專題6.1空間向量及其運(yùn)算（八個(gè)重難點(diǎn)突破）

專題6.1空間向量及其運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)1空間向量的有關(guān)概念1．空間向量的定義及表示定義在空間，把具有方向和大小的量叫做空間向量長度或?？臻g向量的大小叫做空間向量的長度或模表示方法幾何表示法空間向量用有向線段表示，有向線段的長度表示空間向量的模符號(hào)表示法若向量的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則也可記作，其模記為或2.幾類特殊的空間向量名稱方向模表示法零向量任意0記為單位向量1或相反向量相反相等記為共線向量相同或相反或相等向量相同相等或知識(shí)點(diǎn)2空間向量的線性運(yùn)算1.空間向量的加減運(yùn)算加法運(yùn)算三角形法則語言敘述首尾順次相接，首指向尾為和圖形敘述平行四邊形法則語言敘述共起點(diǎn)的兩邊為鄰邊作平行四邊形，共起點(diǎn)對(duì)角線為和圖形敘述減法運(yùn)算三角形法則語言敘述共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量圖形敘述2.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算定義與平面向量一樣，實(shí)數(shù)λ與空間向量的乘積仍然是一個(gè)向量，稱為空間向量的數(shù)乘幾何意義與向量的方向相同的長度是的長度的倍與向量的方向相反，其方向是任意的3.空間向量的運(yùn)算律交換律結(jié)合律，分配律知識(shí)點(diǎn)3共線向量與共面向量1.直線的方向向量定義：把與平行的非零向量稱為直線的方向向量．2．共線向量與共面向量的區(qū)別共線(平行)向量共面向量定義位置關(guān)系表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，這些向量叫做共線向量或平行向量平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量特征方向相同或相反特例零向量與任意向量平行充要條件共線向量定理：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量，的充要條件是存在實(shí)數(shù)使共面向量定理：若兩個(gè)向量不共線，則向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使對(duì)空間任一點(diǎn)O，空間中四點(diǎn)共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得對(duì)空間中任意一點(diǎn)，都有知識(shí)點(diǎn)4空間向量的夾角如圖，已知兩個(gè)非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量的夾角，記作，夾角的范圍：，特別地，如果，那么向量互相垂直，記作知識(shí)點(diǎn)5空間向量的數(shù)量積運(yùn)算1．空間向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即．零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即.2．?dāng)?shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律交換律分配律3．投影向量在空間，向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個(gè)平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，，向量稱為向量在向量上的投影向量．4．?dāng)?shù)量積的性質(zhì)若，為非零向量，則（1）；（2）；（3），；（4）；（5）重難點(diǎn)1空間向量的有關(guān)概念【例1】下列命題中為真命題的是（

）A．向量與的長度相等B．將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓C．空間非零向量就是空間中的一條有向線段D．不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等【答案】A【分析】由于向量的長度與向量的方向無關(guān)，相反向量的長度相等，由此可判斷AD，將空間所有的單位向量平移到一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，由此可判斷B，由向量與有向線段的關(guān)系判斷C.【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)榭臻g向量與互為相反向量，所以空間向量與的長度相等，所以A正確；選項(xiàng)B：將空間所有的單位向量平移到一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，所以B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但空間向量不是有向線段，所以C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：兩個(gè)空間向量不相等，它們的模可能相等，也可能不相等，如向量與的模相等，所以D錯(cuò)誤；故選：A.【例2】在正方體中，與向量相反的向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正方體的特征及相反向量的概念判定即可.【詳解】

