】

解：①號(hào)是長(zhǎng)，寬，高為X的正方體，②號(hào)是長(zhǎng)，寬為X,高為1的長(zhǎng)方體，③號(hào)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為X,寬，高

為1的長(zhǎng)方體，④號(hào)是長(zhǎng)，寬，高為1的正方體，要拼成棱長(zhǎng)為(x+1)的正方體，

棱長(zhǎng)為(x+1)的正方體，長(zhǎng)，寬，高都為(x+1),體積為*+1)3=丁+3_?+3》+1,

?..①號(hào)的體積為V,②號(hào)的體積為/，③號(hào)的體積為x，④號(hào)的體積為1，

...①號(hào)需要1個(gè)，②號(hào)需要3個(gè)，③號(hào)需要3個(gè)，④號(hào)需要1個(gè)，

.??1個(gè)①號(hào)正方體的體積是3個(gè)②號(hào)長(zhǎng)方體的體積是3d，3個(gè)③號(hào)長(zhǎng)方體的體積是3%,1個(gè)④號(hào)正方

體的體積是1，

①②③④號(hào)組成的體積是：/+3/+31+1，棱長(zhǎng)為(x+1)的正方體的體積是：(x+l)3,

???體積相等，

x，+3廠+3x+1=(x+1)，,

故答案為：3,3,X3+3X2+3X+1=(X+1)3.

【小問3詳解】

解：邊長(zhǎng)為“的正方體的體積是：/,邊長(zhǎng)為b的正方體的體積是：尸,

挖去后的體積為：

如圖所示，過AB，DE把正方體分割為L(zhǎng)2,3部分，

部分的體積為：a\a-b),2部分的體積為：ab(a-h),3部分的體積為：b2(a-b),

2(a-h)+ab(a-h)+h2(a-h)=(a-b)(a2+ah+b2),

??,體積相等，

/—b'=（a—Z?）（n"+ah+h~）,

故答案為：（a-h）（a2+ah+h2）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圖像變換表示多項(xiàng)式的和、差、積的關(guān)系，即因式分解，掌握?qǐng)D像的變換，體積的

計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.

22.如圖（1）是某古城門修復(fù)后的照片，某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)準(zhǔn)備利用所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)估測(cè)該城門

樓的高度。C.如圖（2）所示，他們沿坡度，=1：6的登城階梯從底部的A處前行6米到達(dá)尸處（AP=6

米），測(cè)得城門樓最高點(diǎn)。的仰角為60。，樓底部B的仰角為35°（測(cè)量員的身高忽略不計(jì)），已知城門樓高

3c=10米，求城門樓距離地面的高度OC（結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：百=1.73，sin35°?0.57,

【答案】20米

【解析】

【分析】過點(diǎn)P作PD_L3,垂足為O,根據(jù)題意可得：PELOC,PD=OE,ZCP￡=60°,

NBPE=35。,根據(jù)已知可得NQ4￡>=30。，再在RtAPO中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得

PD=OE=3米,然后設(shè)PE=x米，分別在RtACPE和RtABPE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CE,

3E的長(zhǎng)，從而列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算可求出CE的長(zhǎng)，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答.

由題意得：

PELOC，PD=OE,NCPE=60°,NBPE=35°,

斜坡的坡度i=

.PD_1_也

一布一耳―3-'

在RtAP。中，tanZPAD--=—,

AD3

：.ZPAD=30°,

"=6米，

:.PD=-AP=3（米），

2

，PD=OE=3米，

設(shè)「E=x米，

在中，CE=PE.tan60o=^x（米），

在RtZkBPE中，B￡=PEtan35°?0.7x（米），

8c=10米，

:.CE-BE=\0,

&-0.7x=10，

解得：xv9.7,

.?.CE=GX=16.8（米），

.-.CO=CE+OE=16.8+3?20（米），

???城門樓距離地面的高度OC約為20米.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形

添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

23.每到春末夏初時(shí)節(jié)，哈爾濱街頭就會(huì)出現(xiàn)各種共享單車，共享單車解決了市民出行的“最后一公里”

的難題，極大方便廣大市民.“橙風(fēng)單車”公司已投放4級(jí)、8級(jí)兩種單車，每輛B級(jí)車成本比每輛A級(jí)

車成本少20%,公司投入150萬元的B級(jí)車的數(shù)量比同樣投入150萬元的A級(jí)車的數(shù)量多750輛.

