第08講 排列組合（十五大題型）（解析版）

第08講排列組合【題型歸納目錄】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、排列的概念1、排列的定義：一般地，從n個(gè)不同的元素中取出m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）排列的定義中包括兩個(gè)基本內(nèi)容，一是“取出元素”，二是“按照一定的順序排列”．（2）從定義知，只有當(dāng)元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時(shí)，才是同一個(gè)排列．（3）如何判斷一個(gè)具體問題是不是排列問題，就要看從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后，再安排這m個(gè)元素時(shí)是有順序還是無順序，有順序就是排列，無順序就不是排列．知識(shí)點(diǎn)二：排列數(shù)1、排列數(shù)的定義從個(gè)不同元素中，任?。ǎ﹤€(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從個(gè)元素中取出元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示．知識(shí)點(diǎn)詮釋：“排列”和“排列數(shù)”是兩個(gè)不同的概念，一個(gè)排列是指“從n個(gè)不同的元素中，任取m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列”，它不是一個(gè)數(shù)，而是具體的一個(gè)排列（也就是具體的一件事）；2、排列數(shù)公式，其中n，m∈N+，且m≤n．知識(shí)點(diǎn)詮釋：公式特征：第一個(gè)因數(shù)是，后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)少1，最后一個(gè)因數(shù)是，共有個(gè)因數(shù)．知識(shí)點(diǎn)三：階乘表示式1、階乘的概念：把正整數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘．表示：，即．規(guī)定：．2、排列數(shù)公式的階乘式：所以．知識(shí)點(diǎn)四：排列的常見類型與處理方法1、相鄰元素捆綁法2、相離問題插空法3、元素分析法4、位置分析法知識(shí)點(diǎn)五：組合1、定義：一般地，從個(gè)不同元素中取出（）個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）從排列與組合的定義可知，一是“取出元素”；二是“并成一組”，“并成一組”即表示與順序無關(guān)．排列與元素的順序有關(guān)，而組合與元素的順序無關(guān)，這是它們的根本區(qū)別．（2）如果兩個(gè)組合中的元素相同，那么不管元素的順序怎樣都是相同的組合；只有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同時(shí)，才是不同的組合．因此組合問題的本質(zhì)是分組問題，它主要涉及元素被取到或未被取到．知識(shí)點(diǎn)六：組合數(shù)及其公式1、組合數(shù)的定義：從個(gè)不同元素中取出（）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)．記作．知識(shí)點(diǎn)詮釋：“組合”與“組合數(shù)”是兩個(gè)不同的概念：一個(gè)組合是指“從n個(gè)不同的元素中取出m（m≤n）個(gè)元素并成一組”，它不是一個(gè)數(shù)，而是具體的一件事；組合數(shù)是指“從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)”，它是一個(gè)數(shù)．2、組合數(shù)公式：（1）（、，且）（2）（、，且）知識(shí)點(diǎn)詮釋：上面第一個(gè)公式一般用于計(jì)算，但當(dāng)數(shù)值、較大時(shí)，利用第二個(gè)式子計(jì)算組合數(shù)較為方便，在對(duì)含有字母的組合數(shù)的式子進(jìn)行變形和論證時(shí)，常用第二個(gè)公式．知識(shí)點(diǎn)七：組合數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：（、，且）性質(zhì)2：（、，且）知識(shí)點(diǎn)詮釋：規(guī)定：．知識(shí)點(diǎn)八、組合問題常見題型（1）“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?）“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的題型：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直接法和間接法都可以求解，但通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理．（3）分堆問題①平均分堆，其分法數(shù)為：．②分堆但不平均，其分法數(shù)為．（4）定序問題．對(duì)于某些元素的順序固定的排列問題，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在總位置中選出定序元素的位置而不參加排列，然后對(duì)其他元素進(jìn)行排列．（5）相同元素分組問題用“隔板法”：【典型例題】題型一：與排列數(shù)有關(guān)的運(yùn)算【例1】（2024·福建·高二校聯(lián)考期末）可表示為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】，故選：B.【變式1-1】（2024·北京大興·高二統(tǒng)考期末）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由排列數(shù)計(jì)算公式可得，解得或.由于且，故.故選：C.【變式1-2】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【解析】因?yàn)?，則，整理可得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意．故選：C.題型二：組合概念及組合數(shù)公式【例2】（2024·黑龍江雙鴨山·高二雙鴨山一中?？茧A段練習(xí)）（

）A．110 B．98 C．124 D．148【答案】A【解析】.故選：A.【變式2-1】（2024·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學(xué)?？计谀┮阎瑒t可能取值為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】因?yàn)?，則或，解得或.故選：D.【變式2-2】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）使不等式（n為正整數(shù)）成立的的取值不可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，為正整數(shù)，，在中，為正整數(shù)，，因?yàn)?，則有，即，解得，因此有，為正整數(shù)，所以的取值可以是或或．故選：D．題型三：排列的定義及其理解【例3】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）下列問題是排列問題的是（

