福建省福州市2024屆高三下2月份質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷及答案

2024屆福州市高三下2月份質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．已知點(diǎn)在拋物線上，則的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為（）A． B．1 C．2 D．43．已知是兩個(gè)不共線的向量，若與是共線向量，則（）A． B． C． D．4．在中，，則的面積為（）A．2 B． C．4 D．5．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別在邊和上，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．7．甲、乙、丙三個(gè)地區(qū)分別有的人患了流感，且構(gòu)成以1為公差的等差數(shù)列．已知這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)的比為，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一人，在此人患了流感的條件下，此人來(lái)自甲地區(qū)的概率最大，則的可能取值為（）A．1.21 B．1.34 C．1.49 D．1.518．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，則下列結(jié)論一定成立的是（）A． B．C． D．9．（多）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A．的最小值為1 B．的最小值為1C．為遞增數(shù)列 D．為遞減數(shù)列10．(多）在長(zhǎng)方體中，為的中點(diǎn)，則（）A． B．平面C．點(diǎn)到直線的距離為 D．點(diǎn)到平面的距離為11．（多）通信工程中常用元數(shù)組表示信息，其中或．設(shè)表示和中相對(duì)應(yīng)的元素（對(duì)應(yīng)，）不同的個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則存在5個(gè)5元數(shù)組，使得B．若，則存在12個(gè)5元數(shù)組，使得C．若元數(shù)組，則D．若元數(shù)組，則12．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則______．13．底面半徑為2且軸截面為正三角形的圓錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)高為的圓錐，所得的圓臺(tái)的側(cè)面積為______．14．在平面直角坐標(biāo)系中，整點(diǎn)（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)）在第一象限，直線，與分別切于兩點(diǎn)，與軸分別交于兩點(diǎn)，則使得周長(zhǎng)為的所有點(diǎn)的坐標(biāo)是______．15．（13分）已知函數(shù)是的零點(diǎn)．（1）求的值；（2）求函數(shù)的值域．16．（15分）如圖，四棱錐的底面為正方形，平面平面在上，且．（1）證明：平面；（2）若為的中點(diǎn)，且，求平面與平面夾角的余弦值．外向型內(nèi)向型男性4515女性201017．（15分）人的性格可以大體分為“外向型”和“內(nèi)向型”兩種，樹人中學(xué)為了了解這兩種性格特征與人的性別是否存在關(guān)聯(lián)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取90名學(xué)生，得到如下數(shù)據(jù)：（1）以上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果的頻率估計(jì)概率，從該校男生中隨機(jī)抽取2人、女生中隨機(jī)抽取1人擔(dān)任志愿者．設(shè)這三人中性格外向型的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．（2）對(duì)表格中的數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以得出獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論是這兩種性格特征與人的性別沒有關(guān)聯(lián)．如果將表格中的所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來(lái)10倍，在相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷這兩種性格特征與人的性別之間的關(guān)聯(lián)性，得到的結(jié)論是否一致？請(qǐng)說明理由．附：參考公式：．0.10.050.012.7063.8416.63518．（17分）已知雙曲線，動(dòng)直線與軸交于點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，是的等比中項(xiàng)，．（1）若兩點(diǎn)位于軸的同側(cè)，求取最小值時(shí)的周長(zhǎng)；（2）若，且兩點(diǎn)位于軸的異側(cè)，證明：為等腰三角形．19．（17分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）求證：；（3）若且，求證：．2024屆福州市高三下2月份質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題參考答案1．A2．B3．D4．B5．D【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，所以，解得．故選D．6．