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2022-2023學(xué)年北師大版高二下數(shù)學(xué):橢圓
一.選擇題(共8小題)
1.(2020秋?定遠(yuǎn)縣期末)尸是橢圓x2+4f=i6上一點(diǎn),且IPFlI=7,貝!∣∣PF2∣=()
A.1B.3C.5D.9
22
2.(2021秋?瀘州期末)已知條件p:機(jī)>3,條件飲表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓,
m2
則P是夕的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既非充分也非必要條件
3.(2021秋?河南期末)阿基米德(公元前287年-公元前212年)不僅是著名的物理學(xué)家,
也是著名的數(shù)學(xué)家,他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)
與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,焦點(diǎn)在X軸上,且橢圓C的離心率為
返,面積為8π,則橢圓C的方程為()
2
X2222
A.1B.?÷1
丁+y=i
2222
C.-X---+--Y---D.
1612
22
4.(2021秋?龍鳳區(qū)校級(jí)期末)設(shè)橢圓C:—+^=1(α>?>0)的左焦點(diǎn)為尸,。為坐標(biāo)
azbz
原點(diǎn).過(guò)點(diǎn)產(chǎn)且斜率為工的直線與C的一個(gè)交點(diǎn)為。(點(diǎn)。在X軸上方),且|0日=|00|,
2
則C的離心率為()
A.退D售
b?3
2
22
5.(2021秋?南崗區(qū)校級(jí)期末)若方程^二=1表示橢圓C,則下面結(jié)論正確的是()
9-kk-1
A./(£(1,9)
B.橢圓C的焦距為2√5
C.若橢圓C的焦點(diǎn)在X軸上,則蛇(1,5)
D.若橢圓C的焦點(diǎn)在X軸上,則在(5,9)
第1頁(yè)(共20頁(yè))
22
6.(2021秋?新化縣期末)已知橢圓江4=I(O<b<2),左、右焦點(diǎn)分別為乃、Fz,
4b2
過(guò)FI的直線/交橢圓于48兩點(diǎn),若MF2出見(jiàn)切的最大值為5,則b的值是()
A.1B.√2C.?D.√3
7.(2021秋?浙江期中)已知橢圓C:x2+w∕=l(0<w<l),若存在過(guò)點(diǎn)[(3,1)且互
相垂直的直線∕∣,/2,使得外,/2與橢圓C均無(wú)公共點(diǎn),則該橢圓離心率的取值范圍是()
?'得,1)B.(O,?)
22
8.(2021秋?渝中區(qū)校級(jí)期中)點(diǎn)尸為橢圓C:-上=i(a〉b〉O)的右焦點(diǎn),直線/:
y=fcc與橢圓。交于4,8兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),尸為正三角形,則橢圓的離心率為
()
A.√^-lB.√3-√^C.等D.受
二.填空題(共4小題)
9.(2021秋?懷仁市期中)中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)坐標(biāo)為(O,+5√2)的橢圓被直線3x-y-2
=O截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為工,則橢圓方程為.
2
22
10.(2021秋?西青區(qū)期末)已知點(diǎn)Fl是橢圓三一+工一=1(α>6>0)的左焦點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)作
2,2
ab
直線/交橢圓于/,8兩點(diǎn),M,N分別是力B,8/1的中點(diǎn),若存在以MN為直徑的圓
過(guò)原點(diǎn),則橢圓的離心率的范圍是.
2_
11.(2021秋?濟(jì)寧期末)點(diǎn)P是橢圓標(biāo)+了2=1上的點(diǎn),則P到直線/:χ-y+2√^=0的距
離的最小值為.
22
12.(2021秋?金東區(qū)校級(jí)期末)已知橢圓C:×-+^=l與動(dòng)直線/:y=區(qū)+機(jī)相交于/、
492
B兩點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為;設(shè)弦/8的中點(diǎn)為則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程
為_______
Ξ.解答題(共4小題)
22
13.(2021秋?尖山區(qū)校級(jí)期末)在平面直角坐標(biāo)系XQy中,已知橢圓C^—=\的左,
43
第2頁(yè)(共20頁(yè))
右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為48和凡直線/:X=叼+/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)Λ/,N,記
直線∕M,BM,BN的斜率分別為k∣,k2,ki.