）A．從10名同學(xué)中選取2名去參加知識(shí)競賽，共有多少種不同的選取方法？B．10個(gè)人互相通信一次，共寫了多少封信？C．平面上有5個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，這5個(gè)點(diǎn)最多可確定多少條直線？D．從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)相加，其結(jié)果共有多少種？【答案】B【解析】選項(xiàng)A：從10名同學(xué)中選取2名去參加知識(shí)競賽，選出的2人并未排序，因而不是排列問題，不合題意；選項(xiàng)B：10個(gè)人互相通信一次，選出2人要分出寄信人和收信人，是排列問題，適合題意；選項(xiàng)C：平面上有5個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，從中任選2個(gè)點(diǎn)即可確定1條直線，這2個(gè)點(diǎn)不分順序.因而不是排列問題，不合題意；選項(xiàng)D：從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)數(shù)字相加即得1個(gè)結(jié)果，這2個(gè)數(shù)字不分順序，因而不是排列問題，不合題意.故選：B．【變式3-1】（多選題）（2024·江西新余·高二?？茧A段練習(xí)）下列選項(xiàng)中，屬于排列問題的是（

）A．從六名學(xué)生中選三名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽，共有多少種選法B．有十二名學(xué)生參加植樹活動(dòng)，要求三人一組，共有多少種分組方案C．從，，，中任選兩個(gè)數(shù)做指數(shù)運(yùn)算，可以得到多少個(gè)冪D．從，，，中任取兩個(gè)數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，可以得到多少個(gè)不同的點(diǎn)【答案】ACD【解析】對(duì)于A項(xiàng)：從六名學(xué)生中選三名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽，共有多少種選法屬于排列問題，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)：有十二名學(xué)生參加植樹活動(dòng)，要求三人一組，可分為四組，三人一組無先后順序，不屬于排列問題，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)：從，，，中任取兩個(gè)數(shù)進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算，可以得到多少個(gè)冪屬于排列問題，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)：從，，，中任取兩個(gè)數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，可以得到多少個(gè)點(diǎn)屬于排列問題，故D項(xiàng)正確.故選：ACD.【變式3-2】（多選題）（2024·浙江嘉興·高二平湖市當(dāng)湖高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列問題屬于排列問題的是（

）A．從6人中選2人分別去游泳和跳繩B．從10人中選2人去游泳C．從班上30名男生中選出5人組成一個(gè)籃球隊(duì)D．從數(shù)字5，6，7，8中任取三個(gè)數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)【答案】AD【解析】對(duì)于A，從6個(gè)人中選2人分別去游泳和跳繩，選出的2人有分工的不同，是排列問題；對(duì)于B，從10個(gè)人中選2人去游泳，與順序無關(guān)，不是排列問題；對(duì)于C，從班上30名男生中選出5人組成一個(gè)籃球隊(duì)，與順序無關(guān)，不是排列問題；對(duì)于D，從數(shù)字5，6，7，8中任取三個(gè)數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)字有順序性，是排列問題．故選：AD題型四：組合的定義及其理解【例4】（多選題）（2024·高二單元測試）下列是組合問題的是（

）A．平面上有5個(gè)點(diǎn)，其中任意三個(gè)點(diǎn)不共線，這5個(gè)點(diǎn)最多可確定多少條直線？B．10支球隊(duì)以單循環(huán)進(jìn)行比賽（每兩隊(duì)比賽一次），共進(jìn)行多少場次？C．從10個(gè)人中選出3個(gè)為代表去開會(huì)，有多少種選法？D．從10個(gè)人中選出3個(gè)為不同學(xué)科的課代表，有多少種選法？【答案】ABC【解析】A是組合問題，因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，與點(diǎn)的順序無關(guān)；B是組合問題，因?yàn)槊績蓚€(gè)隊(duì)比賽一次，并不需要考慮誰先誰后，沒有順序的區(qū)別；C是組合問題，因?yàn)槿齻€(gè)代表之間沒有順序的區(qū)別；D是排列問題，因?yàn)槿齻€(gè)人中，擔(dān)任哪一科的課代表是有順序區(qū)別的．故選:ABC．【變式4-1】（2024·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學(xué)?？计谀┫铝兴膫€(gè)問題屬于組合問題的是（

）A．從名志愿者中選出人分別參加導(dǎo)游和翻譯的工作B．從、、、這個(gè)數(shù)字中選取個(gè)不同的數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù)C．從全班同學(xué)中選出名同學(xué)參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式D．從全班同學(xué)中選出名同學(xué)分別擔(dān)任班長、副班長【答案】C【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，從名志愿者中選出人分別參加導(dǎo)游和翻譯的工作，將人選出后，還要安排導(dǎo)游或翻譯的工作，與順序有關(guān)，這個(gè)問題為排列問題；對(duì)于B選項(xiàng)，從、、、這個(gè)數(shù)字中選取個(gè)不同的數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù)，選出三個(gè)數(shù)字之后，還要將這三個(gè)數(shù)安排至個(gè)位、十位、百位這三個(gè)數(shù)位，與順序有關(guān)，這個(gè)問題為排列問題；對(duì)于C選項(xiàng)，從全班同學(xué)中選出名同學(xué)參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式，只需將三名同學(xué)選出，與順序無關(guān)，這個(gè)問題為組合問題；對(duì)于D選項(xiàng)，從全班同學(xué)中選出名同學(xué)分別擔(dān)任班長、副班長，將人選出后，還要安排至班長、副班長兩個(gè)職務(wù)，與順序有關(guān)，這個(gè)問題為排列問題.故選：C.【變式4-2】（2024·山西晉中·高二校考期末）下列問題中不是組合問題的是（