C【解析】不妨設(shè)橢圓方程為，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，即，所以，所以，解得，因?yàn)椋裕?．D【解析】設(shè)事件分別為“此人來(lái)自甲、乙、丙三個(gè)地區(qū)”，事件分別為“此人患了流感，且分別來(lái)自甲、乙、丙地區(qū)”，事件為“此人患了流感”．由題可知，，所以，因?yàn)榇巳嘶剂肆鞲衼?lái)自甲地區(qū)的概率最大，所以解得，故選D．8．C【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即函數(shù)為奇函數(shù)，則，又，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以3是的一個(gè)周期；因?yàn)?，故C正確；取符合題意的函數(shù)，則，所以，又，故2不是的一個(gè)周期，所以，排除B；因?yàn)椴皇呛瘮?shù)的最值，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，所以，排除A；因?yàn)?，所以排除D．9．【答案】ABC【解析】假設(shè)的公差為，由，所以，又，所以，所以．選項(xiàng)A：，故時(shí)的最小值為1，A正確；選項(xiàng)B：，令，所以，可知在區(qū)間單調(diào)遞增，所以時(shí)取得最小值1，B正確；選項(xiàng)C：，故為遞增數(shù)列，C正確；選項(xiàng)D：，因?yàn)椋圆皇沁f減數(shù)列，D錯(cuò)誤．10．【答案】BC【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，易知，，，，，．選項(xiàng)A，，，所以A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，顯然，可得平面，所以B正確；選項(xiàng)C，記直線的單位方向向量為，則，又，所以向量在直線上的投影向量為，則有到直線的距離為，故C正確；選項(xiàng)D，設(shè)平面的法向量為，由，可求得，又，所以點(diǎn)到平面的距離，故D錯(cuò)誤．11．【答案】ACD【解析】選項(xiàng)A：滿足條件的數(shù)組共有個(gè)，故A正確；選項(xiàng)B：滿足條件的數(shù)組共有個(gè)，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：設(shè)中對(duì)應(yīng)項(xiàng)同時(shí)為0的共有個(gè)，同時(shí)為1的共有個(gè)，從而對(duì)應(yīng)項(xiàng)一項(xiàng)為1與另一項(xiàng)為0的共有個(gè)，這里，從而，而，故C正確，同理D正確．12．13．14．【答案】或【解析】因?yàn)橹本€分別與相切于兩點(diǎn)，且直線分別與軸于兩點(diǎn)，所以，所以的周長(zhǎng)為，所以，設(shè)，所以，因?yàn)闉檎c(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或．15．【解析】（1）由已知可得，解得，即，又，可得．（2）由，可得，其中，則當(dāng)時(shí)取得最小值時(shí)取得最大值2，故函數(shù)的值域?yàn)椋?6．（1）因?yàn)椋云矫?，又平面，所以，又，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面?）由（1）得平面，又平面，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，又，所以，所以，由?）知兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則．所以，顯然平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則即取，則，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．17．（1）由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可知，外向型男生在所有男生中占比為，外向型女生在所有女生中占比為，故從該校男生中隨機(jī)抽取一人為外向型男生的概率是，從該校女生中隨機(jī)抽取一人為外向型女生的概率是．則的所有可能取值為0，1，2，3．則，，所以．（2）零假設(shè)為：這兩種性格特征與人的性別無(wú)關(guān)聯(lián)．由所獲得的所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來(lái)10倍，可知依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷這兩種性格特征與人的性別有關(guān)聯(lián)，與原來(lái)的結(jié)論不一致，原因是每個(gè)數(shù)據(jù)擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，相當(dāng)于樣本量變大為原來(lái)的10倍，導(dǎo)致推斷結(jié)論發(fā)生了變化．18．（1）因?yàn)閯?dòng)直線與軸交于點(diǎn)，因?yàn)榈挠医裹c(diǎn)為，所以點(diǎn)為的右焦點(diǎn)設(shè)，因?yàn)閮牲c(diǎn)位于軸的同側(cè)，所以，因?yàn)槭堑牡缺戎许?xiàng)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)時(shí)，所以，所以軸，由解得，所以，所以，由雙曲線的定義得，所以，即的周長(zhǎng)為36（2）設(shè)，由得，因?yàn)橹本€與交于兩點(diǎn)，所以且，由，可得，故，又兩點(diǎn)位于軸的異側(cè)，所以，所以，即，所以，解得，所以，所以，所以，不妨設(shè)點(diǎn)在第二象限，根據(jù)雙曲線定義，得，即解得，所以是等腰三角形．19．（1）的定義域?yàn)?，，記，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減所