現(xiàn)代控制理論第五章

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁第五章線性定常系統(tǒng)的綜合控制系統(tǒng)的綜合任務(wù)是設(shè)計(jì)控制器，尋求改善系統(tǒng)性能的各種控制邏輯，，以保證系統(tǒng)的各項(xiàng)性能指標(biāo)都得到滿意。§5－1線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性控制系統(tǒng)是由受控對象和反饋控制器兩部分構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)?，F(xiàn)代控制理論采用狀態(tài)反饋，狀態(tài)反饋能提供更豐盛的狀態(tài)信息和可供挑選的自由度，因而使用系統(tǒng)容易獲得更為優(yōu)異的性能。狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋是將系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)，然后反饋到輸入端與參考輸入相加形成控制律，作為受控系統(tǒng)的控制輸入。如圖所示，其表達(dá)式：（5-1）多輸入多輸出系統(tǒng)式中：，，，，，，若，則受控系統(tǒng)簡記為：狀態(tài)反饋控制邏輯： （5-3）其中：－維參考輸入；－維狀態(tài)反饋系數(shù)或狀態(tài)反饋增益陣。把式（5－3）代入式（5－1）得到狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)表達(dá)式若，簡記為：閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 狀態(tài)反饋陣的引入，并不增強(qiáng)系統(tǒng)的維數(shù)，通過的挑選自由地改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而改變系統(tǒng)獲得所要求的性能。輸出反饋輸出反饋是采用輸出矢量構(gòu)成線性反饋律，如圖所示，受控系統(tǒng)為： （5-7）時(shí)為 輸出線性反饋控制律為： （5-9）式中：—維輸出反饋增益陣，對單輸出系統(tǒng)為維列矢量。閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為，將式（5－7）代入式（5－9） （5-11）把式（5－11）代入式（5－7）若，則：簡記： （5-13）通過挑選輸出反饋增益可以改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而改變系統(tǒng)控制特性。輸出反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為： （5-14）受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為： （5-15）和存在下列關(guān)系： 或輸出反饋的與狀態(tài)反饋中的相當(dāng)，因?yàn)?，所以可提供挑選的自由度遠(yuǎn)比小。因而輸出反饋只能相當(dāng)于一種部分狀態(tài)反饋。惟獨(dú)當(dāng)時(shí)，才干等同于全狀態(tài)反饋。特點(diǎn)：①輸出反饋的效果不如狀態(tài)反饋系統(tǒng)好；②輸出反饋在技術(shù)實(shí)現(xiàn)上的方便性是突出的優(yōu)點(diǎn)。從輸出到狀態(tài)矢量導(dǎo)數(shù)反饋從系統(tǒng)輸出到狀態(tài)矢量導(dǎo)數(shù)的線性反饋形式在狀態(tài)觀測器中獲得應(yīng)用。圖中表示了這種反饋結(jié)構(gòu)。設(shè)受控系統(tǒng)： （5-18）參加從輸出到狀態(tài)矢量導(dǎo)數(shù)的反饋增益陣可得閉環(huán)系統(tǒng)： （5-19）將代入得：（5-20）當(dāng)時(shí)，簡記作： （5-21）閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)： （5-22）從式（5－21）看出，挑選矩陣也能改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而影響系統(tǒng)的特性。動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器上述三種反饋基本結(jié)構(gòu)的共同點(diǎn)是，不增強(qiáng)新的狀態(tài)變量，系統(tǒng)開環(huán)和閉環(huán)同維。反饋增益陣都是常數(shù)矩陣，反饋是線性反饋。在更復(fù)雜的情況下，常常引入一個(gè)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)來改善系統(tǒng)性能，這種動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)，稱為動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器。