第05講 第四章 數(shù)列 章節(jié)綜合測試（解析版）

第05講第四章數(shù)列章節(jié)綜合測試本試卷滿分150分，考試用時120分鐘一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．（2024上·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列，則下列屬于該數(shù)列的項的是（

）A．-23 B．-31 C．-33 D．-43【答案】C【詳解】由等差數(shù)列知數(shù)列首項為，公差為，故數(shù)列通項為，分別使取選項中的值，發(fā)現(xiàn)僅當時，，其它沒有對應的n.故選：C.2．（2024·全國·模擬預測）已知等比數(shù)列的公比為q，則“”是“，，成等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【詳解】若，，成等差數(shù)列，由等差中項的性質(zhì)可得，化簡可得，且，則，解得或，所以“”是“，，成等差數(shù)列”的充分不必要條件．故選：A．3．（2024·全國·高三專題練習）英國數(shù)學家亞歷山大·艾利斯提出用音分來精確度量音程，音分是度量不同樂音頻率比的單位，也可以稱為度量音程的對數(shù)標度單位.一個八度音程為1200音分，它們的頻率值構(gòu)成一個等比數(shù)列.八度音程的冠音與根音的頻率比為2，因此這1200個音的頻率值構(gòu)成一個公比為的等比數(shù)列.已知音M的頻率為m，音分值為k，音N的頻率為n，音分值為l.若，則=（

）A．400 B．500 C．600 D．800【答案】C【詳解】由題意可知，1200個音的頻率值構(gòu)成一個公比為的等比數(shù)列，設第一個音為，所以，故，因為，所以.故選：C4．（2024上·黑龍江哈爾濱·高二黑龍江省哈爾濱市雙城區(qū)兆麟中學校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足，（），則（

）A． B．0 C． D．2【答案】B【詳解】由，可得，，，因此為周期數(shù)列，且周期為3，故，故選：B5．（2024上·上海浦東新·高二校考期末）定義在上的函數(shù)，如果對于任意給定的等比數(shù)列，仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”．現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）．則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號為（

）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4）【答案】B【詳解】根據(jù)題意，由等比數(shù)列性質(zhì)知，（1），，故（1）是“保等比數(shù)列函數(shù)”；（2），，故（2）不是“保等比數(shù)列函數(shù)”；（3），，故（3）是“保等比數(shù)列函數(shù)”；（4），則，故（4）不是“保等比數(shù)列函數(shù)”；故選：B.6．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，即，可得，又，即有數(shù)列是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，可得，即.故選：D.7．（2024上·重慶·高二重慶一中?？计谀┮阎獮閿?shù)列的前項和，若且，設，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題可知：，，當時，，兩式做差可得：；對，令，故可得，即可的，故數(shù)列是從第二項起，公比為的等比數(shù)列，則；又，則；故.故選：D.8．（2024上·山東濟南·高三統(tǒng)考期末）數(shù)列的前n項和為，若，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】令，則，即，即數(shù)列的所有偶數(shù)項構(gòu)成首項為，公比為3的等比數(shù)列，令，則，即，由于，則，故，故選：D二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9．（2024上·甘肅·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項和是，且，則（

）A． B． C． D．的最小值為【答案】BD【詳解】由，所以，即，所以當，時，；當，時，；所以，故A錯；，故B對；，故C錯；的最小值為，故D對.故選：BD10．（2024上·吉林長春·高二長春吉大附中實驗學校?？计谀┮阎獢?shù)列的前n項積為，，則（

）A． B．為遞增數(shù)列C． D．的前n項和為【答案】AD【詳解】由可得，故為等比數(shù)列，且公比為3，首項為，故，進而,A正確，當時，，所以，當時，不符合上述表達，因此，故C錯誤，當時，，由于為單調(diào)遞增數(shù)列，故為單調(diào)遞減，故B錯誤，的前n項和為，故D正確，故選：AD11．（2024上·重慶·高三重慶巴蜀中學?？计谥校┮阎炔顢?shù)列{}的前n項和，則下列選項正確的是（

）A． B．C．當取得最大值時 D．當取得最大值時【答案】ABC【詳解】設公差為，則，所以，解得，故A正確；，故B正確；，所以當時，最大，故C正確，D錯.故選：ABC.12．（2024·湖北武漢·武漢市第六中學校聯(lián)考二模）下列命題正確的是（

