2022-2023學年高二下數學：二項式定理（附答案解析）

2022-2023學年高二下數學：二項式定理

一.選擇題（共8小題）

I.（2021秋?通州區(qū)期中）在（χ-2）5的展開式中，χ4的系數為（）

A.-5B.5C.-10D.10

2.（2021?四川模擬）若（√3旦）§的展開式中X的系數為15,貝IJa=（）

X

A.2B.3C.4D.5

3.（2021秋?建鄴區(qū)校級期中）已知（1-2x）〃的二項展開式中第3項與第10項的二項式

系數相等，則展開式中含％2的系數為（）

A.-312B.312C.-220D.220

2021

4.（2021秋?常州期中）已知（l-2x）2。21=W+G/+…+β2o2ix，則

?LJ1J∑+「迎L=（）

2年方…々2021

A.-2B.-1C.0D.2

5.（2021秋?莎車縣期中）已知（x3+a）（2χ"）。的展開式中各項系數的和為3,則該展

開式中常數項為（）

A.80B.160C.240D.320

6.（2021春?湖北期中）二項式（2"的展開式中有且僅有第3項的二項式系數

Vx

最大，則展開式中所有項的系數和為（）

A.729B.243C.81D.27

7.（2021春?河南期中）已知（l+θx）（l+x）5的展開式中X3的系數為15,貝Ua的值為（）

A.3B.?C.?D.1

432

8.（2021春?紅橋區(qū)校級期中）若（y《）n展開式中只有第6項的二項式系數最大，則

X

n=（）

A.11B.10C.9D.8

二.填空題（共4小題）

9.（2021秋?普陀區(qū)校級期中）在（χ24Λ）呻］展開式中，二項式系數之和為256,則展開

第1頁（共13頁）

式中χ4項的系數為.

10.(2021春?山西期中)(x+2+l)5展開式中的常數項為.

X

11.(2021春?遼寧期中)(InXS)n(n∈N*)的展開式中，各二項式系數之和為32,各

項系數之和為243,則展開式中X3的系數為.

12.(2021?潮州三模)若χ6="o+α[(X+1)+及(x+l)2+a3(x+l)3+???+aβ(x+l)6,貝∣J“3

Ξ.解答題(共4小題)

13.(2021春?順德區(qū)校級期中)已知(2-χ)4=αo+m?(x+l)+aι?(x+l)‰?(x+l)

3+α4?(X+1)4,求：

(1)41+〃2+。3+。4；

(2)ɑι÷αs;

(3)4o+42+04;

(4)IaOI+∣Q1∣+∣Q2∣+∣Q3∣+∣44∣?

14.(2020春?浦東新區(qū)校級期中)在二項式(3-2x)〃的展開式中.

(1)若前3項的二項式系數和等于67,求二項式系數最大的項；

(2)若第3項的二項式系數等于第18項的二項式系數，求奇次項系數和.

15.(2020春?昆山市期中)已知/(X)=(I-X)2O2O=Qo+mχ+42χ2+…+Q2020χ2020.

(1)求-1+α2+α3+…+α2020的值;

(2)求41+2。2+3。3+…+202042020的值；

(3)求」-4J-J+…的值.

ala2a3a2020

16.(2021春?章貢區(qū)校級期末)已知(x+工)”的展開式中前3項的系數成等差數列，設(x+工)

22

n2n

=ao+a?x+a2x+???+anx.

(1)求.o的值；

(2)求最大的二項式系數；

(3)求系數最大的項.

第2頁(共13頁)

2022-2023學年高二下數學：二項式定理

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

1.（2021秋?通州區(qū)期中）在（χ-2）5的展開式中，χ4的系數為（）

A.-5B.5C.-10D.10

【考點】二項式定理.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；二項式定理；邏輯推理；數學運算.

【分析】由二項展開式的通項公式，即可求得χ4的系數.

【解答】解：（X-2）5的展開式的通項為4ι=Cgr（-2）「，

所以χ4的系數為,lχ（-2）=-10.

故選：C.

【點評】本題主要考查二項式定理的應用，屬于基礎題.

2.（2021?四川模擬）若（心曳）5的展開式中X的系數為15,則α=（）

X

A.2B.3C.4D.5

【考點】二項式定理.

【專題】方程思想；轉化法；二項式定理；數學運算.

【分析】利用通項公式即可得出.

_57k

【解答】解：（G包）5的展開式通項公式"=.（4）5-"2盧=女'下二

令殳乜反=1,解得4=1,

2

；.aX「l=15,則α=3,

L,5

故選：B.

