高等數(shù)學(xué)課件第一章函數(shù)與極限

一、基本概念2024/3/10函數(shù)與極限21.集合:具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該集合的元素.有限集無限集2024/3/10函數(shù)與極限3數(shù)集分類:N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系:例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何集合的子集.2024/3/10函數(shù)與極限42.區(qū)間:是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,2024/3/10函數(shù)與極限5稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.2024/3/10函數(shù)與極限63.鄰域:2024/3/10函數(shù)與極限74.常量與變量:

在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量,注意常量與變量是相對“過程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為變量.常量與變量的表示方法：用字母x,y,t等表示變量.2024/3/10函數(shù)與極限85.絕對值:運算性質(zhì):絕對值不等式:2024/3/10函數(shù)與極限9因變量自變量數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域二、函數(shù)概念2024/3/10函數(shù)與極限10自變量因變量對應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對應(yīng)法則.約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值.2024/3/10函數(shù)與極限11定義:如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)．2024/3/10函數(shù)與極限12(1)符號函數(shù)幾個特殊的函數(shù)舉例1-1xyo2024/3/10函數(shù)與極限13(2)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線2024/3/10函數(shù)與極限14有理數(shù)點無理數(shù)點?1xyo(3)狄利克雷函數(shù)2024/3/10函數(shù)與極限15(4)取最值函數(shù)yxoyxo2024/3/10函數(shù)與極限16在自變量的不同變化范圍中,

對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).2024/3/10函數(shù)與極限17例1脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個單三角脈沖,其波形如圖所示,寫出電壓U與時間的函數(shù)關(guān)系式.解單三角脈沖信號的電壓2024/3/10函數(shù)與極限182024/3/10函數(shù)與極限19例2解故三、函數(shù)的特性2024/3/10函數(shù)與極限20M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX1．函數(shù)的有界性:2024/3/10函數(shù)與極限212．函數(shù)的單調(diào)性:xyo2024/3/10函數(shù)與極限22xyo2024/3/10函數(shù)與極限233．函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x2024/3/10函數(shù)與極限24奇函數(shù)yxox-x2024/3/10函數(shù)與極限254．函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.2024/3/10函數(shù)與極限26

直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱.四、反函數(shù)五、小結(jié)2024/3/10函數(shù)與極限27基本概念集合,區(qū)間,鄰域,常量與變量,絕對值.函數(shù)的概念函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性.反函數(shù)2024/3/10函數(shù)與極限28思考題2024/3/10函數(shù)與極限29思考題解答設(shè)則故2024/3/10函數(shù)與極限30練習(xí)題2024/3/10函數(shù)與極限312024/3/10函數(shù)與極限32練習(xí)題答案一、基本初等函數(shù)2024/3/10函數(shù)與極限341.冪函數(shù)2024/3/10函數(shù)與極限352.指數(shù)函數(shù)2024/3/10函數(shù)與極限363.對數(shù)函數(shù)2024/3/10函數(shù)與極限374.三角函數(shù)正弦函數(shù)2024/3/10函數(shù)與極限38余弦函數(shù)2024/3/10函數(shù)與極限39正切函數(shù)2024/3/10函數(shù)與極限40余切函數(shù)2024/3/10函數(shù)與極限41正割函數(shù)2024/3/10函數(shù)與極限42余割函數(shù)2024/3/10函數(shù)與極限435.反三角函數(shù)2024/3/10函數(shù)與極限442024/3/10函數(shù)與極限452024/3/10函數(shù)與極限46

冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).二、復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)2024/3/10函數(shù)與極限471.復(fù)合函數(shù)定義:2024/3/10函數(shù)與極限48注意:1.不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的;2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.2.初等函數(shù)