如圖所示，可知是的相反向量.故選：A【變式11】對(duì)于空間任意兩個(gè)非零向量，，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由向量共線與向量夾角的關(guān)系，判斷【詳解】空間任意兩個(gè)非零向量，，，包括向量和同向共線和反向共線兩種情況，即當(dāng)時(shí)，有或，不能得到，充分性不成立.，則和方向相同，有，必要性成立；故“”是“”的必要不充分條件.故選：B【變式12】給出下列命題：①空間向量就是空間中的一條有向線段；②在正方體中，必有；③是向量的必要不充分條件；④若空間向量滿足，，則．其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．0【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的相關(guān)概念逐項(xiàng)判斷.【詳解】有向線段起點(diǎn)和終點(diǎn)是固定的，而空間向量是可以平移的，故①錯(cuò)誤；和大小一樣、方向相同，則，故②正確；若，則和的模相等，方向不一定相同，若，則和的模相等，方向也相同，所以是向量的必要不充分條件，故③正確；向量的平行不具有傳遞性，比如當(dāng)為零向量時(shí)，零向量與任何向量都平行，則不一定平行，故④錯(cuò)誤.綜上所述，②③正確.故選：B．【變式13】如圖，在長方體中，，，，以長方體的八個(gè)頂點(diǎn)中的兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中．(1)單位向量共有多少個(gè)？(2)試寫出與相等的所有向量．(3)試寫出的相反向量．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)單位向量的定義寫出即可；（2）根據(jù)相等向量的定義寫出即可；（3）根據(jù)相反向量的定義寫出即可.【詳解】（1）由題意，單位向量有共個(gè)；（2）由題意，與相等有；（3）由題意，的相反向量有.（1）（1）判斷有關(guān)向量的命題時(shí)，要抓住向量的兩個(gè)主要元素：大小和方向．兩者缺一不可，相互制約；（2）兩個(gè)向量相等，起點(diǎn)和終點(diǎn)未必相同，即起點(diǎn)和終點(diǎn)相同是兩個(gè)向量相等的充分不必要條件重難點(diǎn)2空間向量的線性運(yùn)算【例3】已知四面體中，是的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件作出圖形，利用空間向量的加法法則即可得解.【詳解】因?yàn)樗拿骟w中，是的中點(diǎn)，所以.故選：B.【例4】如圖，平行六面體中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則確定，得到答案.【詳解】，故，，，.故選：A【變式21】在三棱錐中，若為正三角形，且E為其中心，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】延長交于，得是中點(diǎn)，，然后由向量的線性運(yùn)算求解．【詳解】延長交于，如圖，則是中點(diǎn)，，，故選：C．【變式22】如圖，在長方體中，下列運(yùn)算結(jié)果化簡正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量加減運(yùn)算，結(jié)合長方體的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，錯(cuò)誤；對(duì)于B，，正確；對(duì)于C，，錯(cuò)誤；對(duì)于D，，錯(cuò)誤.故選：B【變式23】若空間中四點(diǎn)滿足，則（

）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】利用向量的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】∵，,即,則.故選：A.①①巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接；②巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加法、減法運(yùn)算時(shí)，務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移方法獲得運(yùn)算結(jié)果．重難點(diǎn)3共線問題【例5】已知，，不共面，若，，且三點(diǎn)共線，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)向量共線設(shè)，從而得到方程組，求出，得到答案.【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，故，解得，所以.故選：C【例6】如圖，在三棱柱中，為空間一點(diǎn)，且滿足則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在棱上B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在棱上D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上【答案】B【分析】由空間向量共線定理逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，又，所以則點(diǎn)在棱上，故正確；當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)在線段上，故錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，所以,及，且，所以點(diǎn)在棱上，故正確；當(dāng)時(shí)，，所以,即,所以點(diǎn)在線段上，故正確，故選：【變式31】設(shè)是空間兩個(gè)不共線的非零向量，已知，，，且A，B，D三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】.【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算，結(jié)合共線向量定理，列式計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)?，，則有，又A，B，D三點(diǎn)共線，于是，即，而不共線，因此，解得，所以實(shí)數(shù)k的值是.【變式32】已知三點(diǎn)共線，為空間任意一點(diǎn)，，則.【答案】【分析】根據(jù)向量共線和平面向量基本定理可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線，∴，即，，又，所以，所以.故答案為：.【變式33】已知、、、、、、、、為空間的個(gè)點(diǎn)（如圖所示），并且，，，，．求證：．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)題意，由向量的線性運(yùn)算可得，即可得到證明.【詳解】，，，，，因?yàn)?、無公共點(diǎn)，故.共線向量的充要條件：若共線向量的充要條件：若，則存在唯一實(shí)數(shù)，使；若存在唯一實(shí)數(shù)，使，，則重難點(diǎn)4向量的共面問題【例7】若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)得到三向量不共面；BCD選項(xiàng)，設(shè)為未知數(shù)，得到方程組，方程無解則不共面，方程有解則共面，得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，故不共面，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，設(shè)，故，無解，故不共面，B正確；C選項(xiàng)，設(shè)，則，解得，故共面，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，則，解得，故共面，D錯(cuò)誤.故選：B【例8】已知三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外的任一點(diǎn)O，下列條件中能確定點(diǎn)共面的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用空間共面向量定理的推論逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】平面外的任一點(diǎn)O，點(diǎn)共面的充要條件是，且，對(duì)于A，由，得，點(diǎn)不共面，A不是；對(duì)于B，由，得，點(diǎn)不共面，B不是；對(duì)于C，由，得，點(diǎn)不共面，C不是；對(duì)于D，由，得，點(diǎn)共面，D是.故選：D【變式41】已知空間非零向量，則下列命題中正確的是（