）A．10個(gè)朋友聚會(huì)，每兩人握手一次，一共握手多少次B．平面上有9個(gè)不同點(diǎn)，它們中任意三點(diǎn)不共線，連接任意兩點(diǎn)可以構(gòu)成多少條直線C．集合的含有三個(gè)元素的子集有多少個(gè)D．從高二（6）班的50名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會(huì)的獨(dú)唱、獨(dú)舞節(jié)目，有多少種選法【答案】D【解析】因?yàn)閮扇宋帐譀]有順序之分，所以選項(xiàng)A問題是組合問題；因?yàn)閮牲c(diǎn)組成直線沒有順序之分，所以選項(xiàng)B問題是組合問題；因?yàn)榧显鼐哂袩o序性，所以選項(xiàng)C問題是組合問題；因?yàn)檫@2名學(xué)生參加的節(jié)目有順序之分，所以選項(xiàng)D問題不是組合問題，故選：D題型五：位置分析法【例5】（2024·北京西城·高二期末）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)期間，甲?乙?丙3名運(yùn)動(dòng)員與4名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰?丙不排在兩端，則不同的排法種數(shù)有（

）A．720 B．960 C．1120 D．1440【答案】B【解析】把甲乙捆綁成一個(gè)元素，則題設(shè)中的7個(gè)元素變?yōu)?個(gè)元素，先排除去丙的5個(gè)元素，共有種排法，再在中間的4個(gè)空隙中，插入丙，共有種插法，所以甲與乙相鄰?丙不排在兩端，則不同的排法種數(shù)有種.故選：B.【變式5-1】（2024·吉林·高二長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）4個(gè)人排成一排，則甲不站兩邊的站法有（）A．8 B．10C．12 D．24【答案】C【解析】甲不站兩邊的有種方法，故選：C【變式5-2】（2024·廣東汕頭·高二?？茧A段練習(xí)）小李和小張等5名同學(xué)相約去旅游，在某景點(diǎn)排成一排合影留念，則小李不在兩端，且小張不在正中間位置的排法數(shù)是（

