2023年中考九年級數(shù)學(xué)訓(xùn)練-二次函數(shù)的三種形式

2023年中考九年級數(shù)學(xué)高頻考點專題訓(xùn)練一二次函數(shù)的三種形式

一、綜合題

1.已知二次函數(shù)y=χ2-(2k+l)x+k2+k(k>O)

(1)當(dāng)k=4時，將這個二次函數(shù)的解析式寫成頂點式；

(2)求證：關(guān)于X的一元二次方程χ2-(2k+l)x+k2+k=O有兩個不相等的實數(shù)根.

2.求二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)和對稱軸.

(1)用配方法:y=3x2-6x+2；

(2)用公式法：y=-5x2+80x-319.

3.如圖，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與%軸交于點A(L0)、8(3,0),與y軸交

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)若點P為拋物線上的一點，點F為對稱軸上的一點，且以點A?B、P、F為頂點

的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標(biāo)；

(3)點E是二次函數(shù)第四象限圖象上一點，過點E作久軸的垂線，交直線BC于點。，求

四邊形AEBD面積的最大值及此時點E的坐標(biāo).

4.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標(biāo)為m,AAMB的面積為S.求S關(guān)

于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值.

5.某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利過程.下面的二

次函數(shù)圖象(部分)刻畫了該公司年初以來累積利潤S(萬元)與銷售時間t(月)之間的關(guān)系(即

前t個月的利潤總和S和t之間的關(guān)系).根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問題：

(1)由已知圖象上的三點坐標(biāo)，求累積利潤S(萬元)與時間t(月)之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求截止到幾月末公司累積利潤可達到30萬元；

(3)求第8個月公司所獲利潤是多少萬元？

6.利用配方法，把下列函數(shù)寫成y=a(x-h)2+k的形式，并寫出它們圖象的開口方向、對稱軸和

頂點坐標(biāo).

(1)y=-x2+6x+l

(2)y=2χ2-3x+4

(3)y=-x2+nx

(4)y=χ2+px+q.

7.對于二次函數(shù)y=jχ2-3x+4,

(1)配方成y=a(x-h)?+k的形式.

(2)求出它的圖象的頂點坐標(biāo)和對稱軸.

(3)求出函數(shù)的最大或最小值.

8.已知二次函數(shù)的解析式是y=χ2-2x-3

(1)用配方法將y=χ2-2x-3化成y=a(x-h)2+k的形式;

(2)在直角坐標(biāo)系中，用五點法畫出它的圖像；

(3)利用圖象求當(dāng)X為何值時，函數(shù)值y<0

(4)當(dāng)X為何值時，y隨X的增大而減??？

(5)當(dāng)-3VχV3時，觀察圖象直接寫出函數(shù)值y的取值的范圍.

9.如圖，OM的圓心M(-1,2),OM經(jīng)過坐標(biāo)原點0,與y軸交于點A,經(jīng)過點A的一條直線

1解析式為：y=-2x+4與X軸交于點B,以M為頂點的拋物線經(jīng)過X軸上點D(2,0)和點C

(-4,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)求證：直線1是。M的切線；

(3)點P為拋物線上一動點，且PE與直線1垂直，垂足為E,PF〃y軸，交直線1于點F,是否

存在這樣的點P,使APEF的面積最??？若存在，請求出此時點P的坐標(biāo)及△PEF面積的最小值；若

不存在，請說明理由.

10.如圖，拋物線y=χ2+bx+c與X軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點.

?/

A?0/Γ^c

C

(1)求該拋物線的解析式；

(2)求該拋物線的對稱軸以及頂點坐標(biāo)；

(3)設(shè)(1)中的拋物線上有一個動點P,當(dāng)點P在該拋物線上滑動到什么位置時，滿足

SAPAB=8,并求出此時P點的坐標(biāo).

11.如圖1,拋物線y=aχ2+bx+c(a≠0)的頂點為C(1,4),交X軸于A、B兩點，交y軸于點D,

其中點B的坐標(biāo)為(3,0).

(1)求拋物線的解析式;

(2)如圖2,過點A的直線與拋物線交于點E,交y軸于點F,其中點E的橫坐標(biāo)為2,若直線

PQ為拋物線的對稱軸，點G為直線PQ上的一動點，則X軸上是否存在一點H,使D、G,H、F

四點所圍成的四邊形周長最??？若存在，求出這個最小值及點G、H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理

由；

(3)如圖3,在拋物線上是否存在一點T,過點T作X軸的垂線，垂足為點M,過點M作

MN〃BD,交線段AD于點N,連接MD,使△DNMs^BMD?若存在，求出點T的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由.