(1)求證:"而為定值;
(2)若%I=3%3,求AFMV的周長(zhǎng).
22
14.(2021秋?西寧期末)已知橢圓C-t?-??(fl>?>0),直線x'h/^y-J^二旅過(guò)橢
azbz
圓的上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn).
(1)求橢圓。的方程;
(2)過(guò)右焦點(diǎn)尸2的直線/與橢圓C相交于/,B兩點(diǎn).若40/18的面積為工逅,求直
5
線/的方程.
22
15.(2021秋?大通縣期末)已知橢圓C:三送一二ι(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)坐標(biāo)分別
是(-4,0),(4,0),短軸長(zhǎng)等于焦距.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線/與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為(1,1),求腦V].
2C
2
16.(2021秋?西崗區(qū)校級(jí)期中)如圖所示,已知橢圓G:-^+v=11與X軸不重合的直線
/經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)Fi,且與橢圓G相交于45兩點(diǎn),弦/8的中點(diǎn)為直線OΛ∕與橢圓G
相交于C,D兩點(diǎn).
(1)若直線/的斜率為1,求直線OM的斜率;
(2)是否存在直線/,使得∣∕M∣2=∣CM∣OM成立?若存在,求出直線/的方程;若不存
在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
第3頁(yè)(共20頁(yè))
2022-2023學(xué)年北師大版高二下數(shù)學(xué):橢圓
參考答案與試題解析
一.選擇題(共8小題)
1.(2020秋?定遠(yuǎn)縣期末)尸是橢圓χ2+"=16上一點(diǎn),且IPQl=7,則IPF2∣=()
A.1B.3C.5D.9
【考點(diǎn)】橢圓的定義.
【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.
【分析】利用橢圓的定義即可求出.
22
【解答】解:由橢圓的方程為χ2+4f=i6,可化為Iq=I,.?.α=4.
164
,:P是橢圓X2+4√=16上一點(diǎn),
根據(jù)橢圓的定義可得:IPFIl+1PE2∣=2X4,
.??∣P尸2∣=8-7=1.
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握橢圓的定義是解題的關(guān)鍵.
22
2.(2021秋?瀘州期末)已知條件p:加>3,條件伙三42_=1表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓,
m2
則P是4的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既非充分也非必要條件
【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;充分條件、必要條件、充要條件.
【專題】對(duì)應(yīng)思想:定義法;簡(jiǎn)易邏輯;邏輯推理.
【分析】根據(jù)條件求出加的取值范圍,利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.
22
【解答】解:若三-+匚=1表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓,
m2
則m>2,即q:m>2,
則P是q的充分不必要條件,
故選:A.
第4頁(yè)(共20頁(yè))
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,根據(jù)橢圓的定義求出,〃的取值范圍
是解決本題的關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題.
3.(2021秋?河南期末)阿基米德(公元前287年-公元前212年)不僅是著名的物理學(xué)家,
也是著名的數(shù)學(xué)家,他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)
與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,焦點(diǎn)在X軸上,且橢圓C的離心率為
近,面積為8n,則橢圓C的方程為()
22
X.y
【考點(diǎn)】橢圓的性質(zhì).
【專題】計(jì)算題;方程思想;分析法;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
22
【分析】由題意,設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為是14=1(4>6>0),然后根據(jù)橢圓的離
2,2?
心率以及橢圓面積列出關(guān)于“,b的方程組,求解方程組即可得答案.
22
【解答】解:由題意,設(shè)橢圓C的方程為是乙占=1(0>6>0),
2,2?
ab
因?yàn)闄E圓C的離心率為返,面積為8π,
2
≥i=返
所以?a22,解得次=]6,房=4,
、8冗=ab兀
22
所以橢圓C的方程為「上=1?