）A．若、均為等比數(shù)列且公比相等，則也是等比數(shù)列B．若為等比數(shù)列，其前項和為，則，，成等比數(shù)列C．若為等比數(shù)列，其前項和為，則，，成等比數(shù)列D．若數(shù)列的前項和為，則“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件【答案】BD【詳解】A：若且、公比相等，則，顯然不滿足等比數(shù)列，錯；B：若的公比為，而，，，所以，，是公比為的等比數(shù)列，對；C：同B分析，，，，若為偶數(shù)，時，顯然各項均為0，不為等比數(shù)列，錯；D：當，則且，易知為遞增數(shù)列，充分性成立；當為遞增數(shù)列，則且，顯然為滿足，但不恒成立，必要性不成立，所以“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件，對.故選：BD三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2024上·寧夏銀川·高二賀蘭縣第一中學期末）已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則的通項公式為.【答案】或【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，解得或，所以或.故答案為：或.14．（2024上·河北邢臺·高三統(tǒng)考期末）等差數(shù)列前13項和為91，正項等比數(shù)列滿足，則．【答案】13【詳解】由題知，，解得，所以，所以.故答案為：1315．（2024上·云南昆明·高二昆明市第三中學校考期末）數(shù)學家楊輝在其專著《詳解九章算術法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數(shù)列．其中二階等差數(shù)列是一個常見的高階等差數(shù)列，如數(shù)列2，4，7，11，16從第二項起，每一項與前一項的差組成的新數(shù)列2，3，4，5是等差數(shù)列，則稱數(shù)列2，4，7，11，16為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前六項分別為1，3，6，10，15，21，則的最小值為．【答案】【詳解】數(shù)列的前六項分別為1，3，6，10，15，21，依題知，，，，，疊加可得：，整理得，當，，滿足，所以，所以，當且僅當時，即，時等號成立，又，所以等號取不到，所以最小值在時取得，當時，，所以最小值為.故答案為：16．（2024上·江蘇·高二期末）已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推.（1）這個數(shù)列的第211項為；（2）設該數(shù)列的前n項和為，則.（保留冪形式）【答案】1【詳解】對數(shù)列進行分組如下：第一組：20，1個數(shù)；第二組:20，21，2個數(shù)；第三組:20，21，22，3個數(shù)；…；第k+1組:20，21，22，…，2k，k+1個數(shù).（1）由，可得，且，所以第211項是第21組的第1個數(shù)，即20=1.（2）該數(shù)列前k組的項數(shù)和為，當k=44時，，第組的和為，所以前k組的和為，故答案為：1；四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2024上·廣東清遠·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前項和為，．(1)求的通項公式．(2)是否存在正整數(shù)使，，成等比？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；【詳解】（1）當時，，當時，，又符合，所以的通項公式為.（2）存在，理由如下：設存在，使，，成等比，則所以：解得：或（舍去）.所以：可使，，成等比.18．（2024·全國·高二假期作業(yè)）在等差數(shù)列中，.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設的公差為，則解得所以.（2）（方法一）.（方法二）當為偶數(shù)時，當為奇數(shù)時，.綜上，19．（2024上·重慶·高二重慶南開中學?？计谀┮阎炔顢?shù)列滿足：，.(1)求；(2)若，求數(shù)列的前20項的和.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以，所以，（2）設數(shù)列的前項和為，由（1）可知，所以．20．（2024上·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學?？茧A段練習）在單調(diào)遞增的等比數(shù)列中，成等差數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)若是等比數(shù)列的前項和，判斷是否成等差數(shù)列并說明理由.【答案】(1)(2)是，理由見解析【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為，因為成等差數(shù)列，所以即，解得或.當時，單調(diào)遞減，不符合題意；當時，單調(diào)遞增，符合題意.所以.（2）成等差數(shù)列，理由如下：因為，所以，因為，所以，即，所以成等差數(shù)列.21．（2024·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列，若，且．(1)求證：是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；(2)若，且數(shù)列的前n項和為，不等式對任意的正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)證明見解析，(2)【詳解】（1），，又，是首項