（1）求每輛A級(jí)車、8級(jí)車的成本分別是多少元？

（2）2022年“橙風(fēng)單車”公司繼續(xù)投放共享單車，但隨著原材料的上漲，4、8兩種單車的成本都隨之上

漲20%,同時(shí)政府為了鼓勵(lì)單車的投放，每輛A、B級(jí)單車分別給予50元、40元的補(bǔ)貼，公司計(jì)劃今年投

放8級(jí)車數(shù)量是A級(jí)車數(shù)量的1.5倍，總投入不超過484萬元，求投放A級(jí)車最多多少輛？

【答案】（1）每輛A級(jí)車的成本為500元，每輛B級(jí)車的成本為400元;

（2）投放A級(jí)車最多4000輛.

【解析】

【分析】（1）設(shè)每輛A級(jí)車的成本為x元，則每輛B級(jí)車的成本為（1-20%）x元，由題意：公司投入150

萬元的B級(jí)車的數(shù)量比同樣投入150萬元的4級(jí)車的數(shù)量多750輛.列出分式方程，解方程即可；

（2）設(shè)投放A級(jí)車”輛，則投放8級(jí)車1.5。輛，由題意：總投入不超過484萬元，列出一元一次不等

式，解不等式即可.

小問1詳解】

解：設(shè)每輛A級(jí)車的成本為x元，則每輛B級(jí)車的成本為（l-20%）x元，

150000015000000

由題意得：丁-750,

(1-20%)%

解得：x=500,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=500是原方程的解，且符合題意,

則(1—20%)x500=400,

答：每輛A級(jí)車的成本為500元，每輛B級(jí)車的成本為400元;

【小問2詳解】

500x（1+20%）=600（元），400x（1+20%）=480（元），

設(shè)投放A級(jí)車〃輛，則投放B級(jí)車1.5。輛，

由題意得：（600-50）。+（480-40）xl.5<z<4840000,

解得：a<4000.

答：投放A級(jí)車最多4000輛.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正

確列出分式方程；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式.

24.“八婺”菜場(chǎng)指導(dǎo)菜農(nóng)生產(chǎn)和銷售某種蔬菜，提供如下信息：①統(tǒng)計(jì)售價(jià)與需求量的數(shù)據(jù)，通過描點(diǎn)

（圖1）,發(fā)現(xiàn)該蔬菜需求量,（噸）關(guān)于售價(jià)x（元/千克）的函數(shù)圖象可以看成拋物線，其表達(dá)式為

y=ax?+c,部分對(duì)應(yīng)值如表:

售價(jià)X

???2.533.54???

（元/千

克）

需求量

…7.757.26.555.8???

（噸）

②該蔬菜供給量%（噸）關(guān)于售價(jià)X（元/千克）的函數(shù)表達(dá)式為月=》一1，函數(shù)圖象見圖L

③1~7月份該蔬菜售價(jià)4（元/千克），成本々（元/千克）關(guān)于月份，的函數(shù)表達(dá)式分別為X=+2,

13

x=-t2一一，+3,函數(shù)圖象見圖2.

242

東武噸）

圖2

圖1

請(qǐng)解答下列問題：

（1）求a,c的值.

（2）根據(jù)圖2,哪個(gè)月出售這種蔬菜每千克獲利最大？并說明理由.

（3）求該蔬菜供給量與需求量相等時(shí)的售價(jià)，以及按此價(jià)格出售獲得的總利潤(rùn).

【答案】（1）＜?=-1,c=9

（2）在4月份出售這種蔬菜每千克獲利最大，見解析

（3）該蔬菜供給量與需求量相等時(shí)的售價(jià)為5元/千克，按此價(jià)格出售獲得的總利潤(rùn)為8000元

【解析】

【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；

（2）設(shè)這種蔬菜每千克獲利w元，根據(jù)卬=無售價(jià)一%成本列出函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論;

（3）根據(jù)題意列出方程，求出x的值，再求出總利潤(rùn)即可.

【小問1詳解】

Y*—4V*—

把二'，、二；8代入姝求:可得

j—/.ny—3.0

9Q+C=7.2，①

16。+。=5.8.②

②-①，得7〃二一1.4,

解得。=——,

把。=一；代入①，得。=9,

【小問2詳解】

設(shè)這種蔬菜每千克獲利W元，根據(jù)題意，

有W=x售價(jià)成本=-1^+2-^r-|r+3^j,

1,1

化簡(jiǎn)，得卬=一一2+2f-l=一一（r-4）72+3,

4f4

?；一,<0,/=4在1W/W7的范圍內(nèi)，

4

.?.當(dāng)/=4時(shí)，卬有最大值.

答：在4月份出售這種蔬菜每千克獲利最大.

【小問3詳解】

1,

由y供給=y需求，得x-i=-gx"+9,

化簡(jiǎn)，得工2+5%-50=0，解得芭=5,入2=-10（舍去），

???售價(jià)為5元/千克.

此時(shí)，y供給=y需求=工一1=4（噸）=4ooo（千克），

把x=5代入%售價(jià)=gf+2,得f=6,

1