164
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用,考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于中檔題.
22
4.(2021秋?龍鳳區(qū)校級(jí)期末)設(shè)橢圓C:Lq=I(a>b>O)的左焦點(diǎn)為R。為坐標(biāo)
a
原點(diǎn).過(guò)點(diǎn)廠且斜率為上的直線與C的一個(gè)交點(diǎn)為。(點(diǎn)。在X軸上方),且[0q=|。。|,
則C的離心率為()
第5頁(yè)(共20頁(yè))
A.叵"B.?
23c?VD?夸
【考點(diǎn)】橢圓的性質(zhì).
【專題】計(jì)算題:轉(zhuǎn)化思想:綜合法;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程;邏輯推理;數(shù)學(xué)
運(yùn)算.
【分析】先畫出圖象,利用數(shù)形結(jié)合和已知可得三角形MPQ為直角三角形,再由直線過(guò)
焦點(diǎn)尸可得F的坐標(biāo)和左焦點(diǎn)"的坐標(biāo),設(shè)出。的坐標(biāo).利用向量垂直的數(shù)量積為O
求出。的坐標(biāo),再代入橢圓方程以及橢圓的恒等式,聯(lián)立即可求解.
【解答】解:由題意畫出圖象如圖所示:
設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為例,
由已知IOFI=可得三角形Λ∕F0為直角三角形,且M0,。尸,
因?yàn)橹本€2xtP-4=0過(guò)焦點(diǎn)F,令y=0,解得x=2,所以尸(2,O),M(-2,0),
設(shè)0(a,b),所以2α+b-4=0…①
則由而?而=0,可得:/+序-4=0…②,
6
a?ξ-._
①②聯(lián)立方程解得:或(a=2(舍去),
J-U=O
Ib5
所以“=2,6=旦,代入橢圓方程可得:ii4M=25,又層-必=4,
5DD52,2ab
解得02=強(qiáng)或屋(舍去),
55
所以。=殳應(yīng),
5
所以離心率為:S=另一=返,
aW,3
5
故選:D,
第6頁(yè)(共20頁(yè))
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的離心率以及直角三角形的性質(zhì),涉及到向量垂直的數(shù)量積為O
以及解方程問(wèn)題,考查了學(xué)生的運(yùn)算轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.
22
5.(2021秋?南崗區(qū)校級(jí)期末)若方程=1表示橢圓C,則下面結(jié)論正確的是()
9-kk-1
A.kE(1,9)
B.橢圓C的焦距為2√5
C.若橢圓C的焦點(diǎn)在X軸上,則髭(1,5)
D.若橢圓C的焦點(diǎn)在X軸上,則在(5,9)
【考點(diǎn)】橢圓的性質(zhì).
【專題】轉(zhuǎn)化思想:綜合法:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【分析】利用方程表示橢圓,求出發(fā)的范圍,焦距,判斷焦點(diǎn)所在軸,判斷選項(xiàng)的正誤.
【解答】解:當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí),9-k>k-1>0,解得大∈(1,5);
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時(shí),可得%7>9-%>0,解得住(5,9),所以C正確,。不正確;Z不
正確;
焦點(diǎn)坐標(biāo)在X軸時(shí),焦距為:2后互1焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸時(shí),2亞TTU,所以8不正確;
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,注意分類討論思想的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.
22
6.(2021秋?新化縣期末)已知橢圓。+2-=ι(o<b<2>左、右焦點(diǎn)分別為尸1、尸2,
4b2
過(guò)FI的直線/交橢圓于/、B兩點(diǎn),若⑷切+田/切的最大值為5,則b的值是()
A.1B.√2C.AD.√3
【考點(diǎn)】橢圓的性質(zhì).
第7頁(yè)(共20頁(yè))
【專題】綜合法;轉(zhuǎn)化法;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【分析】利用橢圓的定義,結(jié)合|/尸2|+0/2|的最大值為5,可得當(dāng)且僅當(dāng)Z8Lv軸時(shí),
的最小值為3,由此可得結(jié)論.
