函數(shù)的基本性質(zhì)小題綜合 2023屆新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸題難題（江蘇）（解析版）

【突破壓軸沖刺名?！?/p>

壓軸專題01函數(shù)的基本性質(zhì)小題綜合

2023屆新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)尖子生30題難題破(江蘇省專用)

一、單選題

1.(2022秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)y=∕(x)的圖像既關(guān)于點(diǎn)(1,1)中心

對稱，又關(guān)于直線x+y=0軸對稱.當(dāng)Xe(O」)時，/(x)=10g2(x+l),則/(log210)的

值為().

1714

A.Iog26B.C.3D.—

【答案】B

t分析】設(shè)r表示函數(shù)y=f(χ)的圖像，%=iog2(i+$),根據(jù)中心對稱性與軸對稱性，

可依次得(2-Λ?,2-%)∈r,(%-2,茍一2)∈r,(4-γ0,4-?)∈Γ,??=j,可計(jì)算

得4-%=IogzlO,從而可計(jì)算得F(log210)="4-%)=4-x0=4-q=5.

【詳解】用「表示函數(shù)》="x)的圖像，對任意的毛￠(0,1),

令%=嘎2(1+%)，則(為，%)€「,且%?0，1)，

利用「的中心對稱性與軸對稱性，可依次推得

(2-?,2-y0)∈Γ,(y0-2,?-2)∈Γ,(4-y0,4-?)∈Γ,

取??=g,此時4-%=4-log20+/)=l0g2l(),

317

因l?∕(log210)=∕(4-%)=4-Λ0=4-y=w.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了中心對稱與軸對稱的應(yīng)用，求解的關(guān)鍵是根據(jù)中心對稱與軸對稱特

點(diǎn)表示出函數(shù)圖像上的點(diǎn)之間的關(guān)系，然后代值計(jì)算.

2.(2022秋?江蘇蘇州?高三常熟中學(xué)?？茧A段練習(xí))定義在R上的函數(shù)/(x)滿足

/(-x)+∕(x)≈0,/(-x)=∕(x+2);且當(dāng)x∈[0,l]時，/(x)=x3-X2+x.則方程

”(x)r+2=0所有的根之和為()

A.6B.12C.14D.10

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可得了(χ)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線X=I對稱且一個周期為4,再

根據(jù)當(dāng)xw[0,l]時，f(x)=x3-x2+x,求導(dǎo)分析單調(diào)性，從而畫出簡圖，根據(jù)函數(shù)的

性質(zhì)求解零點(diǎn)和即可.

【詳解】..?〃-x)+"x)=0,.?."x)為奇函數(shù)，又?.?”r)=∕(x+2),

???∕(x)的圖象關(guān)于直線X=I對稱.

當(dāng)xe[(),l]時，/'(x)=3x2-2x+l>0,F(X)單調(diào)遞增.

由〃一X)=/(x+2)=-/(x),即有f(x+4)=-F(X+2),

所以/(x+4)="x),即函數(shù)F(X)的一個周期為4,

由/(r)+"x)=0可得，/(-x)+∕(x+4)=0,所以"x)的圖象關(guān)于(2,0)中心對稱.

函數(shù)/(x)的簡圖如下：

由/(x)=J(x-2)?.所有實(shí)根之和為(玉+Λ5)+(Λ2+又)+毛=4+4+2=10.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題求零點(diǎn)之和需要掌握的方法：

(1)函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用：根據(jù)條件中函數(shù)滿足的關(guān)系式推導(dǎo)函數(shù)的奇偶性、對稱性、周

期性和在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，并運(yùn)用性質(zhì)求零點(diǎn)和：

(2)數(shù)形結(jié)合：根據(jù)給定區(qū)間的函數(shù)解析式作圖，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)補(bǔ)全剩余圖象；

3.(2022秋?江蘇南京?高三校聯(lián)考階段練習(xí))己知函數(shù)/(x),g(x)的定義域?yàn)镽,g'(x)

為g(x)的導(dǎo)函數(shù)，且/(x)+g'(x)=2,f(x)-g,(4-x)=2,若g(x)為偶函數(shù)，則下列

結(jié)論不一定成立的是()

A./(4)=2B.g'⑵=O

C./(-1)=/(-3)D./(1)+/(3)=4

【答案】C

【分析】先證明g'(x)為奇函數(shù)，再進(jìn)行合理賦值逐個分析判斷.

【詳解】對A：?.?g(x)為偶函數(shù)，貝Ug(x)=g(—幻

兩邊求導(dǎo)可得g'(x)=-g'(-X)

.?.g'(x)為奇函數(shù),則/(O)=O

令x=4,則可得/(4)-g'(0)=2,則/(4)=2,A成立；

⑵

對B：令心則可得，17O+g'(2)j=2a則"[(g2。)=)2=。,B成立;

V/(x)+g'(x)=2,則可得/(2+x)+g'(2+x)=2

/(x)-^(4-x)=2,則可得/(2r)-g<2+x)=2

兩式相加可得：/(2+x)+∕(2-x)=4,

，/3關(guān)于點(diǎn)(2,2)成中心對稱

則/⑴+/(3)=4,D成立

XV/(x)+g'(x)=2,則可得f(D+g<l)=y(D_g，(4T=2

F(X)-g<4-x)=2,貝IJ可得/(χ)=∕(χ-4)

??./(X)以4為周期的周期函數(shù)

根據(jù)以上性質(zhì)只能推出/(T)+/(-3)=4,不能推出/(-D=/(-3),C不一定成立

故選：C.

