圓周角 省賽一等獎完整版

24.1圓的有關(guān)(yǒuguān)性質(zhì)第二十四章圓24.1.4圓周角第一頁，共四十三頁。學(xué)習(xí)(xuéxí)目標1.理解圓周角的概念，會敘述(xùshù)并證明圓周角定理.2.理解圓周角與圓心角的關(guān)系并能運用圓周角定理解決簡單的幾何問題.3.理解掌握圓周角定理的推論及其證明過程和運用.第二頁，共四十三頁。

問題1

什么(shénme)叫圓心角？指出圖中的圓心角？

頂點(dǐngdiǎn)在圓心的角叫圓心角,

∠BOC.導(dǎo)入新課A復(fù)習(xí)(fùxí)引入2.上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了一個反映弧、弦、圓心角三個量之間關(guān)系的一個結(jié)論，這個結(jié)論是什么？答:在同圓（或等圓）中，如果圓心角、弧、弦有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余兩個量都分別相等。第三頁，共四十三頁。定義：頂點在圓上,并且兩邊(liǎngbiān)都與圓相交的角,叫做圓周角..OBCA特征(tèzhēng)：①角的頂點(dǐngdiǎn)在圓上.②角的兩邊都與圓相交.問題2

如圖，∠BAC的頂點和邊有哪些特點?

∠BAC的頂點在☉O上，角的兩邊分別交☉O于B、C兩點.第四頁，共四十三頁。oABC你能說出圓周角與圓心角的區(qū)別(qūbié)嗎？圓周角的頂點(dǐngdiǎn)在圓上；圓心角的頂點是圓心.第五頁，共四十三頁。判斷(pànduàn)下列各圖中，哪些是圓周角，為什么？oABoABoABoABoABoABoABoABoABCCCCCCCC鞏固(gǒnggù)：第六頁，共四十三頁。有沒有圓周角？有沒有圓心角？它們有什么共同(gòngtóng)的特點？它們(tāmen)都對著同一條弧⌒⌒⌒第七頁，共四十三頁。

下列圖形中，哪些(nǎxiē)圖形中的圓心角∠BOC和圓周角∠A是同對一條弧。第八頁，共四十三頁。如圖，連接BO,CO,得圓心角∠BOC.試猜想(cāixiǎng)∠BAC與∠BOC存在怎樣的數(shù)量關(guān)系.圓周角定理及其推論二第九頁，共四十三頁。2.當圓心(yuánxīn)在圓周角內(nèi)部時提示:能否(nénɡfǒu)轉(zhuǎn)化為1的情況?過點B作直徑(zhíjìng)BD.由1可得:∴∠ABC=∠AOC.∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,●OABCD第十頁，共四十三頁。3.當圓心(yuánxīn)在圓周角外部時提示:能否轉(zhuǎn)化(zhuǎnhuà)為1的情況?過點B作直徑(zhíjìng)BD.由1可得:∴∠ABC=∠AOC.∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,●ODABC第十一頁，共四十三頁。

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都等于(děngyú)這條弧所對的圓心角的一半．概括(gàikuò)：圓周角定理(dìnglǐ)第十二頁，共四十三頁。BAO.70°x1.求圓中角X的度數(shù)(dùshu)AO.X120°CCDB第十三頁，共四十三頁。2、如圖，AB是⊙O的直徑(zhíjìng)，∠AOD是圓心角，∠BCD是圓周角，若∠BCD=25°，則∠AOD=

。

130°第十四頁，共四十三頁。3.已知△ABC的三個頂點(dǐngdiǎn)在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°,則∠AOB=

．BACO166°第十五頁，共四十三頁。4、如圖，在⊙O中，弦DC,AB的延長線相交(xiāngjiāo)于點P，如果∠AOD=1200,∠BDC=250,那么∠P=

．ADCPBO第十六頁，共四十三頁。問題1

如圖，OB，OC都是⊙O的半徑，點A,D是上任意(rènyì)兩點，連接AB，AC，BD，CD.∠BAC與∠BDC相等嗎？請說明理由.D∴∠BAC=∠BDC相等(xiāngděng)第十七頁，共四十三頁。DABOCEF問題(wèntí)2

如圖，若則∠A與∠B相等嗎？相等(xiāngděng)想一想：反過來，若∠A=∠B，那么(nàme)成立嗎？CD=EF((CD=EF((CD=EF((第十八頁，共四十三頁。圓周角定理的推論同弧或等弧所對的圓周角相等(xiāngděng).知識(zhīshi)要點A1A2A3第十九頁，共四十三頁。1、如圖，點A、B、C、D在同一個圓上，四邊形ABCD的對角線把4個內(nèi)角(nèijiǎo)分成8個角，這些角中哪些是相等的角？ABCD12345678∠1=∠4∠5=∠8∠2=∠7∠6=∠3鞏固(gǒnggù)：第二十頁，共四十三頁。2、如果(rúguǒ)∠A=44°,則∠BOC=____.如果∠BOC=44°,則∠A=____.如果∠A=35°,則∠BDC=____.OABCD圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等(xiāngděng)，都等于這條弧所對的圓心角的一半．88°22°22°第二十一頁，共四十三頁。3.如圖，點A、B、C、D在☉O上，點A與點D在點B、C所在(suǒzài)直線的同側(cè)，∠BAC=35o.(1)∠BOC=