【解答】解:由題意:MF2∣+∣3F2∣+∣∕B∣=4a=8,
?.?∣NF2∣+∣892|的最大值為5,.??M8∣的最小值為3,
當(dāng)且僅當(dāng)軸時(shí),取得最小值,此時(shí)/(-c,3),BC-c,一旦),
22
2QL
代入橢圓方程可得:£-+_1_=1,利用C2=4-∕>2,解得6=F?
44b2
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義,考查學(xué)生的計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.
7.(2021秋?浙江期中)已知橢圓C:x1+my2=l(0<∕n<l),若存在過(guò)點(diǎn)Z(3,1)且互
相垂直的直線/1,/2,使得/1,/2與橢圓C均無(wú)公共點(diǎn),則該橢圓離心率的取值范圍是()
a?(y>1)B.(0,?)C,(0,d,I??,1)
【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合;橢圓的性質(zhì).
【專題】方程思想;轉(zhuǎn)化法;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【分析】判斷/1,/2中一條斜率不存在和另一條斜率為0,兩直線中有一條與橢圓相交,
當(dāng)兩直線斜率存在且不為0時(shí),可設(shè)/1:y-l=a(X-3),即y=辰+1-34,聯(lián)立橢圓方
程,由于判別式小于0,以及求根公式,結(jié)合兩直線垂直的條件,可將A換為-工,解不
k
等式,考慮不等式有解,可得,”的范圍,即可得到所求離心率的范圍.
【解答】解:橢圓C:x2+m√≈l(0<w<l),
過(guò)點(diǎn)Z(3,1)的直線∕ι,/2中一條斜率不存在和另一條斜率為0時(shí),斜率為0的直線與
橢圓相交,
當(dāng)兩直線的斜率存在且不為0時(shí),設(shè)/?:y-l=k(χ-3),即y=?r+l-3A,
聯(lián)立橢圓方程可得(l+m?2)x2+2km(1-3k)x+nι(3?-1)2-1=0,
由直線和橢圓無(wú)交點(diǎn),可得Δ=4A2M2(3k-1)2-4(l+w?2)[w(3?-1)2-l]<0,
23m2
化為Smk-6mk+m-1>0,解得?<..t?Jc3m÷√m+8m;
8m8m
由兩直線垂直的條件,可將發(fā)換為-工,即有包4?+πrι>0,
kk2k
第8頁(yè)(共20頁(yè))
化為(1-A2-6mk-8〃?V0,
解得3mτJπι'+8m<左V3m÷Vι∏2+8m
l-ml-m
由題意可得3m+Vm2+8改<3m+√m2+8rn,可得上<%<];
8ml-m9
同樣3πrVιη2+8取>3取?二2+8用,解得上<加<J
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì),考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,訓(xùn)練
了利用判別式法分析方程根的問(wèn)題,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
22
8.(2021秋?渝中區(qū)校級(jí)期中)點(diǎn)F為橢圓C:三-+2-=ι(a>b>0)的右焦點(diǎn),直線八
abz
y=fcc與橢圓C交于4B兩點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn),/為正三角形,則橢圓的離心率為
()
A.√3-lB.E-MC.等D.亨
【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合;橢圓的性質(zhì).
【專題】方程思想;數(shù)形結(jié)合法;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【分析】由題意畫出圖形,設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為P,證明△尸/尸為直角三角形,然后利
用勾股定理列式求解.
【解答】解:如圖,設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為9,
第9頁(yè)(共20頁(yè))
?.?△04F為正三角形,I=IoFl=C,∣40∣=AFF?,
2
連接/尸,則/在以尸'尸為直徑的圓上,,/F'臚=90°,
又∣=2α-c,由勾股定理可得,(2C)2=(2α-c)2+c2,
即e2+2e-2=0,解得e=通-I(OVe<1).
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì),考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能
力,是中檔題.
二.填空題(共4小題)
9.(2021秋?懷仁市期中)中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±5√2)的橢圓被直線3χ-y-2
22
=0截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為工,則橢圓方程為工工=1.
