2023年黑龍江省高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2023年黑龍江省高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（共計(jì)10個(gè)小題，每小題5分）

1.(5分)設(shè)集合U={1,2,3,4,5,6},A={l,2,3,6},B=[2,3,4),貝∣J4C(CUB)

=()

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

2.（5分）函數(shù)/（x）=（X-1）2的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.[0,+8)B.(1,+8)C.(-∞,0]D.(-8,1]

）若/（一、）=則f

3.（5分）設(shè)/（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且/（l+x）=/（-;c.

5

(一)=()

3

5Il5

A.-Q?B.-Q,C.一D.-

3333

4.(5分)cos?金-COS2整等于()

1√3√2√3

A.-B.—C.—D.一

2322

5.（5分）已知單位向量次了的夾角為60°,則在下列向量中，與了垂直的是（）

TTTTTT

A.Q+2bB.2α+bC.Q-2bD.2Q-b

6.（5分）在aABC中，。是AB邊上的中點(diǎn)，則C?=（）

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2C4

分)在中,∣則

7.(5ZiABCcosC=,AC=4,BC=3,CoSB=()

Ill2

A.-B.—C?一D.-

9323

8.（5分）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年

收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖:

八頻率

贏

020---------------------————

0.14----------------——

0.10-----------------------------------——

0.04-------I--------------------------------------

0.02---|----------------------------------------------1----1----1

0k√J----------------------------------------1---1-----1——>

2.53.54.55.56.57.58.59.510.511.512.513.514.5收入/萬(wàn)元

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間

9.（5分）設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)Xi,Λ2,…，物的方差為0.01,則數(shù)據(jù)IoXl,10x2,…，10初的

方差為（）

A.0.01B.0.1C.1D.10

10.（5分）從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同

學(xué)的概率為（）

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

二、多選題（共計(jì)2個(gè)小題，每小題5分）

11.（5分）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)尸1（cosα,sina）,Pi（cosβ,-sin。），P3（cos（a+β）>

sin（a+β））,A（1?0）1則（）

A.∣OP1∣=∣OP2∣=2B.?AP1?=?AP2?

C.OA-OP3=OP1-OP2D.OA-OP1=OP2-OP3

（多選）12.（5分）有一組樣本數(shù)據(jù)xι,也，…，物，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)yι,”，…,

y∏,其中yi=xi+c（i=1,2,■■,?）,C為非零常數(shù)，則（）

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同

三、填空題(共計(jì)4個(gè)小題，每小題5分)

1

13.(5分)函數(shù)/(X)=品+/質(zhì)的定義域是.

Tt

14.(5分)已知函數(shù)/(x)=2cos(ωx+φ)的部分圖像如圖所示，則/(金)=

15.(5分)已知向量Z=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若熱_L”，則k=

16.(5分)某公司有大量客戶，且不同年齡段客戶對(duì)其服務(wù)的評(píng)價(jià)有較大差異.為了解客

戶的評(píng)價(jià)，該公司準(zhǔn)備進(jìn)行抽樣調(diào)查，可供選擇的抽樣方法有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣

和系統(tǒng)抽樣，則最合適的抽樣方法是

四、解答題(共計(jì)6個(gè)小題，共計(jì)70分)

17.(10分)已知函數(shù)f(尤)=/-2Or+2/+2.

(1)若α=l,求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)求函數(shù)f(x)在區(qū)間［一|,，的最小值;

(HI)關(guān)于X的方程/(x)=2/有解，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

4TC

18.(12分)已知sinθ=己，—<θ<π.

52

(I)求tanθ的值;

sin2θ+sin2θ

(II)求的值.

3sin2θ+cos2θ

19.(12分)在aABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為〃，b,c,且o>b>c,√3c-2bsinC=0.

(I)求角8的大小;

(II)若b=8，a=2,求c.

20.(12分)已知復(fù)數(shù)z=(2∕n2+3∕w-2)+(∕n2+∕n-2)i,(∕n∈R)根據(jù)下列條件,求m值.

(1)Z是實(shí)數(shù)；

(2)Z是虛數(shù);

(3)Z是純虛數(shù)；

(4)z=0.

21.(12分)如圖，四棱錐P-ABC。的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，POL底面ABCD

(1)求證：AC_L平面PB。；

(2)若PD=2,直線PB與平面ABC。所成的角為45°,求四棱錐P-ABC。的體積.

22.(12分)某市司法部門為了宣傳《憲法》舉辦法律知識(shí)問(wèn)答活動(dòng)，隨機(jī)對(duì)該市18~68

歲的人群抽取一個(gè)容量為〃的樣本，并將樣本數(shù)據(jù)分成五組：[18,28),[28,38),[38,

48),[48,58),[58,68],再將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第1組，第2組，…，

第5組，繪制了樣本的頻率分布直方圖；并對(duì)回答問(wèn)題情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，結(jié)果如下表所

示.

