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遼寧省五校2023年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題(本大題共12小題,共60分)1.已知正方形的邊長為4,動點(diǎn)從點(diǎn)開始沿折線向點(diǎn)運(yùn)動,設(shè)點(diǎn)運(yùn)動的路程為,的面積為,則函數(shù)的圖像是()A. B.C. D.2.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度,再向上平移1個(gè)單位長度,得到的圖象,若,且,則的最大值為A. B.C. D.3.已知全集,集合,,則()A.{2,3,4} B.{1,2,4,5}C.{2,5} D.{2}4.若正數(shù)x,y滿足,則的最小值為()A.4 B.C.8 D.95.設(shè),,,則A. B.C. D.6.青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題,視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為()()A.1.5 B.1.2C.0.8 D.0.67.設(shè),,下列圖形能表示從集合A到集合B的函數(shù)圖像的是A. B.C. D.8.函數(shù)()A. B.C. D.9.已知向量,,若,則實(shí)數(shù)的值為()A.或 B.C. D.或310.“”的一個(gè)充分不必要條件是()A. B.C. D.11.矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B-AC-D,則四面體ABCD的外接球的體積是()A.12512πC.1256π12.下列說法中正確的是()A.如果一條直線與一個(gè)平面平行,那么這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線平行B.平面內(nèi)的三個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離相等,則與平行C.,,則D.,,,則二、填空題(本大題共4小題,共20分)13.已知,是相互獨(dú)立事件,且,,則______14.將正方形沿對角線折成直二面角,有如下四個(gè)結(jié)論:①;②是等邊三角形;③與所成的角為,④取中點(diǎn),則為二面角的平面角其中正確結(jié)論是__________.(寫出所有正確結(jié)論的序號)15.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x+1)為奇函數(shù),f(x+2)為偶函數(shù),當(dāng)x∈[1,2]時(shí),f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,則f()=____________.16.函數(shù)的定義域?yàn)開__三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.已知.(1),求和的值;(2)若,求的值.18.在體育知識有獎(jiǎng)問答競賽中,甲、乙、丙三人同時(shí)回答一道有關(guān)籃球知識的問題,已知甲答題正確的概率是,乙答題錯(cuò)誤的概率是,乙、丙兩人都答題正確的概率是,假設(shè)每人答題正確與否是相互獨(dú)立的(1)求丙答題正確的概率;(2)求甲、丙都答題錯(cuò)誤,且乙答題正確的概率19.已知函數(shù)(,)為奇函數(shù),且相鄰兩對稱軸間的距離為(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)將函數(shù)的圖象沿軸方向向右平移個(gè)單位長度,再把橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象.當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域20.為保護(hù)環(huán)境,污水進(jìn)入河流前都要進(jìn)行凈化處理.我市工業(yè)園區(qū)某工廠的污水先排入凈化池,然后加入凈化劑進(jìn)行凈化處理.根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出,在一定范圍內(nèi),每放入1個(gè)單位的凈化劑,在污水中釋放的濃度y(單位:毫克/立方米)隨著時(shí)間x(單位:小時(shí))變化的函數(shù)關(guān)系式近似為.若多次加進(jìn)凈化劑,則某一時(shí)刻凈化劑在污水中釋放的濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和.由實(shí)驗(yàn)知,當(dāng)凈化劑在污水中釋放的濃度不低于4(毫克/立方米)時(shí),它才能起到凈化污水的作用.(1)若投放1個(gè)單位的凈化劑4小時(shí)后,求凈化劑在污水中釋放的濃度;(2)若一次投放4個(gè)單位的凈化劑并起到凈化污水的作用,則凈化時(shí)間約達(dá)幾小時(shí)?(結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù):,)(3)若第一次投放1個(gè)單位的凈化劑,3小時(shí)后再投放2個(gè)單位的凈化劑,設(shè)第二次投放t小時(shí)后污水中凈化劑濃度為(毫克/立方米),其中,求的表達(dá)式和濃度的最小值.21.已知函數(shù),且滿足.(1)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性,并用定義證明;(2)設(shè)函數(shù),求在區(qū)間上的最大值;(3)若存在實(shí)數(shù)m,使得關(guān)于x的方程恰有4個(gè)不同的正根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.22.(1)已知,,求的值;(2)若,求的值.