22575
【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.
22
【分析】設(shè)橢圓工一上=1(a>6>0),則〃2一房=50,再設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為Z3,
,22
ba
yι),B(X2,J2),弦48中點(diǎn)(XO,yo),利用點(diǎn)差法能示出橢圓的方程.
22
【解答】解:設(shè)橢圓=上=1(α>6>0),則.2-62=50①
,22
ba
又設(shè)直線3x-y-2=0與橢圓交點(diǎn)為Z(xι,y↑)9B(X2,歹2),弦48中點(diǎn)(Xo,yo)
?.?xo=L.?.代入直線方程得泗=3-2=-1,
2"22
:.AB的斜率Q±2‰-乙Sl=-乙配=3
xl^x2b2丫1+丫2b2丫。
;①=-1,."2=3/)2②
VO
聯(lián)解①②,可得“2=75,b2=25,
第10頁(yè)(共20頁(yè))
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意點(diǎn)差法的合理
運(yùn)用.
22
10.(2021秋?西青區(qū)期末)已知點(diǎn)乃是橢圓心+3-=1(a>6>0)的左焦點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)作
2,2
ab
直線/交橢圓于/,8兩點(diǎn),M,N分別是/Q,BQ的中點(diǎn),若存在以MN為直徑的圓
過(guò)原點(diǎn),則橢圓的離心率的范圍是_噂,1)_.
【考點(diǎn)】橢圓的性質(zhì).
【專題】計(jì)算題;整體思想;演繹法;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程;邏輯推理;數(shù)學(xué)
運(yùn)算.
【分析】由題意分析可知力Q"L8∕7ι,設(shè)點(diǎn)力(XO,W),利用AF;,BF;=O得到關(guān)于處
22
泗的方程,再聯(lián)立丹肯_=1,用含“,b,C的式子表示出X3只需滿足0<X2a2,
ab
得出離心率的范圍.
【解答】解:如圖所示,當(dāng)點(diǎn)M,N分別是ZQ、BFi的中點(diǎn)時(shí),OΛ∕,CW是4/8FI的
兩條中位線,
若以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn),則有。AF?1BF?,
設(shè)點(diǎn)/(xo,M)),則點(diǎn)8(-xo>-yo),又點(diǎn)Fl(-c,0),
所以,?p?=(-c-χ0,-y0ABF?=(-c+x0,y0),
第11頁(yè)(共20頁(yè))
22
X0y0
則
222又
BF-L
CXO-=O22
yoa+■b
2222
b
所C222C
以
得a
b
2XO+XO
a
2/2,2?
即只需o<旦a2,整理得:2。2>『,
C
解得返〈,
2e_
易知離心率可以等于返,且eV1,
2
所以^^^≤ζe<1,
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓離心率取值范圍的求解,屬于中等題.
2L
II.(2021秋?濟(jì)寧期末)點(diǎn)尸是橢圓*-+y2=]上的點(diǎn),則P到直線/:χ-y+2√3=0的距
離的最小值為一屆逗一
2
【考點(diǎn)】橢圓的性質(zhì).
【專題】方程思想;轉(zhuǎn)化法;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程;邏輯推理.
【分析】設(shè)尸(2cosα,sina),則點(diǎn)尸到直線/:%-y+2??=。的距離為d=
!空巴9「sina上"L化簡(jiǎn)即可得出答案.
2C
【解答】解:因?yàn)辄c(diǎn)尸為橢圓掾+yZ=]上的點(diǎn),
所以設(shè)尸(2cosa,sina),
所以點(diǎn)P到直線/:X-?+2√3=0的距離為d=.∣2cosa-Sina+2?I
∏1
∣Vδ(rj^cosɑ--^-sinɑ)+2√3I
=√2=
l??(sinβcosa-cosBsinɑ-)+2Λ∕3∣
^√2
=USin(B二a)+2√ξI,(sinβ^2cosβ=1)
√2√5√5
第12頁(yè)(共20頁(yè))
所以力加=上嵯通1=*?巨=遍-匝,
√2√22
故答案為:√6-^?
