2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)：求平面向量的數(shù)量積的范圍（附答案解析）

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)：求平面向量的數(shù)量積的范圍、最值

一.選擇題（共10小題）

1.（2021秋?凱里市校級期中）如圖所示，在等腰梯形NBCD中，AD∕∕BC,E為線段48

的中點，DF=,FC,BC=2AD=4,ZABC=60°，則BF?CE=（）

4

2.（2021秋?青島期中）在4/8C中，AB=2M，BC=4,8=30°,尸為邊/C上的動點，

則前?而的取值范圍是（）

A.[0,12]B.[12,16]C.[4,12]D.[4√13??θ]

，“?，?._*......?

3.（2021秋?贛州期中）己知AB，AC，IAH=P,IAa=f，若點尸是4/8C所在平面內(nèi)的一

點，且卻=鵬_-_1絲則而?云的最大值等于（）

IABIIACI

A.8B.10C.12D.13

4.（2021秋?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，函數(shù)/（x）=Sin（ωx+φ）（ω>0<0<φ<.^）在

一個周期內(nèi)的圖象（不包括端點）與X軸，V軸的交點分別為4B,與過點N的直線另

相交于C,。兩點，E為圖象的最高點，O為坐標(biāo)原點，則（前+而）?6S=（）

9999

5.（2021春?朝陽區(qū)校級期中）如圖，在等邊C中，BD=3DC.則向量屈在向量上的菽

投影向量為（）

第1頁（共23頁）

ω

?'?B??-C??AD

6.（2021秋?浦東新區(qū)校級期中）四葉回旋鏢可看作是由四個相同的直角梯形圍成的圖形,

如圖所示，AB=4,CZ）=2,//=45°,"為線段"G上一動點，則春?質(zhì)的最大值為

7.（2021春?舒城縣期末）如圖，在正方形/88中，/8=2,E為8C的中點，點尸是以

/8為直徑的圓弧上任一點.則標(biāo)?Q的最大值為（）

8.（2021春?江寧區(qū)期中）在平行四邊形ZBC。中，/8=2,/D=l,標(biāo)?N5=-√5,且〃

在邊Cz）上，則而?^?最小值為（）

9.（2021春?廬陽區(qū)校級期末）已知AZBC中，AB=2,/C=l,AB-AC=LO為AABC

所在平面內(nèi)一點，且滿足水+2而+3羽=萬，則而“標(biāo)的值為（）

第2頁（共23頁）

A.-4B.-1C.1D.4

10.（2021春?楊陵區(qū)期末）騎自行車是一種環(huán)保又健康的運動，圖是某一自行車的平面結(jié)

構(gòu)示意圖，已知圖中的圓/（前輪），圓。（后輪）的半徑均為√G,AABE、∕?BEC,△

EC。均是邊長為4的等邊三角形.設(shè)點P為后輪上的一點，則在騎動該自行車的過程中，

AC?Q的最大值為（）

二.填空題（共4小題）

11.（2021秋?臨沂期中）已知向量標(biāo)=（2,t））AC=（3,3）,I前1=1，則瓦?前

12.（2021春?長清區(qū)校級期中）在aZBC中，若標(biāo)?正=2且NAIC=30°,則BC的

面積為.

13.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期中）在平行四邊形中，月2=4,4）=3,EC=3DE-AE?EB=-3>

則標(biāo)-AD=.

14.（2021秋?德州期中）如圖，梯形NBCQ中，AB±BC,AB//CD,AB=BC=2,AC-BD

=-2,若點M為邊AB匕的動點，則記?面的最小值是.

Ξ.解答題（共4小題）

15.（2021春?昌平區(qū)校級期中）已知ANBC的頂點為/、B、C,三個點坐標(biāo)為/（-1,2）,

B（3,5）,c（4,D,求AB、AC、|AB|、IACAB?AC?∕8∕C的余弦值?

第3頁（共23頁）

16.(2021秋?中山市期末)在418(7中，內(nèi)角4,8,。的對邊分別為。,6,。,且包=-^工三農(nóng).

bacosB

(?)求4；

(2)如圖，已知48=2,。為力C的中點，點尸在BQ上，且滿足亞?溫=1，求

的面積.