參考答案一、選擇題(本大題共12小題,共60分)1、D【解析】當(dāng)在點(diǎn)的位置時(shí),面積為,故排除選項(xiàng).當(dāng)在上運(yùn)動時(shí),面積為,軌跡為直線,故選選項(xiàng).2、A【解析】分析:利用三角函數(shù)的圖象變換,可得,由可得,取,取即可得結(jié)果.詳解:的圖象向左平移個(gè)單位長度,再向上平移1個(gè)單位長度,得到,,且,,,因?yàn)椋詴r(shí),取為最小值;時(shí),取為最大值最大值為,故選A.點(diǎn)睛:本題主要考查三角函數(shù)圖象的變換以及三角函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.能否正確處理先周期變換后相位變換這種情況下圖象的平移問題,反映學(xué)生對所學(xué)知識理解的深度.3、B【解析】根據(jù)補(bǔ)集的定義求出,再利用并集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)槿?,,所以,又因?yàn)榧?,所以,故選:B.4、C【解析】由已知可得,然后利用基本不等式可求得結(jié)果【詳解】解:因?yàn)檎龜?shù)x,y滿足,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號,所以的最小值為8,故選:C【點(diǎn)睛】此題考查基本不等式應(yīng)用,利用了“1”的代換,屬于基礎(chǔ)題5、C【解析】利用有理指數(shù)冪與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)分別比較,,與1和2的大小得答案【詳解】∵,且,,,∴故選C【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)值的大小比較,考查有理指數(shù)冪與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),尋找中間量是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題6、C【解析】根據(jù)關(guān)系,當(dāng)時(shí),求出,再用指數(shù)表示,即可求解.【詳解】由,當(dāng)時(shí),,則.故選:C.7、D【解析】從集合A到集合B的函數(shù),即定義域是A,值域?yàn)锽,逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閺募螦到集合B的函數(shù),定義域是A,值域?yàn)锽;所以排除A,C選項(xiàng),又B中出現(xiàn)一對多的情況,因此B不是函數(shù),排除B.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖像,能從圖像分析函數(shù)的定義域和值域即可,屬于基礎(chǔ)題型.8、A【解析】由于函數(shù)為偶函數(shù)又過(0,0),排除B,C,D,所以直接選A.【考點(diǎn)定位】對圖像的考查其實(shí)是對性質(zhì)的考查,注意函數(shù)的特征即可,屬于簡單題.9、A【解析】先求的坐標(biāo),再由向量垂直數(shù)量積為0,利用坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.【詳解】由向量,,知.若,則,解得或-3.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】利用充分條件,必要條件的定義判斷即得.【詳解】由,可得,所以是的充要條件;所以是既不充分也不必要條件;所以是的必要不充分條件;所以是的充分不必要條件.故選:D.11、C【解析】由矩形的對角線互相平分且相等即球心到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等推出球心為AC的中點(diǎn),即可求出球的半徑,代入體積公式即可得解.【詳解】因?yàn)榫匦螌蔷€互相平分且相等,根據(jù)外接球性質(zhì)易知外接球球心到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,所以球心在對角線AC上,且球的半徑為AC長度的一半,即r=12AC=故選:C【點(diǎn)睛】本題考查球與幾何體的切、接問題,二面角的概念,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】根據(jù)線面關(guān)系,逐一判斷每個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】解:對于A選項(xiàng),如果一條直線與一個(gè)平面平行,那么這條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線平行,而不是任意的直線平行,故錯(cuò)誤;對于B選項(xiàng),如圖,,,,分別為正方體中所在棱的中點(diǎn),平面設(shè)為平面,易知正方體的三個(gè)頂點(diǎn),,到平面的距離相等,但所在平面與相交,故錯(cuò)誤;對于選項(xiàng)C,可能在平面內(nèi),故錯(cuò)誤;對于選項(xiàng)D,正確.故選:D.二、填空題(本大題共4小題,共20分)13、【解析】由相互獨(dú)立事件的性質(zhì)和定義求解即可【詳解】因?yàn)?,是相互?dú)立事件,所以,也是相互獨(dú)立事件,因?yàn)?,,所以,故答案為?4、①②④【解析】如圖所示,取中點(diǎn),則,,所以平面,從而可得,故①正確;設(shè)正方形邊長為,則,所以,又因?yàn)?,所以是等邊三角形,故②正確;分別取,的中點(diǎn)為,,連接,,.則,且,,且,則是異面直線,所成的角在中,,,∴則是正三角形,故,③錯(cuò)誤;如上圖所示,由題意可得:,則,由可得,據(jù)此可知:為二面角的平面角,說法④正確.故答案為:①②④.