如圖所示，這類系統(tǒng)的維數(shù)等于受控系統(tǒng)與動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器二者維數(shù)之和，采用反饋銜接比采用串連銜接容易獲得更好的性能。（a）串聯(lián) （b）并聯(lián)閉環(huán)系統(tǒng)的能控、能觀性引入各種反饋構(gòu)成閉環(huán)之后，系統(tǒng)的能控性與能觀性是關(guān)系能否實(shí)現(xiàn)狀態(tài)控制與狀態(tài)觀測的重要所在。定理：狀態(tài)反饋不改變受控系統(tǒng)的能控性，而不保證系統(tǒng)的能觀性不變。受控系統(tǒng)的能控判別陣為：；狀態(tài)反饋系統(tǒng)的能控判別陣為：。比較二式，第一分塊相同。第二分塊,為常數(shù)陣，因列矢量可表示為的線性組合。其余各分塊類同，因此可看作由經(jīng)初等變換得到的，而矩陣作初等變換并不改變矩陣的秩，所以與的秩相同，所以狀態(tài)反饋不改變受控系統(tǒng)的能控性。對于單輸入單輸出系統(tǒng)，狀態(tài)反饋會(huì)改變系統(tǒng)的極點(diǎn)，但不影響系統(tǒng)的零點(diǎn)，參加狀態(tài)反饋可能使傳遞函數(shù)浮上零、極點(diǎn)對消的現(xiàn)象，因而破壞了系統(tǒng)的能觀性。受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：將的能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型代入上式，得：引入狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：（5-27）引入狀態(tài)反饋后傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式不變，即零點(diǎn)保持不變。但分母多項(xiàng)式的每一項(xiàng)系數(shù)均可通過挑選而改變。這就有可能使傳遞函數(shù)發(fā)生零、極點(diǎn)相消而破壞系統(tǒng)的能觀性。例：試分析系統(tǒng)引入狀態(tài)反饋后的能控、能觀性。 能控； 能觀。參加后，得閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣： 滿秩；（注：）；降秩；（注：）。引入狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)保持能控性不變，卻破壞了系統(tǒng)的能觀性。又因；（注：）（注：）從系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)看，浮上了零、極點(diǎn)相消現(xiàn)象。對于輸出反饋系統(tǒng)，若把看成等效的狀態(tài)反饋陣，狀態(tài)反饋保持受控系統(tǒng)的能控性不變。關(guān)于能觀性由能觀判別矩陣：—受控系統(tǒng)的能觀性；—閉環(huán)系統(tǒng)（輸出反饋）的能觀性。同樣可以把看作是經(jīng)初等變換的結(jié)果，而初等變換不改變矩陣的秩，因此能觀性不變。習(xí)題（3－3③、3－7）§5－2極點(diǎn)配置問題控制系統(tǒng)的性能主要取決于系統(tǒng)極點(diǎn)在根平面上的分布。極點(diǎn)配置問題就是通過挑選反饋增益陣，將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)恰好配置在根平面上所期待的位置，以獲得所希翼的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。本節(jié)研究在指定極點(diǎn)分布情況下，如何設(shè)計(jì)反饋增益陣。采用狀態(tài)反饋定理：采用狀態(tài)反饋對受控系統(tǒng)隨意配置極點(diǎn)的充要條件是徹低能控。若徹低能控，通過狀態(tài)反饋必成立。式中：—期待特征多項(xiàng)式。（5－32）—期待的閉環(huán)極點(diǎn)（實(shí)數(shù)極點(diǎn)或共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)）1）若徹低能控，必存在非神奇變換式中—能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型變換矩陣。+++ 將化成能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型： （5－33）式中：原系數(shù)為：受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：2）參加狀態(tài)反饋增益陣(5－35)求得對的閉環(huán)狀態(tài)空間表達(dá)式：(5－36)式中：閉環(huán)特征多項(xiàng)式：(5－37)閉環(huán)傳遞函數(shù)：(5－38)3）使閉環(huán)極點(diǎn)與給定的期待極點(diǎn)相符，必須滿意由等式兩邊同次冪系數(shù)對應(yīng)相等，可解出反饋陣各系數(shù)：（5－39）4）把對應(yīng)于的，通過變換，得到對應(yīng)于狀態(tài)的。