17.(2021秋?岳麓區(qū)校級期中)在aASC中，A^—,Be(―,Z?∕8C的外接圓

626

半徑火=2.

(1)若sin8=求SinC及邊長48；

7

(2)求就?前的取值范圍.

18.(2021春?湖北期中)我們知道，對一個量用兩種方法分別計算一次，由結(jié)果相同則可

以構(gòu)造等式解決問題，這種思維方法稱為“算兩次”原理，又稱“富比尼原理”，是一種

重要的數(shù)學(xué)思想.

例如：如圖甲，在aABC中，。為BC的中點，則標(biāo)二標(biāo)+而，??=?ɑ+ot,兩式相加

得2屈=AB+BD+AC+CD-因為。為BC的中點,所以而+CD=0.于是2疝=AB+AC.請

用“算兩次”的方法解決下列問題：

(1)如圖乙，在四邊形488中，E,F分別為/O,BC的中點，證明：2EF=AB+DC?

(2)如圖丙，在四邊形48C。中，E,F分別在邊ND,BC上,且AE=???,BF」Bo

33

Aβ=3,DC=2,屈與前的夾角為60。，求瓦?曲.

第4頁(共23頁)

第5頁（共23頁）

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)：求平面向量的數(shù)量積的范圍、最值

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

I.（2021秋?凱里市校級期中）如圖所示，在等腰梯形ZBCD中，AD//BC,E為線段

的中點，DF='FC,BC=2AD=4,ZABC^60Q,則BF?CE=（）

4

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】先取基向量組a=BA，b=BO?再用a，b表示BF和CE，最后求解.

【解答】解：取BC中點。，連接力。、DO、BD,

因為/8GD是等腰梯形，AD∕∕BC,BC=2AD=4,NzBC=60°,

所以BO=4D,OB=OD,所以四邊形/8。。是菱形，

設(shè)a=BA，b=BO，

又因為E為線段/8的中點，DF=LFC,

4

所兩=；+理6二）膏等M親與，

所以而?CE=∣-.ζ2^-.b2-7-b=∣-?4^-?4-2?2?y=-10-

故選：B.

【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積性質(zhì)及其運算，屬于中檔題.

2.（2021秋?青島期中）在C中，AB=2y∕3,BC=4,8=30°,尸為邊AC上的動點,

則前?加的取值范圍是（）

第6頁（共23頁）

A.[O,12]B.[12,16]C.[4,12]D.[4√13>?θ]

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】計算題；整體思想；向量法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】根據(jù)題意得到方=λ正，其中OW入Wl,利用平面向量三角形法則表示出

BC?BP=4λ+121進而可得其范圍.

【解答】解：因為P在ZC上，所以下=λ正，其中OW入Wl,

A

則BC-BP=BC?(AP-AB)=BC-AP-BC-AB

=λBC-AC-BC-AB

=λβC?(AB+BC)-BC-AB

...2

=(λ-l)BC?AB+λBC

=-返X4X2√^(λ-1)+16λ=4λ+12,

2

因為0≤入≤l,所以4人+126[12,16].

故選：B.

【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題.

3.（2021秋?贛州期中）己知屈，正，I屈=HIAQ=Z,若點P是a∕8C所在平面內(nèi)的一

點，且靠=Y--衛(wèi)生則而?記的最大值等于（）

IABIIACI

A.8B.10C.12D.13

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】綜合題；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】根據(jù)題意可以點力為坐標(biāo)原點，以直線48,ZC分別為X,y軸，建立平面直角

坐標(biāo)系，然后根據(jù)題意即可得出尸（1,-3）,從而可得出而?云=-/+3f+10,引入函

第7頁（共23頁）

數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)即可求出最大值.

【解答】解：；同，而，；.以Z為坐標(biāo)原點，直線48,ZC分別為X軸，J，軸，建立如

圖平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)8(尸，O),C(0,t),其中40,

則根據(jù)Q=喜-理有屈=(1,0)-3(0,1)=(1,-3),即尸(1,-3),

IABIIACI

PB,PC=(f3-113)?(-L"3)=-5+3什10,

令/(力=-f+3z+10,r>0,

則/⑺=-3r2+3=-3(Z+1)(L1),

則當(dāng)f∈(0,1)時，/(Z)>0,當(dāng)華(1,+8)時，f(f)<0,

故當(dāng)/=1時，/(Z)取最大值/(1)=12,

故選：C.

