2023年中考九年級(jí)數(shù)學(xué)訓(xùn)練-二次函數(shù)的三種形式

2023年中考九年級(jí)數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)專題訓(xùn)練一二次函數(shù)的三種形式

一、綜合題

1.已知二次函數(shù)y=χ2-(2k+l)x+k2+k(k>O)

(1)當(dāng)k=4時(shí)，將這個(gè)二次函數(shù)的解析式寫成頂點(diǎn)式；

(2)求證：關(guān)于X的一元二次方程χ2-(2k+l)x+k2+k=O有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

2.求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸.

(1)用配方法:y=3x2-6x+2；

(2)用公式法：y=-5x2+80x-319.

3.如圖，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與%軸交于點(diǎn)A(L0)、8(3,0),與y軸交

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)若點(diǎn)P為拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)F為對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)A?B、P、F為頂點(diǎn)

的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)E是二次函數(shù)第四象限圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作久軸的垂線，交直線BC于點(diǎn)。，求

四邊形AEBD面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).

4.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,AAMB的面積為S.求S關(guān)

于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值.

5.某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利過程.下面的二

次函數(shù)圖象(部分)刻畫了該公司年初以來累積利潤(rùn)S(萬元)與銷售時(shí)間t(月)之間的關(guān)系(即

前t個(gè)月的利潤(rùn)總和S和t之間的關(guān)系).根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問題：

(1)由已知圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo)，求累積利潤(rùn)S(萬元)與時(shí)間t(月)之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求截止到幾月末公司累積利潤(rùn)可達(dá)到30萬元；

(3)求第8個(gè)月公司所獲利潤(rùn)是多少萬元？

6.利用配方法，把下列函數(shù)寫成y=a(x-h)2+k的形式，并寫出它們圖象的開口方向、對(duì)稱軸和

頂點(diǎn)坐標(biāo).

(1)y=-x2+6x+l

(2)y=2χ2-3x+4

(3)y=-x2+nx

(4)y=χ2+px+q.

7.對(duì)于二次函數(shù)y=jχ2-3x+4,

(1)配方成y=a(x-h)?+k的形式.

(2)求出它的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸.

(3)求出函數(shù)的最大或最小值.

8.已知二次函數(shù)的解析式是y=χ2-2x-3

(1)用配方法將y=χ2-2x-3化成y=a(x-h)2+k的形式;

(2)在直角坐標(biāo)系中，用五點(diǎn)法畫出它的圖像；

(3)利用圖象求當(dāng)X為何值時(shí)，函數(shù)值y<0

(4)當(dāng)X為何值時(shí)，y隨X的增大而減小？

(5)當(dāng)-3VχV3時(shí)，觀察圖象直接寫出函數(shù)值y的取值的范圍.

9.如圖，OM的圓心M(-1,2),OM經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)0,與y軸交于點(diǎn)A,經(jīng)過點(diǎn)A的一條直線

1解析式為：y=-2x+4與X軸交于點(diǎn)B,以M為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過X軸上點(diǎn)D(2,0)和點(diǎn)C

(-4,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)求證：直線1是。M的切線；

(3)點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且PE與直線1垂直，垂足為E,PF〃y軸，交直線1于點(diǎn)F,是否

存在這樣的點(diǎn)P,使APEF的面積最?。咳舸嬖?，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PEF面積的最小值；若

不存在，請(qǐng)說明理由.

10.如圖，拋物線y=χ2+bx+c與X軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn).

?/

A?0/Γ^c

C

(1)求該拋物線的解析式；

(2)求該拋物線的對(duì)稱軸以及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)設(shè)(1)中的拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P在該拋物線上滑動(dòng)到什么位置時(shí)，滿足

SAPAB=8,并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).

11.如圖1,拋物線y=aχ2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)為C(1,4),交X軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D,

其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0).

(1)求拋物線的解析式;

(2)如圖2,過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E,交y軸于點(diǎn)F,其中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2,若直線

PQ為拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)G為直線PQ上的一動(dòng)點(diǎn)，則X軸上是否存在一點(diǎn)H,使D、G,H、F

四點(diǎn)所圍成的四邊形周長(zhǎng)最小？若存在，求出這個(gè)最小值及點(diǎn)G、H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理

由；

(3)如圖3,在拋物線上是否存在一點(diǎn)T,過點(diǎn)T作X軸的垂線，垂足為點(diǎn)M,過點(diǎn)M作

MN〃BD,交線段AD于點(diǎn)N,連接MD,使△DNMs^BMD?若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存

在，請(qǐng)說明理由.