）A．84 B．60 C．48 D．36【答案】B【解析】若小李在正中間，則排法數(shù)為；若小李不在正中間，也不在兩端有種，然后小張有種排法，剩下的三人全排列有種.所以，所求排法數(shù)為.故選：B題型六：相鄰問題捆綁法【例6】（2024·遼寧·高二盤錦市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）現(xiàn)有7本不同的書，2本文學(xué)類，2本理科類，3本語言類，把它們排成一排，同一類的書相鄰的排法有種.【答案】144【解析】采用捆綁法，將同一類的書放在一起后排列可得.故答案為：144.【變式6-1】（2024·上海松江·高二上海市松江二中?？茧A段練習(xí)）中國古代儒家提出的“六藝”指：禮、樂、射、御、書、數(shù).某校國學(xué)社團(tuán)預(yù)在周六開展“六藝”課程講座活動(dòng)，周六這天準(zhǔn)備排課六節(jié)，每藝一節(jié)，則“禮”與“樂”不能相鄰，“射”和“御”要相鄰的排法種數(shù)是.【答案】144【解析】由題意“樂”與“書”不能相鄰，“射”和“御”要相鄰，可將“射”和“御”進(jìn)行捆綁看成一個(gè)整體，共有種，然后與“禮”?“數(shù)”進(jìn)行排序，共有種，最后將“樂”與“書”插入4個(gè)空即可，共有種，由于是分步進(jìn)行，所以共有種.故答案為：144.【變式6-2】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）五人并排站成一排，甲、乙必須相鄰且甲在乙的左邊，則不同的站法共有種．【答案】24【解析】把甲在乙的左邊進(jìn)行捆綁相當(dāng)于一人，與剩下的三人全排列，不同的站法共有，故答案為：24題型七：不相鄰問題插空法【例7】（2024·貴州畢節(jié)·高二校考階段練習(xí)）甲、乙、丙、丁四人去電影院看電影，有4張連排的座位，要求甲、乙兩人不相鄰而坐，則不同安排方法的種數(shù)為．【答案】12【解析】4張連排的座位，甲、乙兩人不相鄰，先將除甲、乙外的2人進(jìn)行全排列，有種排法，再將甲、乙兩人插空，有種排法，則共有種不同的排法.故答案為：12【變式7-1】（2024·黑龍江齊齊哈爾·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）8人排成一排照相，A、B、C三人互不相鄰，D、E也不相鄰，不同的排法共有種．【答案】11520【解析】A、B、C三人互不相鄰的排法共有種，其中D、E相鄰的排法有種，所以符合條件的排法共有種．故答案為：11520【變式7-2】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）顯示屏上的七個(gè)小孔排成一排，每個(gè)小孔可以顯示紅、黃、藍(lán)三種顏色，或不顯示．若每次由其中三個(gè)小孔顯示一組紅、黃、藍(lán)三色信號(hào)，但相鄰的兩個(gè)小孔不同時(shí)顯示，則該顯示屏能夠顯示的不同信號(hào)數(shù)為．【答案】60【解析】先將不顯示信號(hào)的排成一列，排好后有5個(gè)空位，在5個(gè)空位中任取3個(gè)，有種取法，即7個(gè)小孔中，每次有不相鄰的3個(gè)小孔顯示的情況有10種，又因3個(gè)小孔顯示的顏色不相同，則3個(gè)小孔共有種情況；則共有種不同的結(jié)果；故答案為：60．題型八：定序問題【例8】（2024·江蘇淮安·高二江蘇省鄭梁梅高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）由0到9這10個(gè)自然數(shù)組成的三位數(shù)中，各位數(shù)字按嚴(yán)格遞增（如“267”）順序排列的數(shù)的個(gè)數(shù)是.【答案】【解析】先不考慮0的情況，則從這9個(gè)數(shù)字中按題中條件選出3個(gè)數(shù)字，共種情形，再考慮有0時(shí)，不可能組成嚴(yán)格遞增的數(shù)，綜上各位數(shù)字按嚴(yán)格遞增（如“267”）順序排列的數(shù)的個(gè)數(shù)是個(gè).故答案為：.【變式8-1】（2024·北京·高二東直門中學(xué)?？计谀?名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的順序一定，則有種不同的排法．【答案】360【解析】2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的順序一定，∴共有種不同排法，故答案為：360.【變式8-2】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)字0，1，2，3，4，5可組成個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，在這些四位數(shù)中，按從小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列，則第85個(gè)數(shù)為．【答案】3002301【解析】法一(直接法)：(個(gè))．法二(間接法)：(個(gè))．1在首位的數(shù)的個(gè)數(shù)為；2在首位且0在第二位的數(shù)的個(gè)數(shù)為；2在首位且1在第二位的數(shù)的個(gè)數(shù)為；以上四位數(shù)共有84個(gè)，故第85個(gè)數(shù)是2301.故答案為：300，2301.【變式8-3】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知參加某項(xiàng)活動(dòng)的六名成員排成一排合影留念，且甲乙兩人均在丙領(lǐng)導(dǎo)人的同側(cè)，則不同的排法共有種．【答案】480【解析】甲乙丙的三個(gè)人順序種，其中甲乙兩人均在丙的同側(cè)有4種，在丙的兩側(cè)有2種，故甲乙兩人均在丙領(lǐng)導(dǎo)人的同側(cè)占總數(shù)的，則甲乙兩人均在丙領(lǐng)導(dǎo)人的同側(cè)，則不同的排法共有種．故答案為：480題型九：分組分配問題【例9】（2024·河南南陽·高二南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某校安排高一年級(jí)（1）～（5）班共5個(gè)班去A，B，C，D四個(gè)勞動(dòng)教育基地進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)班去一個(gè)基地，每個(gè)基地至少安排一個(gè)班，則高（1）班被安排到A基地的排法總數(shù)為種．【答案】60【解析】5個(gè)班去A，B，C，D四個(gè)勞動(dòng)教育基地進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)班去一個(gè)基地，每個(gè)基地至少安排一個(gè)班，如果是只有高一（1）班被安排到A基地，那么總的排法是種，如果是還有一個(gè)班和高一（1）班一起被安排到A基地，那么總的排法是種，所以高一（1）班被安排到A基地的排法總數(shù)為種．故答案為：60.【變式9-1】（2024·江西上饒·高二?？茧A段練習(xí)）杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日舉行，競賽項(xiàng)目設(shè)置為40個(gè)大項(xiàng)，61個(gè)分項(xiàng)，481個(gè)小項(xiàng)．甲、乙、丙、丁、戊、己6位記者為亞運(yùn)會(huì)的3個(gè)項(xiàng)目寫新聞稿，每個(gè)項(xiàng)目至少有1人寫，且每個(gè)人只寫1份稿件，甲、乙兩位記者不能寫一樣的項(xiàng)目，則共有種分配方法．【答案】390【解析】法一：①6人分成的形式．若甲、乙兩人均單人成組，則剩下四人組成一組，只有1種分組方法；若甲、乙兩人中有一人與余下四人中的三人組成一組，余下一人單獨(dú)成組，則有（種）分組方法，所以該種分組形式共有（種）分組方法．②6人分成的形式．若甲、乙兩人均有搭檔，共有（種）分組方法；若甲、乙中有一人無搭檔，共有（種）分組方法，所以該種分組形式共有（種）分組方法．③6人分成的形式，共有（種）分組方法．所以共有（種）分組方法，共有（種）分配方法．法二：①6人分成的形式，則共有（種）分組方式，若甲乙同組，則還需選擇兩人成組，共有（種）選法，故共有（種）分組方式．②6人分成的形式，則共有（種）分組方式，其中甲乙同組，剩下四人還可以分為的形式，共有（種）分法，或者分為的形式，共有（種）分法，故共有（種）分組方式．③6人分成的形式，共有（種）分組方式，其中甲乙同組，剩下四人還可以分為的形式，所以共有（種）分組方式，故共有（種）分組方式．綜上，共有（種）分組方式，共有（種）分配方法．故答案為：390.【變式9-2】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·高二統(tǒng)考期末）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)召開后，4位同學(xué)到三個(gè)體育場館做志愿者服務(wù)活動(dòng)，每個(gè)體育場館至少一人，每人只能去一個(gè)體育場館，則不同的分配方法總數(shù)是．