【點評】本題考查了通過建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)解決向量問題的方法，向量坐標(biāo)的數(shù)量

積運算，利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查了計算能力，屬于中檔題.

4.(2021秋?沙坪壩區(qū)校級期中)如圖，函數(shù)/(x)=sin(ωx+φ)(ω>0<0<φ<.^)在

一個周期內(nèi)的圖象(不包括端點)與X軸，y軸的交點分別為4B,與過點工的直線另

相交于C,。兩點，E為圖象的最高點，O為坐標(biāo)原點，則(前+而)?6S=()

第8頁(共23頁)

9999

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；正弦函數(shù)的圖象.

【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；平面向量及應(yīng)用：數(shù)學(xué)運算.

【分析】根據(jù)圖像先求得函數(shù)/(x)的解析式，再利用N為S的中點，得到正+而=

2BA，然后結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求得答案.

【解答】解：由圖可得金工=J1」，解得7=2,所以3=空=π,

463T

又當(dāng)X=Ujl寸，y—1,即Sin(A.π+φ)-1,解得φ=2L,

336

所以/(x)=Sin(πx+-?∑-),則/(―,O),B(0,?),

662

因為/為8的中點，所以氏+而=2就=2(?,-?)=(且-1),

623

又因為TS=(X1),

3

所以(BC+BD)?0E=($，-I)(LI)=-生

339

故選：D.

【點評】本題主要考查了正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)，平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于中檔

題.

5.(2021春?朝陽區(qū)校級期中)如圖，在等邊4/8C中，BD=3DC-則向量標(biāo)在向量上的菽

A.-I-ADB.^ADC.AAD

第9頁(共23頁)

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】計算題：轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程：邏輯推理；數(shù)學(xué)

運算.

【分析】由已知可得，而=?,然后結(jié)合向量的基本定理及向量的數(shù)量積的性質(zhì)即可

4

求解.

【解答】解：因為麗=3慶,所以而=J-Bc.則AD=AB+BD=Q

4

設(shè)該等邊三角形的邊長為α,

所以疝?AB=(AB÷∣?^標(biāo)=屈河-AB:a2+^α2cos120o~^-a2,?AB|=?>IA∏

48

2oy3y1292=√Ha,

a^2×τ×7a5βa4a

52

則向量正在向量上的^?影為：專一=—

a,

√132√13

a

4

5

sV^i3a^_10-

故向量標(biāo)在向量上的^?影向量為:"/：'；--AD=——??,

√1313

丁a

【點評】本題主要考查了平面向量的基本定理及向量數(shù)量積的性質(zhì)的簡單應(yīng)用，屬于基

礎(chǔ)試題.

6.（2021秋?浦東新區(qū)校級期中）四葉回旋鏢可看作是由四個相同的直角梯形圍成的圖形,

如圖所示，AB=4,CD=2,//=45°,朋■為線段“G上一動點，則樂?加的最大值為

()

第10頁（共23頁）

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】綜合題；數(shù)形結(jié)合；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，標(biāo)出F,E,〃四個點的坐標(biāo)，寫出向量菽，衣的坐

標(biāo)，即可表示出屈?麻，進而可求得其最大值.

【解答】解：如圖，以C為原點建立平面直角坐標(biāo)系，

則Z（-4,2）,F（0,-2）,￡（-2,-4）,M（2+x,-X）,其中0WxW2,

所以正=（4,-4）,EM=（4+x,4-χ）,

則出百?EM=16+4Λ--16+4X=8X,

因為0<xW2,所以當(dāng)x=2時，標(biāo)?而取最大值16,

故選：B.

【點評】本題考查坐標(biāo)法求向量的數(shù)量積，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力，數(shù)學(xué)運算能力，屬

于中檔題.

7.（2021春?舒城縣期末）如圖，在正方形N8C。中，AB=2,E為BC的中點，點P是以

/8為直徑的圓弧上任一點.則瓦?蠢的最大值為（）

第11頁（共23頁）

A.4B.5C.2√5D.2+√5

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求得各點坐標(biāo)，進而表示出近?M,再利用三角函數(shù)的

性質(zhì)即可得出答案.