由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).2024/3/10函數(shù)與極限49例1解2024/3/10函數(shù)與極限50綜上所述三、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)2024/3/10函數(shù)與極限51奇函數(shù).偶函數(shù).1.雙曲函數(shù)2024/3/10函數(shù)與極限52奇函數(shù),有界函數(shù),2024/3/10函數(shù)與極限53雙曲函數(shù)常用公式2024/3/10函數(shù)與極限542.反雙曲函數(shù)奇函數(shù),2024/3/10函數(shù)與極限552024/3/10函數(shù)與極限56奇函數(shù),四、小結(jié)2024/3/10函數(shù)與極限57函數(shù)的分類:函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)(分段函數(shù),有無窮多項等函數(shù))代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)無理函數(shù)有理整函數(shù)(多項式函數(shù))有理分函數(shù)(分式函數(shù))2024/3/10函數(shù)與極限58思考題2024/3/10函數(shù)與極限59思考題解答不能．2024/3/10函數(shù)與極限60一、填空題:練習(xí)題2024/3/10函數(shù)與極限612024/3/10函數(shù)與極限62練習(xí)題答案2024/3/10函數(shù)與極限63一、概念的引入2024/3/10函數(shù)與極限65“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：播放——劉徽2024/3/10函數(shù)與極限66正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積2024/3/10函數(shù)與極限672、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”二、數(shù)列的定義2024/3/10函數(shù)與極限68例如2024/3/10函數(shù)與極限69注意：1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列.可看作一動點在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)2024/3/10函數(shù)與極限70播放三、數(shù)列的極限2024/3/10函數(shù)與極限71問題:當(dāng)

無限增大時,是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.通過上面演示實驗的觀察:2024/3/10函數(shù)與極限722024/3/10函數(shù)與極限73如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：2024/3/10函數(shù)與極限74幾何解釋:其中2024/3/10函數(shù)與極限75數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例1證所以,注意：2024/3/10函數(shù)與極限76例2證所以,說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.2024/3/10函數(shù)與極限77例3證2024/3/10函數(shù)與極限78例4證四、數(shù)列極限的性質(zhì)2024/3/10函數(shù)與極限791.有界性例如,有界無界2024/3/10函數(shù)與極限80定理1收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論無界數(shù)列必定發(fā)散.2024/3/10函數(shù)與極限812.唯一性定理2每個收斂的數(shù)列只有一個極限.證由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.2024/3/10函數(shù)與極限82例5證由定義,區(qū)間長度為1.不可能同時位于長度為1的區(qū)間內(nèi).3.(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系)如果數(shù)列收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a2024/3/10函數(shù)與極限83五.小結(jié)2024/3/10函數(shù)與極限84數(shù)列:研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限:極限思想,精確定義,幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì):有界性唯一性.2024/3/10函數(shù)與極限85思考題證明要使只要使從而由得取當(dāng)時，必有成立2024/3/10函數(shù)與極限86思考題解答~（等價）證明中所采用的實際上就是不等式即證明中沒有采用“適當(dāng)放大”的值2024/3/10函數(shù)與極限87從而時，僅有成立，但不是的充分條件．反而縮小為2024/3/10函數(shù)與極限88練習(xí)題2024/3/10函數(shù)與極限89“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——劉徽一、概念的引入三、數(shù)列的極限2024/3/10函數(shù)與極限902024/3/10函數(shù)與極限91三、數(shù)列的極限2024/3/10函數(shù)與極限92三、數(shù)列的極限2024/3/10函數(shù)與極限93三、數(shù)列的極限2024/3/10函數(shù)與極限94三、數(shù)列的極限2024/3/10函數(shù)與極限95三、數(shù)列的極限2024/3/10函數(shù)與極限96三、數(shù)列的極限2024/3/10函數(shù)與極限97三、數(shù)列的極限2024/3/10函數(shù)與極限98三、數(shù)列的極限2024/3/10函數(shù)與極限99三、數(shù)列的極限2024/3/10函數(shù)與極限100三、數(shù)列的極限2024/3/10函數(shù)與極限101三、數(shù)列的極限2024/3/10函數(shù)與極限102三、數(shù)列的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限2024/3/10函數(shù)與極限104播放2024/3/10函數(shù)與極限105通過上面演示實驗的觀察:問題:如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近”.2024/3/10函數(shù)與極限1062024/3/10函數(shù)與極限1072.另兩種情形:2024/3/10函數(shù)與極限1083.幾何解釋:2024/3/10函數(shù)與極限109例1證二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限2024/3/10函數(shù)與極限1102024/3/10函數(shù)與極限1112024/3/10函數(shù)與極限1122.幾何解釋:注意：2024/3/10函數(shù)與極限113例2證例3證2024/3/10函數(shù)與極限114例4證函數(shù)在點x=1處沒有定義.2024/3/10函數(shù)與極限115例5證2024/3/10函數(shù)與極限1163.單側(cè)極限:例如,2024/3/10函數(shù)與極限117左極限右極限2024/3/10函數(shù)與極限118左右極限存在但不相等,例6證三、函數(shù)極限的性質(zhì)2024/3/10函數(shù)與極限1191.有界性2.唯一性2024/3/10函數(shù)與極限120推論3.不等式性質(zhì)定理(保序性)2024/3/10函數(shù)與極限121定理(保號性)推論2024/3/10函數(shù)與極限1224.子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)定義定理2024/3/10函數(shù)與極限123證2024/3/10函數(shù)與極限124例如,函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.2024/3/10函數(shù)與極限125例7證2024/3/10函數(shù)與極限126二者不相等,四、小結(jié)2024/3/10函數(shù)與極限127函數(shù)極限的統(tǒng)一定義(見下表)2024/3/10函數(shù)與極限128過程時刻從此時刻以后過程時刻從此時刻以后2024/3/10函數(shù)與極限129思考題2024/3/10函數(shù)與極限130思考題解答左極限存在,右極限存在,不存在.131可編輯132可編輯2024/3/10函數(shù)與極限133一、填空題:練習(xí)題2024/3/10函數(shù)與極限1342024/3/10函數(shù)與極限135練習(xí)題答案2024/3/10函數(shù)與極限136一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限2024/3/10函數(shù)與極限137一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限2024/3/10函數(shù)與極限138一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限2024/3/10函數(shù)與極限139一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限2024/3/10函數(shù)與極限140一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限2024/3/10函數(shù)與極限141一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限2024/3/10函數(shù)與極限142一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限2024/3/10函數(shù)與極限143一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限2024/3/10函數(shù)與極限144一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、無窮小2024/3/10函數(shù)與極限1461.定義:極限為零的變量稱為無窮小.2024/3/10函數(shù)與極限147例如,注意1.無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).2024/3/10函數(shù)與極限1482.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證必要性充分性2024/3/10函數(shù)與極限149意義1.將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);3.無窮小的運算性質(zhì):定理2在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.證2024/3/10函數(shù)與極限150注意

