第03講 立體幾何中的向量方法【秋季講義】（人教A版2019選擇性必修第一冊）（原卷版）

第03講立體幾何中的向量方法【人教A版2019】·模塊一向量法判定位置關(guān)系·模塊二向量法求空間角·模塊三向量法求距離·模塊四課后作業(yè)模塊一模塊一向量法判定位置關(guān)系1．空間中直線、平面的平行(1)線線平行的向量表示：設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2.(2)線面平行的向量表示：設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u⊥n?u·n＝0.(3)面面平行的向量表示：設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2.2．利用向量證明線線平行的思路：證明線線平行只需證明兩條直線的方向向量共線即可．3．證明線面平行問題的方法：(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi)；(2)證明直線的方向向量可以用平面內(nèi)兩個不共線向量表示且直線不在平面內(nèi)；(3)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內(nèi)．4．證明面面平行問題的方法：(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行．(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進(jìn)行證明．5．空間中直線、平面的垂直(1)線線垂直的向量表示：設(shè)u1，u2分別是直線l1,l2的方向向量，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.(2)線面垂直的向量表示：設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.(3)面面垂直的向量表示：設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.6．證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標(biāo)系→寫出點的坐標(biāo)→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直．7．用坐標(biāo)法證明線面垂直的方法及步驟：(1)利用線線垂直：①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；②找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量；③判斷直線的方向向量與平面內(nèi)兩條直線的方向向量垂直．(2)利用平面的法向量：①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；②求出平面的法向量；③判斷直線的方向向量與平面的法向量平行．8．證明面面垂直的兩種方法：(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明．(2)法向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直．【考點1求平面的法向量】【例1.1】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二?？计谀┮阎蛄緼B=1,1,-1,AC=-1,1,0，則平面A．1,1,2 B．1,-1,0 C．-1,1,2 D．-1,1,0【例1.2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知A1,0,0,B0,1,0A．-1,1,1 B．1,-1,1C．1,1,1 D．1【變式1.1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知平面α內(nèi)兩向量a=(1,1,1)，b=(0,2,-1)且c=ma+nb+(4,-4,1).若c為平面αA．-1，2 B．1，-2C．1，2 D．-1，-2【變式1.2】（2023秋·河南許昌·高三校考開學(xué)考試）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系，E為BBA．（1，-2，4） B．（-4，1，-2）C．（2，-2，1） D．（1，2，-2）【考點2空間線、面平行關(guān)系的判定及應(yīng)用】【例2.1】（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，E為CP的中點，N為DE的中點，DM=14DB,DA=DP=1,CD=2

【例2.2】（2023·全國·高二課堂例題）如圖，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，點M，N分別在對角線BD，AE上，且BM=13BD，AN=13

【變式2.1】（2023春·高二課時練習(xí)）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，【變式2.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐E-ABCD中，AB//CD，CD=4AB，點F為棱CD的中點，與E，F(xiàn)相異的動點P在棱EF上.(1)當(dāng)P為EF的中點時，證明：PB//平面ADE；(2)設(shè)平面EAD與平面EBC的交線為l，是否存在點P使得l/平面PBD？若存在，求EPPF【考點3空間線、面垂直關(guān)系的判定及應(yīng)用】【例3.1】（2023·全國·高二課堂例題）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點，

【例3.2】（2023秋·高二課時練習(xí)）在三棱臺A1B1C1-ABC中，∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,

【變式3.1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是線段EF的中點(1)求證：AM⊥BD.(2)求證：AM⊥平面BDF.【變式3.2】（2023·全國·高二課堂例題）如圖所示，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形，

(1)求證：平面O1DC⊥平面(2)若點E,F分別在棱AA1,BC上，且AE=2EA1模塊二模塊二向量法求空間角1．夾角問題(1)兩個平面的夾角：平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．(2)空間角的向量法解法角的分類向量求法范圍兩條異面直線所成的角設(shè)兩異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))直線與平面所成的角設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))兩個平面的夾角設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))【考點4利用空間向量求空間角】【例4.1】（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，

【例4.2】（2023春·山東東營·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知六面體ABCDPE的面ABCD為梯形，AB//CD，AB⊥AD，AB=2，CD=AD=4，棱PA⊥平面ABCD，PA//BE，PA=4,BE=2，F(xiàn)為PD的中點.

(1)求證：AF//平面PBC；(2)求直線BE與平面PCD所成角的大小.【變式4.1】（2023春·甘肅白銀·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，AB為圓柱底面的直徑，△ACD是圓柱底面的內(nèi)接正三角形，AP和DQ為圓柱的兩條母線，若AB=2AP=2.