【答案】36【解析】由題意可知必有一個(gè)場館是兩名志愿者，先將四名同學(xué)分成三組，即每組各有人，再進(jìn)行排列，則有種方法.故答案為：【變式9-3】（2024·北京·高二北京市第十二中學(xué)?？计谀﹤€(gè)相同的籃球，分給甲、乙、丙三位同學(xué)（每人至少分得一個(gè)），不同分法的總數(shù)為．【答案】【解析】問題等價(jià)于：在個(gè)相同的籃球中間形成的個(gè)空位中插入兩塊板，所以，不同的分法種數(shù)為種.故答案為：.題型十：隔板法【例10】（2024·河北保定·高二校聯(lián)考期末）現(xiàn)有6個(gè)三好學(xué)生名額，計(jì)劃分到三個(gè)班級(jí)，則恰有兩個(gè)班分到三好學(xué)生名額的概率為.【答案】【解析】將6個(gè)三好學(xué)生名額分到三個(gè)班級(jí)，有3種類型：第一種是只有一個(gè)班分到名額，有3種情況；第二種是恰好有兩個(gè)班分到名額，由隔板法得有種情況，第三種是三個(gè)班都分到了名額，由隔板法得有種情況，則恰有兩個(gè)班分到三好學(xué)生名額的概率為．故答案為：．【變式10-1】（2024·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校校考階段練習(xí)）有本相同的畫冊(cè)要分給個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友至少一本，則不同的分法種數(shù)為（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】將本相同的畫冊(cè)要分給個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友至少一本，只需在本相同的畫冊(cè)形成的個(gè)空位中（不包括兩端的空位）插入塊板即可，所以，不同的分法種數(shù)為種.故答案為：.【變式10-2】（2024·重慶·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若方程：，則方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為.【答案】35【解析】原問題相當(dāng)于將8個(gè)相同的小球裝入4個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子中至少有1個(gè)小球，采用隔板法，將8個(gè)小球排成一排，在其中的7個(gè)空位上插入3個(gè)隔板即可，故共有種.故答案為：35.題型十一：先選后排【例11】（2024·江蘇·泰州中學(xué)高二階段練習(xí)）某次燈謎大會(huì)共設(shè)置6個(gè)不同的謎題，分別藏在如圖所示的6只燈籠里，每只燈籠里僅放一個(gè)謎題．并規(guī)定一名參與者每次只能取其中一串最下面的一只燈籠并解答里面的謎題，直到答完全部6個(gè)謎題，則一名參與者一共有___________種不同的答題順序．【答案】60【解析】將6只燈籠全排，即，因?yàn)槊看沃荒苋∑渲幸淮钕旅娴囊恢粺艋\內(nèi)的謎題，每次取燈的順序確定，取謎題的方法有．故答案為：60【變式11-1】（2024·江西·浮梁縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）標(biāo)號(hào)為0到9的10瓶礦泉水．（1）從中取4瓶，恰有2瓶上的數(shù)字相鄰的取法有多少種？（2）把10個(gè)空礦泉水瓶掛成如下4列的形式，作為射擊的靶子，規(guī)定每次只能射擊每列最下面的一個(gè)（射中后這個(gè)空瓶會(huì)掉到地下），把10個(gè)礦泉水瓶全部擊中有幾種不同的射擊方案？（3）把擊中后的礦泉水瓶分送給A、B、C三名垃圾回收入員，每個(gè)瓶子1角錢．垃圾回收入員賣掉瓶子后有幾種不同的收入結(jié)果？【解析】試題分析：（1）取4張紅卡，其中2張連在一起，組成3個(gè)組合卡，6張白卡排成一排，插入3個(gè)組合卡，有種方法，即可得出結(jié)論；（2）一種射擊方案對(duì)應(yīng)于從0至9共十個(gè)數(shù)字中取2個(gè)、3個(gè)、3個(gè)、2個(gè)數(shù)字的組合，因?yàn)槊拷M數(shù)的數(shù)字大小是固定的，數(shù)字小的掛下面，可得結(jié)論；（3）由于A、B、C所得錢數(shù)與瓶子編號(hào)無關(guān)，他們所得錢數(shù)只與所得瓶子個(gè)數(shù)有關(guān)，即可得出結(jié)論試題解析：（1）取4張紅卡，其中有2張連在一起，組成3個(gè)組合卡，6張白卡排成一排，插入3個(gè)組合卡，有種方法，然后在卡片上從左到右依次編號(hào)，取出紅色卡，一種插法對(duì)應(yīng)一種取數(shù)字的方法，所以共有35種．（2）一種射擊方案對(duì)應(yīng)于從0至9共十個(gè)數(shù)字中取2個(gè)、3個(gè)、3個(gè)、2個(gè)數(shù)字的組合，因?yàn)槊拷M數(shù)的數(shù)字大小是固定的，數(shù)字小的掛下面．所以共有．（3）由于A、B、C所得錢數(shù)與瓶子編號(hào)無關(guān)，他們所得錢數(shù)只與所得瓶子個(gè)數(shù)有關(guān)．所以．題型十二：分堆問題【例12】（2024·山西呂梁·高二山西省交城中學(xué)校統(tǒng)考期末）已知有9本不同的書．(1)分成三堆，每堆3本，有多少種不同的分堆方法？(2)分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少種不同的分堆方法？（用數(shù)字作答）【解析】（1）6本書平均分成3堆，所以不同的分堆方法的種數(shù)為；（2）從9本書中，先取2本作為一堆，再從剩下的7本中取3本作為一堆，最后4本作為一堆，所以不同的分堆方法的種數(shù)為．【變式12-1】（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知有6本不同的書.(1)分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？【解析】（1）6本書平均分成3堆，所以不同的分堆方法的種數(shù)為.（2）從6本書中，先取1本作為一堆，再從剩下的5本中取2本作為一堆，最后3本作為一堆，所以不同的分堆方法的種數(shù)為.【變式12-2】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）有6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的分法？(1)甲分1本、乙分2本、丙分3本；(2)一人分4本，另兩人各分1本.【解析】（1）依題意分書可分為以下三步：第一步：先從6本里面選一本給甲，有種分法；第二步：再從剩下的5本里面選兩本給乙，有種分法；第三步：將剩下的三本給丙，有種分法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知符合題意的分法有種.（2）依題意分書可分為以下兩大步：第一步：先從6本里面選4本，再從3人里面選1人將剛剛選取的4本分給他，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有種分法；第二步：先從剩下的兩本中選一本給剩下兩人中的其中一人，最終將最后一本給剩下一人,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有種分法.因此由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知符合題意的分法有種.題型十三：間接法【例13】（2024·海南·三亞華僑學(xué)校高二階段練習(xí)）從5名男生和4名女生中選出4人去參加座談會(huì)，問：（1）如果4人中男生和女生各選2人，有多少種選法？（2）如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，有多少種選法？【解析】解：（1）根據(jù)題意，從5名男生中選出2人，有種選法，從4名女生中選出2人，有種選法，則4人中男生和女生各選2人的選法有種；（2）先在9人中任選4人，有種選法，其中甲乙都沒有入選，即從其他7人中任選4人的選法有種，則甲與女生中的乙至少要有1人在內(nèi)的選法有種；【變式13-1】（2024·江蘇·連云港市贛馬高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）現(xiàn)有9名學(xué)生，其中女生4名，男生5名．（1）從中選2名代表，必須有女生的不同選法有多少種？（2）從中選出男、女各2名的不同選法有多少種？（3）從中選4人分別擔(dān)任四個(gè)不同崗位的志愿者，每個(gè)崗位一人，且男生中的甲與女生中的乙至少有1人在內(nèi)，有多少種安排方法？【解析】（1）從中選2名代表，沒有女生的選法有種，所以從中選2名代表，必須有女生的不同選法有種．（2）從中選出男、女各2名的不同選法有種．