這是因?yàn)榈木壒省＠涸O(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（被控對象的傳遞函數(shù)）：試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為，，。（1）解：傳遞函數(shù)沒有零、極點(diǎn)對消現(xiàn)象，能控、能觀，直接寫出它的能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型實(shí)現(xiàn)。，，由公式寫出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，如上。注：（2）參加狀態(tài)反饋陣閉環(huán)系統(tǒng)特征方程多項(xiàng)式：（3）按照給定的極點(diǎn)值，得期待特征方程多項(xiàng)式：==其中：（4）比較與各對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，解：；；。即：按串連分解法挑選狀態(tài)變量，其傳遞函數(shù)為：注：UVUV由結(jié)構(gòu)圖寫成狀態(tài)方程：因各狀態(tài)變量，就是各子系統(tǒng)的輸出，因此是易于檢測的。引入狀態(tài)反饋陣，形成反饋閉環(huán)系統(tǒng)。閉環(huán)特征多項(xiàng)式為：將與比較，得：；；；==；；隨著系統(tǒng)階數(shù)的增高，直接計(jì)算的方程將愈加復(fù)雜?，F(xiàn)將能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型的變換陣求出，并計(jì)算陣的系數(shù)，注：；；；；；；；；；得：，，得：；，∴,∴,串聯(lián)與約旦標(biāo)準(zhǔn)型計(jì)算出的結(jié)果是一樣的。作業(yè)：5—1，5—3.注重：1．挑選期待極點(diǎn)時(shí)，對于維系統(tǒng)必須挑選個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)或共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，并注重抗干擾能力。2．單輸入系統(tǒng)通過狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)配置，不影響原零點(diǎn)的分布。3．多輸入系統(tǒng)狀態(tài)反饋陣的解也非唯一?？赡芨淖兿到y(tǒng)零點(diǎn)的形態(tài)。二．采用輸出反饋對于單輸入單輸出的輸出反饋系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：由閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程可得閉環(huán)根軌跡方程當(dāng)已知時(shí)，以為參變量，可求得閉環(huán)系統(tǒng)的一組根軌跡。不管怎么樣挑選也不能使根軌跡落在那些不屬于根軌跡的期待極點(diǎn)位置上。輸出反饋不能隨意配置極點(diǎn)。帶動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器得反饋系統(tǒng)，倘若實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)的隨意配置，對于受控系統(tǒng)必須滿意帶動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器反饋系統(tǒng)是徹低能觀的，配置動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器，而階數(shù)是n-1。這種系統(tǒng)的零點(diǎn)在串聯(lián)情況下，是受控系統(tǒng)零點(diǎn)與補(bǔ)償器零點(diǎn)的總和；在反饋銜接情況下，則是受控系統(tǒng)零點(diǎn)與動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器極點(diǎn)的總和。三．采用從輸出到的反饋定理：對系統(tǒng)可采用從輸出到的線性反饋實(shí)現(xiàn)閉環(huán)的極點(diǎn)隨意配置的充要條件是徹低能觀。按照對偶原理，倘若能觀，則必能控，因而可以隨意配置的特征值，而的特征值和的特征值相同，又因?yàn)?，因此對隨意配置極點(diǎn)就等價(jià)對隨意配置極點(diǎn)。于是設(shè)計(jì)輸出反饋的問題便轉(zhuǎn)化為對其對偶系統(tǒng)設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋的問題。（1）取線性變換——能觀標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型變換矩陣。