12.如圖，拋物線與X軸交于A(xι,0)、B(X2,0)兩點(diǎn)，且x∣<X2與y軸交于點(diǎn)C(0,4),其

中X∣,X2是方程χ2-4x-12=0的兩個(gè)根.

(I)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)M是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN〃BC,交AC于點(diǎn)N,連結(jié)CM,當(dāng)△CMN

的面積最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)D(4,k)在(1)中拋物線上，點(diǎn)E為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在X軸上是否存在點(diǎn)F,使以

A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若

不存在，請(qǐng)說明理由.

13.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=aχ2+bx+3交X軸于A(-1,0)和B(5,0)兩點(diǎn)，

交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)D是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD,將線段CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段

DE,過點(diǎn)E作直線1，X軸于H,交拋物線于點(diǎn)M,過點(diǎn)C作CFLl于F.

圖1

(1)求拋物線解析式；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)F恰好在拋物線上時(shí)(與點(diǎn)M重合)

②求線段OD的長(zhǎng)；

③試探究在直線1上，是否存在點(diǎn)G,使/EDG=45。？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存

在，請(qǐng)說明理由.

(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，連接CM,若aC0Ds^CFM,請(qǐng)直接寫出線段OD的長(zhǎng).

14.如圖，已知拋物線與X軸交于A(1,O),B(-3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3),拋物線

的頂點(diǎn)為P，連接AC.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)在拋物線上找一點(diǎn)D,使得DC與AC垂直，且直線DC與X軸交于點(diǎn)Q,求點(diǎn)D的坐標(biāo);

(3)拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M,使得HMAP=2SZMCP，若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不

存在，請(qǐng)說明理由.

15.已知拋物線G:y=X2-2tx+3(t為常數(shù))的頂點(diǎn)為P.

(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(用含t的式子表示)

(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中，存在函數(shù)圖象H,點(diǎn)＞4(m,n1)在圖象H上，點(diǎn)B(m,n2)在

拋物線G上，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m，都有點(diǎn)A,B關(guān)于點(diǎn)(m,m)對(duì)稱.

①當(dāng)t=l時(shí)，求圖象H對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式；

②當(dāng)l≤zn≤t+l時(shí)，都有∏ι>n2成立，結(jié)合圖象，求t的取值范圍.

16.拋物線y=?χ2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(-4,0)、B(2,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,對(duì)稱

軸與X軸交于點(diǎn)H,過點(diǎn)H的直線m交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P位于第二象限，點(diǎn)Q在y軸

(2)若/PBA=1ZOBC,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)設(shè)PQ的中點(diǎn)為M,點(diǎn)N在拋物線上，則以DP為對(duì)角線的四邊形DMPN能否為菱形？若

能，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由.

答案解析部分

1.【答案】⑴解：把k=；代入y=χ2-(2k+l)x+k2+k(k>0)得y=x?-2x+1,

因?yàn)閥=(x-l)2-?

所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為3，-?)

(2)證明：△=(2k+I)2-4(k2+k)=1>0,

所以關(guān)于X的一元二次方程X2-(2k+l)x+k2+k=O有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

2.【答案】(1)解：y=3x2-6x+2=3(x-1)2-1,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),對(duì)稱軸為x=l

(2)解：Va=-5,b=80,C=-319,

?b_80

-2H^-2x(—5)f

4ac-b2=4x(-5)x(-319)-8()2二匕

-4a-4×(-5)

.?.頂點(diǎn)坐標(biāo)為(8,1),對(duì)稱軸為x=8

3.【答案】(1)解：用交點(diǎn)式函數(shù)表達(dá)式得：y=(x-l)(x-3)=X2-4x+3；

故二次函數(shù)表達(dá)式為：y=X2-4x+3

(2)解：①當(dāng)AB為平行四邊形一條邊時(shí)，如圖1,

則點(diǎn)P坐標(biāo)為(4,3),

當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，即點(diǎn)C的位置，點(diǎn)4、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊

形，

故：點(diǎn)P(4,3)或(0,3);

②當(dāng)AB是四邊形的對(duì)角線時(shí)，如圖2,

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為2,其中點(diǎn)坐標(biāo)為：竽

即：—2>解得：m=2>

故點(diǎn)P(2,-1)；

綜上：點(diǎn)P(4,3)或(0,3)或(2,-1)；

(3)解：利用待定系數(shù)法求得直線BC的表達(dá)式為：y=-x+3,

AB(22

S四邊形AEBD=2^D-y￡)=-X+3-X+4%-3=-%+3X,

???-l<0,故四邊形AEBD面積有最大值，

當(dāng)％=|,其最大值為I,此時(shí)點(diǎn)E(I,-1).