12.如圖，拋物線與X軸交于A(xι,0)、B(X2,0)兩點，且x∣<X2與y軸交于點C(0,4),其

中X∣,X2是方程χ2-4x-12=0的兩個根.

(I)求拋物線的解析式；

(2)點M是線段AB上的一個動點，過點M作MN〃BC,交AC于點N,連結(jié)CM,當(dāng)△CMN

的面積最大時，求點M的坐標(biāo)；

(3)點D(4,k)在(1)中拋物線上，點E為拋物線上一動點，在X軸上是否存在點F,使以

A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出所有滿足條件的點F的坐標(biāo)；若

不存在，請說明理由.

13.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=aχ2+bx+3交X軸于A(-1,0)和B(5,0)兩點，

交y軸于點C,點D是線段OB上一動點，連接CD,將線段CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段

DE,過點E作直線1，X軸于H,交拋物線于點M,過點C作CFLl于F.

圖1

(1)求拋物線解析式；

(2)如圖2,當(dāng)點F恰好在拋物線上時(與點M重合)

②求線段OD的長；

③試探究在直線1上，是否存在點G,使/EDG=45。？若存在，請直接寫出點G的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由.

(3)在點D的運動過程中，連接CM,若aC0Ds^CFM,請直接寫出線段OD的長.

14.如圖，已知拋物線與X軸交于A(1,O),B(-3,0)兩點，與y軸交于點C(0,3),拋物線

的頂點為P，連接AC.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)在拋物線上找一點D,使得DC與AC垂直，且直線DC與X軸交于點Q,求點D的坐標(biāo);

(3)拋物線對稱軸上是否存在一點M,使得HMAP=2SZMCP，若存在，求出M點坐標(biāo)；若不

存在，請說明理由.

15.已知拋物線G:y=X2-2tx+3(t為常數(shù))的頂點為P.

(1)求點P的坐標(biāo)；(用含t的式子表示)

(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中，存在函數(shù)圖象H,點＞4(m,n1)在圖象H上，點B(m,n2)在

拋物線G上，對于任意的實數(shù)m，都有點A,B關(guān)于點(m,m)對稱.

①當(dāng)t=l時，求圖象H對應(yīng)函數(shù)的解析式；

②當(dāng)l≤zn≤t+l時，都有∏ι>n2成立，結(jié)合圖象，求t的取值范圍.

16.拋物線y=?χ2+bx+c經(jīng)過點A(-4,0)、B(2,0)兩點，與y軸交于點C,頂點為D,對稱

軸與X軸交于點H,過點H的直線m交拋物線于P、Q兩點，其中點P位于第二象限，點Q在y軸

(2)若/PBA=1ZOBC,求點P的坐標(biāo)；

(3)設(shè)PQ的中點為M,點N在拋物線上，則以DP為對角線的四邊形DMPN能否為菱形？若

能，求出點N的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.

答案解析部分

1.【答案】⑴解：把k=；代入y=χ2-(2k+l)x+k2+k(k>0)得y=x?-2x+1,

因為y=(x-l)2-?

所以拋物線的頂點坐標(biāo)為3，-?)

(2)證明：△=(2k+I)2-4(k2+k)=1>0,

所以關(guān)于X的一元二次方程X2-(2k+l)x+k2+k=O有兩個不相等的實數(shù)根

2.【答案】(1)解：y=3x2-6x+2=3(x-1)2-1,

頂點坐標(biāo)為(1,-1),對稱軸為x=l

(2)解：Va=-5,b=80,C=-319,

?b_80

-2H^-2x(—5)f

4ac-b2=4x(-5)x(-319)-8()2二匕

-4a-4×(-5)

.?.頂點坐標(biāo)為(8,1),對稱軸為x=8

3.【答案】(1)解：用交點式函數(shù)表達式得：y=(x-l)(x-3)=X2-4x+3；

故二次函數(shù)表達式為：y=X2-4x+3

(2)解：①當(dāng)AB為平行四邊形一條邊時，如圖1,

則點P坐標(biāo)為(4,3),

當(dāng)點P在對稱軸左側(cè)時，即點C的位置，點4、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊

形，

故：點P(4,3)或(0,3);

②當(dāng)AB是四邊形的對角線時，如圖2,

設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m,點F的橫坐標(biāo)為2,其中點坐標(biāo)為：竽

即：—2>解得：m=2>

故點P(2,-1)；

綜上：點P(4,3)或(0,3)或(2,-1)；

(3)解：利用待定系數(shù)法求得直線BC的表達式為：y=-x+3,

AB(22

S四邊形AEBD=2^D-y￡)=-X+3-X+4%-3=-%+3X,

???-l<0,故四邊形AEBD面積有最大值，

當(dāng)％=|,其最大值為I,此時點E(I,-1).

