第05講 第四章 數(shù)列 章節(jié)綜合測試（解析版）

第05講第四章數(shù)列章節(jié)綜合測試本試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．（2024上·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列，則下列屬于該數(shù)列的項(xiàng)的是（

）A．-23 B．-31 C．-33 D．-43【答案】C【詳解】由等差數(shù)列知數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，故數(shù)列通項(xiàng)為，分別使取選項(xiàng)中的值，發(fā)現(xiàn)僅當(dāng)時(shí)，，其它沒有對(duì)應(yīng)的n.故選：C.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的公比為q，則“”是“，，成等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【詳解】若，，成等差數(shù)列，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，化簡可得，且，則，解得或，所以“”是“，，成等差數(shù)列”的充分不必要條件．故選：A．3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）英國數(shù)學(xué)家亞歷山大·艾利斯提出用音分來精確度量音程，音分是度量不同樂音頻率比的單位，也可以稱為度量音程的對(duì)數(shù)標(biāo)度單位.一個(gè)八度音程為1200音分，它們的頻率值構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列.八度音程的冠音與根音的頻率比為2，因此這1200個(gè)音的頻率值構(gòu)成一個(gè)公比為的等比數(shù)列.已知音M的頻率為m，音分值為k，音N的頻率為n，音分值為l.若，則=（

）A．400 B．500 C．600 D．800【答案】C【詳解】由題意可知，1200個(gè)音的頻率值構(gòu)成一個(gè)公比為的等比數(shù)列，設(shè)第一個(gè)音為，所以，故，因?yàn)?，所?故選：C4．（2024上·黑龍江哈爾濱·高二黑龍江省哈爾濱市雙城區(qū)兆麟中學(xué)校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足，（），則（

）A． B．0 C． D．2【答案】B【詳解】由，可得，，，因此為周期數(shù)列，且周期為3，故，故選：B5．（2024上·上海浦東新·高二?？计谀┒x在上的函數(shù)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列，仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”．現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）．則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號(hào)為（

）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4）【答案】B【詳解】根據(jù)題意，由等比數(shù)列性質(zhì)知，（1），，故（1）是“保等比數(shù)列函數(shù)”；（2），，故（2）不是“保等比數(shù)列函數(shù)”；（3），，故（3）是“保等比數(shù)列函數(shù)”；（4），則，故（4）不是“保等比數(shù)列函數(shù)”；故選：B.6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，即，可得，又，即有數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，可得，即.故選：D.7．（2024上·重慶·高二重慶一中校考期末）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，若且，設(shè)，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題可知：，，當(dāng)時(shí)，，兩式做差可得：；對(duì)，令，故可得，即可的，故數(shù)列是從第二項(xiàng)起，公比為的等比數(shù)列，則；又，則；故.故選：D.8．（2024上·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考期末）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】令，則，即，即數(shù)列的所有偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，令，則，即，由于，則，故，故選：D二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9．（2024上·甘肅·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和是，且，則（

）A． B． C． D．的最小值為【答案】BD【詳解】由，所以，即，所以當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；所以，故A錯(cuò)；，故B對(duì)；，故C錯(cuò)；的最小值為，故D對(duì).故選：BD10．（2024上·吉林長春·高二長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)積為，，則（

）A． B．為遞增數(shù)列C． D．的前n項(xiàng)和為【答案】AD【詳解】由可得，故為等比數(shù)列，且公比為3，首項(xiàng)為，故，進(jìn)而,A正確，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，不符合上述表達(dá)，因此，故C錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，由于為單調(diào)遞增數(shù)列，故為單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤，的前n項(xiàng)和為，故D正確，故選：AD11．（2024上·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校┮阎炔顢?shù)列{}的前n項(xiàng)和，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C．當(dāng)取得最大值時(shí) D．當(dāng)取得最大值時(shí)【答案】ABC【詳解】設(shè)公差為，則，所以，解得，故A正確；，故B正確；，所以當(dāng)時(shí)，最大，故C正確，D錯(cuò).故選：ABC.12．（2024·湖北武漢·武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考二模）下列命題正確的是（