(1)求證：平面PCQ⊥平面BDQ；(2)求BP與面ABQ所成角正弦值；(3)求平面ABQ與平面ABC所成角的余弦值.【變式4.2】（2023春·貴州黔西·高二?？计谥校┤鐖D，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，四邊形ABCD為梯形，AD=2BC，∠BAD=∠ABC=90(1)若M為PA的中點，求證：BM//平面PCD(2)若直線PC與平面PAB所成角的正弦值為1510，求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值模塊三模塊三向量法求距離1．距離問題(1)點P到直線l的距離：已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設(shè)向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，則點P到直線l的距離為eq\r(a2－a·u2)(如圖)．(2)點P到平面α的距離：設(shè)平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點，P是平面α外一點，則點P到平面α的距離為eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)(如圖)．【考點5利用空間向量研究距離問題】【例5.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AC∩BD=O，底面ABCD為菱形，邊長為2，PC⊥BD，PA=PC，且∠ABC=60°，異面直線PB與CD所成的角為

(1)求證:PO⊥平面ABCD;(2)若E是線段OC的中點，求點E到直線BP的距離.【例5.2】（2023春·江蘇常州·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，AD=22，M

(1)求直線BD與平面APM所成角的正弦值；(2)求D到平面APM的距離．【變式5.1】（2023·全國·高二假期作業(yè)）直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，邊長為2，側(cè)棱A1

(1)求證：平面AMN//平面EFBD；(2)求平面AMN與平面EFBD的距離．【變式5.2】（2023春·高二單元測試）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CP的中點，AB=AC=1,PA=2.

(1)求直線PA與平面DEF所成角的正弦值；(2)求點P到平面DEF的距離；(3)求點P到直線EF的距離．【考點6利用空間向量研究存在性問題】【例6.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正四棱臺ABCD-A1B1C

(1)求側(cè)棱AA1與底面(2)在線段CC1上是否存在一點P，使得BP⊥A1【例6.2】（2023春·江蘇連云港·高二?？计谥校┤鐖D在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA=PD=2，底面ABCD為直角梯形，其中BC//AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O

(1)求二面角C-PD-A的正弦值；(2)線段AD上是否存在Q，使得它到平面PCD的距離為32?若存在，求出AQ【變式6.1】（2023秋·湖南長沙·高二?？奸_學(xué)考試）如圖，在三棱臺ABC-A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2

(1)若M為BC的中點，求證：A1N//(2)是否存在點M，使得平面C1MA與平面ACC1A【變式6.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）圖①是直角梯形ABCD，AB//CD，∠D=90°，四邊形ABCE是邊長為2的菱形，并且∠BCE=60°，以BE為折痕將△BCE折起，使點

(1)求證：平面BC1E⊥(2)在棱DC1上是否存在點P，使得點P到平面ABC1的距離為155？若存在，求出直線模塊四模塊四課后作業(yè)1．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知直線l的一個方向向量m=2,-1,3，且直線l過點A0,a,3和B-1,2,b兩點，則A．0 B．1 C．32 D．2．（2023春·江蘇連云港·高二校考階段練習(xí)）空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，已知點A2,0,2，B2,1,0，C0,2,0，則平面ABCA．2,1,2 B．-1,2,1 C．2,4,2 D．2,-1,23．（2023春·廣東韶關(guān)·高二統(tǒng)考期末）已知α，β是空間中兩個不同的平面，m，n是空間中兩條不同的直線，則（

）A．若m//α，n//α，則m//n B．若m//α，m//β，則α//βC．若α⊥β，m?α，則m⊥β D．若m⊥α，n⊥β,m⊥n，則α⊥β4．（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點，點F在棱C1D1上，且D1FA．14 B．13 C．125．（2023春·四川樂山·高二期末）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M,N為正方體的頂點．則滿足MN⊥OP的是（

）A．

B．

C．

D．

6．（2023春·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，底面A1B1A．AC1⊥BDC．A1C//平面BDE D．平面7．（2023·全國·高二假期作業(yè)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，PA=AB=BC=12AD=1，BC//AD，已知Q是棱PD上靠近點P的四等分點，則CQ與平面PABA．55 B．255 C．28．（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，A．DB1⊥平面ACD1 B．直線C．平面A1C1B∥平面ACD19．（2021秋·四川南充·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，棱長為1的正方體ABCD-A1B1C①平面BCM⊥平面A②三棱錐B-MB1③當(dāng)M為AB1中點時，直線B1D與直線CM④直線CM與A1D其中正確的是（

）A．①②④ B．②③ C．①②③ D．①③④10．（2021·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，F(xiàn)為線段BC1的中點，E為線段A1C1上的動點，則下列四個結(jié)論：①存在點E，使EF?//?BD；②存在點E，使EF⊥平面ABA．4 B．3 C．2 D．111．（2023秋·高二課時練習(xí)）根據(jù)下列條件，判斷相應(yīng)的線?面位置關(guān)系：(1)直線l1,l(2)平面α,β的法向量分別是u=(3)直線l的方向向量?平面α的法向量分別是a=(4)直線l的方向向量?平面α的法向量分別是a=12．（2023春·高二單元測試）如圖，在多面體ABC-A1B1C1中，四邊形A1ABB1

(1)求證：A1B1(2)求證：AB1∥平面13．（2023春·江蘇揚州·高二?？计谥校┤鐖D，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，△PAD為等邊三角形，平面