2022-2023學(xué)年北師大版高二下數(shù)學(xué)：橢圓（附答案解析）

2022-2023學(xué)年北師大版高二下數(shù)學(xué)：橢圓

一.選擇題（共8小題）

1.（2020秋?定遠(yuǎn)縣期末）尸是橢圓x2+4f=i6上一點(diǎn)，且IPFlI=7,貝!∣∣PF2∣=（）

A.1B.3C.5D.9

22

2.（2021秋?瀘州期末）已知條件p：機(jī)>3,條件飲表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓,

m2

則P是夕的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

3.（2021秋?河南期末）阿基米德（公元前287年-公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家,

也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)

與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在X軸上，且橢圓C的離心率為

返，面積為8π,則橢圓C的方程為（）

2

X2222

A.1B.?÷1

丁+y=i

2222

C.-X---+--Y---D.

1612

22

4.（2021秋?龍鳳區(qū)校級(jí)期末）設(shè)橢圓C：—+^=1（α>?>0）的左焦點(diǎn)為尸，。為坐標(biāo)

azbz

原點(diǎn).過(guò)點(diǎn)產(chǎn)且斜率為工的直線與C的一個(gè)交點(diǎn)為。（點(diǎn)。在X軸上方），且|0日=|00|,

2

則C的離心率為（)

A.退D售

b?3

2

22

5.（2021秋?南崗區(qū)校級(jí)期末）若方程^二=1表示橢圓C,則下面結(jié)論正確的是（）

9-kk-1

A./（￡（1,9）

B.橢圓C的焦距為2√5

C.若橢圓C的焦點(diǎn)在X軸上，則蛇（1,5）

D.若橢圓C的焦點(diǎn)在X軸上，則在（5,9）

第1頁(yè)（共20頁(yè)）

22

6.（2021秋?新化縣期末）已知橢圓江4=I（O<b<2），左、右焦點(diǎn)分別為乃、Fz,

4b2

過(guò)FI的直線/交橢圓于48兩點(diǎn)，若MF2出見(jiàn)切的最大值為5,則b的值是（）

A.1B.√2C.?D.√3

7.（2021秋?浙江期中）已知橢圓C：x2+w∕=l（0<w<l）,若存在過(guò)點(diǎn)［（3,1）且互

相垂直的直線∕∣,/2,使得外，/2與橢圓C均無(wú)公共點(diǎn),則該橢圓離心率的取值范圍是（)

?'得,1)B.(O,?)

22

8.（2021秋?渝中區(qū)校級(jí)期中）點(diǎn)尸為橢圓C：-上=i（a〉b〉O）的右焦點(diǎn)，直線/：

y=fcc與橢圓。交于4,8兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸為正三角形，則橢圓的離心率為

（）

A.√^-lB.√3-√^C.等D.受

二.填空題（共4小題）

9.（2021秋?懷仁市期中）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（O,+5√2）的橢圓被直線3x-y-2

=O截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為工，則橢圓方程為.

2

22

10.（2021秋?西青區(qū)期末）已知點(diǎn)Fl是橢圓三一+工一=1（α>6>0）的左焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)作

2,2

ab

直線/交橢圓于/,8兩點(diǎn)，M,N分別是力B，8/1的中點(diǎn)，若存在以MN為直徑的圓

過(guò)原點(diǎn)，則橢圓的離心率的范圍是.

2_

11.（2021秋?濟(jì)寧期末）點(diǎn)P是橢圓標(biāo)+了2=1上的點(diǎn)，則P到直線/：χ-y+2√^=0的距

離的最小值為.

22

12.（2021秋?金東區(qū)校級(jí)期末）已知橢圓C：×-+^=l與動(dòng)直線/：y=區(qū)+機(jī)相交于/、

492

B兩點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為；設(shè)弦/8的中點(diǎn)為則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程

為_______

Ξ.解答題（共4小題）

22

13.（2021秋?尖山區(qū)校級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系XQy中，已知橢圓C^—=\的左,

43

第2頁(yè)（共20頁(yè)）

右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為48和凡直線/：X=叼+/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)Λ/,N,記

直線∕M,BM,BN的斜率分別為k∣,k2,ki.

(1)求證:"而為定值;

(2)若％I=3%3,求AFMV的周長(zhǎng).

22

14.(2021秋?西寧期末)已知橢圓C-t?-??(fl>?>0),直線x'h/^y-J^二旅過(guò)橢

azbz

圓的上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn).