）A．若共面，那么中至少存在一對(duì)向量共線B．若共面，那么存在一組實(shí)數(shù)對(duì)，使得C．若不共面，那么所在直線中至少存在兩條直線異面D．若不共面，那么所在直線中不可能存在兩條直線異面【答案】B【分析】根據(jù)共面向量的定義，結(jié)合異面直線的定義逐一判斷即可.【詳解】A：當(dāng)共面時(shí)，這時(shí)相當(dāng)于這個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)平面向量，因此這三個(gè)平面向量可以都不共線，所以本選項(xiàng)命題是假命題；B：根據(jù)共面向量定理可以知道本選項(xiàng)命題是真命題；C：設(shè)，若彼此兩兩互相垂直時(shí)，顯然所在直線中沒有直線異面，因此本選項(xiàng)命題是假命題；D：如下圖所示：若，顯然異面，所以本選項(xiàng)命題是假命題，故選：B【變式42】若是空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】根據(jù)共面向量定理逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，，三個(gè)向量共面，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)椋?，，三個(gè)向量共面，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，假設(shè)，，三個(gè)向量共面，則存在實(shí)數(shù)，使，所以三個(gè)向量共面，因?yàn)槭强臻g的一個(gè)基底，所以三個(gè)向量不共面，所以假設(shè)錯(cuò)誤，所以，，三個(gè)向量不共面，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)椋?，，三個(gè)向量共面，所以D錯(cuò)誤，故選：C【變式43】已知O，A，B，C為空間中不共面的四點(diǎn)，且，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)空間共面向量基本定理即可求解.【詳解】因?yàn)镻，A，B，C四點(diǎn)共面，所以，所以.故選:C．利用向量方法證明四點(diǎn)共面的基本途徑：利用向量方法證明四點(diǎn)共面的基本途徑：對(duì)空間任意四點(diǎn)，可通過證明下列結(jié)論來證明四點(diǎn)共面：（1）.（2）對(duì)空間任意一點(diǎn).（3）對(duì)空間任意一點(diǎn).重難點(diǎn)5空間向量數(shù)量積的運(yùn)算【例9】正四面體的棱長為2，設(shè)，，，則.【答案】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】在正四面體中，，又，，，所以.故答案為：【例10】如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】利用基底法表示得與，再利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得解.【詳解】依題意，記，，，則，，則，因?yàn)?，，所?故選：D.【變式51】（多選）設(shè)、為空間中的任意兩個(gè)非零向量，下列各式中正確的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用空間數(shù)量積的定義、運(yùn)算性質(zhì)逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，向量不能作除法，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，D對(duì).故選：BD.【變式52】已知正四面體的棱長為2，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則的值為．【答案】【分析】由向量的位置關(guān)系及加減法的幾何意義有，，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及定義求.【詳解】由題設(shè)，，所以.故答案為：【變式53】如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是邊長為1的菱形，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由空間向量的線性運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)一一計(jì)算即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榈酌?，所以底面，所以，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以為等邊三角形，所以，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：C.在幾何體中在幾何體中求空間向量的數(shù)量積，首先要充分利用向量所在的圖形,將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式；其次利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開,轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積；最后利用數(shù)量積的定義求解即可.注意挖掘幾何體中的垂直關(guān)系或者特殊角.重難點(diǎn)6用數(shù)量積解決夾角問題【例11】已知空間向量，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件可知，再將其平方并代入模長即可求得的值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，故選：D.【例12】已知在空間四邊形中，，且，，則與所成的角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用已知條件計(jì)算，再利用計(jì)算與所成角的余弦值，然后確定角度.【詳解】根據(jù)已知，得，∴，∴，∴與所成的角為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線夾角的計(jì)算，較容易，轉(zhuǎn)化為求向量間的夾角計(jì)算即可.【變式61】空間四邊形中，，，則的值是（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量關(guān)系可得，再化簡計(jì)算求得即可求出.【詳解】因?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以，故選：A.【變式62】平行六面體，，，若，則.【答案】【分析】由幾何體中線段對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量關(guān)系有，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律、定義列方程即可求.【詳解】如上圖知：，所以，故.故答案為：【變式63】已知是異面直線，，，且，則與所成的角為．【答案】【分析】利用，求出，再應(yīng)用兩向量的夾角公式即可求解.【詳解】設(shè)，由已知，得，又，則，又，.又，.所以異成直線的夾角為.故答案為：.（1）（1）由公式可得,所以求兩個(gè)向量的夾角可以先求解數(shù)量積及向量的模,再代入公式求解.（2）因?yàn)楫惷嬷本€的夾角為不大于的角,所以利用夾角公式求兩條異面直線的夾角時(shí),要注意重難點(diǎn)7用數(shù)量積求兩點(diǎn)的距離【例13】已知是的重心，是空間中的一點(diǎn)，滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由是的重心可得，然后再結(jié)合題意即可求出.【詳解】由題意知是的重心，則，即所以，又因?yàn)?，所?故選：C.【例14】如圖所示，在平行四邊形中，，，將它沿對(duì)角線折起，使與成角，則間的距離等于（