（3）男生中的甲與女生中的乙至少有1人被選的不同選法有種，將這4人安排到四個(gè)不同的崗位共有種方法，故共有種安排方法．題型十四：多面手問題【例14】某出版社的11名工人中，有5人只會(huì)排版，4人只會(huì)印刷，還有2人既會(huì)排版又會(huì)印刷，現(xiàn)從11人中選4人排版，4人印刷，有多少種不同的選法？【解析】試題分析：根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這個(gè)問題可按只會(huì)印刷的四人作為分類標(biāo)準(zhǔn)：第一類：只會(huì)印刷的4人全被選出，有種；第二類：從只會(huì)印刷的4人中選出3人，有種；第三類：從只會(huì)印刷的4人中選出2人，即可．試題解析：將只會(huì)印刷的4人作為分類標(biāo)準(zhǔn)，將問題分為三類：第一類：只會(huì)印刷的4人全被選出，有種；第二類：從只會(huì)印刷的4人中選出3人，有種4；第三類：從只會(huì)印刷的4人中選出2人，有種．所以共有（種）．考點(diǎn)：分類加法計(jì)數(shù)原理、組合．【例15】（1）把本不同的書分給位學(xué)生，每人至少一本，有多少種方法？（2）由這個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)由多少個(gè)？（3）某旅行社有導(dǎo)游人，其中人只會(huì)英語，人只會(huì)日語，其余人既會(huì)英語，也會(huì)日語，現(xiàn)從中選人，其中人進(jìn)行英語導(dǎo)游，另外人進(jìn)行日語導(dǎo)游，則不同的選擇方法有多少種？【解析】（1）把本不同的書分給位學(xué)生，每人至少一本，有和兩類分配方式為時(shí)，共有：種分法分配方式為時(shí)，共有：種分法由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有：種分法（2）若個(gè)位是，共有：個(gè)若個(gè)位不是，共有：個(gè)由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有：個(gè)（3）若只會(huì)英語的人中選了人作英語導(dǎo)游，共有：種選法若只會(huì)英語的人中選了人作英語導(dǎo)游，共有：種選法若只會(huì)英語的人中選了人作英語導(dǎo)游，共有：種選法由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有：種選法題型十五：幾何問題【例16】（2024·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？计谀┤绻粭l直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”，在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是.【答案】36【解析】如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么，這一組直線與平面就構(gòu)成一個(gè)正交線面對(duì).如下圖所示：①對(duì)于正方體的每一條棱，都有個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有個(gè)；②對(duì)于正方體的每一條面對(duì)角線（如，則平面），均有一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有個(gè).綜上所述，正方體中的“正交線面對(duì)”共有個(gè).故答案為.【變式16-1】（2024·重慶·高二統(tǒng)考期末）已知直線中的、、是取自集合中的3個(gè)不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角．那么這樣的直線的條數(shù)是．【答案】43【解析】設(shè)直線的傾斜角為θ，則．不妨設(shè)，則．（1）時(shí)，a有三種取法，b有三種取法，排除2個(gè)重復(fù)（與為同一直線），故這樣的直線有（條）；（2）時(shí)，則a有三種取法，b有三種取法，c有四種取法，且其中任兩條直線均不相同，故這樣的直線有（條）．從而，符合要求的直線有（條）．故答案為：43．【變式16-2】（2024·上海寶山·高二上海交大附中?？计谀┱襟w的8個(gè)頂點(diǎn)中，選取4個(gè)共面的頂點(diǎn)，有種不同選法【答案】12【解析】從任意一個(gè)側(cè)棱出發(fā)，其它6個(gè)頂點(diǎn)中任選2個(gè)點(diǎn)都有3種共面的情況，所以，所有共面的情況有種，而每條棱均重復(fù)計(jì)數(shù)一次，綜上，正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中，選取4個(gè)共面的頂點(diǎn)，有種.故答案為：12【變式16-3】（2024·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州中學(xué)?？计谀┮阎本€中的a，b，c是取自集合中的3個(gè)不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，那么，這樣的直線的條數(shù)是．【答案】11【解析】設(shè)傾斜角為，，則，不妨設(shè)，則，若，a有2種取法，b有2種取法，排除1個(gè)重復(fù)(與)，故這樣的直線有條；若，a有2種取法，b有2種取法，c有2種取法，且其中任兩條直線均不相同，故這樣的直線有條，從而，符合要求的直線有條．故答案為：11．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·湖北武漢·高二武漢市東湖中學(xué)?？迹樨瀼匚拿餍@，東湖中學(xué)每周安排5名學(xué)生志愿者參加文明監(jiān)督崗工作，若每周只值3天班，每班1人，每人每周最多值一班，則不同的排班種類為（