o，理由(lǐyóu)是

;(2)∠BDC=

o，理由是

.7035同弧所對的圓周角相等(xiāngděng)一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半第二十二頁，共四十三頁。4.如圖，已知BD是⊙O的直徑(zhíjìng)，⊙O的弦AC⊥BD于點E，若∠AOD=60°，則∠DBC的度數(shù)為（）A.30°B.40°C.50°D.60°A【規(guī)律方法】解決圓周角和圓心角的計算和證明問題(wèntí),要準確找出同弧所對的圓周角和圓心角,然后再靈活運用圓周角定理.第二十三頁，共四十三頁。如圖，已知AB=AC，∠APC=60°求證(qiúzhèng)：△ABC是等邊三角形．第二十四頁，共四十三頁。想一想如圖，線段AB是☉O的直徑，點C是☉O上的任意(rènyì)一點（除點A、B外），那么，∠ABC就是直徑AB所對的圓周角，想一想，∠ACB會是怎樣的角？·OACB解：∵OA=OB=OC，∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.∴∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.又∵∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.第二十五頁，共四十三頁。圓周角和直徑的關(guān)系圓周角和直徑的關(guān)系(guānxì)：半圓或直徑所對的圓周角都相等，都等于90°.知識(zhīshi)要點第二十六頁，共四十三頁。典例精析例1

如圖，AB是☉O的直徑(zhíjìng)，∠A=80°.求∠ABC的大小.OCAB解：∵AB是☉O的直徑(zhíjìng)，∴∠ACB=90°（直徑所對的圓周角等于90°.）∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB

=180°-90°-80°=10°.第二十七頁，共四十三頁。如圖，BD是⊙O的直徑(zhíjìng)，∠CBD＝30°，則∠A的度數(shù)為(

)A．30°B．45°C．60°D．75°解析(jiěxī)：∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故選C.方法總結(jié)：在圓中，如果(rúguǒ)有直徑，一般要找直徑所對的圓周角，構(gòu)造直角三角形解題．C第二十八頁，共四十三頁。如圖，?ABCD的頂點A、B、D在⊙O上，頂點C在⊙O的直徑BE上，∠ADC=54°，連接(liánjiē)AE，則∠AEB的度數(shù)為（）36°第二十九頁，共四十三頁。如圖，已知⊙O是△ABD的外接圓，AB是⊙O的直徑(zhíjìng)，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，則∠BCD等于（）A．116° B．32° C．58° D．64°B第三十頁，共四十三頁。例.如圖⊙o的直徑(zhíjìng)AB為10cm,弦AC為6cm,∠ACB的平分線交⊙o與D,求BC,AD,BD的長.ACBDO解答圓周角有關(guān)問題時，若題中出現(xiàn)“直徑”這個條件，則考慮構(gòu)造(gòuzào)直角三角形來求解.第三十一頁，共四十三頁。如圖，⊙O的直徑(zhíjìng)AC為13cm，弦AD為5cm.（1）求DC的長；（2）若∠ADC的平分線交⊙O于B,求AB、BC的長．B第三十二頁，共四十三頁。例4

如圖,AB是⊙O的直徑(zhíjìng),弦CD交AB于點P,∠ACD=60°,∠ADC=70°.求∠APC的度數(shù)..OADCPB解:連接(liánjiē)BC,則∠ACB=90°,∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°=30°.又∵∠BAD=∠DCB=30°,∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°.第三十三頁，共四十三頁。如果一個(yīɡè)多邊形所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓.圓內(nèi)接四邊形三第三十四頁，共四十三頁。

如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O為四邊形ABCD的外接圓.

探究(tànjiū)性質(zhì)猜想(cāixiǎng)：∠A與∠C,∠B與∠D之間的關(guān)系為：

∠A+∠C=180o，∠B+∠D=180o想一想：如何證明(zhèngmíng)你的猜想呢？第三十五頁，共四十三頁?！呋CD和弧BAD所對的圓心角的和是周角(zhōujiǎo)，∴∠A＋∠C＝180°，同理∠B＋∠D＝180°，證明(zhèngmíng)猜想歸納(guīnà)總結(jié)推論：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補.第三十六頁，共四十三頁。CODBA∵弧BCD和弧BAD所對的圓心角的和是周角(zhōujiǎo)，∴∠A＋∠C＝180°，同理∠B＋∠D＝180°，E延長(yáncháng)BC到點E，有∠BCD＋∠DCE＝180°.∴∠A＝∠DCE.想一想圖中∠A與∠DCE的大小(dàxiǎo)有何關(guān)系？第三十七頁，共四十三頁。歸納(guīnà)總結(jié)推論(tuīlùn)：圓的內(nèi)接四邊形的任何一個外角都等于它的內(nèi)對角.CODBAE第三十八頁，共四十三頁。1．四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，且∠A=110°，∠B=80°，則∠C=

，∠D=

.2．⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，則∠D=

.

70o100o90o練一練第三十九頁，共四十三頁。如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BOD＝120°，那么(nàme)∠BCD是(

)A．120°B．100°C．80°D．60°