）A．若、均為等比數(shù)列且公比相等，則也是等比數(shù)列B．若為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則，，成等比數(shù)列C．若為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則，，成等比數(shù)列D．若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件【答案】BD【詳解】A：若且、公比相等，則，顯然不滿足等比數(shù)列，錯(cuò)；B：若的公比為，而，，，所以，，是公比為的等比數(shù)列，對(duì)；C：同B分析，，，，若為偶數(shù)，時(shí)，顯然各項(xiàng)均為0，不為等比數(shù)列，錯(cuò)；D：當(dāng)，則且，易知為遞增數(shù)列，充分性成立；當(dāng)為遞增數(shù)列，則且，顯然為滿足，但不恒成立，必要性不成立，所以“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件，對(duì).故選：BD三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2024上·寧夏銀川·高二賀蘭縣第一中學(xué)期末）已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則的通項(xiàng)公式為.【答案】或【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得或，所以或.故答案為：或.14．（2024上·河北邢臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）等差數(shù)列前13項(xiàng)和為91，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則．【答案】13【詳解】由題知，，解得，所以，所以.故答案為：1315．（2024上·云南昆明·高二昆明市第三中學(xué)?？计谀?shù)學(xué)家楊輝在其專著《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數(shù)列．其中二階等差數(shù)列是一個(gè)常見的高階等差數(shù)列，如數(shù)列2，4，7，11，16從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差組成的新數(shù)列2，3，4，5是等差數(shù)列，則稱數(shù)列2，4，7，11，16為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前六項(xiàng)分別為1，3，6，10，15，21，則的最小值為．【答案】【詳解】數(shù)列的前六項(xiàng)分別為1，3，6，10，15，21，依題知，，，，，疊加可得：，整理得，當(dāng)，，滿足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，時(shí)等號(hào)成立，又，所以等號(hào)取不到，所以最小值在時(shí)取得，當(dāng)時(shí)，，所以最小值為.故答案為：16．（2024上·江蘇·高二期末）已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20，21，再接下來的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推.（1）這個(gè)數(shù)列的第211項(xiàng)為；（2）設(shè)該數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則.（保留冪形式）【答案】1【詳解】對(duì)數(shù)列進(jìn)行分組如下：第一組：20，1個(gè)數(shù)；第二組:20，21，2個(gè)數(shù)；第三組:20，21，22，3個(gè)數(shù)；…；第k+1組:20，21，22，…，2k，k+1個(gè)數(shù).（1）由，可得，且，所以第211項(xiàng)是第21組的第1個(gè)數(shù)，即20=1.（2）該數(shù)列前k組的項(xiàng)數(shù)和為，當(dāng)k=44時(shí)，，第組的和為，所以前k組的和為，故答案為：1；四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2024上·廣東清遠(yuǎn)·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．(1)求的通項(xiàng)公式．(2)是否存在正整數(shù)使，，成等比？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在；【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又符合，所以的通項(xiàng)公式為.（2）存在，理由如下：設(shè)存在，使，，成等比，則所以：解得：或（舍去）.所以：可使，，成等比.18．（2024·全國·高二假期作業(yè)）在等差數(shù)列中，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)的公差為，則解得所以.（2）（方法一）.（方法二）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.綜上，19．（2024上·重慶·高二重慶南開中學(xué)?？计谀┮阎炔顢?shù)列滿足：，.(1)求；(2)若，求數(shù)列的前20項(xiàng)的和.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以，所以，（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，由（1）可知，所以．20．（2024上·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在單調(diào)遞增的等比數(shù)列中，成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，判斷是否成等差數(shù)列并說明理由.【答案】(1)(2)是，理由見解析【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以即，解得或.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，不符合題意；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，符合題意.所以.（2）成等差數(shù)列，理由如下：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即，所以成等差?shù)列.21．（2024·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列，若，且．(1)求證：是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，不等式對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)證明見解析，(2)【詳解】（1），，又，是首項(xiàng)