【點評】本題考查了二項式展開式的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎

題.

3.（2021秋?建鄴區(qū)校級期中）已知（1-2x）”的二項展開式中第3項與第10項的二項式

系數相等，則展開式中含/的系數為（）

第3頁（共13頁）

A.-312B.312C.-220D.220

【考點】二項式定理.

【專題】方程思想；定義法；二項式定理；數學運算.

【分析】根據條件求出"=11,求出展開式的通項公式，令X的次數為2進行求解即可.

【解答】解：?.?二項展開式中第3項與第10項的二項式系數相等，

,「2=r9,得；z=2+9=ll,

則展開式的通項公式TZI=Ck（-2x）勺

令4=2,

則展開式中含/的系數為吟X4=220,

即展開式中含/的系數為220,

故選：D.

【點評】本題主要考查二項式定理的應用，根據條件求出”的值，以及求出展開式的通

項公式是解決本題的關鍵，是中檔題.

4.（2021秋?常州期中）己知（1-2x）2021=ao+aιx+???+<2202i?2021>則

+?L=（）

2下午…22021

A.-2B.-1C.0D.2

【考點】二項式定理；數列的求和.

【專題】計算題；方程思想；轉化法；二項式定理；數學運算.

【分析】分別令x=0,X=工，即可求得.

2

【解答】解：（1-2x）2021=a0+α1x+???+α2021x2021,

令x=0,可得ao=l,

_a13.9a

令X=L可得a+-+-≤-3a2021

0P^+???+2021?=0,

22222

故選：B.

【點評】本題主要考查二項式定理的應用，注意根據題意，分析所給代數式的特點，通

第4頁（共13頁）

過給二項式的X賦值，求展開式的系數和，屬于基礎題.

5.（2021秋?莎車縣期中）已知（x3+a）（2χ[?）6的展開式中各項系數的和為3,則該展

開式中常數項為（）

A.80B.160C.240D.320

【考點】二項式定理.

【專題】轉化思想；綜合法；二項式定理；數學運算.

【分析】利用（2乂^"）6的展開式的通項刀+1=（^.（_]）「.26-「*6-3「，O=O,1,2,

3,4,5,6）,即可求解.

【解答】解：（x3+α）（2xT）6的展開式中各項系數的和為3,

故令X=1,則（l+4）（2-1）6=3,解答α=2,

所以（J+”）⑵烏）6=（4+2）（2χ1?）6,

XX

⑵一6的展開式的通項為小1=量.Dr.26-rχ6-3r,go,1,2,3,4,5,

XZ

6）

333+2432O

故該展開式中常數項為：χ3.c3.2?（-l）?x"?C^-2≈?

故選：D.

【點評】本題考查二項式定理的運用，考查展開式中各項系數和，考查特殊項，考查學

生的計算能力，屬于中檔題.

6.（2021春?湖北期中）二項式（24?—）"的展開式中有且僅有第3項的二項式系數

Vx

最大，則展開式中所有項的系數和為（）

A.729B.243C.81D.27

【考點】二項式定理.

【專題】轉化思想；綜合法；二項式定理；數學運算.

【分析】由已知求出*=4,再令x=l即可求解.

【解答】解：因為二項式（2√[Y-）"的展開式中有且僅有第3項的二項式系數最大,

Vx

所以2+1=3,解得〃=4,

第5頁（共13頁）

所以二項式為（2√^-J-）4,

Vx

令X=1,則（2+1）4=81,即展開式的所有項的系數和為81,

故選：C.

【點評】本題考查了二項式定理的應用，涉及到展開式的二項式系數最大問題以及賦值

法的應用，考查了學生的運算求解能力，屬于基礎題.

7.（2021春?河南期中）已知（l+κ）（l+x）5的展開式中χ3的系數為15,則α的值為（）

A.3B.?C.?D.1

432

【考點】二項式定理.

【專題】方程思想；定義法；二項式定理；數學運算.

【分析】利用二項式定理求出含χ3的項，然后結合條件得到關于α的方程，再求出。的

值即可.

【解答】解：展開式中含A3的項為IX或χ3+aχXC]χ2=（10+10α）χ3,

所以10+1Oa=I5,解得。=工，

2

故選：C.

【點評】本題考查了二項式定理的應用，考查了運算求解能力，屬于基礎題.

8.（2021春?紅橋區(qū)校級期中）若（4+多）。展開式中只有第6項的二項式系數最大，則

n=（）

A.11B.10C.9D.8

【考點】二項式定理.

【專題】轉化思想；綜合法；二項式定理；數據分析.