(1)求橢圓。的方程；

(2)過(guò)右焦點(diǎn)尸2的直線/與橢圓C相交于/,B兩點(diǎn).若40/18的面積為工逅，求直

5

線/的方程.

22

15.(2021秋?大通縣期末)已知橢圓C：三送一二ι(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)坐標(biāo)分別

是(-4,0),(4,0),短軸長(zhǎng)等于焦距.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線/與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為(1,1),求腦V].

2C

2

16.(2021秋?西崗區(qū)校級(jí)期中)如圖所示，已知橢圓G：-^+v=11與X軸不重合的直線

/經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)Fi,且與橢圓G相交于45兩點(diǎn)，弦/8的中點(diǎn)為直線OΛ∕與橢圓G

相交于C,D兩點(diǎn).

(1)若直線/的斜率為1,求直線OM的斜率；

(2)是否存在直線/,使得∣∕M∣2=∣CM∣OM成立？若存在，求出直線/的方程；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第3頁(yè)(共20頁(yè))

2022-2023學(xué)年北師大版高二下數(shù)學(xué)：橢圓

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

1.（2020秋?定遠(yuǎn)縣期末）尸是橢圓χ2+"=16上一點(diǎn)，且IPQl=7,則IPF2∣=（）

A.1B.3C.5D.9

【考點(diǎn)】橢圓的定義.

【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】利用橢圓的定義即可求出.

22

【解答】解：由橢圓的方程為χ2+4f=i6,可化為Iq=I,.?.α=4.

164

,：P是橢圓X2+4√=16上一點(diǎn)，

根據(jù)橢圓的定義可得：IPFIl+1PE2∣=2X4,

.??∣P尸2∣=8-7=1.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握橢圓的定義是解題的關(guān)鍵.

22

2.（2021秋?瀘州期末）已知條件p：加>3,條件伙三42_=1表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓,

m2

則P是4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；充分條件、必要條件、充要條件.

【專題】對(duì)應(yīng)思想：定義法；簡(jiǎn)易邏輯；邏輯推理.

【分析】根據(jù)條件求出加的取值范圍，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

22

【解答】解：若三-+匚=1表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，

m2

則m>2,即q：m>2,

則P是q的充分不必要條件，

故選：A.

第4頁(yè)（共20頁(yè)）

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)橢圓的定義求出，〃的取值范圍

是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

3.（2021秋?河南期末）阿基米德（公元前287年-公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家,

也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)

與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在X軸上，且橢圓C的離心率為

近，面積為8n,則橢圓C的方程為（）

22

X.y

【考點(diǎn)】橢圓的性質(zhì).

【專題】計(jì)算題；方程思想；分析法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

22

【分析】由題意，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為是14=1（4>6>0）,然后根據(jù)橢圓的離

2,2?

心率以及橢圓面積列出關(guān)于“，b的方程組，求解方程組即可得答案.

22

【解答】解：由題意，設(shè)橢圓C的方程為是乙占=1（0>6>0）,

2,2?

ab

因?yàn)闄E圓C的離心率為返，面積為8π,

2

≥i=返

所以?a22,解得次=]6,房=4,

、8冗=ab兀

22

所以橢圓C的方程為「上=1?

164

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

22

4.（2021秋?龍鳳區(qū)校級(jí)期末）設(shè)橢圓C：Lq=I（a>b>O）的左焦點(diǎn)為R。為坐標(biāo)

a

原點(diǎn).過(guò)點(diǎn)廠且斜率為上的直線與C的一個(gè)交點(diǎn)為。（點(diǎn)。在X軸上方），且［0q=|。。|,

則C的離心率為（）

第5頁(yè)（共20頁(yè)）

A.叵"B.?

23c?VD?夸

【考點(diǎn)】橢圓的性質(zhì).

【專題】計(jì)算題：轉(zhuǎn)化思想：綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)

運(yùn)算.

【分析】先畫出圖象，利用數(shù)形結(jié)合和已知可得三角形MPQ為直角三角形，再由直線過(guò)

焦點(diǎn)尸可得F的坐標(biāo)和左焦點(diǎn)"的坐標(biāo)，設(shè)出。的坐標(biāo).利用向量垂直的數(shù)量積為O

求出。的坐標(biāo)，再代入橢圓方程以及橢圓的恒等式，聯(lián)立即可求解.

