專題12空間向量的坐標表示8種常見考法歸類（原卷版）

專題12空間向量的坐標表示8種常見考法歸類思維導圖核心考點聚焦考點一、對空間向量基本定理的認識考點二、用基底表示空間向量問題考點三、空間向量基本定理的應(yīng)用考點四、空間向量坐標系與空間向量的坐標表示考點五、空間向量數(shù)量積的坐標表示考點六、空間向量平行、垂直的坐標表示考點七、空間向量的夾角與長度的計算考點八、空間向量投影的計算一、空間向量基本定理1、空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使.2、基底與基向量：如果三個向量不共面，那么空間的每一個都可由向量線性表示，我們把稱為空間的一個基底，都叫做基向量。說明：空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底.二、空間向量的正交分解1、單位正交基底：如果空間一個基底的三個向量兩兩互相垂直，那么這個基底叫作正交基底，特別地，當一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱這個基底為單位正交基底，通常用表示。2、正交分解：把一個空間向量分解成三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正角分解。三、空間直角坐標系(1)在空間中任意選定一點O作為坐標原點，選擇合適的平面先建立平面直角坐標系xOy，然后過O作一條與xOy平面垂直的數(shù)軸z軸．這樣建立的空間直角坐標系記作Oxyz．(2)在空間直角坐標系Oxyz中，x軸、y軸、z軸是兩兩垂直的，它們都稱為坐標軸，通過每兩個坐標軸的平面都稱為坐標平面．(3)z軸正方向的確定：在z軸的正半軸看xOy平面，x軸的正半軸繞O點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°能與y軸的正半軸重合．(4)空間直角坐標系的畫法：在平面內(nèi)畫空間直角坐標系Oxyz時，一般把x軸、y軸畫成水平放置，x軸正方向與y軸正方向夾角為135°(或45°)，z軸與y軸(或x軸)垂直．(5)空間中一點的坐標：空間一點M的坐標可用有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)來表示，有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，其中x叫做點M的橫坐標(或x坐標)，y叫做點M的縱坐標(或y坐標)，z叫做點M的豎坐標(或z坐標)．四、空間中向量的坐標一般地，如果空間向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是單位向量，而且這三個向量兩兩垂直，就稱這組基底為單位正交基底，在單位正交基底下向量的分解稱為向量的單位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，則稱有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)為向量p的坐標，記作p＝(x，y，z)．其中x，y，z都稱為p的坐標分量．五、空間向量的坐標運算(1)空間向量a，b，其坐標形式為：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)a·a＝|a|2＝.六、空間向量的平行、垂直及模、夾角設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則名稱滿足條件向量表示形式坐標表示形式a∥ba＝λb(λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)a⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|＝|a|＝夾角cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉＝七、空間向量坐標的應(yīng)用(1)點P(x，y，z)到坐標原點O(0,0,0)的距離OP＝eq\r(x2＋y2＋z2)．(2)任意兩點P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)間的距離P1P2＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12)．1、基底的判斷思路（1）判斷一組向量能否作為空間的一個基底，實質(zhì)是判斷這三個向量是否共面，若不共面，則可以作為一個基底；（2）判斷基底時，常常依托于正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們同一頂點出發(fā)的三條棱對應(yīng)的向量為基底，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)成其他向量進行相關(guān)的判斷、2、用基底表示向量的步驟（1）變基底：根據(jù)已知條件，確定三個不共面的向量構(gòu)成空間的一個基底；（2）找目標：用確定的基底（或已知基底）表示目標向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結(jié)果。（3）下結(jié)論：利用空間向量的一個基底可以表示出空間所有向量，表示要徹底，結(jié)果中只能含有，不能含有其他形式的向量3、建立適當?shù)目臻g直角坐標系，以各點的坐標表示簡單方便為宜．向量的坐標即終點坐標減去起點坐標對應(yīng)的坐標．求點的坐標時，一定要注意向量的起點是否在原點，在原點時，向量的坐標與終點坐標相同；不在原點時，向量的坐標加上起點坐標才是終點坐標．4、向量平行與垂直問題的三種題型題型1：空間向量平行與垂直的判斷，利用空間向量平行與垂直的條件進行判斷．題型2：利用平行與垂直求參數(shù)或其他問題，即平行與垂直的應(yīng)用，解題時要注意：①適當引入?yún)?shù)(比如向量a，b平行，可設(shè)a＝λb)，建立關(guān)于參數(shù)的方程；②最好選擇坐標形式，以達到簡化運算的目的.題型3：利用向量坐標處理空間中的平行與垂直：①向量化：即將空間中的垂直與平行轉(zhuǎn)化為向量的垂直與平行；②向量關(guān)系代數(shù)化：即寫出向量的坐標；③求解：利用向量的坐標運算列出關(guān)系式求解．考點剖析考點一、對空間向量基本定理的認識1．（2023上·陜西西安·高二校聯(lián)考階段練習）已知是空間的一個基底，則可以和構(gòu)成空間的另一個基底的向量為（