4.【答案】(1)解：設(shè)拋物線解析式為y=a(x+4)(x-2),

將B(0,-4)代入得：-4=-8a,即a=；,

則拋物線解析式為y=I(x+4)(x-2)=Ix2+x-4；

(2)解：過M作MNLx軸,

將x=m代入拋物線得：y=?m2+m-4,即M(m,∣m2+m-4),

.".MN=∣?m2+m-4∣=-?m2-m+4,ON=-m,

VA(-4,0),B(0,-4),ΛOA=OB=4,

?*?ΔAMB的面積為S=SΔAMN+S悌形MNOB-SΔAOB

11111

=^X(4+m)×(-?m2-m+4)+左x(-m)x(-?m2-m+4+4)-?×4×4

=2(-?m2-m+4)-2m-8

=-m2-4m

=-(m+2)2+4,

當(dāng)m=-2時(shí)，S取得最大值，最大值為4.

5.【答案】(1)解：由圖象可知其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2),

故可設(shè)其函數(shù)關(guān)系式為：S=a(t-2)2-2.

???所求函數(shù)關(guān)系式的圖象過(0,0),

于是得：

a(0-2)2-2=0,

解得a=J.

.?.所求函數(shù)關(guān)系式為：S=i(t-2)2-2,即S=p2-2t.

答：累積利潤(rùn)S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=?t2-2t

(2)解：把S=30代入S=；(t-2)2-2,

得?(t-2)2-2=30.

解得t∣=10,t2=-6(舍去).

答：截止到10月末公司累積利潤(rùn)可達(dá)30萬元

(3)解：把t=7代入關(guān)系式，

得S=B×72-2×7=10.5,

把t=8代入關(guān)系式，

得S=I×82-2x8=16,

16-10.5=5.5,

答：第8個(gè)月公司所獲利是5.5萬元.

6.【答案】(1)解：y=-x2+6x+l=-(x2-6x)+1=-(x-3)2+10,

對(duì)稱軸x=3,頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(3,10),開口向下

(2)解:y=2χ2-3x+4=2(x2-∣x)+4=2(x-)2+?,

對(duì)稱軸X=?,頂點(diǎn)坐標(biāo)為：T,學(xué))，開口向上

(3)解：y=-x2+nx=-(x-S)2+,

乙4

對(duì)稱軸X=J,頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(￡,(),開口向下

(4)解：y=x2+px+q=(x+號(hào))2+佃二正,

44

對(duì)稱軸X=-E,頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(?,??≠),開口向上

LL4

7.【答案】(1)解：y=?X2-3x+4

=?(x2-6x)+4

=i[(x-3)2-9J+4

=I-3)2-\

(2)解：由(1)得：圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(3,-1),

對(duì)稱軸為：直線x=3

(3)解：：a=?>0,

.?.函數(shù)的最小值為：-?

8.【答案】(1)解：y=x2-2x-3=(x-1)2-4,即y=(x-1)2-4

(2)解：由(1)可知，y=(X-1)2-4,則頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4),

令x=0,則y=-3,

???與y軸交點(diǎn)為(0，-3與

令y=0,則0=x2-2x-3,解得Xi=-1,xι=3,

.?.與X軸交點(diǎn)為(-1,0),(3,0).

列表：

X-?0123???

2

y=x-2x-30-3-4-30???

(3)解：由圖象知，當(dāng)-l<x<3時(shí)，函數(shù)值y<0

(4)解：由圖象知，當(dāng)x<l時(shí)，y隨X的增大而減小

(5)解：當(dāng)X=-3時(shí)，y=9+6-3=12,則-3VχV3時(shí),0<y<12

9.【答案】(1)解：設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2)(x+4),將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入得：-9a=2,解

得：a=_￡?

.?.拋物線的解析式為y=-IX2-，+竽

(2)解：連接AM,過點(diǎn)M作MGJ_AD,垂足為G.

ΛA(0,4).

將y=0代入得：0=-?x+4,解得x=8,

/.B(8,0).

Λ0A=4,OB=8.

VM(-1,2),A(0,4),

ΛMG=1,AG=2.

.*.tanZMAG=tanZABO=?.