將系統(tǒng)化為能觀標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型。（2）引入反饋陣后，得閉環(huán)系統(tǒng)矩陣：（5-48）閉環(huán)特征多項(xiàng)式：（5-49）（3）由期待極點(diǎn)得期待特征多項(xiàng)式：（4）比較與各項(xiàng)系數(shù)，可解出：（5-50）（5）在下求得的變換到狀態(tài)下，便得：倘若系統(tǒng)維數(shù)較低時(shí)，只要系統(tǒng)能觀，也可以不化成標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型通過直接比較特征多項(xiàng)式系數(shù)來決定矩陣。例：設(shè)系統(tǒng)試挑選反饋增益陣，將其極點(diǎn)配置為-5、-8。解：檢驗(yàn)?zāi)苡^性（1）系統(tǒng)能觀；（2）設(shè)得閉環(huán)系統(tǒng)特征多多項(xiàng)式：（3）（期待特征多項(xiàng)式）（4）比較系數(shù)，得：；系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)方程式：§5－3系統(tǒng)慌忙問題對受控系統(tǒng)，通過反饋使其極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部，保證系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定，也可定義輸出反饋能慌忙的概念。為了使系統(tǒng)慌忙，只需將那些不穩(wěn)定因子即具有非負(fù)實(shí)部的極點(diǎn)配置到根平面左半部即可。1．定理：對系統(tǒng)采用狀態(tài)反饋慌忙的充要條件是其不能控子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。（1）證：設(shè)系統(tǒng)不徹低能控，因此通過線性變換可將其按能控性分解為：；；式中：——能控子系統(tǒng)；——不能控子系統(tǒng)。（2）因?yàn)榫€性變換不改變系統(tǒng)的特征值，所以有：（3）與在能控性和穩(wěn)定性上等價(jià)?？紤]對引入狀態(tài)反饋陣：得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣：閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式：（5-56）通過挑選使的特征值均具有負(fù)實(shí)部，從而使這個(gè)子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。的挑選并不能影響的特征值分布。當(dāng)?shù)奶卣髦稻哂胸?fù)實(shí)部，即不能控子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。此時(shí)囫圇受控系統(tǒng)才是狀態(tài)反饋能慌忙的。2．關(guān)于輸出反饋能慌忙的充要條件是結(jié)構(gòu)分解中的能控且能觀子系統(tǒng)是輸出反饋能慌忙的；其余子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。證：（1）對舉行能控、能觀性結(jié)構(gòu)分解：；因和在能控、能觀和能慌忙性上徹低等價(jià)，所以對引入輸出反饋陣，可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣：(5-58)和閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式：上式表明當(dāng)、、、的特征值都有負(fù)實(shí)部時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)才為漸近穩(wěn)定。對于一個(gè)能控且能觀的系統(tǒng)，既然不能通過線性輸出反饋隨意配置極點(diǎn)，天然也不能保證這類系統(tǒng)一定具有輸出反饋的能慌忙性。例：設(shè)系統(tǒng)系統(tǒng)能觀、能控；①有系數(shù)異號（小于零），系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。引入反饋陣②?、偈胶廷谑较禂?shù)相等，即：有無窮多解，系統(tǒng)未必得到慌忙。3．對系統(tǒng)采用從輸出到反饋實(shí)現(xiàn)慌忙的充要條件是的不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。（1）證：對系統(tǒng)舉行能觀性分解，得：；；（5-60)其中：——能觀子系統(tǒng)；——不能觀子系統(tǒng)。開環(huán)系統(tǒng)的多項(xiàng)式為：（2）因和的能觀性、穩(wěn)定性等價(jià)，考慮對引入從輸出到的反饋陣，于是有：（5-63）引入反饋陣，只影響的特征值。因此，要使系統(tǒng)獲得慌忙，僅在為漸近穩(wěn)定時(shí)才干做到。習(xí)題5－3§5－4系統(tǒng)解耦問題解耦問題是多輸入－多輸出綜合理論中的重要組成部分，其設(shè)計(jì)目的是尋求適當(dāng)?shù)目刂七壿?