）A． B． C． D．2．（2023上·廣東東莞·高二?？计谥校┤羰强臻g的一個基底，且向量，，不能構(gòu)成空間的一個基底，則（

）A． B．1 C．0 D．3．（2023上·河北·高二校聯(lián)考期中）已知平面，，，，，則空間的一個單位正交基底可以為（

）A． B．C． D．4．（2023上·安徽亳州·高二校考階段練習）若為空間的一個基底，則下列各項中能作為基底的是（

）A． B．C． D．5．（2023上·河南鄭州·高二鄭州市第一〇一中學校聯(lián)考期中）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（

）A． B．C． D．考點二、用基底表示空間向量問題6．（2022上·北京西城·高二北師大二附中校考階段練習）如圖，在平行六面體中，若，，則（

）A． B．C． D．7．（2011上·遼寧營口·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，若，，，則等于（）A． B． C． D．8．（2016上·貴州遵義·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四面體OABC中，，，.點M在OA上，且，為BC中點，則等于（）A． B．C． D．9．（2023上·青海西寧·高二?？茧A段練習）如圖，在平行六面體中，已知，，，則用向量，，可表示向量為（

）A． B．C． D．10．（2024上·河南·高二伊川縣第一高中校聯(lián)考階段練習）如圖，在正三棱柱中，為的中點，為線段上的動點，當時，（

）A．2 B． C． D．考點三、空間向量基本定理的應(yīng)用11．（2023上·河南·高二校聯(lián)考階段練習）已知四面體是的重心，若，則（

）A．4 B． C． D．12．（2023上·高二單元測試）已知四棱柱的底面是平行四邊形，點E在線段DC上滿足，，則（）A． B． C． D．13．（2023上·河北保定·高二河北定興第三中學校聯(lián)考期中）如圖，在平行六面體中，為的中點，點滿足．若四點在同一個平面上，則（

）A． B． C． D．14．（2023上·天津北辰·高二統(tǒng)考期中）在正方體中，為中點，，，，，使得，則（

）A．0 B．1 C．2 D．315．（2023上·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學?？茧A段練習）已知是空間的一個基底，，，若，則（

）A． B． C．6 D．5考點四、空間向量坐標系與空間向量的坐標表示16．（2023上·福建廈門·高二廈門外國語學校?？茧A段練習）已知向量在基底下的坐標為，則在基底下的坐標為（

）A． B．C． D．17．（2024上·陜西寶雞·高二?？计谀┤粝蛄?，，則（

）A． B． C． D．18．（2023上·北京·高二北京市第一六一中學?？茧A段練習）已知點和點，則向量（

）A． B． C． D．19．（2023上·山西大同·高二統(tǒng)考期中）在長方體中，，則（

）A． B． C． D．20．（2023上·山東東營·高二利津縣高級中學校考階段練習）如圖，正方體的棱長為，是線段上的點，且，則點的坐標為（

）A． B． C． D．21．（2023上·湖北·高二期末）已知點，直線DE平行所在的平面，則（

）A． B． C． D．考點五、空間向量數(shù)量積的坐標表示22．（2023上·河北石家莊·高二石家莊市第二十四中學?？计谥校┮阎蛄?，則（

）A． B． C．4 D．1023．（2023上·云南昆明·高二云南師大附中?？茧A段練習）已知，，則（

）A． B． C．9 D．1924．（2023上·安徽阜陽·高二?？茧A段練習）已知，，，則（

）A． B．C．2 D．25．（2023上·吉林松原·高二前郭爾羅斯縣第五中學?？计谥校┪覈糯鷶?shù)學名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐為陽馬，平面，且，，則（