ΛZMAG=ZABO.

VZOAB+ZABO=90o,

.?.ZMAG+ZOAB=90o,即ZMAB=90o.

.F是。M的切線

(3)解：,.?ZPFE+ZFPE=90o,ZFBD+ZPFE=90o,

ΛZFPE=ZFBD.

AtanZFPE=?.

ΛPF:PE：EF=√5：2：1.

,

..ΔPEF的面積=?PE?EF=1X2√5pF.PF=?pp2

乙???

，當(dāng)PF最小時(shí)，△PEF的面積最小.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,-Iχ2-gx+竽)，則F(x,-Ax+4).

???PF=(-Jx÷4)-(-2χ2.4χ+U)=.1χ+4+Iχ2+4χ.=2χ2..χ+挈=

2(X-1)2+71

9(X8)32-

.?.當(dāng)X=?時(shí)，PF有最小值，PF的最小值為??.

?p/?55\

β?rk8,32?

Λ?PEF的面積的最小值為=?X(j?)?1041

?。乙JJL乙U

10.【答案】(1)解：?.?拋物線y=χ2+bx+c與X軸交于A(-1,O),B(3,0)兩點(diǎn)，

工方程x2+bx+c=O的兩根為X=-1或x=3,

-1+3=-b,

-l×3=c,

Λb=-2,C=-3,

.?.二次函數(shù)解析式是y=χ2-2x-3

(2)解：Vy=-X2-2x-3=(x-1)2-4,

.?.拋物線的對(duì)稱軸x=l,頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,-4)

(3)W-：設(shè)P的縱坐標(biāo)為∣yp∣,?.WAPAB=8,AB?∣yp∣=8,?.?AB=3+1=4,.?.∣yp∣=4,

yp=±4,

把yp=4代入解析式得，4=χ2-2x-3,解得，x=l±2√2，把yp=-4代入解析式得，-4=χ2-2x-

3,解得，x=l,

.?.點(diǎn)P在該拋物線上滑動(dòng)到(1+2應(yīng)，4)或(1-2√∑,4)或(1,-4)時(shí)，滿足SAPAB=8

11.【答案】(1)解：設(shè)拋物線的解析式為:y=a(X-I)2+4,

點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0).

.*.4a+4=0,

a=-1,

.?.此拋物線的解析式為：y=-(X-1)2+4=-χ2+2x+3

(2)解：存在.

拋物線的對(duì)稱軸方程為：x=l,

I點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2,

.?y=-4+4+3=3,

.?.點(diǎn)E(2,3),

.?.設(shè)直線AE的解析式為：y=kx+b,

.(-k+b=0

,*l2∕c+?=3'

.(k=1

"lb=1,

.?.直線AE的解析式為：y=x+l,

二點(diǎn)F(0,1),

VD(0,3),

.?.D與E關(guān)于x=l對(duì)稱，

作F關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)P(0,-1),

連接EF咬X軸于H,交對(duì)稱軸X=I于G,

四邊形DFHG的周長(zhǎng)即為最小，

設(shè)直線EF的解析式為：y=mx+n,

.(n=-1

?et2m+n=3'

解得：嚴(yán)2

t∏=-1

.?.直線EF的解析式為：y=2x-1,

/.當(dāng)y=0時(shí)，2x-1=0,得x=3,

即H(卜0),

當(dāng)x=l時(shí),y=L

ΛG(1,1)；

,222

??.DF=2,FH=FH=J(^+I=卓，DG=√2+I=√5,

.?.使D、G,H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形周長(zhǎng)最小值為：DF+FH+GH+DG=2+孚+電+遮=2+2

√5

(3)解：存在.

VBD=斤，=3√2，

設(shè)M(c,0),

VMNBD,

.MN_AN

''^BD"AB'

H∏MN_1+c

即證一,’

ΛMN=等(1+c),DM=√32+C2，

要使△DNMS4BMD,

需黑=船，即DM2=BD?MN,

BDDM

可得：9+C2=3√2×(i),

4+c

解得：C=I或c=3(舍去).

當(dāng)X=I時(shí)，y=-(I-1)2+4=竽.

12.【答案】(1)解：Vx2-4x-12=0,

.*.X∣=-2,X2=6.

ΛA(-2,0),B(6,0),

又???拋物線過點(diǎn)A、B、C,故設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-6),

將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，求得a二?,

???拋物線的解析式為y=IX2-JX-4.

(2)解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,0),過點(diǎn)N作NHLX軸于點(diǎn)H(如圖(I)).