【點(diǎn)睛】對于抽象函數(shù)的問題，?般通過賦值結(jié)合定義分析運(yùn)算.

4.(2022秋?江蘇鎮(zhèn)江?高三校考期中)設(shè)函數(shù)“X)定義域?yàn)镽,7(x-1)為奇函數(shù)，

/(x+l)為偶函數(shù)，當(dāng)Xe(T/］時，/(x)=-x2+l,則下列結(jié)論錯誤的是()

A./(g)=-(B./(x+7)為奇函數(shù)

C.〃x)在(6,8)上是減函數(shù)D.方程f(x)+lgx=0僅有6個實(shí)數(shù)解

【答案】C

【分析】推導(dǎo)出/(x+4)=-/(x),可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用函數(shù)/(x)的周期性可

判斷BC選項(xiàng)的正誤；數(shù)形結(jié)合可判斷D選項(xiàng).

【詳解】由題意可得1)=—/(x7),所以，/(x)=-∕[-(x+l)-l]=-∕(-x-2),

由題意，/(-x+l)=∕(x+l),所以，/(x+4)=-∕[-(x+3)+l]=-∕(-x-2),

所以，f(x+4)=-f(x},JjllJ/(x+8)=-∕(x+4)=∕(x),故函數(shù)/(x)的周期為8,

對于A選項(xiàng)，∕f-∣l=-∕f-?'j=----f-?'j+1=-q，A對；

對于B選項(xiàng)，因?yàn)閒(x+7)=∕α+7-8)=∕(A1),

因?yàn)楹瘮?shù)/(x-l)為奇函數(shù)，則函數(shù)f(x+7)為奇函數(shù)，B對；

對于C選項(xiàng)，因?yàn)?(r+l)="x+l),則函數(shù)〃力的圖象關(guān)于直線x=l對稱，

當(dāng)—l<x≤l時，/(x)=-x2+l,故函數(shù)F(X)在(To)上單調(diào)遞增，

又因?yàn)楹瘮?shù)/(x)的周期為8,故函數(shù)/(x)在(7,8)上單調(diào)遞增，C錯；

對于D選項(xiàng)，因?yàn)楫?dāng)x∈(-l,l],"x)=l-χ2,

"x)的圖象關(guān)于直線X=I對稱，且關(guān)于點(diǎn)(To)對稱，

且當(dāng)x>10時，y=-?gx<-l,K∕(x)∈[-l,l],

作出函數(shù)f(x)的圖象與曲線y=-IgX的圖象如下圖所示：

由圖可知，函數(shù)“X)的圖象與曲線y=Tgχ的圖象只有6個交點(diǎn)，D對.

故選：C.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：

(1)直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)

的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具

作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；

(3)參變量分離法：由〃X)=O分離變量得出α=g(x),將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線>

與函數(shù)y=g(χ)的圖象的交點(diǎn)問題.

5.(2022秋?江蘇徐州?高三徐州市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,

且/(x+l)為奇函數(shù)，/(x+2)為偶函數(shù)，且對任意的4x2?1,2),且Λt≠吃,都有

"Λ[)-"*)>O,則下列結(jié)論錯誤的是()

A.f(x)是奇函數(shù)B./(1023)=0

C./(X)的圖像關(guān)于(I,0)對稱D.

【答案】A

【分析】根據(jù)題設(shè)有F(X)=-/(2-X)、F(X)=F(4-X),進(jìn)而可得

/(%)=/(4-Λ)=-/(2-x)=/(-X),即可判斷了(X)的對稱性、奇偶性，再由周期性、奇

偶性求/(1023),最后結(jié)合/(X)在(1,2)上的單調(diào)性及對稱性和周期性判斷(2,4)上的單

調(diào)性，比較函數(shù)值大小.

【詳解】由題設(shè)，/(-x+l)=-∕U+l),BPf(x)=-f(2-x),則/(x)關(guān)于(1,0)對稱，

C正確：

f(-x+2)=f(x+2),即/(x)=∕(4-x),/(χ)關(guān)于x=2對稱，

所以∕ω=∕(4-x)=-/(2-X)=f(-x),即F(X)周期為4,

且/(x)=∕(r),即F(X)為偶函數(shù),A錯誤；

貝I]/(1023)=/(4×256-1)=/(-1)=/(1),

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)的定義域?yàn)镽，f(x)關(guān)于(1,0)對稱，則/(I)=O,B正確；

又大,Λ2e(l,2),且Λ,X%,都有J3)[JOI>Q,即Ax)在(1,2)上遞增，

X\~X2

77121Q

綜上,/(X)在(0,1)上遞增，則(2,4)上遞減，故」(Y)=f(4-f=∕(τ?)>∕g),D正

4488

確.

故選：A

6.(2022秋?江蘇南通?高三江蘇省如東高級中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)

/(x)=ln(√771-x)+l,正實(shí)數(shù)”,6滿足/(24)+∕3-4)=2,則竺+小戶的最小

值為()

A.1B.2C.4D.—

8

【答案】B

【分析】先判斷函數(shù)是嚴(yán)格遞減的函數(shù)，且有對稱中心，找出〃力之間的關(guān)系可求.