點(diǎn)睛:(1)有關(guān)折疊問題,一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間圖形)各元素間的位置和數(shù)量關(guān)系,哪些變,哪些不變(2)研究幾何體表面上兩點(diǎn)的最短距離問題,常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱展開,轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離問題15、【解析】由f(x+1)為奇函數(shù),f(x+2)為偶函數(shù),可得,,再結(jié)合已知的解析式可得,然后結(jié)合已知可求出,從而可得當(dāng)時(shí),,進(jìn)而是結(jié)合前面的式子可求得答案【詳解】因?yàn)閒(x+1)為奇函數(shù),所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,所以,且因?yàn)閒(x+2)為偶函數(shù),所以的圖象關(guān)于直線對稱,,所以,即,所以,即,當(dāng)x∈[1,2]時(shí),f(x)=ax2+b,則,因?yàn)?,所以,得,因?yàn)椋裕援?dāng)時(shí),,所以,故答案為:16、【解析】解不等式組即得解.【詳解】解:由題得且,所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為:三、解答題(本大題共6小題,共70分)17、(1);(2)【解析】(1)根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,以及二倍角公式,即可求解;(2)根據(jù)角的變換,再結(jié)合兩角和的余弦公式,即可求解.【小問1詳解】,,,得,;【小問2詳解】,,,,.18、(1)(2)【解析】(1)設(shè)丙答對這道題的概率為,利用對立事件和相互獨(dú)立事件概率公式,即可求解;(2)由相互獨(dú)立事件概率乘法公式,即可求解.【小問1詳解】記甲、乙、丙3人獨(dú)自答對這道題分別為事件,設(shè)丙答對題的概率,乙答對題的概率,由于每人回答問題正確與否是相互獨(dú)立的,因此是相互獨(dú)立事件.根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式,得,解得,所以丙對這道題的概率為【小問2詳解】甲、丙都答題錯(cuò)誤,且乙答題正確的概率為甲、乙、丙三人都回答錯(cuò)誤的概率為19、(1),](2)值域?yàn)閇,]【解析】(1)利用三角恒等變換化簡的解析式,根據(jù)條件,可求出周期和,結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì),求出,再用整體代入法求出內(nèi)的遞減區(qū)間;(2)利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律,求出的解析式,再利用正弦函數(shù)定義域,即可求出時(shí)的值域.【詳解】解:(1)由題意得,因相鄰兩對稱軸之間距離為,所以,又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù),所以,∴,因?yàn)?,所以故函?shù)令.得.令得,因?yàn)?,所以函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,](2)由題意可得,因?yàn)?,所以所以?即函數(shù)的值域?yàn)閇,]【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性和值域,包括周期性,奇偶性,單調(diào)性和最值,還涉及三角函數(shù)圖像的平移伸縮和三角恒等變換中的輔助角公式.20、(1)6毫克/立方米(2)7.1(3),;的最小值為12毫克/立方米【解析】(1)由函數(shù)解析式,將代入即可得解;(2)分和兩種情況討論,根據(jù)題意列出不等式,從而可得出答案;(3)根據(jù)題意寫出函數(shù)的解析式,再根據(jù)基本不等式即可求得最小值.【小問1詳解】解:由,當(dāng)時(shí),,所以若投放1個(gè)單位的凈化劑4小時(shí)后,凈化劑在污水中釋放的濃度為6毫克/立方米;【小問2詳解】解:因?yàn)閮艋瘎┰谖鬯嗅尫诺臐舛炔坏陀?(毫克/立方米)時(shí),它才能起到凈化污水的作用,當(dāng)時(shí),令,得恒成立,所以當(dāng)時(shí),起到凈化污水的作用,當(dāng)時(shí),令,得,則,所以,綜上所述當(dāng)時(shí),起到凈化污水的作用,所以若一次投放4個(gè)單位的凈化劑并起到凈化污水的作用,則凈化時(shí)間約達(dá)7.1小時(shí);【小問3詳解】解:因?yàn)榈谝淮瓮度?個(gè)單位的凈化劑,3小時(shí)后再投入2個(gè)單位凈化劑,要計(jì)算的是第二次投放t小時(shí)后污水中凈化劑濃度為,所以,,因?yàn)?,所以,?dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號,所以,,當(dāng)時(shí),取最小值12毫克/立方米.21、(1)見解析(2)時(shí),.(3)【解析】(1)根據(jù)確定a.再任取兩數(shù),作差,通分并根據(jù)分子分母符號確定差的符號,最后根據(jù)定義確定函數(shù)單調(diào)性(2)先根據(jù)絕對值定義將函數(shù)化為分段函數(shù),都可化為二次函數(shù),再根據(jù)對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系確定最值,最后取兩個(gè)最大值中較大值(3)先對方程變形得,設(shè),轉(zhuǎn)化為方程方程在有兩個(gè)不等的根,根據(jù)二次函數(shù)圖像,得實(shí)根分布條件,解得實(shí)數(shù)m的取值范圍.試題解析:(1)由,得或0.因?yàn)?,所以,所?當(dāng)時(shí),,任取,且,則,因?yàn)椋瑒t,,所以在上為增函數(shù);(2),
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