線性代數(shù)1期末習(xí)題2套和答案-簡答

92學(xué)期線性代數(shù)1期末復(fù)習(xí)題第1頁共3頁期末復(fù)習(xí)題（一）一.選擇題:1.設(shè)A與B均為n階方陣,則下列結(jié)論中成立.(A)det(AB)=0,則A=O或B=O；(B)det(AB)=0,則detA=0或detB=0；(C)AB=O,則A=O或B=O；(D)ABO,則detA0或detB0.2.設(shè)a1=(1,1,0,0),a2=(0,0,1,1),a3=(1,0,1,0),a4=(1,1,1,1),則它們的最大無關(guān)組為.(A)a1,a2;(B)a1,a2,a3;(C)a1,a2,a4;(D)a1,a2,a3,a4.二.是非題:1.若n階實對稱矩陣A滿足A2=O,則A=O.()2.若齊次線性方程組Ax=0只有零解,A的列向量組線性無關(guān).()3.若n階實對稱矩陣A=(aij)正定,則aii>0(i=1,2,,…,n).()三.填空題:1.二次型f(x1,x2,x3)=–4x1x2+2x1x3的秩為.2.設(shè)A為n階方陣,且detA=2,則.3.已知矩陣A=與B=相似,x=,y=.4.當(dāng)t取值為時,二次型f=–x12–4x22–2x32+2tx1x2+2x1x3是負定的.四.已知向量=(a1,a2,…,an)和=(b1,b2,…,bn),求矩陣A=T的全部特征根.五.求解矩陣方程.六.取何實值時,線性方程組有唯一解.無窮多解.無解？在有無窮多解的情況下求通解.七、1.設(shè)A為正交矩陣且detA=–1,證明A+E不可逆.2.設(shè)n階可逆矩陣A中每行元素之和為常數(shù)a,證明:(1)常數(shù)a0.(2)A–1的每行元素之和為常數(shù)a–1.八設(shè)A=,求An.九用正交變換化二次型f(x1,x2,x3)=2x12+5x22+5x32+4x1x2–4x1x3–8x2x3為標(biāo)準型,并寫出所用正交變換.期末復(fù)習(xí)題（二）一.填空題:1.設(shè)3階方陣A按列分塊為A=(a1,a2,a3),且detA=5,又設(shè)B=(a1+2a2,3a1+4a3,5a2),則det2.設(shè)A=的伴隨矩陣為A*,則(A*)–1=.3.若向量=(0,k,k2)能由向量1=(1+k,1,1),2=(1,1+k,1),3=(1,1,1+k),唯一線性表示,則k應(yīng)滿足.4.已知二次型f=x12+x22+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3經(jīng)正交變換化為標(biāo)準型f=y22+2y32,則a=,b=.二.選擇題.1.設(shè)向量組1,2,.3線性無關(guān)，且1能被1,2,.3線性表示，而2不能被1,2,.3線性表示，則().A.1,2,1線性相關(guān)；B.1,2,2線性相關(guān)；C.1,2,1,2線性相關(guān)；D.1,2,1+2線性無關(guān).2.A是n階矩陣，|A|=0的充分必要條件是：(1)Ax=0有非零解.(2)Ax=b有無窮多解.(3)A的列向量組中任何一個向量可被其余n-1個向量線性表示.(4)A的特征值全為0.(5)A的行向量組線性相關(guān).以上結(jié)論正確的是().A.(1)(2)(3)(5)；B.(1)(2)(4)(5);C.(1)(5);D.(1)(2)(5)三.計算n階行列式Dn=.四.設(shè)A=,且BA=A+B,求矩陣B.五.取何實值時,線性方程組有唯一解、無窮多解、無解？在有無窮多解的情況下求通解.六.設(shè)A是n階實對稱矩陣且滿足A2=A,又設(shè)A的秩為r.1.證明A的特征值為1或0;2.求行列式det(2E–A),其中E是n階單位矩陣.七.已知二次型f=tx12+tx22+tx32–4x1x2–4x1x3+4x2x3,1.t取何值時,二次型是負定的;2.取t=0,試用正交變換化二次型為標(biāo)準形(寫出所用的正交變換).八.已知A是實反對稱矩陣(即滿足AT=–A),試證E–A2為正定矩陣,其中E是單位矩陣.期末復(fù)習(xí)題（一）參考答案一、1.(B);2.(B).二、1.(對);2.(對);3.(對).三、1.2;2.;3.x=0,y=–2;4.|t|<.四、1=2=…=n–1=0,n=–T=.五、X=.六1.當(dāng)1時有唯一解;2.當(dāng)=1時無解;3.當(dāng)=–1時有無窮多解,通解為x=(1,0,1,0)T+k(–1,1,–1,1)T,k為任意常數(shù).七、1.提示證明:|A+E|=0,即A+E不可逆.2.(1)提示:考慮常數(shù)a是矩陣A的特征值,向量β=(1,1,…,1)T是矩陣A的特征向量.(2)提示:證明思路同上.八..九、正交變換.二次型的標(biāo)準形為f=y12+y22+10y32.期末復(fù)習(xí)題（二）參考答案一.1.–100;2.;3.k0且k3;4.a=b=0.二.1D;2C.三..四..五、1.當(dāng)0,1時有唯一解;2.當(dāng)=0,1時無解;3.當(dāng)=–1時