【詳解】/(x)+∕(-x)=ln(√x2+l-xj+l+ln(√x2+l+xj+l=2,

故函數(shù)/(x)關(guān)于(0,1)對稱，又/(x)在R上嚴(yán)格遞減；

/(24)+/(O-4)=2,.?.24+b-4=0即2α+6=4.

4ha4ba4∕?。、C[4h~~aC

—+-----------=—+-------------=—+—≥2J---------=2.

a2ah+b2ab(2a+b)a4??a4h

當(dāng)且僅當(dāng)。二1三6力=4.時取得.

故選：B.

7.(2022秋?江蘇鎮(zhèn)江?高三江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)F(X)的定義

域?yàn)镽,且/(x+l)為奇函數(shù)，/(x+2)為偶函數(shù)，且對任意的4忍?(1,2),且工產(chǎn)9，

都有〃*)一"*)>0,則下列結(jié)論錯誤的為()

A.〃x)是偶函數(shù)B./(2023)=0

C./(x)的圖象關(guān)于(一1,0)對稱D.

【答案】D

【分析】由已知奇偶性得出函數(shù)/O)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱且關(guān)于直線x=2對稱，再

得出函數(shù)的單調(diào)性，然后由對稱性變形判斷ABC,結(jié)合單調(diào)性判斷D.

【詳解】/(x+l)為奇函數(shù)，/(x+2)為偶函數(shù)，/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)。,0)對稱且關(guān)于直

線x=2對稱，/(1+X)=-/d-?),/(2+x)=∕(2-x),/(1)=0,

/(2+x)=f(2-x)=f(l+l-x)=-/[I-(I-X)]=-/(X)

f(x+^)=-f(2+x)=f(x),所以/(x)是周期函數(shù)，4是它的一個周期.

/(-D=/(3)=/(2+1)=/(2-1)=/(1)=O,

/(2023)=/(4×506-1)=/(-1)=O,B正確；

f(-x)=-f(2+x)=-f(2-x)=f[2-(2-x)]=/(X),/(χ)是偶函數(shù)，A正確；

因此/(x)的圖象也關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對稱，C正確；

對任意的HX2?1，2)，且X產(chǎn)七，都有"*)一"士)>0,即l<x,<%<2時，

/(X1)</(x2),所以/U)在(1,2)是單調(diào)遞增，

7、“7、〃19、-19、.z19八「/3、.7131

/(--)=/(-)，/(丁)=〃—五)=/(-R+4)=∕(五)，2>->->1,

445ooo45

心＞f(￡),???/(-')＞吟，D錯.

故選：D.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：(1)”力的圖象關(guān)于點(diǎn)3,0)對稱,也關(guān)于點(diǎn)S,0)對稱，則/O)是

周期函數(shù)，2卜—可是/(χ)的一個周期；

(2)∕(χ)的圖象關(guān)于直線x=α對稱，也關(guān)于直線χ=b對稱，則f(χ)是周期函數(shù)，2?a-b?

是/(x)的一個周期；

(1)/S)的圖象關(guān)于點(diǎn)(。,0)對稱，也關(guān)于直線x=b對稱，則/(x)是周期函數(shù)，4?a-b?

是/(x)的一個周期.

8.(2023秋?江蘇揚(yáng)州?高三揚(yáng)州中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)及其導(dǎo)函數(shù)尸(x)的

定義域均為R，且/(5x+2)是偶函數(shù),記g(x)=r(x),g(x+l)也是偶函數(shù),則廣(2022)

的值為()

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)/(5》+2)是偶函數(shù)，可得/(-5》+2)=/(5萬+2),求導(dǎo)推得

g(x)=-g(r+4),從而求得g(2)=0,再根據(jù)g(x+l)為偶函數(shù)，可推得g(x+4)=g(x),

即4是函數(shù)g(x)的一個周期，由此Uj求得答案.

【詳解】因?yàn)閒(5x+2)是偶函數(shù)，所以/(一5x+2)=∕(5x+2),

兩邊求導(dǎo)得-5-(一5》+2)=5/'(5*+2),即-f(-5x+2)=f(5x+2),

所以g(5x+2)=-g(-5x+2),即g(χ)=-g(-χ+4),

令X=2可得g(2)=-g(2),即g(2)=0,

因?yàn)間(x+l)為偶函數(shù)，

所以g(χ+l)=g(-χ+D,即g(χ)=g(-χ+2),

所以-g(-x+4)=g(-x+2),即g(x)=-g(x+2),

.?.g(x+4)=-g(x+2)=g(x),所以4是函數(shù)g(x)的一個周期，

所以∕,(2022)=g(2022)=g(505x4+2)=g(2)=0,

故選：C.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：此類有關(guān)抽象函數(shù)的求值問題，一般方法是要根據(jù)題意推導(dǎo)出函數(shù)

具有的性質(zhì)，比如函數(shù)的奇偶性單調(diào)性以及周期性，然后利用周期性求值.