【解答】解：如圖，取/8中點O,以。點為原點，以ZB所在直線為X軸，如圖建立平

面直角坐標(biāo)系，

ZPOB=Q,結(jié)合題意,可知P(-1,O),B(1,0),E(1,1),P(cosθ,sinθ)(θ∈[0,

π]),

所以AP=(cosθ+l,sinθ),AE=(2,I),

所以AE?AP=2cos6+sine+2=J^in(θ+φ)+2≤2+>/5，當(dāng)且僅當(dāng)Sin(θ÷φ)=1時等

號成立，

?AE?Q的最大值為2點.

故選：D.

【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)以及計算，涉及向量的坐標(biāo)表示和計算，輔助

角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想及運算求解能力，屬于中檔題.

8.(2021春?江寧區(qū)期中)在平行四邊形ZBC。中，AB=2,4D=1,AB*AD=-√2>且/

第12頁(共23頁)

在邊CD上，則MA?HmJ最小值為（）

A.l+√2B.1-√2C.-?D.?

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；平面向量及應(yīng)用：數(shù)學(xué)運算.

【分析】先根據(jù)向量的數(shù)量積的運算，求出4=135。，再建立坐標(biāo)系，得到血?血的表

達式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最小值，問題得以解決.

【解答】解：；平行四邊形/8Cr）中，AB=2,AD=?,

至超好=-&，點M在邊CD上，

?IAH-IAD9CosZA=-√2-

cosA=-?/?,.,.J=135°,

2

以工為原點，以/8所在的直線為X軸，以48的垂線為y軸，

建立如圖所示的坐標(biāo)系，.?.Z（0,0）,B（2,0）,D（-返，返?,

___22

設(shè)M（x,返），則-返WxW2班，

222_

?MA=（-X--返），而=（2-x,-返），

22

ΛMA*MB=X（1-2）+-=x2-2x+—=（x-1）2-?,

222

設(shè)/（x）=（X-1）2-l,則/（x）在LLl）上單調(diào)遞減，在［1,2-返］上單調(diào)遞

222

增，

'?f（X）min=f（1）=-?,

則疝?血的最小值是二，

2

故選：C.

第13頁（共23頁）

yi

2

IO（J）^Brf

【點評】本題考查了向量的數(shù)量積定義和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和函數(shù)的最值問題，關(guān)

鍵是建立坐標(biāo)系，屬于中檔題.

9.（2021春?廬陽區(qū)校級期末）已知448C中，AB=2,NC=I,標(biāo)?正=1，O為AABC

所在平面內(nèi)一點，且滿足水+2連+3沃=1,則76?^≡的值為（）

A.-4B.-1C.1D.4

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】分別令/C,BC的中點為Λ1,N,則可化簡式子得OM+2ON=O,于是O為線段

MN的靠近N的三等分點，再計算數(shù)量積即可得出結(jié)論.

【解答】解：?.?∕X∕8C中，AB=2,/C=l,AB-AC=L。為C所在平面內(nèi)一點，

且滿足贏+2通+3祈=萬，

設(shè)4C的中點為A1,8C的中點為M則丞+56=2而，OB+OC=2ON

?OM+2ON=O-

O為線段MN的靠近N的三等分點,

???A0?BC=(A^MO)?(AC-AB)=(±AC÷?×^AB)?(AC-AB)-∣AC24AB2

232

4L=

-薩石味3^1,

故選：B.

第14頁（共23頁）

z?

【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，確定。點位置是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.

10.(2021春?楊陵區(qū)期末)騎自行車是一種環(huán)保又健康的運動，圖是某一自行車的平面結(jié)

構(gòu)示意圖，已知圖中的圓/(前輪)，圓。(后輪)的半徑均為√5,ΛABE,4BEC?△

EcD均是邊長為4的等邊三角形.設(shè)點P為后輪上的一點，則在騎動該自行車的過程中，

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】以點。為坐標(biāo)原點，D4為X軸負(fù)半軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則

A(-8,0),C(-2,2√3)，設(shè)P(V3c°≡θ>V3≡inθ)，計算可得

AC-AP=12sin(θ-t?)+48'由此即可求得最大值?