）A． B．3 C．2 D．526．（2023上·吉林長春·高二東北師大附中?？计谥校┰诶忾L為的正四面體中，平面于，是的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．考點六、空間向量平行、垂直的坐標表示27．（2024上·遼寧·高一校聯(lián)考期末）與向量共線的單位向量為.28．（2023上·湖南衡陽·高二?？计谀┮阎蛄浚?，且與平行，則.29．（2023上·河北石家莊·高二石家莊市第二十四中學?？计谥校┰诳臻g直角坐標系中，若平行四邊形ABCD的頂點，則頂點D的坐標為．30．（2022上·貴州黔東南·高二?？计谀┤羧c共線，則．31．（2023上·山東日照·高二校考階段練習）已知點，C為線段AB上一點，且，則點C的坐標為．32．（2023上·新疆喀什·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量，且，則.33．（2023上·四川達州·高二校考階段練習），若，則實數(shù)值為.34．（2023上·天津武清·高二校考階段練習）已知向量，，若與互相垂直，則．35．（2023上·四川涼山·高二統(tǒng)考期中）已知向量，，且與互相垂直，則k的值是.36．（2023上·四川成都·高二四川省成都市西北中學校考階段練習）已知向量，，且與互相垂直，則實數(shù).考點七、空間向量的夾角與長度的計算37．（2023上·山西太原·高二統(tǒng)考期中）已知，則向量與的夾角為．38．（2023上·浙江嘉興·高二嘉興高級中學?？计谥校┮阎c，，，則向量與的夾角為．39．（2023上·山東·高二濟南市歷城第二中學校聯(lián)考階段練習）已知向量，則（

）A． B． C． D．40．（2023上·陜西西安·高二?？茧A段練習）已知，，若與的夾角為鈍角，則實數(shù)t的取值范圍是.41．（2023上·廣東珠?！じ叨？茧A段練習）已知向量，，，若向量與所成角為銳角，則實數(shù)的范圍是.42．（2023上·河南·高二校聯(lián)考期中）如圖所示，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，上的動點，且，其中，以O(shè)為原點建立空間直角坐標系.(1)求證：；(2)若，求的值.43．（2023上·陜西咸陽·高二?？茧A段練習）已知空間向量，，若與垂直，則等于（）A． B． C． D．44．（2023上·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學校考階段練習）設(shè)空間向量則（

）A．4 B．6 C．8 D．945．（2023上·天津·高二天津市第一百中學校聯(lián)考期中）向量，，，則（

）A．9 B．3 C．1 D．46．（2023上·河南開封·高二河南省蘭考縣第一高級中學校聯(lián)考期中）設(shè)，，，，且，，則（

）A． B． C．3 D．47．（2023上·江西新余·高二?？茧A段練習）已知空間中三點，，.(1)求；(2)求中邊上中線的長度.考點八、空間向量投影的計算48．（2024上·湖南益陽·高二南縣第一中學校考期末）已知向量，，則向量在向量方向上的投影向量的模為（

）A． B． C． D．49．（2024上·吉林·高二校聯(lián)考期末）已知向量，，則向量在向量上的投影向量（

）A． B．C． D．50．（2024上·重慶九龍坡·高二統(tǒng)考期末）已知向量，則在上的投影向量為（

）A． B．C． D．51．（2023上·河北·高二校聯(lián)考期中）如圖，在三棱錐中，平面，，且，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．52．（2023上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考階段練習）如圖，圓臺的軸截面為等腰梯形在上底面的圓周上，且，則在上的投影向量為（

）A． B．C． D．過關(guān)檢測一、單選題1．（2024上·上海·高二上海市復(fù)旦中學?？计谀┰谝韵旅}中，正確的命題其中真命題是（

）A．若，則是鈍角B．若，則存在唯一的實數(shù)，使C．對空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，若，則P、A、B、C四點共面D．為空間一個基底，則不能構(gòu)成空間的另一個基底2．（2024上·遼寧·高二遼寧實驗中學校聯(lián)考期末），，，為坐標原點，則點的坐標為（

）A． B． C． D．3．（2024上·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，則（

）A． B．0 C．2 D．104．（2024上·重慶·高二統(tǒng)考期末）已知，，且．則的值為（

）A． B． C．0 D．25．（2023下·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）已知，，，若，，三向量不能構(gòu)成空間的一個基底，則實數(shù)的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（2023上·全國·高三期末）已知正三棱柱的側(cè)面積是底面積的倍，點E為四邊形的中心，點F為棱的中點，則異面直線BF與CE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．（2024上·上海寶山·高二校考期末）設(shè)是空間中給定的2023個不同的點，則使得成立的點的個數(shù)為（

）A．0個 B．1個 C．2023個 D．4046個8．（2024上·山東濱州·高二校考期末）如圖所示，在四面體中，，，，點在上，且，為的中點，則（

）A． B．C． D．9．（2024上·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）已知空間四點，，，，且，則滿足條件點的坐標是（）A． B． C． D．10．（2023上·全國·高二期末）在四面體中，棱兩兩垂直，且為的重心，則（

）A． B． C． D．二、多選題11．（2023上·全國·高二期末）已知，，，則（

）A． B．C．若，則 D．若，則，12．（2023上·貴州黔東南·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量，，則下列說法正確的是（