9.(2022秋?江蘇鹽城?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)"x)=x-f+ln，匚，若

2e-x

e2e2018e2019g2f)1Q

+/÷???÷∕亍(〃+3，其中〃>0,則

2020202020202020

立+耳的最小值為

?-1bD.旦

?I2

【答案】A

【解析】通過函數(shù)“可解析式可推得“x)+∕(e-x)=2,再利用倒序相加法求得

e2e2018^2019^

÷/，得到。+〃的值，然后對。分類討論

2020202020202020

利用基本不等式求最值即可得出答案.

【詳解】解：因?yàn)樾?…尹山言,

—?e、ex/、e】e(e-x)

^W∕ω÷∕(e-x)=Λ--÷1n--÷(e-x)--+ln-^-y

e(e-x)exe{e-x)?

=In-^-+In----------=ln(-------------------)=Ine2=2,

e-xe-XX

eIe2018e2019g

令S=f

2020202020202020

則

2S=U

+d普U?匾=2×2019

所以S=2019

1Ial1-a1b-21-2

當(dāng)α<0時----+'~~'=----+——=----+----=----+——+l1

j2?a?b-2ab-Iab-2ab

.(?)+1」/+52b+

?+1

22122--22aa

b-2a

≥lf-≥+2.+1=-

22-2ab4

z

■?=Γ`即S時等號成立;

因?yàn)?所以"：+苧的最小值為

4421aIb4

故選：A.

【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

(1)“一正二定三相等““一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二.項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最

大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號

則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

10.(2021秋?江蘇南京?高三南京市中華中學(xué)?？茧A段練習(xí))定義在R上的函數(shù)/(x)滿

/、/?f-x+3,l≤x<4

足/(2r)=∕(x),且當(dāng)x21時/(X)=,若對任意的xe[∕J+l],不等

IIIvJ人r,人~~t?

式〃2-.<^〃工+1+。恒成立，則實(shí)數(shù)，的最大值為()

211

A.—1B.—C.—D.—

333

【答案】C

【分析】若對任意的xe[f,r+l],不等式"2-x)≤"x+l+r)恒成立，即對Xd+1],

不等式/(x)≤"x+l+r)恒成立，∣x-l∣可x+f∣,進(jìn)而可得答案.

【詳解】?當(dāng)l≤x<4時，y=-x+3單調(diào)遞減，/(x)>∕(4)=l-log,4=-l,

當(dāng)x≥4時，/(x)單調(diào)遞減,/(x)≥∕(4)=-l,

故/(x)在[L+∞)上單調(diào)遞減,

由/(2-x)=∕(x),得f(x)的對稱軸為x=l,

若對任意的χe[f,r+l],不等式“2-x)Vy(X+ι+f)恒成立，

即對XWtf+IJ,不等式“χ)v∕(χ+l+,)恒成立，

.?.∣x-i∣≥∣x+r∣,

B∣j(l-x)2≥(x+/)2,

即2(f+l)x+∕-l≤0,

2(r+l)r+r2-l≤01

《、=>-l≤r≤---

2(∕+l)(f+l)+r2-l≤03

故實(shí)數(shù)，的最大值為-g.

故選：C.

11?(2021?江蘇鎮(zhèn)江.模擬預(yù)測)已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，/'(X)為函數(shù)F(X)的導(dǎo)數(shù).函

數(shù)/S)滿足e2(AD/(x+2)=F(T)(XeR),且對任意的x21都有，∕,(x)+∕(x)>0,則

下列一定判斷正確的是()

A.e2∕(2)>/(0)B.雙3)>∕(2)

C.e4∕(3)>∕(-l)D.e5∕(3)>/(-2)

【答案】B

【分析】構(gòu)造函數(shù)F(X)=eV(x),根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)*x)在［1,e)上單調(diào)遞增，根據(jù)

尸(x+2)=F(r)得到函數(shù)F(力關(guān)于χ=l對稱，得出網(wǎng)3)<尸(-2),F(3)=F(-1),

F(2)=f(0)以及尸⑶>尸⑵，進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)F(X)=e'∕(x),則α(X)=e"(x)+e"'(X)=e`"(x)+∕,(x)］,

,/對任意的X21都有/'(x)+/(X)>0，

；.F(x)>0,則F(X)在［l,+∞)上單調(diào)遞增，

F(x+2)=et+2√(x+2),/(—x)=?∕(-x),

Ve2^f(x+2)=f(-x),：.ex+2?ex?f(x+2)=f(-x),

.?.e"2∕(χ+2)=e-"(-χ),.?.F(x+2)=F(-x),

???尸(X)關(guān)于X=I對稱，則F(-2)=尸(4),

VF(X)在［1,E)上單調(diào)遞增，

ΛF(3)<F(4),BPF(3)<F(-2),Λe3∕(3)<e^7(-2)；

即e5∕(3)</(-2)成立,故D錯誤;

VF(3)=F(-1),F(2)=F(O),

,C?/⑶=∕∕(T),g7(2)=e0∕(0)，

即e4"3)=∕(-1),r∕(2)=∕(0),故A,C均錯誤；

?.?F(3)>F(2),Λζf(3)>∕(2),故B正確；

故選：B.