，使輸入輸出互相關(guān)聯(lián)的多變量系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)每一個(gè)輸出僅受相應(yīng)的一個(gè)輸入所控制，每一個(gè)輸入也僅能控制相應(yīng)的一個(gè)輸出，這樣的問題稱為解耦問題。設(shè)是一個(gè)維輸入、維輸出的受控系統(tǒng)。若其傳遞函數(shù)陣：是一個(gè)對角形有理多項(xiàng)式矩陣，則稱該系統(tǒng)是解耦的。由上式可見，一個(gè)多變量系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)解耦后，可被看作為一組互相自立的單變量系統(tǒng)，從而可以實(shí)現(xiàn)自治控制。如圖所示：解耦方式不同，被解耦的充要條件（能解耦的判別問題）和決定解耦控制律和解耦系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不同而不同。實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)解耦，目前主要有兩種主意。前饋補(bǔ)償解耦這種主意只需在待解耦系統(tǒng)的前面串接一個(gè)前饋補(bǔ)償器，使串聯(lián)組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣成為對角形的有理函數(shù)矩陣，這種主意將使系統(tǒng)的維數(shù)增強(qiáng)?！怦钕到y(tǒng)的傳遞函數(shù)陣；——前饋補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)陣。串接補(bǔ)償器后的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣。只要存在，則串聯(lián)補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)陣為：只要待解耦系統(tǒng)滿秩，則總可設(shè)計(jì)一個(gè)補(bǔ)償器使系統(tǒng)獲解耦。至于解耦后各自立子系統(tǒng)所要求的特性則可由賦予規(guī)定。二.狀態(tài)反饋解耦狀態(tài)反饋解耦中的幾個(gè)特征量。結(jié)構(gòu)圖如下圖：—的常數(shù)狀態(tài)反饋矩陣；—實(shí)常數(shù)非神奇變換矩陣；—的輸入矢量。使矩陣解耦的矩陣并不是唯一的，的這種不唯一性可用來同時(shí)滿意配置極點(diǎn)的要求。使系統(tǒng)從到是解耦的，則可設(shè)計(jì)和。(1)定義是滿意不等式（）且介于0到之間的一個(gè)最小整數(shù)?！械牡谛邢蛄?，的下標(biāo)表示行數(shù)。例6－5：已知試計(jì)算（）。解：先算，將、、代入式最小是1，再算，將、、代入式的最小是1，所以。(2)按照定義下列矩陣：試計(jì)算、、。能解耦判據(jù)受控系統(tǒng)采用狀態(tài)反饋能解耦的充要條件是維矩陣為非神奇以上系統(tǒng)的為：是非神奇的，該系統(tǒng)可以采用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)解耦。積分型解耦系統(tǒng)定理：若是狀態(tài)反饋解耦的，則閉環(huán)系統(tǒng)上式是一個(gè)積分型解耦系統(tǒng)，其中狀態(tài)反饋陣為：輸入變換陣為：閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣：用上式實(shí)現(xiàn)解耦的系統(tǒng)其每個(gè)子系統(tǒng)都是相當(dāng)于一個(gè)階積分器的自立子系統(tǒng)。例：試求例（5－5）所示系統(tǒng)的解耦系統(tǒng)已經(jīng)算得：，，，閉環(huán)系統(tǒng)為：閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)反饋解耦結(jié)構(gòu)圖從狀態(tài)反饋陣中看，每一個(gè)元素的作用在于抵消狀態(tài)變量間的交連耦合，從而實(shí)現(xiàn)每一個(gè)輸入僅對其相應(yīng)的一個(gè)輸出的自治控制。能解耦標(biāo)準(zhǔn)型倘若能解耦標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)具有如下形式：其中：則稱為能解耦標(biāo)準(zhǔn)型，而且是的一個(gè)最小實(shí)現(xiàn)。其中：定理：狀態(tài)反饋使系統(tǒng)解耦并隨意配置極點(diǎn)的充要條件是它們具有以下形式：式中：，例：試對例5－7的積分型解耦系統(tǒng)設(shè)計(jì)附加狀態(tài)反饋，使閉環(huán)解耦系統(tǒng)的極點(diǎn)配置為-1，-1，-1，-1。