【分析】由題意利用二項式系數的性質，求得〃的值.

【解答】解：若（FV）rι展開式中只有第6項的二項式系數最大c：最大，則〃=10,

故選：B.

【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數的性質，屬于基礎題.

二.填空題（共4小題）

9.（2021秋?普陀區(qū)校級期中）在（χ2f2）呻]展開式中，二項式系數之和為256,則展開

X

第6頁（共13頁）

式中χ4項的系數為1120.

【考點】二項式定理.

【專題】整體思想；綜合法；二項式定理；數學運算.

【分析】由二項式系數之和可以解出力的值，再由二項式展開式即可解出.

【解答】解：由二項式系數之和為256,可得2"=256,

?*?Λ=8,

7^>=Cg（x2）8^r（?^-）r=Cξ2rx16^3r*

令16-3廠=4,

Λr=4,

的系數為：

.XC424=H20;

故答案為：1120.

【點評】本題考查了二項式的展開式，二項式的性質，學生的數學運算能力，屬于基礎

題.

10.（2021春?山西期中）（x+2+l）5展開式中的常數項為161.

X

【考點】二項式定理.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；二項式定理；數學運算.

【分析】兩次利用二項展開式的通項公式，令X的指數為0,求出《和，?的值，即可求解

常數項.

【解答】解：（x+2+i）5=【（x+2）+ιp的展開式的通項公式為4+1=戊（x+2）5-『，

XX5X

（χ+2）57的展開式的通項公式為Al=2斤（；臼X5-r-2λ,

令5-尸-2左=0,其中4W5-尸，r≤5,k,r∈N,

所以4=1,尸=3或％=0,r=5或2=2,尸=1,

所以（x+2+l）5展開式中的常數項為,3?2?cl+‘5+c1"?‘2=⑹.

X52554

故答案為：161.

【點評】本題主要考查二項式定理，二項展開式的通項公式，考查運算求解能力，屬于

基礎題.

11.（2021春?遼寧期中）（mx?√7）n（n∈N*）的展開式中，各二項式系數之和為32,各

第7頁（共13頁）

項系數之和為243,則展開式中x3的系數為10.

【考點】二項式定理.

【專題】轉化思想；轉化法；二項式定理；數學運算.

【分析】由題意利用二項式系數的性質，求出n,m的值，再利用二項展開式的通項公式，

求出展開式中一的系數，即可求解.

【解答】解：Y(mχrQ)n(n￡N*)的展開式中，各二項式系數之和為32,

.?.2"=32,解得〃=5,

：(mx+√^)n(n∈N*)的展開式中，各項系數之和為243,

，令x=l,各項系數之和為(W+1)5=243,解得"7=2,

二(2XS)§的展開式的通項為Tr+l=量?(2x)5一r?(4)r=CQ2Z?χ6萬，0

≤r≤5,r∈N,

令5-三=3,解得r=4,

23

5-1

?τ-45-42IC3

n,

??T5=C5?2?X=IOx

二展開式中χ3的系數為io.

故答案為：10.

【點評】本題主要考查了二項式定理，需要學生熟練掌握公式，屬于基礎題.

26

12.(2021?潮州三模)若χ6=α0+α[(χ+l)+a2(x+l)+α3(x+l)'+…+aβ(X+1),則硝

--20.

【考點】二項式定理.

【專題】計算題；方程思想；轉化法；二項式定理；數學運算.

【分析】由題意利用二項展開式的通項公式，求得“3.

【解答】解：χ6=[-]+(1+x)]6=α0+m(χ+l)+。2(x+l)2+α3(x+l)3+......+aβ(x+l)

6

則as=Cβi(-1)3=-20,

故答案為："20.

【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，屬于基礎題.

第8頁(共13頁)

Ξ.解答題(共4小題)

13.(2021春?順德區(qū)校級期中)已知(2-χ)4=αo+αι?(x+l)+aι?(x+l)2+a3?(x+l)

3+fl4,(x+1)4,求：

(1)41+。2+。3+。4；

(2)6f1+473;

(3)4o+α2+α4;

(4)∣αo∣+IalI+∣G2∣+∣43∣+∣44∣?

【考點】二項式定理.

【專題】對應思想；綜合法；二項式定理；數學運算.

【分析】采用賦值法，分別令x=7,0和-2,可得系數之間的等式，再由加減消元，

得解.

【解答】解：令X=-1,則Qo=(2-X)4=81①，

令X=0,貝IJαo+α1+α2+α3+α4=16(2),

令X=-2,則ao-a↑+a2-。3+。4=256③，

(?)②-①，得〃1+。2+。3+〃4=-65.