【點(diǎn)睛】破解抽象函數(shù)不等問題需要構(gòu)建新函數(shù)，常見構(gòu)造形式如下:

I.對于不等式f'(χ)±g'(χ)>0,構(gòu)造函數(shù)網(wǎng)X)=F(X)+g(χ);

2.對于不等式9'(x)+∕(x)>0,構(gòu)造函數(shù)F(X)=獷(力；

3.對于不等式礦(x)-∕(x)>O,構(gòu)造函數(shù)尸(X)=W；

4.對于不等式/'(χ)+y(χ)>o,構(gòu)造函數(shù)產(chǎn)(X)=ej7(x);

5.對于不等式T(x)-∕(x)>O,構(gòu)造函數(shù)F(X)=綽；

e

12.(2022秋.江蘇淮安?高三馬壩高中校考階段練習(xí))設(shè)函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,∕(x+1)

為奇函數(shù)，f(x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)XwI,2］時，f(x)=ax2+b.若/(O)+/(3)=6,則

【答案】D

【分析】通過/(x+l)是奇函數(shù)和f(x+2)是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式

/(x)=-2√+2,進(jìn)而利用定義或周期性結(jié)論，即可得到答案.

【詳解】［方法一］：

因?yàn)?(χ+l)是奇函數(shù)，所以/(-χ+ι)=-∕(χ+ι)①；

因?yàn)閒(x+2)是偶函數(shù)，所以/(x+2)="τ+2)②.

令x=l,由①得:/(O)=-〃2)=-(4α+)),由②得：/(3)=∕(l)=α+?,

因?yàn)?(O)+/⑶=6,所以-(4α+6)+α+b=6=>α=-2,

令x=0,由①得：/(1)=—/(I)=F(I)=O=人=2,所以/(x)=-2Y+2.

思路一：從定義入手.

95

2

［方法二］：

因?yàn)?(x+l)是奇函數(shù)，所以/(τ+l)=-/(x+l)①；

因?yàn)?(x+2)是偶函數(shù)，所以/(x+2)=∕(-x+2)②.

令x=l,由①得：/(0)=-∕(2)=-(4a+?),由②得：/(3)=∕(l)=α+?,

因?yàn)?/"(O)+/(3)=6,所以-(44+∕∕)+α+b=6=α=-2,

令x=0,由①得：/(1)=一/(1)=/(1)=0=人=2,所以/(x)=-2∕+2.

思路二：從周期性入手

由兩個對稱性可知，函數(shù)/(x)的周期7=4.

故選：D.

【點(diǎn)睛】在解決函數(shù)性質(zhì)類問題的時候，我們通常可以借助一些二級結(jié)論，求出其周期

性進(jìn)而達(dá)到簡便計(jì)算的效果.

13.(2021秋?江蘇鹽城?高三鹽城市伍佑中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/O)=*-g∣x∣,

則/(x)f(x+2)≤0的解集為()

A.r-3,I]B.[-l,?]C.r-3,-HD.[-3,+∞)

【答案】A

【分析】先探究得到：當(dāng)x≤T或X21時，/(x)≤0;當(dāng)T≤x≤l時，/(x)≥0.然后

JU)≤O

將不等式/(x)∕(x+2)≤0等價(jià)為/(x+2)>0β

【詳解】顯然，函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù).

當(dāng)x∈[0,y)時，?(?)??-??,所以f(x)是減函數(shù)，目J⑴=O；

所以當(dāng)x∈(-8,0)時，f(χ)是增函數(shù)，R/(-1)=0.

因此，當(dāng)1或x21時，∕U)≤0;當(dāng)T≤χ≤l時，/(x)≥0.

/U)≤O/(X)≥O

所以，TW(X+2)≤0=

/(x+2)≥0/(x+2)≤0

-l≤x≤l

Λ?+2<-1<X+2≥1

<=>—3≤X≤-1或-1≤X≤1≤=>-3≤X≤1.

故∕UW+2)≤O的解集為[-3,1].

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是探究得到：當(dāng)x≤T或X21時，/?(x)≤0;當(dāng)

-l≤x≤l時，∕ω>o.

14.(2020春?江蘇鹽城?高三江蘇省濱海中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)

F(X)=2(x+l)+sinX+ln(√7+l+x),若不等式f(3,-9')+/(，〃?3,-3)<4對任意

XGR均成立，則加的取值范圍為()

A.∞,2?∕3—1jB.∞,-2Λ^+1)C.2?∕3+1,2>/3—1jD.(―2Λ∕5+1,+<X>)

【答案】A

【分析】由題設(shè)，構(gòu)造g(x)=∕(x)-2,易證以")為奇函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可證g(x)為增函

3

數(shù)，結(jié)合題設(shè)不等式可得g(3x-9")<g(3-力3"),即機(jī)<三+3"-1對任意JVeR均成立,

3

即可求m的范圍.

【詳解】由題設(shè),令g(x)=f(x)-2=2x+sinx+ln(J%2+1+力

2

?*?^(-x)=-2x+sin(-x)÷ln(λ∕(-x)+1-x)=-2x-sinx-ln(√P+I+x)=-^(x)，

r

???g(%)為奇函數(shù),又g(x)=2+cosX+y->---0,即g(x)為增函數(shù),

√Λ2+I

?.?∕(3v-9')+∕(w3x-3)<4,即/(3*-9*)-2<T∕(∕n?3*-3)-2],

：.g(3*-9*)<-g(∕H?3*-3)=g(3-m?3*),則3*-9*<3-m3*,

.?.m<2?+3I對任意XER均成立，又3+3'_拒2、戶不-1=26-1，當(dāng)且僅當(dāng)

33*V3*

X=；時等號成立，

?*?m<2?∣3一1,即加￡卜8,2>∣3-lj.