4.【答案】(1)解：設(shè)拋物線解析式為y=a(x+4)(x-2),

將B(0,-4)代入得：-4=-8a,即a=；,

則拋物線解析式為y=I(x+4)(x-2)=Ix2+x-4；

(2)解：過M作MNLx軸,

將x=m代入拋物線得：y=?m2+m-4,即M(m,∣m2+m-4),

.".MN=∣?m2+m-4∣=-?m2-m+4,ON=-m,

VA(-4,0),B(0,-4),ΛOA=OB=4,

?*?ΔAMB的面積為S=SΔAMN+S悌形MNOB-SΔAOB

11111

=^X(4+m)×(-?m2-m+4)+左x(-m)x(-?m2-m+4+4)-?×4×4

=2(-?m2-m+4)-2m-8

=-m2-4m

=-(m+2)2+4,

當(dāng)m=-2時，S取得最大值，最大值為4.

5.【答案】(1)解：由圖象可知其頂點坐標(biāo)為(2,-2),

故可設(shè)其函數(shù)關(guān)系式為：S=a(t-2)2-2.

???所求函數(shù)關(guān)系式的圖象過(0,0),

于是得：

a(0-2)2-2=0,

解得a=J.

.?.所求函數(shù)關(guān)系式為：S=i(t-2)2-2,即S=p2-2t.

答：累積利潤S與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=?t2-2t

(2)解：把S=30代入S=；(t-2)2-2,

得?(t-2)2-2=30.

解得t∣=10,t2=-6(舍去).

答：截止到10月末公司累積利潤可達30萬元

(3)解：把t=7代入關(guān)系式，

得S=B×72-2×7=10.5,

把t=8代入關(guān)系式，

得S=I×82-2x8=16,

16-10.5=5.5,

答：第8個月公司所獲利是5.5萬元.

6.【答案】(1)解：y=-x2+6x+l=-(x2-6x)+1=-(x-3)2+10,

對稱軸x=3,頂點坐標(biāo)為：(3,10),開口向下

(2)解:y=2χ2-3x+4=2(x2-∣x)+4=2(x-)2+?,

對稱軸X=?,頂點坐標(biāo)為：T,學(xué))，開口向上

(3)解：y=-x2+nx=-(x-S)2+,

乙4

對稱軸X=J,頂點坐標(biāo)為：(￡,(),開口向下

(4)解：y=x2+px+q=(x+號)2+佃二正,

44

對稱軸X=-E,頂點坐標(biāo)為：(?,??≠),開口向上

LL4

7.【答案】(1)解：y=?X2-3x+4

=?(x2-6x)+4

=i[(x-3)2-9J+4

=I-3)2-\

(2)解：由(1)得：圖象的頂點坐標(biāo)為：(3,-1),

對稱軸為：直線x=3

(3)解：：a=?>0,

.?.函數(shù)的最小值為：-?

8.【答案】(1)解：y=x2-2x-3=(x-1)2-4,即y=(x-1)2-4

(2)解：由(1)可知，y=(X-1)2-4,則頂點坐標(biāo)為(1,-4),

令x=0,則y=-3,

???與y軸交點為(0，-3與

令y=0,則0=x2-2x-3,解得Xi=-1,xι=3,

.?.與X軸交點為(-1,0),(3,0).

列表：

X-?0123???

2

y=x-2x-30-3-4-30???

(3)解：由圖象知，當(dāng)-l<x<3時，函數(shù)值y<0

(4)解：由圖象知，當(dāng)x<l時，y隨X的增大而減小

(5)解：當(dāng)X=-3時，y=9+6-3=12,則-3VχV3時,0<y<12

9.【答案】(1)解：設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2)(x+4),將點M的坐標(biāo)代入得：-9a=2,解

得：a=_￡?

.?.拋物線的解析式為y=-IX2-，+竽

(2)解：連接AM,過點M作MGJ_AD,垂足為G.

ΛA(0,4).

將y=0代入得：0=-?x+4,解得x=8,

/.B(8,0).

