9.1.1 變量的相關(guān)性（解析版）

9.1.1變量的相關(guān)性一、變量的相關(guān)關(guān)系1、相關(guān)關(guān)系：兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系；2、散點(diǎn)圖：將樣本中n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)（）描在平面直角坐標(biāo)系中得到的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖，是描述成對(duì)數(shù)據(jù)之間關(guān)系的一種直觀方法；3、正相關(guān)與負(fù)相關(guān)：如果從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，我們就稱這兩個(gè)變量正相關(guān)；如果當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢(shì)，則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)；4、線性相關(guān)：一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們稱這兩個(gè)變量線性相關(guān)；5、非線性相關(guān)與曲線相關(guān)：如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)；二、相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同1、相同點(diǎn)：兩者均是指兩個(gè)變量之間的關(guān)系；2、不同點(diǎn)：（1）函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，如勻速直線運(yùn)動(dòng)中時(shí)間t與路程s的關(guān)系；相關(guān)關(guān)系是一種不確定的關(guān)系，如一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系；事實(shí)上，函數(shù)是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系；（2）函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系。三、樣本相關(guān)系數(shù)1、樣本相關(guān)系數(shù)：設(shè)由變量x和y獲得的兩組數(shù)據(jù)分別為和（i=1，2，…，n），其對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表所示：變量x…變量y…兩組數(shù)據(jù)和的線性相關(guān)系數(shù)是度量?jī)蓚€(gè)變量x與y之間線性相關(guān)程度的統(tǒng)計(jì)量，其計(jì)算公式為，其中，，，它們分別是這兩組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)．2、相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)（1）；（2）時(shí)，與呈正相關(guān)關(guān)系；時(shí)，與呈負(fù)相關(guān)關(guān)系（3）越接近1，與的相關(guān)程度越強(qiáng)；越接近0，與的相關(guān)程度越弱.通常情況下，時(shí)，認(rèn)為線性相關(guān)關(guān)系顯著；當(dāng)時(shí)，認(rèn)為幾乎沒有線性相關(guān)關(guān)系。題型一相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系【例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）對(duì)于給定的兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，下列說法正確的是__________．（填序號(hào)）①都可以分析出兩個(gè)變量的關(guān)系；②都可以用一條直線近似地表示兩者的關(guān)系；③都可以作出散點(diǎn)圖；④都可以用確定的表達(dá)式表示兩者的關(guān)系．【答案】③【解析】給出一組樣本數(shù)據(jù)，總可以作出相應(yīng)的散點(diǎn)圖，故③正確，但不一定能分析出兩個(gè)變量的關(guān)系，故①不正確，更不一定符合線性相關(guān)，不一定用一條直線近似的表示，故②不正確，兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)不一定有函數(shù)關(guān)系，不一定可以用確定的表達(dá)式表示兩者的關(guān)系，故④不正確．故答案為：③．【變式1-1】（2022春·甘肅蘭州·高二統(tǒng)考期中）有下列關(guān)系：①人的年齡與他（她）擁有的財(cái)富之間的關(guān)系；②曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系；③蘋果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；④森林中的同一種樹木，其橫斷面直徑與高度之間的關(guān)系，其中有相關(guān)關(guān)系的是（）A．①②③B．①②C．②③D．①③④【答案】D【解析】根據(jù)變量間相關(guān)關(guān)系的含義可知，①③④中兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系；而②，曲線上的點(diǎn)定了，該點(diǎn)的坐標(biāo)也就隨之確定，這兩個(gè)變量間的關(guān)系為確定性關(guān)系，故選D.【變式1-2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）下列兩個(gè)量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是（）A．勻速直線運(yùn)動(dòng)中時(shí)間與位移的關(guān)系B．學(xué)生的成績(jī)和身高C．兒童的年齡與體重D．物體的體積和質(zhì)量【答案】C【解析】A、D是函數(shù)關(guān)系；B是不相關(guān)關(guān)系；C是相關(guān)關(guān)系，故選：C【變式1-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）下列語句表示的事件中的因素不具有相關(guān)關(guān)系的是（）A．瑞雪兆豐年B．名師出高徒C．不積跬步，無以至千里D．喜鵲叫喜，烏鴉叫喪【答案】D【解析】A.瑞雪對(duì)小麥有好處，可能使得小麥豐收，所以瑞雪兆豐年具有相關(guān)關(guān)系；B.名師水平高，可能使得學(xué)生學(xué)習(xí)好，所以名師出高徒具有相關(guān)關(guān)系；C.不積跬步，就不會(huì)有千里，所以不積跬步，無以至千里具有相關(guān)關(guān)系；D.喜鵲叫喜，烏鴉叫喪，兩者沒有必然的關(guān)系.故選：D題型二由散點(diǎn)圖判斷相關(guān)關(guān)系【例2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）有五組變量：①汽車的重量和汽車每消耗升汽油所行駛的平均路程；②平均日學(xué)習(xí)時(shí)間和平均學(xué)習(xí)成績(jī)；③某人每日吸煙量和身體健康情況；④圓的半徑與面積；⑤汽車的重量和每千米耗油量.其中兩個(gè)變量成正相關(guān)的是（）A．①③B．②④C．②⑤D．④⑤【答案】C【解析】由變量的相關(guān)關(guān)系的概念知，②⑤是正相關(guān)，①③是負(fù)相關(guān)，④為函數(shù)關(guān)系.