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì),解題中需要一定的計(jì)算能力,屬于中檔題.
22
12.(2021秋?金東區(qū)校級(jí)期末)已知橢圓C與動(dòng)直線/:y=當(dāng)+〃?相交于工、
492
B兩點(diǎn),則實(shí)數(shù)加的取值范圍為(-3、巧,3?);設(shè)弦/8的中點(diǎn)為M,則動(dòng)點(diǎn)M
的軌跡方程為3x+2κ=0,x∈(-√5,g.
【考點(diǎn)】橢圓的性質(zhì).
【專題】計(jì)算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【分析】直線與橢圓聯(lián)立方程組,通過(guò)判別式大于0,求解W的范圍;設(shè)出“8坐標(biāo),利
用韋達(dá)定理,轉(zhuǎn)化求解M的軌跡方程即可.
[_3
y=yx?
【解答】解:由<22,得:18x2+12wx+4∕n2-36=0;
I49
設(shè)4(x∣,y?},B(X2,N2),
可得:A=144∕√-4><18(4W2-36)>0,
可得:-3也<加<3&.
設(shè)弦48的中點(diǎn)為"(x,y),
可得:
丫1+丫23z、m
y=~~2—=7"(xι+x2)+m=y
可得:3x+2y=0,x∈(-√2-衣)?
故答案為:(-3加,3√2);3"2y=0,x∈(-√2.√2×
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,軌跡方程的
求法,考查計(jì)算能力.
≡.解答題(共4小題)
22
13.(2021秋?尖山區(qū)校級(jí)期末)在平面直角坐標(biāo)系XS,中,已知橢圓C:,也_=1的左,
右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為4,8和凡直線/:x=my+f與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,記
第13頁(yè)(共20頁(yè))
直線ZΛ∕,BM,8N的斜率分別為左ι,k2,k3.
(1)求證:發(fā)怖2為定值;
(2)若內(nèi)=3飽,求的周長(zhǎng).
【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合.
【專題】轉(zhuǎn)化思想;轉(zhuǎn)化法;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
22
【分析】(1)不妨設(shè)M(xι,yι),N(X2>'2),由4,B為橢圓C:-≤-+Σ-=1的左,
’43
右頂點(diǎn),可得/(2,0),8(-2,0),再結(jié)合斜率公式,即可求解.
(22
Xy
(2)聯(lián)立直線/與橢圓方程<4+3?,化簡(jiǎn)整理可得,(3加2+4)/+6用卬+3於-12=0,
x=my+t
再結(jié)合韋達(dá)定理和橢圓的性質(zhì),即可求解.
【解答】證明:(1)不妨設(shè)Af(xi,y?),N(X2,”),
22
又8為橢圓C:2-+X-=l的左,右頂點(diǎn),
43
:.A(-2,0),B(2,0),
Vl丫1
1k2^772,
^x1+2
2
丫1
.?.?1??2=
Xj-4
22
x
,?l丫11
43
?2.42,
??xi=4-^-y1
22
丫1丫13
??k1k2-—O
'Xj-44多;-44
故kιk2=4為定值?
JLC4
X22
_y__
(2)聯(lián)立直線/與橢圓方程《N守lT1,化簡(jiǎn)整理可得,(3加2+4)/+65尹3/2-12=0,
tx=my+t
第14頁(yè)(共20頁(yè))
2
由韋達(dá)定理UJ得,y\^yi=―粵匹一,yy=3'JI」①'
3m2÷43m2+4
V?ι=3fa,
?丫1—2
?-------二M?---------,
x1+2乂2-2
2
?了1_3了42=_3
(xj+2)Cx?-2)(X2~2)(XJ-2)上述24
Λ4yι^2--(X2-2)(xι-2)=-XIX2+2(x∣+x2)-4②,
22,
"?"xiX2-Cmyi+t)(.my2+t)—my1y2+m(y1+y2)+tXl+X2=WyI+f+SP2+f=機(jī)(yi+y2)
+2/③,
,聯(lián)立①②③可得-12Z2+4=4Z2-I6f+I6,即Z2-L2=0,解得f=-1或f=2(舍去),
,直線X=Zny-I恒過(guò)點(diǎn)(-1,0),即橢圓的左焦點(diǎn),
,△尸MN的周長(zhǎng)為4α,
又?.%=2,
ZSFMN的周長(zhǎng)為8.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于難題.