Λ0A=4,OB=8.

VM(-1,2),A(0,4),

ΛMG=1,AG=2.

.*.tanZMAG=tanZABO=?.

ΛZMAG=ZABO.

VZOAB+ZABO=90o,

.?.ZMAG+ZOAB=90o,即ZMAB=90o.

.F是。M的切線

(3)解：,.?ZPFE+ZFPE=90o,ZFBD+ZPFE=90o,

ΛZFPE=ZFBD.

AtanZFPE=?.

ΛPF:PE：EF=√5：2：1.

,

..ΔPEF的面積=?PE?EF=1X2√5pF.PF=?pp2

乙???

，當(dāng)PF最小時，△PEF的面積最小.

設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,-Iχ2-gx+竽)，則F(x,-Ax+4).

???PF=(-Jx÷4)-(-2χ2.4χ+U)=.1χ+4+Iχ2+4χ.=2χ2..χ+挈=

2(X-1)2+71

9(X8)32-

.?.當(dāng)X=?時，PF有最小值，PF的最小值為??.

?p/?55\

β?rk8,32?

Λ?PEF的面積的最小值為=?X(j?)?1041

?。乙JJL乙U

10.【答案】(1)解：?.?拋物線y=χ2+bx+c與X軸交于A(-1,O),B(3,0)兩點，

工方程x2+bx+c=O的兩根為X=-1或x=3,

-1+3=-b,

-l×3=c,

Λb=-2,C=-3,

.?.二次函數(shù)解析式是y=χ2-2x-3

(2)解：Vy=-X2-2x-3=(x-1)2-4,

.?.拋物線的對稱軸x=l,頂點坐標(biāo)(1,-4)

(3)W-：設(shè)P的縱坐標(biāo)為∣yp∣,?.WAPAB=8,AB?∣yp∣=8,?.?AB=3+1=4,.?.∣yp∣=4,

yp=±4,

把yp=4代入解析式得，4=χ2-2x-3,解得，x=l±2√2，把yp=-4代入解析式得，-4=χ2-2x-

3,解得，x=l,

.?.點P在該拋物線上滑動到(1+2應(yīng)，4)或(1-2√∑,4)或(1,-4)時，滿足SAPAB=8

11.【答案】(1)解：設(shè)拋物線的解析式為:y=a(X-I)2+4,

點B的坐標(biāo)為(3,0).

.*.4a+4=0,

a=-1,

.?.此拋物線的解析式為：y=-(X-1)2+4=-χ2+2x+3

(2)解：存在.

拋物線的對稱軸方程為：x=l,

I點E的橫坐標(biāo)為2,

.?y=-4+4+3=3,

.?.點E(2,3),

.?.設(shè)直線AE的解析式為：y=kx+b,

.(-k+b=0

,*l2∕c+?=3'

.(k=1

"lb=1,

.?.直線AE的解析式為：y=x+l,

二點F(0,1),

VD(0,3),

.?.D與E關(guān)于x=l對稱，

作F關(guān)于X軸的對稱點P(0,-1),

連接EF咬X軸于H,交對稱軸X=I于G,

四邊形DFHG的周長即為最小，

設(shè)直線EF的解析式為：y=mx+n,

.(n=-1

?et2m+n=3'

解得：嚴2

t∏=-1

.?.直線EF的解析式為：y=2x-1,

/.當(dāng)y=0時，2x-1=0,得x=3,

即H(卜0),

當(dāng)x=l時,y=L

ΛG(1,1)；

,222

??.DF=2,FH=FH=J(^+I=卓，DG=√2+I=√5,

.?.使D、G,H、F四點所圍成的四邊形周長最小值為：DF+FH+GH+DG=2+孚+電+遮=2+2

√5

(3)解：存在.

VBD=斤，=3√2，

設(shè)M(c,0),

VMNBD,

.MN_AN

''^BD"AB'

H∏MN_1+c

即證一,’

ΛMN=等(1+c),DM=√32+C2，

要使△DNMS4BMD,

需黑=船，即DM2=BD?MN,

BDDM

可得：9+C2=3√2×(i),

4+c

解得：C=I或c=3(舍去).

當(dāng)X=I時，y=-(I-1)2+4=竽.

12.【答案】(1)解：Vx2-4x-12=0,

.*.X∣=-2,X2=6.

ΛA(-2,0),B(6,0),

又???拋物線過點A、B、C,故設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-6),

將點C的坐標(biāo)代入，求得a二?,

???拋物線的解析式為y=IX2-JX-4.