無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.2024/3/10函數(shù)與極限151定理3有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證2024/3/10函數(shù)與極限152推論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3有限個無窮小的乘積也是無窮小.都是無窮小二、無窮大2024/3/10函數(shù)與極限153絕對值無限增大的變量稱為無窮大.2024/3/10函數(shù)與極限154特殊情形：正無窮大，負無窮大．注意1.無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;3.無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.2024/3/10函數(shù)與極限155不是無窮大．無界，2024/3/10函數(shù)與極限156證三、無窮小與無窮大的關(guān)系2024/3/10函數(shù)與極限157定理4在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.證2024/3/10函數(shù)與極限158意義

關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.四、小結(jié)2024/3/10函數(shù)與極限1591、主要內(nèi)容:兩個定義;四個定理;三個推論.2、幾點注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1）無窮?。ù螅┦亲兞?不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2）無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小.（3）無界變量未必是無窮大.2024/3/10函數(shù)與極限160思考題2024/3/10函數(shù)與極限161思考題解答不能保證.例有2024/3/10函數(shù)與極限162一、填空題:練習(xí)題2024/3/10函數(shù)與極限1632024/3/10函數(shù)與極限164練習(xí)題答案一、極限運算法則2024/3/10函數(shù)與極限166定理證由無窮小運算法則,得2024/3/10函數(shù)與極限1672024/3/10函數(shù)與極限168推論1常數(shù)因子可以提到極限記號外面.推論2有界，二、求極限方法舉例2024/3/10函數(shù)與極限169例1解2024/3/10函數(shù)與極限170小結(jié):2024/3/10函數(shù)與極限171解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關(guān)系,得例22024/3/10函數(shù)與極限172解例3(消去零因子法)2024/3/10函數(shù)與極限173例4解(無窮小因子分出法)2024/3/10函數(shù)與極限174小結(jié):無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.2024/3/10函數(shù)與極限175例5解先變形再求極限.2024/3/10函數(shù)與極限176例6解2024/3/10函數(shù)與極限177例7解左右極限存在且相等,三、小結(jié)2024/3/10函數(shù)與極限1781.極限的四則運算法則及其推論;2.極限求法;a.多項式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.2024/3/10函數(shù)與極限179思考題