）A．12 B．45 C．60 D．90【答案】C【解析】5名志愿者參加文明監(jiān)督崗工作，每周只值3天班，每班1人，每人每周最多值一班，則不同的排班種類為：.故選：C.2．（2024·新疆伊犁·高二統(tǒng)考）為配合垃圾分類在學(xué)校的全面展開，某學(xué)校舉辦了一次垃圾分類知識(shí)比賽活動(dòng).高一?高二?高三年級(jí)分別有1名?2名?3名同學(xué)獲一等獎(jiǎng).若將上述獲一等獎(jiǎng)的6名同學(xué)排成一排合影，要求同年級(jí)同學(xué)排在一起，則不同的排法共有（

）A．18種 B．36種 C．72種 D．144種【答案】C【解析】由題意可得，故選:C3．（2024·廣東江門·高二?？迹┯脭?shù)字1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．120 B．86 C．72 D．60【答案】D【解析】依題意，組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選：D4．（2024·吉林·高二校聯(lián)考期末）計(jì)算的值是（

）A．62 B．102 C．152 D．540【答案】A【解析】故選：A5．（2024·江西上饒·高二?？茧A段練習(xí)）五一小長假期間，旅游公司決定從6輛旅游大巴A?B?C?D?E?F中選出4輛分別開往紫蒙湖?美林谷?黃崗梁?烏蘭布統(tǒng)四個(gè)景區(qū)承擔(dān)載客任務(wù)，要求每個(gè)景區(qū)都要有一輛大巴前往，每輛大巴只開往一個(gè)景區(qū)，且這6輛大巴中A?B不去烏蘭布統(tǒng)，則不同的選擇方案共有（

）A．360 B．240 C．216 D．168【答案】B【解析】這6輛旅游大巴，A?B不去烏蘭布統(tǒng)，則不同的選擇方案共有種.故選：B.6．（2024·河南·高二統(tǒng)考）從5名學(xué)生中選出4名分別參加A，B，C，D四科競賽，其中甲不能參加A，B兩科競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為（

）A．24 B．48 C．72 D．120【答案】C【解析】從5名學(xué)生中選出4名分別參加A，B，C，D四科競賽，其中甲不能參加A，B兩科競賽，可分為以下幾步：（1）先從5人中選出4人，分為兩種情況：有甲參加和無甲參加．有甲參加時(shí)，選法有：種；無甲參加時(shí)，選法有：種．（2）安排科目有甲參加時(shí)，先排甲，再排其它人．排法有：種．無甲參加時(shí)，排法有種．綜上，．∴不同的參賽方案種數(shù)為72．故選：C．7．（2024·吉林·高二校聯(lián)考期末）為了支援與促進(jìn)邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)發(fā)展，某市教育系統(tǒng)選派了三位男教師和兩位女教師支援新疆，這五名教師被分派到三個(gè)不同地方對(duì)口支援，每位教師只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少去一人，其中兩位女教師分派到同一個(gè)地方的方法種數(shù)為（

）A．18 B．150 C．36 D．54【答案】C【解析】五名教師被分派到三個(gè)不同地方對(duì)口支援，每位教師只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少去一人，分派方案可按人數(shù)分為3，1，1或2，2，1兩種情況，根據(jù)題意兩位女教師分派到同一個(gè)地方，分派方案可分為兩種情況：若兩位女教師分配到同一個(gè)地方，且該地方?jīng)]有男老師，則有：種方法；若兩位女教師分配到同一個(gè)地方，且該地方有一位男老師，則有：種方法；故共有：36種分派方法，故選：．8．（2024·遼寧沈陽·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（

）A．18 B．24 C．30 D．32【答案】C【解析】從到共有條最短路徑，從到共有條路徑，故小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為.故選：C二、多選題9．（2024·四川·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)周六?周天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則（