解：（例5－7所得積分型解耦系統(tǒng)）可分離對各自立子系統(tǒng)舉行狀態(tài)反饋，對于有代入（5－78）式為使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在-1，-1，-1，-1狀態(tài)反饋解耦的設(shè)計(jì)步驟用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)解耦的設(shè)計(jì)步驟可歸納如下：（1）．檢驗(yàn)系統(tǒng)是否滿意狀態(tài)反饋解耦的充要條件是維矩陣，為非神奇。（2）．計(jì)算，，將系統(tǒng)化成積分型解耦形式。（3）．對各自立子系統(tǒng)采用附加狀態(tài)反饋將其極點(diǎn)配置為期待值。，說明：倘若積分型解耦系統(tǒng)中存在不能控和不能觀的狀態(tài)，則在采用附加狀態(tài)反饋時(shí)，必須通過非神奇變換，使之化成能解耦標(biāo)準(zhǔn)型。對不能用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)解耦的系統(tǒng)倘若傳遞函數(shù)陣是非神奇的，除單獨(dú)采用前饋補(bǔ)償外，還可以兼用狀態(tài)反饋和串聯(lián)補(bǔ)償器的主意舉行解耦。實(shí)際上，前面所推薦的狀態(tài)反饋解耦系統(tǒng)只不過是串聯(lián)補(bǔ)償器退化為零階矩陣的一種異常情形而已，圖中串聯(lián)補(bǔ)償器退化為零階常數(shù)陣，則系統(tǒng)便可以化成狀態(tài)反饋系統(tǒng)?！?－5狀態(tài)觀測器對受控系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)的隨意配置，狀態(tài)變量應(yīng)是徹低能觀測的，然而系統(tǒng)的狀態(tài)變量并不都是易于直接能檢測得到的，有些狀態(tài)變量甚至根本無法檢測。采用狀態(tài)重構(gòu)，即狀態(tài)觀測器理論，使?fàn)顟B(tài)變量重構(gòu)成為現(xiàn)實(shí)。從而使?fàn)顟B(tài)反饋成為一種可實(shí)現(xiàn)的控制邏輯。本節(jié)推薦在無噪聲干擾下，單輸入單輸出系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)原理和主意。一．狀態(tài)觀測器定義設(shè)線性系統(tǒng)的狀態(tài)矢量不能直接檢測，倘若動(dòng)態(tài)系統(tǒng)以的輸入和輸出作為其輸入量，能產(chǎn)生一組輸出量漸近于，即，則稱為的一個(gè)狀態(tài)觀測器。按照上述定義，重構(gòu)觀測器的原則是：1.觀測器應(yīng)以的輸入和輸出作為其輸入量。2．為滿意，必須徹低能觀?；蚱洳荒苡^子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。3．的輸出應(yīng)以充足快的速度漸近于4．的結(jié)構(gòu)應(yīng)盡量容易，或盡可能的降低維數(shù)，以便于物理實(shí)現(xiàn)二．狀態(tài)觀測器的存在性定理設(shè)，狀態(tài)觀測器存在的充要條件是的不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。證實(shí)：（1）設(shè)不徹低能觀，可舉行能觀結(jié)構(gòu)分解，設(shè)具有能觀性分解形式（5－83）式中，為能觀子系統(tǒng)；為不能觀子系統(tǒng)；為能觀子系統(tǒng)；為不能觀子系統(tǒng)（2）構(gòu)造狀態(tài)觀測器。設(shè)為狀態(tài)的估值。為調(diào)節(jié)漸近于的速度反饋增益矩陣。于是得狀態(tài)觀測器方程：（5－84）或=定義為狀態(tài)誤差矢量，可導(dǎo)出狀態(tài)誤差方程：（3）決定使?jié)u近于的條件（5-86）（5-87）通過適當(dāng)挑選，可使的特征值均具負(fù)實(shí)部，因而有：同理，由式（5－87）可得解（5-89）因?yàn)?，因此僅當(dāng)成立時(shí)，才對隨意和，有而與特征值均具有負(fù)實(shí)部等價(jià)。惟獨(dú)當(dāng)?shù)牟荒苡^子系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定時(shí)，才干使。定理得證。三．狀態(tài)觀測器的實(shí)現(xiàn)定理若線性定常系統(tǒng)徹低能觀，則其狀態(tài)矢量可由輸出和輸入舉行重構(gòu)。證實(shí)將輸出方程對逐次求導(dǎo)，并收拾可得：將各式等號左邊矢量用表示，則有（5.93）若系統(tǒng)徹低能觀，rank,則有按照式（5.93）可以構(gòu)造一個(gè)新系統(tǒng)，它以原系統(tǒng)的和作為輸入，它的輸出z經(jīng)變換后便得到狀態(tài)矢量x。換句話說，只要系統(tǒng)徹低能觀，狀態(tài)矢量便可以由系統(tǒng)的輸入輸出及其各階導(dǎo)數(shù)預(yù)計(jì)出來。狀態(tài)估值記為，系統(tǒng)中包含0階到階微分器，這些微分器將大大加劇測量噪聲對狀態(tài)估值的影響，不能實(shí)用于工程系統(tǒng)。