(2)解：設(shè)點M的坐標(biāo)為(m,0),過點N作NHLX軸于點H(如圖(I)).

Λ?MNA^?BCA.

.NH_AM

?,CO^AB'

?NH_=τn+2

48

ΛNH=

?β?S?CMN=SΔACM-S?AMN=i?AM?CO-?AM?NH,

=1(m+2)(4-≡+l)=-1m?m+3,

I(m-2)2+4.

.?.當(dāng)m=2時，SACMN有最大值4.

此時，點M的坐標(biāo)為(2,0).

(3)解：Y點D(4,k)在拋物線y=?X2-gX-4上,

當(dāng)x=4時，k=-4,

.?.點D的坐標(biāo)是(4,-4).

AF平行且等于DE,

ΛDE=4.

ΛFι(-6,0),F2(2,0),

②如圖(3),當(dāng)AF為平行四邊形的對角線時，設(shè)F(n,0),

?；點A的坐標(biāo)為(-2,0),

則平行四邊形的對稱中心的橫坐標(biāo)為：嘩④，

.?.平行四邊形的對稱中心坐標(biāo)為(呼，0),

VD(4,-4),

.?.E的橫坐標(biāo)為：詈-4+詈=n-6,

E的縱坐標(biāo)為：4,

.?.E'的坐標(biāo)為(n-6,4).

把E'(n-6,4)代入y=iX2-x-4,得M-16n+36=0.

解得n=8±2√7.F3(8-2√7,0),F4(8+2√7,0),

綜上所述Fl(-6,0),F2(2,0),F3(8-2√7,0),F4(8+2√7,0).

13.【答案】(1)解：把x=0代入拋物線的解析式得：y=3,

ΛC(0,3).

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+l)(x-5),將點C的坐標(biāo)代入得：-5a=3,解得：a=-|.

.?.拋物線的解析式為y=-Ix2+^x+3

(2)解：φ?∕CF±l,OB±1,

；.CF〃x軸.

.?.點F的縱坐標(biāo)為3.

將y=3代入拋物線的解析式得：-Iχ2+?χ+3=3,解得χ=0或x=4.

.?.點F的坐標(biāo)為(4,3).

②Y點F的坐標(biāo)為(4,3),

.?.點H的坐標(biāo)為(4,0).

VZCDE=90o,

/.ZCDO+ZEDH=90o.

VZOCD+ZCDO=90o,

ΛZOCD=ZEDH.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：CD=DE.

2。CD=乙EDH

在Rt?OCD和Rt?HDE中，NCOD=乙DHE,

CD=DE

RtΔOCD^RtΔHDE.

.?.C0=DH=3.

又?.?0H=4,

ΛOD=1.

③如圖1所示：將CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段CN,則N(3,4)且四邊形CDEN為正方

形.

Y四邊形CDEN為正方形，

.".ZGDE=45o.

設(shè)DN的解析式為y=kx+b,將點D和點N的坐標(biāo)代入得：，解得：k=2,b=-2.

.?.DN的解析式為y=2x-2.

把x=4代入得：y=6,

/.G(4,6).

設(shè)直線DG，的解析式為y=-?x+c,將點D的坐標(biāo)代入得：-J+c=0,解得：c=|.

.?.直線DG，的解析式為y=-?x+I.

將x=4代入得：y=-I

.?.點G，的坐標(biāo)為（4,-≡）.

綜上所述，點G的坐標(biāo)為（4,6）或（4,-I）

（3）解：如圖2所示：

設(shè)點D的坐標(biāo)為（a,0）,則點M的坐標(biāo)（a+3,-∣a2-∣a+^）.

,FM=-Ia2-Ia+I.

V?COD^ACFM,

.OC_CFpπ3___2±2__

''DO~FM'即萬一-∣α2-6a+9，

整理得：14a2+33a-27=0,解得a=卷或a=-3（舍去）.

,°D=3?

設(shè)點D的坐標(biāo)為（a,0）,則點M的坐標(biāo)（a+3,-∣a2-∣a+誓）.

ΛFM=∣a2+∣a-

5?

V?COD^?CFM,

.OC_CF3_α+3

g02+?γ，整理得：4a2+3a-27=9,解得:a=-3（舍去）或a=1.

,?^D0一兩'a~4

,OD=I.