(2)②-③得,ai+a3=-120.

2

(3)魚⑥得,4。+〃2+。4=136.

2

(4)IaoI+∣α1∣+∣。2∣+∣α3∣+∣α4∣=(αo+α2+α4)-(〃]+。3)=136-(-120)=256.

【點評】本題考查二項式定理，熟練掌握賦值法的運用是解題的關鍵，考查邏輯推理能

力和運算求解能力，屬中檔題.

14.(2020春?浦東新區(qū)校級期中)在二項式(3-2x)”的展開式中.

(1)若前3項的二項式系數和等于67,求二項式系數最大的項；

(2)若第3項的二項式系數等于第18項的二項式系數，求奇次項系數和.

【考點】二項式定理.

【專題】轉化思想；綜合法；二項式定理；數學運算.

【分析】(1)由題意利用二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，求得二項式系數

最大的項.

(2)設/(x)=αo+αιx+42χ2∏-----Faiox19=(3-2x)n,分別令X=1,x=-1,可得奇次

項系數和.

第9頁(共13頁)

【解答】解：(1)在二項式(3-2x)”的展開式中，前3項的二項式系數和等于

=67,求得〃=11,

故展開式的第六項或第七項，二項式系數最大,

即Te=「5?36?(-2x)5=「5?3?65?X5,TI=C6?35?(-2x)6=「6?65?2?x6.

υllυllυllbIl

(2)Y第3項的二項式系數等于第18項的二項式系數，即Cj=C?"=19,

設f(x)=QO+Q1X+Q2X2+…+Q19χl9=(3-2x)”,

令X=1,可得各項系數和為4θ+m+42^l-----∏Q19=1①，

再令X=-1,可得ao-。1+。2-α3÷???+αi8^αi9=5∣9②，

r-i??.

①+②除以2,可得奇次項系數和αo+Q2+…+Qi8=b'1?

2

【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質,

屬于基礎題.

15.(2020春?昆山市期中)已知∕'(X)=(I-X)2O2O=αo+mχ+42χ2+…+Q202Oχ2°2°.

(1)求Qi+02+α3+…+α2020的值；

(2)求αι+2α2+343+…+2O2O42θ2θ的值；

(3)求上~二~4^+-L...的值.

ala2a3a2020

【考點】二項式定理.

【專題】方程思想；轉化法；導數的綜合應用；排列組合；二項式定理；數學運算.

【分析】(1)利用/(0)=1=40,/(1)=0,即可得出.

(2)f'(x)=-2020(I-X)2019=a1+2a2x÷,',+2O2Oa2θ2θx2°?9.可得。1+2。2+3。3+…

÷2O2Ofl2θ2θ=/(?).

(3)由以=Ck(-1I)k(0≤?≤2020),可得?—=-

2020ala2a3a2020

II.I_..

1+，…?+F?7Γ?利用組合數的計算公式可得Y—=堊LX

P1p2p3p2020k

bbbr2022

20202020202020202020

十昌■).即可得出結論.

L2021b2021

【解答】解：(1),:于(0)=I=Qo,/(1)=O=QO+。1+。2+。3+…+。2020,

.*.a?+α2+α3+,,,+?2020=-1?

第10頁(共13頁)

(2)f(X)=-2020(1-x)2°∣9=Qi+2α2x+…+2O2Oα2θ2θχ2°i9.

Λt∕ι÷2a2÷3α3^----∏2020Λ2020=f(1)=0.

(3)Vak=Γk(-1)"(0≤?≤2020),

2020

23

a1a2a3a2∩9∩C?CC02020

1232020b2020b2020b2020b2020

??^^=k!(2020-k)!=2021Xk!(2020-k)!(2021-k+k+l)=2021X

?Ck2020!20222021!2022

2020

k!(2021-k)!+[2021-(k+l)]!(k+l)!=2021X(1+1)

2021!2022rkpk+1

20212021

J-J+J-+??.U-=型紅I_J_LJ_)+(-J-U-)-

aaa3a∩∩2022"?2?2Q3

12232U22U2b2021b2021b2021b2021

÷(-J--L-)]=202Lr_J_____?_]=1010_.

k+2021

c2020c202i2022CICIOll

2021202120212021

【點評】本題考查了二項式展開式中項的系數性質、導數的運算法則、組合數的計算公

式、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

16.(2021春?章貢區(qū)校級期末)已知G+工)"的展開式中前3項的系數成等差數列，設G+工)

22