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造g(x)=∕(x)-2并證明其奇偶性、單調(diào)性，結(jié)合題設(shè)不等式

可將問題轉(zhuǎn)化為，"1+3*-1對任意XeR均成立.

15.(2021秋?江蘇鹽城?高三阜寧縣東溝中學(xué)?？茧A段練習(xí))定義域?yàn)镽的偶函數(shù)/(x)滿

足對VreR,<∕(x+2)=∕(x)-∕(l),且當(dāng)x∈[2,3]時，f(x)=-2x2+12x-lS,若函

數(shù)y=∕(x)-log,,(∣x|+1)在(0,+8)上至多有三個零點(diǎn)，則”的取值范圍是()

A.B.U(i,+∞)

【答案】B

【分析】首先利用/(x)是偶函數(shù)的條件求出了⑴，進(jìn)而得到函數(shù)具有周期性，然后利用

函數(shù)的周期性和奇偶性作出函數(shù)/(X)的圖像，利用/(χ)與y=loga(I*I+1)的圖像在

(0,+∞)匕至多有三個交點(diǎn)確定a的取值范圍.

【詳解】V函數(shù)AX)是偶函數(shù)，

令A(yù)—1得/(-1+2)=/(-1)-/(?)=/(1),

解得/(1)=0.

：.f(x+2)=f(x)-f(l)=f(x),即函數(shù)的周期是2.

由y=/(x)-Iogfl(|XI+1)=O得f(χ)=IOga(IXI+1),

令y=iog1,(∣χ∣+i),

當(dāng)x>0時，y=loga(∣x∣+l)=log0(x+l),

若α>l,如圖所示：

則由圖像可知，此時函數(shù)y=∕(χ)-log/∣χ∣+l)在①,一)上沒有零點(diǎn)，此時滿足條件.

若O<“<l,如圖所示：

則由圖像可知,要使兩個函數(shù)y=f(χ)與y=Ioga(IχI+1)在(0,+∞)上至多有三個交點(diǎn),

則y=log”(I*I+D不能在點(diǎn)8(4,-2)上方,

即Ioga(∣4∣+l)<-2=>Ioga5<-2=>a>-?,

?石1

??——<a<?.

5

綜上所述，4的取值范圍是I)U(I,+∞),

故選：B.

16.(2021秋?江蘇揚(yáng)州?高三統(tǒng)考期中)設(shè)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)爛0時，

〃幻=3一.若對任意的x∈[l,2],不等式f(χ)≥∕2(χ-咽恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為

()

^31「13一

A.[0,1]B.1,-C.---D.[1,2]

【答案】B

【分析】由所給解析式可得r(X)=/(2x),原問題轉(zhuǎn)化為f(x)≥f(2x-2m),根據(jù)單調(diào)

性及偶函數(shù)的性質(zhì)可得12x-2m∣≤X恒成立，去掉絕對值即可求解.

QTr<0V2xr<0

【詳解】易得：/(X)="'一八，則∕2(X)=g'^,

[3Λ,X>0[32Λ,Λ>0

即尸(X)=/(2x)

由解析式知，/(X)在[0,+8)遞增

不等式/(X)≥f2(x-m)可化為：f(x)≥/(2x-2m)對任意Xe[1,2]恒成立，

即/(x)>/(12x—2切)對任意Xw[1,4恒成立，

X??

由單調(diào)性知，∣2X-2∕71∣≤X,即;≤m≤T恒成立，

22

3

則1≤機(jī)≤5,

故選：B

17.(2022秋?江蘇南京?高三期末)若函數(shù)/(%)的定義域?yàn)閆,且

?(?+y)÷/(?-y)=/(χ)[∕(y)+f(-y)]，/(f=0,A。)=/Q)=ι,則曲線y="(x)∣

與y=log2IM的交點(diǎn)個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】利用賦值法求出當(dāng)xeZ,且X依次取0』,2,3,時的一些函數(shù)值，從而找到

y="(x)l函數(shù)值變化的規(guī)律，同理找到當(dāng)XeZ,且X依次取-1,-2,-3,時，y=I/(X)I

函數(shù)值變化的規(guī)律，數(shù)形結(jié)合，即可求得答案.