）A．只有1人未參加服務(wù)的選擇種數(shù)是30種B．恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)是40種C．只有1人未參加服務(wù)的選擇種數(shù)是60種D．恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)是60種【答案】AD【解析】由題意得只有1人未參加服務(wù)，先從5人中選1人，未參加服務(wù)，有種選法，再從余下4人中選2人參加周六服務(wù)，剩余2人參加周日服務(wù)，有種選法，故只有1人未參加服務(wù)的選擇種數(shù)是種，A正確，C錯(cuò)誤；恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)，先從5人中選1人，服務(wù)周六?周天兩天，有種選法，再從余下4人中選1人參加周六服務(wù)，剩余3人選1人參加周日服務(wù)，有種選法，故恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)是種，B錯(cuò)誤，D正確，故選：AD10．（2024·吉林·高二長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）下列有關(guān)排列數(shù)、組合數(shù)的等式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】A選項(xiàng)，，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，根據(jù)組合公式得到，B正確；C選項(xiàng)，，，故，C正確；D選項(xiàng)，，D錯(cuò)誤.故選：BC11．（2024·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末）某班星期一上午要安排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理4節(jié)課，且該天上午總共4節(jié)課，下列結(jié)論正確的是（

）A．若數(shù)學(xué)課不安排在第一節(jié)，則有18種不同的安排方法B．若語文課和數(shù)學(xué)課必須相鄰，且語文課排在數(shù)學(xué)課前面，則有6種不同的安排方法C．若語文課和數(shù)學(xué)課不能相鄰，則有12種不同的安排方法D．若語文課、數(shù)學(xué)課、英語課按從前到后的順序安排，則有3種不同的安排方法【答案】ABC【解析】對(duì)于A，有種排法，故A正確；對(duì)于B，采用捆綁法，有種排法，故B正確；對(duì)于C，采用插空法，有種排法，故C正確；對(duì)于D，有種排法，故D錯(cuò)誤．故選：ABC12．（2024·陜西渭南·高二渭南市華州區(qū)咸林中學(xué)?？茧A段練習(xí)）排列數(shù)恒等于（）A． B． C． D．【答案】BD【解析】，，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故選：BD三、填空題13．（2024·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期末）某單位為葫蘆島市春節(jié)聯(lián)歡會(huì)選送了甲、乙兩個(gè)節(jié)目，節(jié)目組決定在原有節(jié)目單中6個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序保持不變的情況下填加甲乙兩個(gè)節(jié)目，若甲、乙演出順序不能相鄰，那么不同的演出順序的種數(shù)為.（用數(shù)字作答）【答案】42【解析】由已知甲乙2個(gè)節(jié)目不相鄰，排好的6個(gè)節(jié)目相對(duì)順序不變，即把2個(gè)節(jié)目插入6個(gè)節(jié)目形成的7個(gè)空中，共有種.故答案為：42.14．（2024·吉林·高二長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）將5個(gè)數(shù)字5、3個(gè)數(shù)字3排成一列，組成八位數(shù)，共有個(gè)（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】數(shù)字個(gè)數(shù)相當(dāng)于從8位數(shù)字中選3個(gè)作為3，其余數(shù)字都是5，即共有個(gè).故答案為：5615．（2024·上海·高二?？茧A段練習(xí)）若一個(gè)五位數(shù)恰好為“前3個(gè)數(shù)字保持遞減，后3個(gè)數(shù)字保持遞增”（如五位數(shù)“43125”，前3個(gè)數(shù)字“431”保持遞減，后3個(gè)數(shù)字“125”保持遞增），則稱其為“古典數(shù)字”.由1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，古典數(shù)字有個(gè)【答案】6【解析】由1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，前3個(gè)數(shù)字保持遞減，后3個(gè)數(shù)字保持遞增，說明中間數(shù)字為1，在剩余的四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字，按照遞減順序（或遞增順序），僅有一種排列方式放置在首兩位（或末兩位），則剩余兩位數(shù)字排列方式唯一確定，放置在最后兩位（或首兩位），共有：個(gè)，故答案為：6.16．（2024·湖南長沙·高二長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為了弘揚(yáng)我國古代的“六藝文化”，某學(xué)校欲利用每周的社團(tuán)活動(dòng)課開設(shè)“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”六門課程，每周開設(shè)一門，連續(xù)開設(shè)六周，若課程“射”不排在第二周，課程“樂”不排在第五周，則所有可能的排法種數(shù)為【答案】504【解析】“射”不在第二周且“樂”不在第五周的排法可以分為兩類：第一類“射”排在第五周的排法，排法有種，第二類“射”不在第二和第五周且“樂”不在第五周的排法，①若“樂”在第二周，則射有四種選法，然后剩余四項(xiàng)全排列，則共有種排法②若“樂”不在第二周，則“射”與樂共有種選法，然后剩余四項(xiàng)全排列則共有種，由分類加法原理可得總的排法數(shù)為，故答案為：504.四、解答題17．（2024·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）有7個(gè)人分成三排就座，第一排2人，第二排2人，第三排3人，且第一排?第二排只有2個(gè)座位，第三排只有3個(gè)座位.(1)如果甲不能坐第一排，共有多少種不同的坐法？(2)求甲?乙坐在同一排且相鄰的概率.【解析】（1）甲先坐第二排或第三排，再與其他6個(gè)人排列，共有種不同的坐法.（2）第一類：甲?乙先坐第一排或第二排，再與其他5個(gè)人排列，共有種不同的坐法.第二類：先將甲?乙看成一個(gè)整體，坐在第三排，再與其他5個(gè)人排列，共有種不同的坐法.故甲?乙坐在同一排且相鄰的概率為18．（2024·陜西漢中·高二西鄉(xiāng)縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）電影《志愿軍雄兵出