在某個過程中，若有極限，無極限，那么是否有極限？為什么？2024/3/10函數(shù)與極限180思考題解答沒有極限．假設(shè)有極限，有極限，由極限運算法則可知：必有極限，與已知矛盾，故假設(shè)錯誤．2024/3/10函數(shù)與極限181一、填空題:練習(xí)題2024/3/10函數(shù)與極限182二、求下列各極限:2024/3/10函數(shù)與極限1832024/3/10函數(shù)與極限184練習(xí)題答案一、無窮小的比較2024/3/10函數(shù)與極限186例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限2024/3/10函數(shù)與極限187定義:2024/3/10函數(shù)與極限188例1解例2解2024/3/10函數(shù)與極限189常用等價無窮小:用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達式:例如,二、等價無窮小替換2024/3/10函數(shù)與極限190定理(等價無窮小替換定理)證2024/3/10函數(shù)與極限191例3解不能濫用等價無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.注意2024/3/10函數(shù)與極限192例4解解錯2024/3/10函數(shù)與極限193例5解三、小結(jié)2024/3/10函數(shù)與極限1941.無窮小的比較:反映了同一過程中,兩無窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無窮小都可進行比較.2.等價無窮小的替換:

求極限的又一種方法,注意適用條件.高(低)階無窮小;等價無窮小;無窮小的階.2024/3/10函數(shù)與極限195思考題任何兩個無窮小量都可以比較嗎？2024/3/10函數(shù)與極限196思考題解答不能．例當(dāng)時都是無窮小量但不存在且不為無窮大故當(dāng)時2024/3/10函數(shù)與極限197練習(xí)題2024/3/10函數(shù)與極限1982024/3/10函數(shù)與極限1992024/3/10函數(shù)與極限200練習(xí)題答案2024/3/10函數(shù)與極限201一、函數(shù)的連續(xù)性2024/3/10函數(shù)與極限2031.函數(shù)的增量2024/3/10函數(shù)與極限2042.連續(xù)的定義2024/3/10函數(shù)與極限2052024/3/10函數(shù)與極限206例1證由定義2知2024/3/10函數(shù)與極限2073.單側(cè)連續(xù)定理2024/3/10函數(shù)與極限208例2解右連續(xù)但不左連續(xù),2024/3/10函數(shù)與極限2094.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,2024/3/10函數(shù)與極限210例3證二、函數(shù)的間斷點2024/3/10函數(shù)與極限2112024/3/10函數(shù)與極限2121.跳躍間斷點例4解2024/3/10函數(shù)與極限2132.可去間斷點例52024/3/10函數(shù)與極限214解注意

可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.2024/3/10函數(shù)與極限215如例5中,跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點2024/3/10函數(shù)與極限2163.第二類間斷點例6解2024/3/10函數(shù)與極限217例7解注意不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點.2024/3/10函數(shù)與極限218狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點處都間斷,且都是第二類間斷點.僅在x=0處連續(xù),其余各點處處間斷.★★2024/3/10函數(shù)與極限219在定義域R內(nèi)每一點處都間斷,但其絕對值處處連續(xù).★判斷下列間斷點類型:2024/3/10函數(shù)與極限220例8解三、小結(jié)2024/3/10函數(shù)與極限2211.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;3.間斷點的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點:可去型,跳躍型.第二類間斷點:無窮型,振蕩型.間斷點(見下圖)2024/3/10函數(shù)與極限222可去型第一類間斷點oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點oyxoyxoyx2024/3/10函數(shù)與極限223思考題2024/3/10函數(shù)與極限224思考題解答且2024/3/10函數(shù)與極限225但反之不成立.例但2024/3/10函數(shù)與極限226練習(xí)題2024/3/10函數(shù)與極限2272024/3/10函數(shù)與極限228練習(xí)題答案2024/3/10函數(shù)與極限229一、四則運算的連續(xù)性2024/3/10函數(shù)與極限231定理1例如,二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性2024/3/10函數(shù)與極限232定理2嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).2024/3/10函數(shù)與極限233定理3證2024/3/10函數(shù)與極限234將上兩步合起來:2024/3/10函數(shù)與極限235意義1.極限符號可以與函數(shù)符號互換;例1解2024/3/10函數(shù)與極限236例2解同理可得2024/3/10函數(shù)與極限237定理4注意定理4是定理3的特殊情況.例如,三、初等函數(shù)的連續(xù)性2024/3/10函數(shù)與極限238三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.★★★2024/3/10函數(shù)與極限239定理5基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.★(均在其定義域內(nèi)連續(xù))定理6一切初等