Λ?MNA^?BCA.

.NH_AM

?,CO^AB'

?NH_=τn+2

48

ΛNH=

?β?S?CMN=SΔACM-S?AMN=i?AM?CO-?AM?NH,

=1(m+2)(4-≡+l)=-1m?m+3,

I(m-2)2+4.

.?.當(dāng)m=2時(shí)，SACMN有最大值4.

此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).

(3)解：Y點(diǎn)D(4,k)在拋物線y=?X2-gX-4上,

當(dāng)x=4時(shí)，k=-4,

.?.點(diǎn)D的坐標(biāo)是(4,-4).

AF平行且等于DE,

ΛDE=4.

ΛFι(-6,0),F2(2,0),

②如圖(3),當(dāng)AF為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，設(shè)F(n,0),

?；點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),

則平行四邊形的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為：嘩④，

.?.平行四邊形的對(duì)稱中心坐標(biāo)為(呼，0),

VD(4,-4),

.?.E的橫坐標(biāo)為：詈-4+詈=n-6,

E的縱坐標(biāo)為：4,

.?.E'的坐標(biāo)為(n-6,4).

把E'(n-6,4)代入y=iX2-x-4,得M-16n+36=0.

解得n=8±2√7.F3(8-2√7,0),F4(8+2√7,0),

綜上所述Fl(-6,0),F2(2,0),F3(8-2√7,0),F4(8+2√7,0).

13.【答案】(1)解：把x=0代入拋物線的解析式得：y=3,

ΛC(0,3).

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+l)(x-5),將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：-5a=3,解得：a=-|.

.?.拋物線的解析式為y=-Ix2+^x+3

(2)解：φ?∕CF±l,OB±1,

；.CF〃x軸.

.?.點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為3.

將y=3代入拋物線的解析式得：-Iχ2+?χ+3=3,解得χ=0或x=4.

.?.點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4,3).

②Y點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4,3),

.?.點(diǎn)H的坐標(biāo)為(4,0).

VZCDE=90o,

/.ZCDO+ZEDH=90o.

VZOCD+ZCDO=90o,

ΛZOCD=ZEDH.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：CD=DE.

2。CD=乙EDH

在Rt?OCD和Rt?HDE中，NCOD=乙DHE,

CD=DE

RtΔOCD^RtΔHDE.

.?.C0=DH=3.

又?.?0H=4,

ΛOD=1.

③如圖1所示：將CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段CN,則N(3,4)且四邊形CDEN為正方

形.

Y四邊形CDEN為正方形，

.".ZGDE=45o.

設(shè)DN的解析式為y=kx+b,將點(diǎn)D和點(diǎn)N的坐標(biāo)代入得：，解得：k=2,b=-2.

.?.DN的解析式為y=2x-2.

把x=4代入得：y=6,

/.G(4,6).

設(shè)直線DG，的解析式為y=-?x+c,將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得：-J+c=0,解得：c=|.

.?.直線DG，的解析式為y=-?x+I.

將x=4代入得：y=-I

.?.點(diǎn)G，的坐標(biāo)為（4,-≡）.

綜上所述，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（4,6）或（4,-I）

（3）解：如圖2所示：

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a,0）,則點(diǎn)M的坐標(biāo)（a+3,-∣a2-∣a+^）.

,FM=-Ia2-Ia+I.

V?COD^ACFM,

.OC_CFpπ3___2±2__

''DO~FM'即萬一-∣α2-6a+9，

整理得：14a2+33a-27=0,解得a=卷或a=-3（舍去）.

,°D=3?

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a,0）,則點(diǎn)M的坐標(biāo)（a+3,-∣a2-∣a+誓）.

ΛFM=∣a2+∣a-

5?

V?COD^?CFM,

.OC_CF3_α+3

g02+?γ，整理得：4a2+3a-27=9,解得:a=-3（舍去）或a=1.

,?^D0一兩'a~4

,OD=I.