【解答】解：以點。為坐標(biāo)原點，。/為X軸負(fù)半軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則

A(-8,0),C(-2,2√3),

點P在以。為圓心，火為半徑的圓上，可設(shè)P(√5cos8,√3≡inθ),

λAC=(6,2√3)?AP=(√3c°≡θ+8?√3sinθA

?*?AC?AP=6(√3cosθ+8)+6sinθ

Tr

e?/?eosθ+6si∏θ+48=12sin(θ-k?)+48,

第15頁(共23頁)

'∣I"?

顯然當(dāng)sin（8嚀）=1時，AC?AP取得最大值60.

故選：D.

【點評】本題考查平面向量數(shù)量積最大值的求解，涉及了三角函數(shù)的恒等變換及性質(zhì)，

考查數(shù)形結(jié)合思想及運算能力，屬于中檔題.

二.填空題（共4小題）

11.（2021秋?臨沂期中）已知向量標(biāo)=（2,t）,AC=（3,3）,IBCI=1，則AB?BC=

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】方程思想；待定系數(shù)法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】先用向量差運算和模的概念列方程求f,再根據(jù)向量數(shù)量積求解.

【解答】解：S?BC=AC-AB=（1,3-t），

所以∣BCI=√ι2+（3-t）2=ι,解得,=3,

前=（1，°），AB=（2,3），

所以瓦?阮=2?l+3?0=2.

故答案為：2.

【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算，屬于中檔題.

12.（2021春?長清區(qū)校級期中）在448。中，若X5?M=2且N8∕C=30°,則4/18C的

面積為_亞」.

3

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】用三角形面積公式及向量數(shù)量積定義計算求解.

第16頁（共23頁）

【解答】解：因為瓦?正=2且N5∕C=3（T,所以I就I?I菽∣?cos30°=

IABI?IAC卜返=2,所以庇I?IAC∣=-‰

2√3

所以￡,國I?阮∣?sin30o=*^???=率

故答案為：返.

3

【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算，屬于中檔題.

13.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期中）在平行四邊形中,ZB=4,40=3,EC=3DE-AE?EB=-3>

則至?而=6.

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】方程思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；直觀想象；數(shù)學(xué)運算.

【分析】先用向量正和通表示標(biāo)和而，再用向量數(shù)量積運算求解.

【解答】解：因為四邊形NBCD是平行四邊形，所以￡=標(biāo)，

因為前=3瓦，所以質(zhì)=工定，

4

≡AE=AD+DEq同+AD-EB=AB-AE=AB-（^AB+AD）=?-AD-

所以標(biāo)?^≡=-3=備疝2一標(biāo)2,還?正=*.42-32卷還?正，

所以瓦?AD=6,

故答案為：6.

A

【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算，屬于中檔題.

■?*ι

14.（2021秋?德州期中）如圖，梯形/8CD中，ABLBC,AB//CD,AB=BC=2,AC-BD

=-2,若點“為邊/5上的動點，則記?而的最小值是—工

4

第17頁（共23頁）

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】函數(shù)思想：向量法：平面向量及應(yīng)用：數(shù)學(xué)運算.

【分析】以B為原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)。(2,〃),由菽?而=-2,可得〃的值,

再設(shè)/(O,y),y€[0,2],結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算與配方法，即可得解.

【解答】解：以8為原點，BC,8/所在直線分別為X,y軸，建立如圖所示的平面直角

坐標(biāo)系，

則B(0,0),A(0,2),C(2,0),

設(shè)。(2,〃)，則正=(2,-2),BD=(2,〃)，

因為菽-BD=-2.

所以4-2〃=-2,解得〃=3,即。(2,3),

設(shè)M(0,y),?e[θ,2],則而=(2,-y),MD=(2,3-y),

所以元?而=4-y(3-?)=爐-3>4=(V-I)2+工，工，

?244

所以元?記的最小值為工.

故答案為：?.

4

【點評】本題考查平面向量在幾何中的應(yīng)用，遇到規(guī)則圖形，一般采用建立坐標(biāo)系，將

問題轉(zhuǎn)化為平面向量的坐標(biāo)運算可簡化試題，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔

題.