）A． B．1 C．或2 D．1或【答案】C【分析】先利用向量的加法可得，等式兩邊進(jìn)行平方，可求出或，從而可得結(jié)果.【詳解】,同理，，又因?yàn)榕c成角，或，，，或，或，故選：C.【變式71】已知空間向量、、的模長分別為、、，且兩兩夾角均為，點(diǎn)為的重心，則．【答案】/【分析】利用重心的幾何性質(zhì)結(jié)合空間向量的減法可得出，再利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】如下圖所示：因?yàn)闉榈闹匦?，則，可得，則，所以，，故.故答案為：.【變式72】如圖所示，在空間四邊形中，，，兩兩成角，且，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，試求，間的距離．【答案】【分析】以，，為基底表示向量，利用公式可得.【詳解】，所以因，，兩兩成角，且，所以，所以所以，即，間的距離為.【變式73】如圖，在平行六面體中，，，，，，，與相交于點(diǎn)．

(1)求；(2)求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，代入數(shù)值直接求得結(jié)果；（2）化簡可得，然后采用先平方再開方的方法求解出，則的長可知.【詳解】（1）.（2）因?yàn)?，所以，所以的長為.利用空間向量的數(shù)量積與空間向量模的關(guān)系，常把空間兩點(diǎn)距離問題轉(zhuǎn)化為空間向量模的大小問題加以計(jì)算利用空間向量的數(shù)量積與空間向量模的關(guān)系，常把空間兩點(diǎn)距離問題轉(zhuǎn)化為空間向量模的大小問題加以計(jì)算重難點(diǎn)8證明垂直關(guān)系【例15】若為非零向量，，則與一定（