倘若利用輸出信息對狀態(tài)誤差舉行校正，構(gòu)成漸近狀態(tài)觀測器，如圖5.16所示，當(dāng)觀測器的狀態(tài)與系統(tǒng)實(shí)際狀態(tài)不相等時(shí)，與也不相等，于是產(chǎn)生誤差，經(jīng)反饋陣饋送到觀測器的輸入端，參加調(diào)節(jié)，使其趨近于真切狀態(tài)。按照圖5.16可得狀態(tài)觀測器方程：圖5.16漸近觀測器四．反饋陣的設(shè)計(jì)為了研究狀態(tài)估值趨近于狀態(tài)真值的漸近速度，引入狀態(tài)誤差矢量：（5-96）可得狀態(tài)誤差方程：（5-97）即（5-98）式（5-98）是一個(gè)關(guān)于的齊次微分方程，其解為：由式（5-98）可看出，若，則在的所偶爾光內(nèi)，即狀態(tài)估值與鄭重相等。若，二者初值不相等，但的特征值均具有負(fù)實(shí)部，則將漸近衰減至零，將漸近地逼近實(shí)際狀態(tài)。狀態(tài)逼近的速度取決于的挑選或特征值的配置。當(dāng)系統(tǒng)不徹低能觀，但其不能觀子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，仍可構(gòu)造狀態(tài)觀測器，但這時(shí)趨近于的速度將不能由隨意挑選，而要受到不能觀子系統(tǒng)極點(diǎn)位置的限制。例：設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器使其極點(diǎn)為－3，－3，系統(tǒng)徹低可觀測。存在，按衰減，按照期待極點(diǎn)得期待特征式原系統(tǒng)觀測器方程結(jié)構(gòu)圖見下圖。五．降維觀測器實(shí)際上，系統(tǒng)輸出矢量總是能測量的，利用系統(tǒng)的輸出矢量來直接產(chǎn)生部分狀態(tài)變量，從而降低觀測器的維數(shù)。倘若系統(tǒng)能觀，輸出矩陣的秩是，個(gè)狀態(tài)分量可由直接獲得，其余的個(gè)狀態(tài)分量用維的降維觀測器重構(gòu)即可。降維觀測器設(shè)計(jì)分兩步舉行。第一通過線性變換把狀態(tài)按能觀測性分解成和，其中維需重構(gòu)，而維可由直接獲得。第二，對構(gòu)造維觀測器。首先，設(shè)系統(tǒng)能觀，且，存在線性變換挑選變換矩陣：，式中為保證為非神奇的隨意矩陣。容易驗(yàn)證：兩邊同時(shí)右乘，則有：故這樣，經(jīng)過變換后，系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式有如下典型形式：（5.103）原系統(tǒng)能觀，故亦系統(tǒng)保持能觀。變換后，在坐標(biāo)系中，后個(gè)狀態(tài)分量，可由輸出直接檢測取得，前個(gè)狀態(tài)分量通過構(gòu)造維狀態(tài)觀測器舉行預(yù)計(jì)。經(jīng)變換分解后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖5－18所示，其中虛框內(nèi)的子系統(tǒng)是待重構(gòu)的。圖5.18將系統(tǒng)按能檢測性分解的結(jié)構(gòu)圖由式（5－103）得（5－104）令，因?yàn)橐阎?，可直接測出，可把作為待觀測子系統(tǒng)已知的輸入和輸出量處理。相當(dāng)于的輸出矩陣。因?yàn)闉槟苡^對，那么對來說，也是能觀對，所以存在觀測器。參照（5－95）式便得觀測器方程：（5－106）類似地，通過挑選維矩陣，可將矩陣的特征值配置在期待的位置上。將式（5－105）代入式（5－106）得：(5-107)方程中浮上，增強(qiáng)了實(shí)現(xiàn)上的艱難，為了消去，引入變量：于是觀測器方程變?yōu)椋海?-108）或者將代入，得：（5-109）式中為的觀測值或預(yù)計(jì)值。囫圇狀態(tài)向量的估值為（5－110）再變換到狀態(tài)下，按照式（5－108）可得囫圇觀測器結(jié)構(gòu)如圖所示。由式5.103可知，是直接可測的，所以這個(gè)狀態(tài)分量沒有估值誤差。為了證實(shí)的估值誤差具有所希翼的衰減邏輯，將式（5－104）減去式（5－107），求得狀態(tài)估值誤差方程：考慮到，經(jīng)消項(xiàng)收拾后：（5-112）式中，為狀態(tài)估值誤差因?yàn)橄到y(tǒng)能觀，通過挑選使的極點(diǎn)獲得隨意配置，從而保證誤差能按設(shè)計(jì)者的愿望盡快的衰減到零。例：給定系統(tǒng)試設(shè)計(jì)極點(diǎn)為－3，－4的降維觀測器。