第18頁(共23頁)

Ξ.解答題(共4小題)

15.(2021春?昌平區(qū)校級期中)已知AZBC的頂點為力、B、C,三個點坐標(biāo)為/(-1,2),

B(3,5),c(4,1),求正、AC>∣ABIAC|>至?質(zhì)及∕8∕c的余弦值.

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；演繹法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】求得標(biāo)=(4,3),AC=(5,-1),即可運算.

【解答】解：因為Z(-1,2),B(3,5),C(4,1),

所以標(biāo)=(4,3),AC=(5,-1),

IAB1=山2+產(chǎn)5,IAC∣=√52+(-1)2=√26-

AB?AC=4×5+3X(-1)=17,

1717√26

NBAC=AB?AC=

IABI-IACI5×√26130

【點評】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題.

16.(2021秋?中山市期末)在4/8C中，內(nèi)角4,8,C的對邊分別為α,6,c,且包上至再立.

baCosB

(1)求？1；

(2)如圖，己知/8=2,。為/C的中點，點尸在5。上，且滿足而■而=1，求ARIC

的面積.

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；正弦定理.

【專題】綜合題；數(shù)形結(jié)合；向量法；平面向量及應(yīng)用：數(shù)學(xué)運算.

【分析】(1)由正弦定理整理條件得至UtanB=I,進而得到8,再結(jié)合余弦定理、正弦定

理得到sin8=sin(A-B),即可解出4；

(2)運用向量數(shù)量積運算性質(zhì)將也.而=i展開，結(jié)合余弦定理可求得DP=√^,根據(jù)面

第19頁(共23頁)

積之比等于對應(yīng)的向量的長度比求出ARIC和AZBC的面積，即得aRIC的面積.

【解答】解：(1)由曳=Sin?,,可得SirL4cos8=SinBsiM,

bCosB

又SilL4WO,則tar山=1.

因為8∈(0,π),所以B[--

222

由曳上工，可得〃2=序+α，即.a+〉-b

ba2ac2a

所以c+b=2acosB.

由正弦定理可得SinC+sin8=2SirL4cos8,

則sin(J+5)+sin8=2SiMCOSH,

可得SirLδ=sin(A-B),

則8=4-8或8+4-8=π(舍去)，所以A=2B=令.

(2)因為點，c0=]/所以/1尸?CPCoSNNPC=L

AC2=AP2+CP2-2AP-CPcosZAPC,所以力尸2+。尸2=6.

因為CP?=。。2+。/-2CQDPCOSNCDP,AP2^AD2+DP2-2ADDPCOSNADP,

兩式相加可得CP2+AP2^CD2+AD2+2DP2,解得DP=√2?

如圖，過點尸作PE_L/C,

∏∣∣∣sAPAC_EP_DP,√2

'J二需同樂F?

又因為SZIABCVAB?AC=2,

【點評】本題考查向量數(shù)乘的運算和幾何意義，涉及正、余弦定理的應(yīng)用，把三角形的

面積之比轉(zhuǎn)化為向量的長度比，是解題的難點，屬于中檔題.

17.（2021秋?岳麓區(qū)校級期中）在448C中，A^—,Be（?,且L）,Z?4SC的外接圓

626

第20頁（共23頁）

半徑火=2.

(1)若sin8=3巨，求SinC及邊長48；

7

(2)求以?前的取值范圍.

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；正弦定理.

【專題】計算題；對應(yīng)思想；向量法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，兩角和的正弦公式可得SinC的值，再由正弦定

理求出“8的值；

(2)由正弦定理可求得8C=2,/8=4Sin(I2L-5),再結(jié)合平面向量的數(shù)量積定義、

6

二倍角公式推出以?前=4Sin(25+2L)+2,然后根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得解.

6

【解答】解：(1)YBS(?,.5π-),SinB=^∕Σ,：.cosB=-

2677

VJ+β+C=π,

.?.sinC=sin(A+B)-sinAcosβ+cosAsinB=-×(-)+^^-×?/?k,

272714

由正弦定理，知/L_=2R,則/8=2X2X返I=3/21.