22
14.(2021秋?西寧期末)已知橢圓C2j-=ιQ>6>0),直線χ+√^y-√l=假過(guò)橢
a<
圓的上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)過(guò)右焦點(diǎn)尸2的直線/與橢圓C相交于48兩點(diǎn).若AO∕8的面積為2返,求直
5
線/的方程.
【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【專題】整體思想;設(shè)而不求法:圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題:數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【分析】(1)由題意求出橢圓的6,C的值,再由α,b,C之間的關(guān)系求出。的值,進(jìn)而
求出橢圓的方程;
(2)設(shè)直線/的方程,與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積,代入面積公式由題意可得
參數(shù)的值,進(jìn)而求出直線/的方程.
【解答】解:(1)由橢圓的方程可得焦點(diǎn)在X軸上,
第15頁(yè)(共20頁(yè))
直線x÷?∕^y-V3=0中令l=0,可得y=l;
令y=0,貝IJX=F,
而直線χ+73yf∕E=誨過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn),
所以C=W,6=1,可得42=房+。2=4,
2
所以橢圓的方程為:A-÷∕=l:
4
(2)由(1)可得右焦點(diǎn)&(√W0),顯然直線/的斜率不為0,設(shè)直線/的方程為1
=my+M'
A(xι,y↑)fB(X2,歹2),
,χ=my+√3
聯(lián)立直線/與橢圓的方程/.,整理可得:(4+混)f+2j而ι=o,
可得yi+”=—粵!?,yiy2=-~^■■;
4+m4÷m
所以Szs408川
2
=fXFX'。1+了2)2-4丫產(chǎn)2
=返,I12nt24
2R3)2K
=M,W]+ι∏2
24+m2
=2口五母
4÷m
由題意可得2√G.五最=2返,
4÷m25
整理可得:2/-9〃,+7=0,解得〃?=±1或∕w=±H?,
_2
所以直線/的方程為:X=±J??或X=±V∣V√3?
【點(diǎn)評(píng)】本題考查求橢圓的方程及直線與橢圓的綜合,面積公式的應(yīng)用,屬于中檔題.
22
15.(2021秋?大通縣期末)已知橢圓C:2?±=i(a〉b〉o)的左、右頂點(diǎn)坐標(biāo)分別
az
第16頁(yè)(共20頁(yè))
是(-4,O),(4,0),短軸長(zhǎng)等于焦距.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線/與橢圓C相交于Λ1,N兩點(diǎn),線段A/N的中點(diǎn)為(1,1),求川.
【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合.
【專題】計(jì)算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.
【分析】(1)利用已知條件列出方程組,求出。,b,即可得到橢圓方程.
(2)利用平方差法求出直線的斜率,然后利用弦長(zhǎng)公式轉(zhuǎn)化求解即可.
a=4
【解答】解:(1)依題意Ic=b,解得[a=4
2,2?2(b=c=2√2
a=b+c
22
故橢圓C方程為"工
168
(2)設(shè)M,N的坐標(biāo)分別為(xι,yι),(x2.”),直線/的斜率顯然存在,設(shè)斜率為左,
則工:廠兩式相減哈了冷;。,整理得/=生
因?yàn)榫€段MN的中點(diǎn)為(1,1),所以k=」
2
所以直線/的方程為V=」乂/得3χ2-6x-23=0,
y2x2
則XI+X2=2,-_≤A,
x(lxχ23
故22
IHNl=√l+k√(x1+x2)-4xιx2=^∣√4+4×-y-
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢
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