）A．共線 B．相交 C．垂直 D．不共面【答案】C【分析】利用向量數(shù)量積公式，判斷垂直關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，所以，，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所?故選：C【例16】如圖，正方體的棱長是，和相交于點(diǎn)．(1)求；(2)判斷與是否垂直．【答案】(1)(2)垂直【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義直接計(jì)算即可；（2）計(jì)算與的數(shù)量積，根據(jù)結(jié)果可得答案.【詳解】（1）正方體中，，故.（2）由題意，，，故與垂直.【變式81】在正方體中，是上底面的中心，則與的位置關(guān)系是()A．重合 B．垂直C．平行 D．無法確定【答案】B【分析】用向量作空間向量的一組基底分別表示和，由數(shù)量積為0可得垂直.【詳解】由題意，用向量作空間向量的一組基底則設(shè)正方體的棱長為1，于是：故，即與垂直故選：B【變式82】已知不共面的三個(gè)單位向量兩兩之間的夾角均為，，．(1)求證：；(2)求．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算即可證明.（2）利用向量的夾角公式即可計(jì)算.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，即．?）因?yàn)?，所以，，所以．所以，．所以．【變?3】已知正方形的邊長為2，為等邊三角形（如圖1所示）．沿著折起，點(diǎn)折起到點(diǎn)的位置，使得側(cè)面底面．是棱的中點(diǎn)（如圖2所示）．求證：．【答案】證明見解析【分析】利用面面垂直的條件推出平面，進(jìn)而可得，再利用空間向量的線性運(yùn)算結(jié)合數(shù)量積與向量垂直的關(guān)系可得，利用線面垂直的判定定理即可得平面，則.【詳解】如圖，取AB中點(diǎn)O，連接OC交BM于E，∵為等邊三角形，∴，又∵平面平面，平面，平面平面，故平面，而平面，∴，又∵，，∴．∴，又∵平面，平面，，∴平面，∵平面，∴．用向量法證明垂直關(guān)系的步驟用向量法證明垂直關(guān)系的步驟：（1）把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）用已知向量表示要證明向量；（3）結(jié)合數(shù)量積公式和運(yùn)算律證明數(shù)量積為0.1．已知，，，，則向量與之間的夾角為（

）A． B．C． D．以上都不對(duì)【答案】D【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造，使，根據(jù)△ABC三邊之長，利用余弦定理求出向量與之間的夾角余弦值，得到答案．【詳解】因?yàn)?，，，，以這三個(gè)向量首尾相連組成，令，則三邊之長分別為，由余弦定理，得，又向量首尾相連，故這兩個(gè)向量的夾角是，故，即向量與之間的夾角不是特殊角.故選：D2．已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，N為CD中點(diǎn)，如圖所示，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接利用向量的加法運(yùn)算得答案.【詳解】連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，故選：A.3．已知是空間兩個(gè)不共線的向量，，那么必有（

）A．共線 B．共線C．共面 D．不共面【答案】C【分析】利用空間向量的共線定理與共面定理.【詳解】若共線，則，又，則共線，與條件矛盾，故A錯(cuò)誤；同理若共線，則，又，則共線，與條件矛盾，故B錯(cuò)誤；根據(jù)空間向量的共面定理可知共面，即C正確，D錯(cuò)誤.故選：C4．如圖，在長方形中，為中點(diǎn)，.以為折痕將四邊形折起，使，分別達(dá)到，，當(dāng)異面直線，成角為時(shí)，異面直線，成角余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解.【詳解】不妨設(shè)，由于，所以即為直線，所成的角,故,又，所以，因此異面直線，成角余弦值為，故選：A5．（多選）下列命題不正確的是（

）A．若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有=B．“”是“共線”的充要條件C．若共線，則與所在直線平行D．對(duì)空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A、B、C，若(其中x、y、z∈R)，則P、A、B、C四點(diǎn)共面【答案】BCD【分析】根據(jù)向量的多邊形法則可知A正確；根據(jù)向量的三角不等式等號(hào)成立條件可知，B錯(cuò)誤；根據(jù)共線向量的定義可知，C錯(cuò)誤；根據(jù)空間向量基本定理的推論可知，D錯(cuò)誤．【詳解】對(duì)A，四點(diǎn)恰好圍成一封閉圖形，根據(jù)向量的多邊形法則可知，正確；對(duì)B，根據(jù)向量的三角不等式等號(hào)成立條件可知，同向時(shí)，應(yīng)有，即必要性不成立，錯(cuò)誤；對(duì)C，根據(jù)共線向量的定義可知，所在直線可能重合，錯(cuò)誤；對(duì)D，根據(jù)空間向量基本定理的推論可知，需滿足x+y+z=1，才有P、A、B、C四點(diǎn)共面，錯(cuò)誤．故選：BCD．6．（多選）已知正方體的中心為，，則滿足的可以是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由正方體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義判斷滿足條件的即可.【詳解】由，正方體如下圖示，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義有，，，綜上，滿足的可以是、.故選：AC7．給出下列四個(gè)命題:①方向相反的兩個(gè)向量是相反向量；②若，滿足且，同向，則；③不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等；④對(duì)于任意向量，必有.其中真命題的序號(hào)為.【答案】④【分析】根據(jù)向量的概念及相等向量、相反向量的概念，向量的加法運(yùn)算及幾何意義逐個(gè)判斷