【解答】解：由題意畫出圖象如圖所示：

設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為例,

由已知IOFI=可得三角形Λ∕F0為直角三角形，且M0，。尸，

因?yàn)橹本€2xtP-4=0過(guò)焦點(diǎn)F,令y=0,解得x=2,所以尸（2,O）,M（-2,0）,

設(shè)0（a,b）,所以2α+b-4=0…①

則由而?而=0,可得：/+序-4=0…②,

6

a?ξ-._

①②聯(lián)立方程解得：或（a=2（舍去），

J-U=O

Ib5

所以“=2，6=旦，代入橢圓方程可得：ii4M=25,又層-必=4,

5DD52,2ab

解得02=強(qiáng)或屋（舍去），

55

所以。=殳應(yīng)，

5

所以離心率為：S=另一=返,

aW,3

5

故選：D,

第6頁(yè)（共20頁(yè)）

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的離心率以及直角三角形的性質(zhì)，涉及到向量垂直的數(shù)量積為O

以及解方程問(wèn)題，考查了學(xué)生的運(yùn)算轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

22

5.（2021秋?南崗區(qū)校級(jí)期末）若方程=1表示橢圓C,則下面結(jié)論正確的是（）

9-kk-1

A.kE（1,9）

B.橢圓C的焦距為2√5

C.若橢圓C的焦點(diǎn)在X軸上，則髭（1,5）

D.若橢圓C的焦點(diǎn)在X軸上，則在（5,9）

【考點(diǎn)】橢圓的性質(zhì).

【專題】轉(zhuǎn)化思想：綜合法：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用方程表示橢圓，求出發(fā)的范圍，焦距，判斷焦點(diǎn)所在軸，判斷選項(xiàng)的正誤.

【解答】解：當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，9-k>k-1>0,解得大∈（1,5）；

當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時(shí)，可得％7>9-%>0,解得住（5,9）,所以C正確，。不正確；Z不

正確；

焦點(diǎn)坐標(biāo)在X軸時(shí)，焦距為：2后互1焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸時(shí)，2亞TTU，所以8不正確；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，注意分類討論思想的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

22

6.（2021秋?新化縣期末）已知橢圓。+2-=ι（o<b<2>左、右焦點(diǎn)分別為尸1、尸2,

4b2

過(guò)FI的直線/交橢圓于/、B兩點(diǎn),若⑷切+田/切的最大值為5,則b的值是（）

A.1B.√2C.AD.√3

【考點(diǎn)】橢圓的性質(zhì).

第7頁(yè)（共20頁(yè)）

【專題】綜合法；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合|/尸2|+0/2|的最大值為5,可得當(dāng)且僅當(dāng)Z8Lv軸時(shí)，

的最小值為3,由此可得結(jié)論.

【解答】解：由題意：MF2∣+∣3F2∣+∣∕B∣=4a=8,

?.?∣NF2∣+∣892|的最大值為5,.??M8∣的最小值為3,

當(dāng)且僅當(dāng)軸時(shí)，取得最小值，此時(shí)/(-c,3),BC-c,一旦)，

22

2QL

代入橢圓方程可得：￡-+_1_=1，利用C2=4-∕>2,解得6=F?

44b2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

7.(2021秋?浙江期中)已知橢圓C：x1+my2=l(0<∕n<l),若存在過(guò)點(diǎn)Z(3,1)且互

相垂直的直線/1，/2,使得/1，/2與橢圓C均無(wú)公共點(diǎn),則該橢圓離心率的取值范圍是()

a?(y>1)B.(0,?)C,(0,d,I??，1)

【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的性質(zhì).

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】判斷/1,/2中一條斜率不存在和另一條斜率為0,兩直線中有一條與橢圓相交，

當(dāng)兩直線斜率存在且不為0時(shí)，可設(shè)/1：y-l=a(X-3),即y=辰+1-34,聯(lián)立橢圓方

程，由于判別式小于0,以及求根公式，結(jié)合兩直線垂直的條件，可將A換為-工，解不

k

等式，考慮不等式有解，可得，”的范圍，即可得到所求離心率的范圍.