組號(hào)分組回答正確回答正確

的人數(shù)的人數(shù)占本

組的比例

第1組[18,28)50.5

第2組[28,38)18a

第3組[38,48)270.9

第4組[48,58)X0.36

第5組[58,68]30.2

(I)分別求出α,X的值；

(H)第2,3,4組回答正確的人中用分層抽樣方法抽取6人，則第2,3,4組每組應(yīng)

各抽取多少人？

(III)在(II)的前提下，決定在所抽取的6人中隨機(jī)抽取2人頒發(fā)幸運(yùn)獎(jiǎng)，求所抽取

的人中第2組至少有1人獲得幸運(yùn)獎(jiǎng)的概率.

頻率

組距

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

年齡（歲）

182838485868

2023年黑龍江省高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、單選題(共計(jì)10個(gè)小題，每小題5分)

1.(5分)設(shè)集合U={l,2,3,4,5,6},A={l,2,3,6},B={2,3,4},則Arl(CUB)

=()

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

【解答】解：:集合U={l,2,3,4,5,6},A={?,2,3,6},B={2,3,4),

?CuB={1,5,6),

ΛA∩(CUB)={1,6}.

故選：B.

2.(5分)函數(shù)FG)=(X-1)2的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.[0,+∞)B.(1,+8)C.(-8,0]D.(-8,1]

【解答】解：函數(shù)/(x)=(X-I)2圖象是拋物線，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為：X=I,且故

/(x)=(X-I)2的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+8).

故選：B.

3.(5分)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且/(l+x)=M-X).若/(一分=/則f

5115

A.-Q?B.-QC.-D.

3333

【解答】解：由題意得/(-X)=-f(%),

又/(l+x)=f(-x)=-/(%),

所以/(2+x)=/(%),

又fW

51Il

則/[)=/(2V)=/(V)=5-

故選：C.

4.(5分)CoS2強(qiáng)—CO52點(diǎn)等于()

√3

D.

2

■2π25%2π2∕ππ?2π?2πTrV3

［解答］解：cosγ≈-cosv?=cosv?—cos(———)=cosF-Sirr—=cos-=—.

1212IZ212121262

故選：D.

5.(5分)已知單位向量主力的夾角為60°,則在下列向量中，與％垂直的是()

TT→T→TTT

A.a+2bB.2α+bC.a-2bD.2a-b

TTTT1

【解答】解：?jiǎn)挝幌蛄縄al=IbI=1,a?b=1×l×cos60o=?,

對(duì)于A,(α+2h)-&=a*b÷2fe2=i+2=5?所以(α+2b)與b不垂直；

對(duì)于B,(2α+b)?b=2a*b÷&2=2×^+1=2,所以(20+b)與b不垂直;

TTTTTTIQTTT

對(duì)于C,(α—2b)?b=a?b—2b?=q—2=—0所以(a—2b)與力不垂直;

TTTTTT［TTT

對(duì)于O,(2a—&)?b=2a?b—b?=2χ1—1=0,所以(2a—b)與b垂直.

故選：D.

6.(5分)在4ABC中，。是AB邊上的中點(diǎn)，則C?=()

TT—?—>—?—>TT

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

【解答】解：在4ABC中，。是AB邊上的中點(diǎn)，

則C?=CD+Z?=CD+AD

=CD+(AC+CD)

=2CD-CA.

故選：C.

?

【解答】解：在aABC中，cosC=AC=4,BC=3,

由余弦定理可得AB2^AC2+BC2-2AC?BC?COSC=42+32-2×4×3X∣=9；

故AB=3；

222222

.dAB+BC-AC3+3-41

??cosβ=2AR耽=2x3x3=9'

故選：A.

8.(5分)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間

【解答】解：對(duì)于4,該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率為(0.02+0.04)Xl

=O.06=6%,故選項(xiàng)A正確;

對(duì)于8,該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率為(0.04+0.02X3)×l=0.1=

10%,故選項(xiàng)8正確；

對(duì)于C,估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為3X0.02+4X0.04+5×0.1+6×0.14+7X0.2+8

×0.2+9×0.1+10×0.1+ll×0.04+12×0.02+13X0.02+14X0.02=7.68>6.5萬(wàn)元，故選項(xiàng)C

錯(cuò)誤；

對(duì)于￡>,家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間的頻率為(0.1+0.14+0.2+0.2)×1=0.64

>0.5,

故估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間，故選項(xiàng)。正

確.

故選：C.