解：（1）經(jīng)檢驗(yàn)系統(tǒng)徹低能觀，故存在狀態(tài)觀測器，（2）構(gòu)造變換陣作線性變換，設(shè)，因?yàn)闋顟B(tài)分量可由直接提供，故只需設(shè)計(jì)二維狀態(tài)觀測器（3）引入（4）期待特征多項(xiàng)式（5）比較各相應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，得：即（6）觀測器方程：或由式（5－109）得經(jīng)線性變換后的狀態(tài)估值為：（7）為得到原系統(tǒng)狀態(tài)預(yù)計(jì)，做如下變換：其結(jié)構(gòu)圖如下所示§5－6利用狀態(tài)觀測器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋的系統(tǒng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與狀態(tài)空間表達(dá)式圖5-21是一帶有全維狀態(tài)觀測器得系統(tǒng)反饋系統(tǒng)圖5-21設(shè)能控能觀的受控系統(tǒng)為狀態(tài)觀測器為：(5-114)反饋控制邏輯為：(5-115)將式（5.115）代入式（5.113）和式（5.114）收拾或直接由結(jié)構(gòu)圖得囫圇閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：(5-116)寫成矩陣形式為（A,B,C）(5-117)這是一個(gè)2n維的閉環(huán)系統(tǒng)。閉環(huán)系統(tǒng)的基本特性閉環(huán)極點(diǎn)設(shè)計(jì)的分離性閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)包括直接狀態(tài)反饋系統(tǒng)的極點(diǎn)和觀測器的極點(diǎn)兩部分。但二者自立，互相分離。設(shè)狀態(tài)預(yù)計(jì)誤差為，引入等效變換。令變換陣為：==經(jīng)線性變換后的系統(tǒng)為或者展開成：等效結(jié)構(gòu)圖如下：因?yàn)榫€性變換不改變系統(tǒng)的極點(diǎn)，因此有：（5-122）上式表明，有觀測器構(gòu)成的狀態(tài)反饋的閉環(huán)系統(tǒng)，其特征多項(xiàng)式等于矩陣（A+BK）與（A-GC）矩陣的特征多項(xiàng)式的乘積。亦即閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)等于直接狀態(tài)反饋（A+BK）的極點(diǎn)和狀態(tài)觀測器（A-GC）的極點(diǎn)之和。而且二者互相自立。只要系統(tǒng)（A，B，C）能控能觀，則系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣K和觀測器反饋陣G可分離舉行設(shè)計(jì)。這就是閉環(huán)極點(diǎn)設(shè)計(jì)的分離性。2.傳遞函數(shù)矩陣的不變性這個(gè)不變性表示用觀測器構(gòu)成的狀態(tài)反饋系統(tǒng)K和狀態(tài)直接反饋系統(tǒng)具有相同的傳遞函數(shù)陣。按照分塊矩陣的性質(zhì)可知，對一個(gè)分塊陣：（5-123）若分塊矩陣R，T均可逆（都有逆矩陣）（5-124）利用上式算可方便求得的傳遞函數(shù)陣：（5-125）上式表明帶觀測器狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣等于直接狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣。從圖（5-22）看得更清晰。因?yàn)橛^測器的極點(diǎn)已所有被閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)相消了，因此這類閉環(huán)系統(tǒng)是不徹低能控的。因?yàn)椴荒芸氐臓顟B(tài)變量是預(yù)計(jì)誤差，這種不徹低能控性并不影響系統(tǒng)的正常工作。3.觀測器反饋與直接狀態(tài)反饋的等效性。由式（5-121）看出，通過挑選G可使（A-GC）的特征值均具有負(fù)實(shí)部，所以有。因此當(dāng)時(shí)必有：成立。帶觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)惟獨(dú)當(dāng)，進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時(shí)，才會(huì)與直接狀態(tài)反饋系統(tǒng)徹低等價(jià)?？赏ㄟ^挑選G來加速，即漸進(jìn)于的速度。例(5-11):設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為用狀態(tài)反饋將閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置為,并設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)上述反饋的全維及降維觀測器。（設(shè)其極點(diǎn)為-10，-0）解:(1)由傳遞函數(shù)可知，系統(tǒng)能控能觀，存在狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測器。（2）求狀態(tài)反饋陣K，為方便觀測器設(shè)計(jì)，直接寫出系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型狀態(tài)方程。令閉環(huán)系統(tǒng)矩陣閉環(huán)特征多項(xiàng)式：與期待特征多項(xiàng)式：，，