綜上所述，OD的長(zhǎng)為心或W

14.【答案】(1)解：設(shè)此拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c,

α+b+c=0α=-l

由題意得：9α÷3&÷c=O?{b——2所求解析式為y=—%2—2%+3

c=3c=3

(2)解：Y點(diǎn)A(1,0),點(diǎn)C(0,3),ΛOA=1,OC=3,

VDC?AC,OdX軸，Λ?QOC<^?COA,.?.器=器，即竿=,,

.?.OQ=9,又Y點(diǎn)Q在X軸的負(fù)半軸上，.?.Q(-9,0),

設(shè)直線De的解析式為：y=mx+n,則「9：1弓=。，

解之得：fm=?,

I九=3

.?.直線DC的解析式為：y=iχ+3,

：點(diǎn)D是拋物線與直線DC的交點(diǎn)，

1

y=/+3

y=-X2—2%+3

(7

Xz-0

解之得：'(不合題意，應(yīng)舍去),

.y=3

5=q2

.?.點(diǎn)D(-Z,給,

PA,

y).直線X=-I與X軸交于點(diǎn)E,

1,.?.P(-1,4),ΛPE=4,則PM=I4

-y∣,I'S㈣邊彩AEpC=S四邊彩OEPC+SAAoc,=XlXf3+4?÷2×1×3-2+=5，又,'S四邊彩

11....1

AEPC=SΔAEP÷SΔACP,SΔAEP^XPE=2×2×4=4,?*?+SΔACP=5-4=1,*/SAMAP=2SΔACP,?*??×

2×∣4-y∣=2×l,Λ∣4-y∣=2,Λyi=2,y2=6,故拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M使SAMAP=2SAACP,

點(diǎn)M(-1,2)或(-1,6)

15.【答案】(1)y=X2-2tx+3—X2—2tx+t2-t2+3=(x—t)2—t2+3

.?.頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為ST2+3)；

(2)解：①當(dāng)t=l時(shí)，得G的解析式為：y=x2-2x+3,

2

點(diǎn)β(m,n2)在G上，?"?∏2=m—2m+3

:點(diǎn)A(m,n1')與點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)On,τn)對(duì)稱，則點(diǎn)A,B到點(diǎn)(m,m)的距離相等，此三點(diǎn)橫坐

標(biāo)相同，有n2-τn=m-n1.

2

(m—2m+3)—m=m—n1

2

整理，得n1=—m+4m—3，

由于m為任意實(shí)數(shù)，令m為自變量X,3為y.

即可得”的解析式為：y=-x2+4x-3；

①關(guān)于拋物線G的性質(zhì)：

2

點(diǎn)B(m,n2')在G上，.'.∏2=m—2tm+3

由G：y=X2-2tx+3,知

拋物線G開口向上，對(duì)稱軸為x=t,頂點(diǎn)P(t,-t2+3),且圖象恒過點(diǎn)(0,3).

.?.當(dāng)t≤x≤t+l時(shí)，圖象G的y隨著X的增大而增大.

當(dāng)x=t+l時(shí)，y取最大值一戶+4；當(dāng)χ=t時(shí)，y取最小值一戶+3；最大值比最小值

大1.

關(guān)于圖象H的性質(zhì)：

：點(diǎn)A(m,n1)與點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)(m,m)對(duì)稱，

有n2-τn=m-n1,

2

(m-2tm+3)—m=m—n1,

2

整理，得n1=-m+2tm+2m—3

2

所以，圖象H的解析式為：yH=-X+2tx+2x-3.

配方，得`H=—[?一(t+I)]?+(F+2t—2)

.?.圖象H為一拋物線，開口向下，對(duì)稱軸為x=t+l,頂點(diǎn)P(t+l,d+2t-2),且圖象恒過

點(diǎn)(0,-3).

工當(dāng)t≤x≤t+l時(shí)，圖象，的y隨著X的增大而增大.

當(dāng)X=t+1時(shí)，y取最大值t?+2t-2；當(dāng)％=t時(shí)，y取最小值y=t2+2t-3,即過

Q(t,t2+2t-3)；最大值比最小值大1.

情況1：當(dāng)P,Q兩點(diǎn)重合，即兩個(gè)函數(shù)恰好都經(jīng)過Ct),(t+l,t+l)時(shí)、把Ct)代入

222

y=x-2tx+3得t=t-2t?t+3,解得，t=二?/或t=.

分別對(duì)應(yīng)圖3,圖4兩種情形，由圖可知，當(dāng)？n=t,或m=t+l時(shí)，力與B重合，即有

∏1=Tl2,不合題意，舍去；

n

情況2：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q下方，即t>Ty時(shí)，大致圖象如圖L當(dāng)t<時(shí)，大致圖

象如圖2,都有點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方，即n1>n2成立，符合題意；

情況3：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方，即T嚴(yán)<t<T嚴(yán)時(shí)，大致圖象如圖5,圖6,當(dāng)t≤τn≤

t+1時(shí)，存在