故選：C【變式2-1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）某商家今年上半年各月的人均銷售額（單位：千元）與利潤(rùn)率統(tǒng)計(jì)表如下：月份人均銷售額利潤(rùn)率根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）A．利潤(rùn)率與人均銷售額成正相關(guān)關(guān)系B．利潤(rùn)率與人均銷售額成負(fù)相關(guān)關(guān)系C．利潤(rùn)率與人均銷售額成正出例函數(shù)關(guān)系D．利潤(rùn)率與人均銷售額成反比例函數(shù)關(guān)系【答案】A【解析】作出利潤(rùn)率與人均銷售額的散點(diǎn)圖，如下圖所示：由散點(diǎn)圖可知，利潤(rùn)率與人均銷售額成正相關(guān)關(guān)系.故選：A.【變式2-2】（2023春·陜西咸陽·高二?？茧A段練習(xí)）對(duì)變量、由觀測(cè)數(shù)據(jù)得散點(diǎn)圖，對(duì)變量、由觀測(cè)數(shù)據(jù)得散點(diǎn)圖.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷（）A．變量與負(fù)相關(guān)，與正相關(guān)B．變量與負(fù)相關(guān)，與負(fù)相關(guān)C．變量與正相關(guān)，與正相關(guān)D．變量與正相關(guān)，與負(fù)相關(guān)【答案】B【解析】由散點(diǎn)圖可知，變量與負(fù)相關(guān)，變量與正相關(guān)，所以，與負(fù)相關(guān).故選：B.【變式2-3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如下四個(gè)散點(diǎn)圖中，正相關(guān)的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】對(duì)于A，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)從左向右是上升的，且在一條直線附近，是正相關(guān)；對(duì)于B，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)從左向右是下降的，且在一條直線附近，是負(fù)相關(guān)；對(duì)于C、D，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)不成帶狀分布，沒有明顯的相關(guān)關(guān)系；故選：A.題型三相關(guān)系數(shù)的理解與判斷【例3】（2023春·陜西咸陽·高二武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于樣本相關(guān)系數(shù)，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．樣本相關(guān)系數(shù)可以用來判斷成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)的正負(fù)性B．樣本相關(guān)系數(shù)可以是正的，也可以是負(fù)的C．樣本相關(guān)系數(shù)D．樣本相關(guān)系數(shù)越大，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度也越強(qiáng)【答案】D【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，樣本相關(guān)系數(shù)可以用來判斷成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)的正負(fù)性，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，樣本相關(guān)系數(shù)可以是正的，也可以是負(fù)的，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，樣本相關(guān)系數(shù)，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度也越強(qiáng)，D錯(cuò).故選：D.【變式3-1】（2023春·高二單元測(cè)試）對(duì)兩個(gè)變量與進(jìn)行回歸分析，分別選擇不同的模型，它們的相關(guān)系數(shù)如下，其中擬合效果最好的模型是（）①模型Ⅰ的相關(guān)系數(shù)為；②模型Ⅱ的相關(guān)系數(shù)為；③模型Ⅲ的相關(guān)系數(shù)為；④模型Ⅳ的相關(guān)系數(shù)為；A．ⅠB．ⅡC．ⅢD．Ⅳ【答案】D【解析】因?yàn)樵节吔?，相關(guān)性越強(qiáng)，模型擬合效果越好，所以擬合效果最好的模型是Ⅳ．故選：D．【變式3-2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在一次試驗(yàn)中，測(cè)得的五組數(shù)據(jù)分別為，，，，，去掉一組數(shù)據(jù)后，下列說法正確的是（）A．樣本數(shù)據(jù)由正相關(guān)變成負(fù)相關(guān)B．樣本的相關(guān)系數(shù)不變C．樣本的相關(guān)性變?nèi)鮀．樣本的相關(guān)系數(shù)變大【答案】D【解析】由題意，去掉離群點(diǎn)后，仍然為正相關(guān)，相關(guān)性變強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)變大，故A、B、C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.【變式3-3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，依次獲得如圖所示的散點(diǎn)圖．關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的大小比較，將0、、、、從小到大排列，應(yīng)為______．【答案】【解析】由散點(diǎn)圖可知，所以.故答案為:.題型四相關(guān)系數(shù)的計(jì)算與應(yīng)用【例4】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）在一次試驗(yàn)中，測(cè)得的四組值分別為，則與的相關(guān)系數(shù)為（）A．B．C．0D．【答案】B【解析】因?yàn)檫^點(diǎn)的直線的斜率為，所以過點(diǎn)的直線的方程為：即，經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)，都在直線，所以與是函數(shù)關(guān)系，又因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以與的相關(guān)系數(shù)為，故選：B.【變式4-1】（2021春·陜西咸陽·高二?？茧A段練習(xí)）若已知是的兩倍，是的1.2倍，則相關(guān)系數(shù)r的值為（）A．B．C．0.92D．0.65【答案】B【解析】，故選：B【變式4-2】（2023春·陜西西安·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知某個(gè)樣本點(diǎn)中的變量x、y線性相關(guān)，相關(guān)系數(shù)，則在以為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)系下的散點(diǎn)圖中，大多數(shù)的點(diǎn)都落在第_____象限．【答案】二、四【解析】由，則，所以，大多數(shù)點(diǎn)與異號(hào)，又為坐標(biāo)原點(diǎn)，故大多數(shù)的點(diǎn)都落在第二、四象限.故答案為：二、四【變式