【解答】解：橢圓C：x2+m√≈l(0<w<l),

過(guò)點(diǎn)Z(3,1)的直線∕ι,/2中一條斜率不存在和另一條斜率為0時(shí)，斜率為0的直線與

橢圓相交,

當(dāng)兩直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)/?:y-l=k(χ-3),即y=?r+l-3A,

聯(lián)立橢圓方程可得(l+m?2)x2+2km(1-3k)x+nι(3?-1)2-1=0,

由直線和橢圓無(wú)交點(diǎn)，可得Δ=4A2M2(3k-1)2-4(l+w?2)[w(3?-1)2-l]<0,

23m2

化為Smk-6mk+m-1>0,解得?<..t?Jc3m÷√m+8m；

8m8m

由兩直線垂直的條件，可將發(fā)換為-工，即有包4?+πrι>0,

kk2k

第8頁(yè)(共20頁(yè))

化為（1-A2-6mk-8〃?V0,

解得3mτJπι'+8m＜左V3m÷Vι∏2+8m

l-ml-m

由題意可得3m+Vm2+8改＜3m+√m2+8rn,可得上＜%＜］；

8ml-m9

同樣3πrVιη2+8取＞3取?二2+8用,解得上＜加＜J

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練

了利用判別式法分析方程根的問(wèn)題，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

22

8.(2021秋?渝中區(qū)校級(jí)期中)點(diǎn)F為橢圓C：三-+2-=ι(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)，直線八

abz

y=fcc與橢圓C交于4B兩點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，/為正三角形，則橢圓的離心率為

()

A.√3-lB.E-MC.等D.亨

【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的性質(zhì).

【專題】方程思想；數(shù)形結(jié)合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由題意畫出圖形，設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為P,證明△尸/尸為直角三角形，然后利

用勾股定理列式求解.

【解答】解：如圖，設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為9，

第9頁(yè)(共20頁(yè))

?.?△04F為正三角形，I=IoFl=C,∣40∣=AFF?,

2

連接/尸，則/在以尸'尸為直徑的圓上，,/F'臚=90°,

又∣=2α-c,由勾股定理可得，（2C）2=（2α-c）2+c2,

即e2+2e-2=0,解得e=通-I（OVe<1）.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能

力，是中檔題.

二.填空題（共4小題）

9.（2021秋?懷仁市期中）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,±5√2）的橢圓被直線3χ-y-2

22

=0截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為工，則橢圓方程為工工=1.

22575

【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

22

【分析】設(shè)橢圓工一上=1（a>6>0）,則〃2一房=50,再設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為Z3,

,22

ba

yι）,B（X2，J2）,弦48中點(diǎn)（XO,yo）,利用點(diǎn)差法能示出橢圓的方程.

22

【解答】解：設(shè)橢圓=上=1（α>6>0）,則.2-62=50①

,22

ba

又設(shè)直線3x-y-2=0與橢圓交點(diǎn)為Z（xι,y↑）9B（X2，歹2），弦48中點(diǎn)（Xo，yo）

?.?xo=L.?.代入直線方程得泗=3-2=-1,

2"22

：.AB的斜率Q±2‰-乙Sl=-乙配=3

xl^x2b2丫1+丫2b2丫。

;①=-1,."2=3/）2②

VO

聯(lián)解①②，可得“2=75,b2=25,

第10頁(yè)（共20頁(yè)）

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理

運(yùn)用.

22

10.（2021秋?西青區(qū)期末）已知點(diǎn)乃是橢圓心+3-=1（a>6>0）的左焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)作

2,2

ab

直線/交橢圓于/,8兩點(diǎn)，M,N分別是/Q,BQ的中點(diǎn)，若存在以MN為直徑的圓

過(guò)原點(diǎn)，則橢圓的離心率的范圍是_噂，1）_.

【考點(diǎn)】橢圓的性質(zhì).

【專題】計(jì)算題；整體思想；演繹法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)

運(yùn)算.

【分析】由題意分析可知力Q"L8∕7ι,設(shè)點(diǎn)力（XO,W），利用AF；,BF；=O得到關(guān)于處

22

泗的方程，再聯(lián)立丹肯_=1，用含“，b,C的式子表示出X3只需滿足0<X2a2,

ab

得出離心率的范圍.

【解答】解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)M,N分別是ZQ、BFi的中點(diǎn)時(shí)，OΛ∕,CW是4/8FI的

兩條中位線，

若以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，則有。AF?1BF?,

設(shè)點(diǎn)/(xo,M)),則點(diǎn)8(-xo>-yo),又點(diǎn)Fl(-c,0),

所以，?p?=(-c-χ0,-y0ABF?=(-c+x0,y0),

第11頁(yè)(共20頁(yè))

22

X0y0

則

222又

BF-L

CXO-=O22

yoa+■b

2222

b

所C222C

以

得a

b

2XO+XO

a

2/2,2?

