《二項(xiàng)式定理》完整版

1．“楊輝三角”的來歷及規(guī)律楊輝三角展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)，如下表所示：

11

121

1331

1464115101051

1615201561

………………第一頁(yè)，共二十六頁(yè)。二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

展開式的二項(xiàng)式系數(shù)依次是：

從函數(shù)角度看，可看成是以r為自變量的函數(shù),其定義域是：

當(dāng)時(shí)，其圖象是右圖中的7個(gè)孤立點(diǎn)．第二頁(yè)，共二十六頁(yè)。二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

（1）對(duì)稱性

與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等．

這一性質(zhì)可直接由公式得到．圖象的對(duì)稱軸：第三頁(yè)，共二十六頁(yè)。二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值

由于：所以相對(duì)于的增減情況由決定．

第四頁(yè)，共二十六頁(yè)。二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值

由：

二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對(duì)稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最大值。

可知，當(dāng)時(shí)，第五頁(yè)，共二十六頁(yè)。（3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)在二項(xiàng)式定理中，令，則：

這就是說，的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于：同時(shí)由于，上式還可以寫成：這是組合總數(shù)公式．

第六頁(yè)，共二十六頁(yè)。

一般地，展開式的二項(xiàng)式系數(shù)有如下性質(zhì)：

（1）

（2）

（3）當(dāng)時(shí)，

（4）

當(dāng)時(shí)，第七頁(yè)，共二十六頁(yè)。第八頁(yè)，共二十六頁(yè)。楊輝三角課堂練習(xí)：1）已知，那么=

；2）的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是

；3）若的展開式中的第十項(xiàng)和第十一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n=

；第九頁(yè)，共二十六頁(yè)。第十頁(yè)，共二十六頁(yè)。例、若展開式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差

數(shù)列，求（1）展開式中含x的一次冪的項(xiàng)；（2）展開式中所有x的有理項(xiàng)；第十一頁(yè)，共二十六頁(yè)。例5、(1)已知的第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)比為14：3，求展開式中不含x的項(xiàng)。(2)已知的展開式中，第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)比為56：3，求展開式中的常數(shù)項(xiàng)。例4、已知展開式中第2項(xiàng)大于它的相鄰兩項(xiàng)，求x的范圍。第十二頁(yè)，共二十六頁(yè)。第十三頁(yè)，共二十六頁(yè)。例1、計(jì)算：（1）（2）例2、求的展開式中的系數(shù)。例3、求展開式中的常數(shù)項(xiàng)。第十四頁(yè)，共二十六頁(yè)。3、(x+y+z)9中含x4y2z3的項(xiàng)的系數(shù)是__________第十五頁(yè)，共二十六頁(yè)。5.求值：第十六頁(yè)，共二十六頁(yè)。

例3：的展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)。變式引申：1、的展開式中，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是（）A.第4項(xiàng)B.第4、5項(xiàng)C.第5項(xiàng)D.第3、4項(xiàng)2、若展開式中的第6項(xiàng)的系數(shù)最大，則不含x的項(xiàng)等于()A.210B.120C.461D.416第十七頁(yè)，共二十六頁(yè)。例2、在的展開式中，1）系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？2）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；3）求系數(shù)最大的項(xiàng)；4）求系數(shù)最小的項(xiàng)。練習(xí)：第十八頁(yè)，共二十六頁(yè)。第十九頁(yè)，共二十六頁(yè)。第二十頁(yè)，共二十六頁(yè)。例6、已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,則(1)a1+a2+a3+…+a7=_______(2)a1+a3+a5+a7=_________(3)a0+a2+a4+a6=_________賦值法練習(xí):(5)若已知

(1+2x)200=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a200(x-1)200

求a1+a3+a5+a7+…+a199的值。第二十一頁(yè)，共二十六頁(yè)。第二十二頁(yè)，共二十六頁(yè)。第二十三頁(yè)，共二十六頁(yè)。

余數(shù)是1，所以是星期六例4、今天是星期五，那么天后的這一天是星期幾？第二十四頁(yè)，共二十六頁(yè)。例5、求精確到0.001的近似值。變式引申：填空1）除以7的余數(shù)是

；2）除以8的余數(shù)是

。第二十五頁(yè)，共二十六頁(yè)。內(nèi)容總結(jié)1．“楊輝三角”的來歷及規(guī)律。二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對(duì)稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最大值。數(shù)列，求（1）