綜上所述，OD的長為心或W

14.【答案】(1)解：設(shè)此拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c,

α+b+c=0α=-l

由題意得：9α÷3&÷c=O?{b——2所求解析式為y=—%2—2%+3

c=3c=3

(2)解：Y點A(1,0),點C(0,3),ΛOA=1,OC=3,

VDC?AC,OdX軸，Λ?QOC<^?COA,.?.器=器，即竿=,,

.?.OQ=9,又Y點Q在X軸的負半軸上，.?.Q(-9,0),

設(shè)直線De的解析式為：y=mx+n,則「9：1弓=。，

解之得：fm=?,

I九=3

.?.直線DC的解析式為：y=iχ+3,

：點D是拋物線與直線DC的交點，

1

y=/+3

y=-X2—2%+3

(7

Xz-0

解之得：'(不合題意，應(yīng)舍去),

.y=3

5=q2

.?.點D(-Z,給,

PA,

y).直線X=-I與X軸交于點E,

1,.?.P(-1,4),ΛPE=4,則PM=I4

-y∣,I'S㈣邊彩AEpC=S四邊彩OEPC+SAAoc,=XlXf3+4?÷2×1×3-2+=5，又,'S四邊彩

11....1

AEPC=SΔAEP÷SΔACP,SΔAEP^XPE=2×2×4=4,?*?+SΔACP=5-4=1,*/SAMAP=2SΔACP,?*??×

2×∣4-y∣=2×l,Λ∣4-y∣=2,Λyi=2,y2=6,故拋物線的對稱軸上存在點M使SAMAP=2SAACP,

點M(-1,2)或(-1,6)

15.【答案】(1)y=X2-2tx+3—X2—2tx+t2-t2+3=(x—t)2—t2+3

.?.頂點P的坐標(biāo)為ST2+3)；

(2)解：①當(dāng)t=l時，得G的解析式為：y=x2-2x+3,

2

點β(m,n2)在G上，?"?∏2=m—2m+3

:點A(m,n1')與點B關(guān)于點On,τn)對稱，則點A,B到點(m,m)的距離相等，此三點橫坐

標(biāo)相同，有n2-τn=m-n1.

2

(m—2m+3)—m=m—n1

2

整理，得n1=—m+4m—3，

由于m為任意實數(shù)，令m為自變量X,3為y.

即可得”的解析式為：y=-x2+4x-3；

①關(guān)于拋物線G的性質(zhì)：

2

點B(m,n2')在G上，.'.∏2=m—2tm+3

由G：y=X2-2tx+3,知

拋物線G開口向上，對稱軸為x=t,頂點P(t,-t2+3),且圖象恒過點(0,3).

.?.當(dāng)t≤x≤t+l時，圖象G的y隨著X的增大而增大.

當(dāng)x=t+l時，y取最大值一戶+4；當(dāng)χ=t時，y取最小值一戶+3；最大值比最小值

大1.

關(guān)于圖象H的性質(zhì)：

：點A(m,n1)與點B關(guān)于點(m,m)對稱，

有n2-τn=m-n1,

2

(m-2tm+3)—m=m—n1,

2

整理，得n1=-m+2tm+2m—3

2

所以，圖象H的解析式為：yH=-X+2tx+2x-3.

配方，得`H=—[?一(t+I)]?+(F+2t—2)

.?.圖象H為一拋物線，開口向下，對稱軸為x=t+l,頂點P(t+l,d+2t-2),且圖象恒過

點(0,-3).

工當(dāng)t≤x≤t+l時，圖象，的y隨著X的增大而增大.

當(dāng)X=t+1時，y取最大值t?+2t-2；當(dāng)％=t時，y取最小值y=t2+2t-3,即過

Q(t,t2+2t-3)；最大值比最小值大1.

情況1：當(dāng)P,Q兩點重合，即兩個函數(shù)恰好都經(jīng)過Ct),(t+l,t+l)時、把Ct)代入

222

y=x-2tx+3得t=t-2t?t+3,解得，t=二?/或t=.

分別對應(yīng)圖3,圖4兩種情形，由圖可知，當(dāng)？n=t,或m=t+l時，力與B重合，即有

∏1=Tl2,不合題意，舍去；

n

情況2：當(dāng)點P在點Q下方，即t>Ty時，大致圖象如圖L當(dāng)t<時，大致圖

象如圖2,都有點A在點B的上方，即n1>n2成立，符合題意；

情況3：當(dāng)點P在點Q上方，即T嚴<t<T嚴時，大致圖象如圖5,圖6,當(dāng)t≤τn≤

t+1時，存在