9.(5分)設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)Xi,X2,???,X”的方差為0.01,則數(shù)據(jù)IOXI,10x2,…，10x”的

方差為()

A.0.01B.0.1C.ID.10

【解答】解：???樣本數(shù)據(jù)XI,X2,…，加的方差為0.01,

根據(jù)任何一組數(shù)據(jù)同時(shí)擴(kuò)大兒倍方差將變?yōu)槠椒奖对鲩L(zhǎng)，

,數(shù)據(jù)IOXl,100…，10x"的方差為：100X0.01=1,

故選：C.

10.(5分)從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同

學(xué)的概率為()

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

【解答】解：(適合理科生)從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，共有

C52=IO種，其中全是女生的有C3?=3種，

故選中的2人都是女同學(xué)的概率P=?=0.3,

(適合文科生)，設(shè)2名男生為“，b,3名女生為A,B,C,

則任選2人的種數(shù)為帥，aA,aB,aC,bA,bB,Be,AB,AC,BC共10種，其中全是

女生為A8,AC,BC共3種，

故選中的2人都是女同學(xué)的概率P=?=0.3,

故選：D.

二、多選題(共計(jì)2個(gè)小題，每小題5分)

IL(5分)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)PI(cosα,sina),Pz(cosβ,-sinβ),P3(cos(a+β),

sin(a+β)),A(1,0),則()

A.?OP1?=?OP2?=2B.?AP1?=?AP2?

C.OA-OP3=OP1-OP2D.OA-OP1=OP2-OP3

【解答】解：。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Pl(cosa,sina),Pi(cosβ,-SinB),P3(cos(a+β),

sin(a+β)),A(1,0),

—>,

22

?OP1?=y∣cosa÷sina=1,所以A不正確；

?AP1?=J(CoSa—I)2+Sin2a=√2—2cosa,

22

?AP2?=y∕(cosβ-l)+sinβ=J2-2cosβ,所以B不正確;

TTTT

OA?OP3=Cos(α+β),OP1?OP2=cosacosβ-SinaSinB=COS(a+β),所以C正確；

TT→→

OA-OP1=cosa,OP2-OP3=cosβcos(a+β)-sinβsin(a+β)=CoS(a+2β),

所以。不正確.

故選：C.

(多選)12.(5分)有一組樣本數(shù)據(jù)Xi,%2,???,Xn,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)yι,”，…,

y∣ι,其中V=Xi+c(i=1,2,■■■,/?),C為非零常數(shù)，則()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同

【解答】解：對(duì)于A,E(y)=E(x+c)=E(X)+c,

兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)不相同，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,若樣本數(shù)據(jù)XI,X2,…，X”的中位數(shù)為X”,

則新樣本數(shù)據(jù)yι,)%…，y∏,其中v=xi+cG=L2,■■-,n),

C為非零常數(shù)的中位數(shù)為初+c,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,D(>?)=D(x+c)=D(x),.?.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同，故C正確;

對(duì)于O,若樣本數(shù)據(jù)XI,XI,X"的極差數(shù)為Xa-初，

則新樣本數(shù)據(jù)yi，y2>???,y∏,其中yi=xt+cG=I,2,■■?,n),

C為非零常數(shù)的中位數(shù)為(X"+c)-(xb+c)=Xa-J?,故。正確.

故選：CD.

三、填空題(共計(jì)4個(gè)小題，每小題5分)

13.(5分)函數(shù)/(X)=Sy+/HX的定義域是{x∣x>0}.

【解答】解：要使函數(shù)有意義，則*0.

γ≠—1

、八,所以x>0,

(%>0

所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x∣x>0},

故答案為：{x∣x>0}.

TTL

14.(5分)已知函數(shù)/(x)=2cos(ωx+φ)的部分圖像如圖所示，則/(￡)=_—V3

413ττTC

【解答】解：由圖可知，f(x)的最小正周期T=?(-j-y--)=π,

所以3=-ψ-=2,因?yàn)?(,)=0,

所以由五點(diǎn)作圖法可得2X界φ=皆解得φ=-5，

所以/(尢)=2cos(2x—^),

所以/(一)=2cos(2×5-5)=-2cos-=—?/?-

j2266

故答案為：一遍.

TTTTTTTIn

15.(5分)已知向量Q=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a_Lc,貝∣JZ=_——.

【解答】解：因?yàn)橄蛄縌=(3,1),b=(1,0),c=a+kb,

由則:?(a+kb)=∣α∣2+fcα?h=32÷l2+??(3×1+1×0)=10+3Z=0,

解得仁一學(xué).

故答案為：—學(xué).

16.(5分)某公司有大量客戶，且不同年齡段客戶對(duì)其服務(wù)的評(píng)價(jià)有較大差異.為了解客

戶的評(píng)價(jià)，該公司準(zhǔn)備進(jìn)行抽樣調(diào)查，可供選擇的抽樣方法有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣

和系統(tǒng)抽樣，則最合適的抽樣方法是分層抽樣.