【詳解】由題意函數(shù)/(χ)的定義域?yàn)閆,且.f(χ+y)+∕(χ-y)=∕(χ)LΛy)+∕(-y)],

Z(-l)=0,/(0)=∕(2)=l,

令y=I,則/(X+1)+f(X-V)=?(?)[/(i)+/(-1)]=?(?)?(i),

令x=l,則/(2)+/(0)=)2(1),即尸⑴=2,

令”2,則f(3)+/(1)=/(2)/(1),BP/(3)=0,

令X=3,則/(4)+f(2)=f(3)*l),BP/(4)=-l,

令x=4,則/(5)+/(3)=/(4)/⑴，即f(5)=-f(l),

令X=5,則/(6)+/(4)=”5)/(1),BP/(6)-1=-∕2(1),???∕(6)=-1,

令x=6,則/⑺+y(5)=f(6)∕(l),BP∕(7)-∕(1)=-∕(1),.?.∕(7)=O,

令X=7,IjllJ/(8)+/(6)=./(7)/(1),即f(8)-l=0,.?.f(8)=l,

依次類推，可發(fā)現(xiàn)此時當(dāng)xeZ,且X依次取0,1,2,3,.時，

函數(shù)y=f(x)I的值依次為1，夜,1,0,1，￡1,0，,即每四個值為一循環(huán)，

此時曲線y=If(x)I與y=Iog2W的交點(diǎn)為(2,1)；

令后一1,則〃0)+/(—2)=∕(7)f(l)=0,.?J(-2)=—1,

令X=—2,則/(-D+/(-3)=/(-2)/(1)=-/(1),.-./(-3)=-/(1),

令X=-3,則/(-2)+/(-4)=/(-3)/(1)=-∕2(1),.?./(-4)=-1,

令X=-4,則f(-3)+f(-5)=/(Y)f⑴=-/(I),.-./(-5)=0,

令X=-5,則令-4)+/(-6)=/(-5)/(1)=0,.?.∕(-6)=1,

令X=-6,則/(-5)+/(-7)=/(-6)/(1)=/(1),??√(-7)=/(1),

令x=-7，則/(-6)+/(-8)=/(-7)/(1)=∕2(1),.?./(-8)=1,

依次類推，可發(fā)現(xiàn)此時當(dāng)XeZ,且X依次取7,-2,-3，時，

函數(shù)y=l∕(χ)I的值依次為0,1,灰，1,0,1,3,1,0,，即每四個值為一循環(huán)，

此時曲線y=I/（χ）I與y=log?N的交點(diǎn)為（T，°），（-2,D；

故綜合上述,曲線y=I/(χ)I與y=IogzW的交點(diǎn)個數(shù)為3,

故選：B

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：確定曲線y=lf(χ)l與y=iog2∣X的交點(diǎn)個數(shù)，要明確函數(shù)y="(χ)l

的性質(zhì)，因此要通過賦值求得y=lf(χ)I的一些函數(shù)值，從中尋找規(guī)律，即找到函數(shù)

y=I/(χ)I的函數(shù)值循環(huán)的規(guī)律特點(diǎn)，這是解答本題的難點(diǎn)所在.

二、多選題

18.(2020秋?江蘇?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=V-4x+(加->n)(eχ-1+e^x+2)

(e為自然對數(shù)的底數(shù))有唯一零點(diǎn)，則m的值可以為()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】BC

【解析】由已知，換元令t=χ-2,可得AT)=/(r),從而/⑴為偶函數(shù)，/(X)圖象關(guān)

于x=2對稱，結(jié)合函數(shù)圖象的對稱性分析可得結(jié)論.

χ2t+2

【詳解】；/(x)=χ2-4x+(/-機(jī))(e*-2+)=(X-2)2—4+(〃/-m)(e-+e^?),

令f=x—2,!ill]f(t)=t2-4+(m2-m)(e'+e^'),定義域?yàn)镽,

/(-0=(-t)2-4+(m2-m)(e-'+e')=f⑴,故函數(shù)/⑺為偶函數(shù)，

所以函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于x=2對稱，

要使得函數(shù)F(X)有唯一零點(diǎn),則使2)=0,

即4-8+2(//7?-"i)=0,解得m=T或2

①當(dāng)機(jī)=-1時，f(t)=t2-4+2(e'+e^,)

由基本不等式有d+e-'22,當(dāng)且僅當(dāng)r=0時取得

.?.2(√+e^,)≥4

故/⑺=尸-4+2(d+"')≥0,當(dāng)且僅當(dāng)r=0取等號

故此時/(X)有唯一零點(diǎn)x=2

②當(dāng)機(jī)=2時，f(t)=t2-4+2(e'+e-'),同理滿足題意.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：①函數(shù)軸對稱：如果一個函數(shù)的圖像沿一條直線對折，直線兩側(cè)的

圖像能夠完全重合，則稱該函數(shù)具備對稱性中的軸對稱，該直線稱為該函數(shù)的對稱軸.

②y=∕(x)的圖象關(guān)于直線X=。對稱o∕(α-x)=∕(α+x)o∕(-X)=/(2α+x)

19.(2022春?江蘇鹽城?高三江蘇省響水中學(xué)校考階段練習(xí))定義在R上的函數(shù)/'(X)滿

4

足/(x)=2∕(x-2),且xe[r0,l)時，f(χ)=(∕⑴)",x∈[l,2]時，/(X)=—.令g(x)=/(X)-X-α,

X

x∈[-2,6],若函數(shù)g(x)的零點(diǎn)有8個，則。的可能取值為()

A.2.5B.2.6C.2.8D.3

【答案】BC

【分析】根據(jù)函數(shù)滿足的性質(zhì)，作出/(x)的圖象，函數(shù)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，

利用數(shù)形結(jié)合求解.

【詳解】/(x)=2∕(x-2),

，自變量X每增加2個單位，縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，

χ∈[0,l)時，/(x)=(∕(l))'=4?xe[l,2]時，/(x)=p

作出/(x)圖象如圖，

&(x)=/(X)-X-。的零點(diǎn)有8個，

即/(χ)與y=x+α在xe[-2,6]上有8個交點(diǎn),

由圖象可知，需滿足

∕z(-l)<2,∕z(l)<4,A(3)<8,Λ(5)<16,∕J(-2)>?,Λ(0)>1,∕z(2)>2,∕z(4)>4,Λ(6)>8,

解得∣<α<3.