即只需o＜旦a2,整理得：2。2＞『,

C

解得返〈,

2e_

易知離心率可以等于返，且eV1,

2

所以^^^≤ζe＜1,

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓離心率取值范圍的求解，屬于中等題.

2L

II.(2021秋?濟(jì)寧期末)點(diǎn)尸是橢圓*-+y2=］上的點(diǎn)，則P到直線/：χ-y+2√3=0的距

離的最小值為一屆逗一

2

【考點(diǎn)】橢圓的性質(zhì).

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理.

【分析】設(shè)尸(2cosα,sina),則點(diǎn)尸到直線/：%-y+2??=。的距離為d=

!空巴9「sina上"L化簡(jiǎn)即可得出答案.

2C

【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)尸為橢圓掾+yZ=］上的點(diǎn)，

所以設(shè)尸(2cosa,sina),

所以點(diǎn)P到直線/：X-?+2√3=0的距離為d=.∣2cosa-Sina+2?I

∏1

∣Vδ(rj^cosɑ--^-sinɑ)+2√3I

=√2=

l??(sinβcosa-cosBsinɑ-)+2Λ∕3∣

^√2

=USin(B二a)+2√ξI,(sinβ^2cosβ=1)

√2√5√5

第12頁(yè)(共20頁(yè))

所以力加=上嵯通1=*?巨=遍-匝，

√2√22

故答案為：√6-^?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)，解題中需要一定的計(jì)算能力，屬于中檔題.

22

12.（2021秋?金東區(qū)校級(jí)期末）已知橢圓C與動(dòng)直線/：y=當(dāng)+〃?相交于工、

492

B兩點(diǎn),則實(shí)數(shù)加的取值范圍為（-3、巧，3?）;設(shè)弦/8的中點(diǎn)為M,則動(dòng)點(diǎn)M

的軌跡方程為3x+2κ=0,x∈（-√5,g.

【考點(diǎn)】橢圓的性質(zhì).

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】直線與橢圓聯(lián)立方程組，通過(guò)判別式大于0,求解W的范圍；設(shè)出“8坐標(biāo)，利

用韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化求解M的軌跡方程即可.

[_3

y=yx?

【解答】解：由＜22，得:18x2+12wx+4∕n2-36=0；

I49

設(shè)4(x∣,y?},B(X2，N2)，

可得：A=144∕√-4><18(4W2-36)>0,

可得：-3也<加<3&.

設(shè)弦48的中點(diǎn)為"(x,y),

可得:

丫1+丫23z、m

y=~~2—=7"（xι+x2）+m=y

可得：3x+2y=0,x∈（-√2-衣）?

故答案為：（-3加,3√2）;3"2y=0,x∈（-√2.√2×

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，軌跡方程的

求法，考查計(jì)算能力.

≡.解答題（共4小題）

22

13.（2021秋?尖山區(qū)校級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系XS，中，已知橢圓C：,也_=1的左，

右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為4,8和凡直線/：x=my+f與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,記

第13頁(yè)（共20頁(yè)）

直線ZΛ∕,BM,8N的斜率分別為左ι,k2,k3.

（1）求證：發(fā)怖2為定值；

（2）若內(nèi)=3飽，求的周長(zhǎng).

【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

22

【分析】（1）不妨設(shè)M（xι,yι）,N（X2>'2）,由4,B為橢圓C:-≤-+Σ-=1的左，

’43

右頂點(diǎn)，可得/（2,0）,8（-2,0）,再結(jié)合斜率公式，即可求解.

（22

Xy

（2）聯(lián)立直線/與橢圓方程<4+3?,化簡(jiǎn)整理可得，（3加2+4）/+6用卬+3於-12=0,

x=my+t

再結(jié)合韋達(dá)定理和橢圓的性質(zhì)，即可求解.

【解答】證明：（1）不妨設(shè)Af（xi，y?）,N（X2，”），

22

又8為橢圓C：2-+X-=l的左，右頂點(diǎn),

43

：.A(-2,0),B(2,0),

Vl丫1

1k2^772,

^x1+2

2

丫1

.?.?1??2=

Xj-4

22

x

,?l丫11

43

?2.42,

??xi=4-^-y1

22

丫1丫13

??k1k2-—O

'Xj-44多；-44

故kιk2=4為定值?