【解答】解：某公司有大量客戶，且不同年齡段客戶對(duì)其服務(wù)的評(píng)價(jià)有較大差異，

為了解客戶的評(píng)價(jià)，該公司準(zhǔn)備進(jìn)行抽樣調(diào)查，

可供選擇的抽樣方法有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，

則最合適的抽樣方法是分層抽樣.

故答案為：分層抽樣.

四、解答題(共計(jì)6個(gè)小題，共計(jì)70分)

17.(10分)已知函數(shù)/(x)=7-2?+2/+2.

(I)若α=l,求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(II)求函數(shù)/(x)在區(qū)間［子，|］的最小值；

(III)關(guān)于X的方程/(x)=2/有解，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【解答】解：(I)/(χ)=(x-a)W+2,

?/(X)關(guān)于直線X=Q對(duì)稱，

當(dāng)〃=1時(shí)，/CO在區(qū)間(-8,1］單調(diào)遞減，在區(qū)間［1,+8)單調(diào)遞增.

(II)當(dāng)αV—飄，<(x)在區(qū)間［一|］遞增,

/(?)min=f(T)=2α2+3α+—

QQQ3

當(dāng)一*≤a≤*時(shí)，/(x)在區(qū)間[一])遞減，在(a,3遞增,

/(?)min=。2+2;

當(dāng)a>∣時(shí)，/(x)在區(qū)間［一|,|］遞減,

/Wmin=/(|)=2。2_3a+芋.

(III)方程f(x)=2。2有解，

即方程7-2ax+2=0有解.

二Δ=4J-8≥0,

的取值范圍是(一8,-√2]U[√2,+∞).

,4n

18.(12分l)已知sinθ=g,-<θ<π.

52

(I)求tanθ的值；

sin2θ+sin2θ

(∏)求的值.

3sin2θ+cos2θ

ΛTC

【解答】解：(I)已知Sing+-<θ<π.

所以cosθ=—

所以tan。=舞=J

sin2θ+sin2θtan2θ+2tanθ8

(τ?τ?)--------------------=---------------------=——.

3sin2θ+cos2θ3tan2θ+l57'

19.(12分)在aABC中，角A,B,。的對(duì)邊分別為α",c,且α>b>c,√3c-2bsinC=0.

(I)求角8的大?。?/p>

(II)若b=V3∕a=2,求c.

【解答】解：(I)因?yàn)椤?c-2bsinC=O,

所以√5sinC-2sinBsinC=O.

因?yàn)镺Ve<τr,所以SinC≠0,

所以SinB=?.

因?yàn)?<B<n,且a>b>c,

所以5=條

(II)因?yàn)閎=√5,a=2,

所以由余弦定理b2-a2+c2-2accosB,

得(√3)2=C2+4-2C×2×∣,SPC2-2C+1=0.

所以C=L

20.(12分)已知復(fù)數(shù)z=(2m2+3∕n-2)+(m2+m-2)i,(∕n∈R)根據(jù)下列條件,求m值.

(I)Z是實(shí)數(shù)；

(2)Z是虛數(shù);

(3)Z是純虛數(shù)；

(4)z=0.

【解答】解：(1)當(dāng)m2+m-2=0,即〃7=-2或∕n=1時(shí)，z為實(shí)數(shù)；

(2)當(dāng)〃/+〃？-2W0,即〃?W-2且，"Wl時(shí)，Z為虛數(shù)；

(3)當(dāng)P^2+37nJ2=°,解得陽(yáng)=,

即，〃=/時(shí)，Z為純虛數(shù).

(4)令［2爐+3m—250,解得fn=-2,即相=-2時(shí)，z=0.

21.(12分)如圖，四棱錐P-ABeD的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，PZM底面ABCD

(1)求證：4C_L平面PBD-,

(2)若PD=2,直線PB與平面ABC。所成的角為45°,求四棱錐P-ABC。的體積.

【解答】(I)證明：?.?四邊形ABCQ是菱形，.?.ACLBC,

又：PQ，平面ABC。，AeU平面ABC。，

：.PDLAC,又PDCBD=D,

，AC_L平面PBD；

(2)解：../C平面ABCQ,

ΛAPBD是直線PB與平面ABCQ所成的角，

于是NPBO=45°,

VPD=2,J-BD=PD=I,又AB=A￡)=2,

菱形ABCD的面積為S=AB-AD-sin60°=2√3,

故四棱錐P-ABCD的體積U=^SPD=竽.

22.(12分)某市司法部門為了宣傳《憲法》舉辦法律知識(shí)問(wèn)答活動(dòng)，隨