所以。可取2.6,2.8,

故選：BC

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)所給函數(shù)滿足的性質(zhì)，作出函數(shù)在xe［-2,6］上的圖象是解

題的關(guān)鍵，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，由交點(diǎn)個數(shù)為8探求。的取值范圍，屬于難題.

20.(2022秋?江蘇揚(yáng)州?高三?？计谥?已知函數(shù)/(x)=x+ln(l+e2),則下列說法正確

的是()

A./5)的值域?yàn)镽

B./(x)是偶函數(shù)

C.y=∕(χ+D的圖象關(guān)于直線戶-1對稱

D./(-2)>/(Iog23)

【答案】BCD

【分析】求得F(X)的值域判斷選項(xiàng)A；求得了(X)的奇偶性判斷選項(xiàng)B；求得了(X)的對稱

軸判斷選項(xiàng)C；求得/(-2)>/(Iog23)的大小關(guān)系判斷選項(xiàng)D.

【詳解】/(x)=x+ln(l+e^2x)=ln(e^x+ex),因?yàn)閑-*+e'≥2,

所以/(x)的值域?yàn)椋踠n2,+∞).A錯；

/(x)的定義域是R，且/(—x)=ln(eτ+e')=∕(x),則/(X)是偶函數(shù).B對；

y=/U+D的圖象可看成/(x)的圖象向左平移一個單位長度，

乂f(χ)的圖象關(guān)于y軸對稱，則y=fO+1)的圖象關(guān)于直線X=-1對稱C對；

令g(x)=e'+eijr,貝IJg'(x)=e'-e^x,

當(dāng)x>0時，g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增，且g(χ)>o

又y=InX為(O,+e)上增函數(shù)，所以/(%)=In(e-r+e，)在(O,+∞)上單調(diào)遞增，

因?yàn)?=log24>Iog23>0,所以/(2)>/(Iog23),

又/(x)是偶函數(shù)，則/(-2)=/(2),則/(-2)>/(Iog23).D對.

故選：BCD.

21.(2021秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)y=f(x)滿足：對于任意實(shí)數(shù)

x,y∈R,都有/(x+y)+∕(x-y)=2f(x)cosy,且/"(0)=0,則()

A./(x)是奇函數(shù)B.7(x)是周期函數(shù)

C.VΛ-SR,∣∕(Λ-)∣<ID.F(X)在［-?∣,夕上是增函數(shù)

【答案】AB

【分析】利用賦值法以及特殊函數(shù)即可得出答案.

【詳解】解:對A,由f(x+y)+f(x-y)=2/(X)CoSy

令x=0,得f(y)+f(-y)=2f(0)cos0,./(0)=0

.?.f(y)+f(-y)=O,

F(X)為奇函數(shù),故A正確;

對B,令產(chǎn)楙，W∕(x+f)+∕U-f)=0

F(X-9=-/(X+?)

.?.f{x}=-f{x+π)

:.f(x}=f(x+2π)

/(x)是周期函數(shù)，故B正確；

對C,當(dāng)/(x)=2SinX時，符合題意，但是"(x)∣≤2,故C錯誤；

JTTT

對D,當(dāng)/(x)=-2SinX時，符合題意，但是/(x)在［一全自上是減函數(shù)，故D錯誤.

故選：AB.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對于抽象函數(shù)，常用賦值法求解函數(shù)相關(guān)性質(zhì).

22.(2022?江蘇泰州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知定義在R上的單調(diào)遞增的函數(shù)/(x)滿足：任

意xeR,有“l(fā)-x)+"l+x)=2,/(2+x)+∕(2-x)=4,則()

A.當(dāng)x∈Z時，/(x)=x

B.任意XeR,/(-x)=-∕(x)

C.存在非零實(shí)數(shù)T,使得任意XeR,/(x+η=∕(x)

D.存在非零實(shí)數(shù)c,使得任意XeR,1f(x)-cx∣≤l

【答案】ABD

【分析】令X=IT可推導(dǎo)得〃x+2)=∕(x)+2,結(jié)合〃I)J⑵的值可知A正確：令

x=l+f可推導(dǎo)得f(r)=∕(2-力-2,結(jié)合F(X)+/(2-x)=2可推導(dǎo)知B正確；根據(jù)

/(x)單調(diào)性可知C錯誤；當(dāng)C=I時，根據(jù)/(X)的對稱中心及其在[0』時的值域可確

定C=I時滿足3≤1,知D正確.

[詳解】對于A,令x=]_f,則/(r)+y(2-z)=2,即/(x)+∕(2-x)=2,

又“2+x)+∕(2-x)=4,.?.∕(x+2)=4-∕(2-x)=4-(2-∕(x))=∕(x)+2;

令x=0得：/(1)+∕(1)=2,/(2)+∕(2)=4,/,?(l)?l,/(2)=2,

貝U由/(x+2)=∕(x)+2可知：當(dāng)x∈Z時，/(x)=x,A正確；

對于B,令x=l+r,則/(τ)+∕(2+f)=2,即/(-x)+∕(2+x)=2,

.?.∕(-x)=2-∕(2+x)=2-(4-∕(2-x))=∕(2-x)-