JLC4

X22

_y__

（2）聯(lián)立直線/與橢圓方程《N守lT1,化簡(jiǎn)整理可得，（3加2+4）/+65尹3/2-12=0,

tx=my+t

第14頁(yè)（共20頁(yè)）

2

由韋達(dá)定理UJ得，y\^yi=―粵匹一，yy=3'JI」①'

3m2÷43m2+4

V?ι=3fa,

?丫1—2

?-------二M?---------，

x1+2乂2-2

2

?了1_3了42=_3

(xj+2)Cx?-2)(X2~2)(XJ-2)上述24

Λ4yι^2--(X2-2)(xι-2)=-XIX2+2(x∣+x2)-4②，

22,

"?"xiX2-Cmyi+t)(.my2+t)—my1y2+m(y1+y2)+tXl+X2=WyI+f+SP2+f=機(jī)(yi+y2)

+2/③，

，聯(lián)立①②③可得-12Z2+4=4Z2-I6f+I6,即Z2-L2=0,解得f=-1或f=2(舍去)，

，直線X=Zny-I恒過(guò)點(diǎn)(-1,0),即橢圓的左焦點(diǎn)，

，△尸MN的周長(zhǎng)為4α,

又?.％=2,

ZSFMN的周長(zhǎng)為8.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于難題.

22

14.(2021秋?西寧期末)已知橢圓C2j-=ιQ>6>0),直線χ+√^y-√l=假過(guò)橢

a<

圓的上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)右焦點(diǎn)尸2的直線/與橢圓C相交于48兩點(diǎn).若AO∕8的面積為2返，求直

5

線/的方程.

【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【專題】整體思想；設(shè)而不求法：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(1)由題意求出橢圓的6,C的值，再由α,b,C之間的關(guān)系求出。的值，進(jìn)而

求出橢圓的方程；

(2)設(shè)直線/的方程，與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，代入面積公式由題意可得

參數(shù)的值，進(jìn)而求出直線/的方程.

【解答】解：(1)由橢圓的方程可得焦點(diǎn)在X軸上，

第15頁(yè)(共20頁(yè))

直線x÷?∕^y-V3=0中令l=0,可得y=l；

令y=0,貝IJX=F,

而直線χ+73yf∕E=誨過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，

所以C=W，6=1,可得42=房+。2=4,

2

所以橢圓的方程為：A-÷∕=l:

4

（2）由（1）可得右焦點(diǎn)&（√W0）,顯然直線/的斜率不為0,設(shè)直線/的方程為1

=my+M'

A（xι,y↑）fB（X2,歹2），

,χ=my+√3

聯(lián)立直線/與橢圓的方程/.,整理可得：（4+混）f+2j而ι=o,

可得yi+”=—粵!?,yiy2=-~^■■；

4+m4÷m

所以Szs408川

2

=fXFX'。1+了2）2-4丫產(chǎn)2

=返,I12nt24

2R3）2K

=M,W]+ι∏2

24+m2

=2口五母

4÷m

由題意可得2√G.五最=2返，

4÷m25

整理可得：2/-9〃，+7=0,解得〃?=±1或∕w=±H?,

_2

所以直線/的方程為：X=±J??或X=±V∣V√3?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查求橢圓的方程及直線與橢圓的綜合，面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

22

15.（2021秋?大通縣期末）已知橢圓C：2?±=i（a〉b〉o）的左、右頂點(diǎn)坐標(biāo)分別

az

第16頁(yè)（共20頁(yè)）

是（-4,O）,（4,0）,短軸長(zhǎng)等于焦距.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線/與橢圓C相交于Λ1,N兩點(diǎn)，線段A/N的中點(diǎn)為（1,1）,求川.

【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】（1）利用已知條件列出方程組，求出。，b,即可得到橢圓方程.

（2）利用平方差法求出直線的斜率，然后利用弦長(zhǎng)公式轉(zhuǎn)化求解即可.

a=4

【解答】解：(1)依題意Ic=b,解得［a=4

2,2?2(b=c=2√2

a=b+c

22

故橢圓C方程為"工

168

（2）設(shè)M,N的坐標(biāo)分別為（xι,yι）,（x2.”），直線/的斜率顯然存在，設(shè)斜率為左,

則工:廠兩式相減哈了冷;。，整理得/=生

因?yàn)榫€段MN的中點(diǎn)為（1,1）,所以k=」

2

所以直線/的方程為V=」乂/得3χ2-6x-23=0,

y2x2

則XI+X2=2,-_≤A,

x(lxχ23

故22

IHNl=√l+k√(x1+x2)-4xιx2=^∣√4+4×-y-

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