高中物理【萬有引力定律】學案及練習題

高中物理1萬有引力定律】學案及練習題

學習目標要求核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力

I.理解太陽與行星間引力的存在，掌握萬有引

1.物理觀念：了解萬有引力定律的內(nèi)涵，具有

力定律的內(nèi)容及其表達式。

與萬有引力定律相關(guān)的運動與相互作用的觀

2.根據(jù)開普勒行星運動定律和牛頓第三定律

念。

推導出太陽與行星間的引力公式，通過月一

2.科學態(tài)度與責任：能認識發(fā)現(xiàn)萬有引力定律

地檢驗等將太陽與行星間的引力推廣為萬有

的過程及重要意義。

引力定律，掌握萬有引力表達式的適用條件

3.科學思維：微量放大法。

及應(yīng)用。

必備知識

授課提示：對應(yīng)學生用書第73頁

-行星與太陽間的引力

1.推導過程

如圖所示，設(shè)行星的質(zhì)量為〃?，速度為。，行星與太陽間的距離為r,則行星繞太陽做

勻速圓周運動的向心力為F二吟。

天文觀測可以測得行星公轉(zhuǎn)的周期7,并據(jù)此可求出行星的速度O=平，聯(lián)立整理后得

4ττmr

F—y20

根據(jù)開普勒第三定律捻=Z得，F(xiàn)=4κ畔,所以戶修

力的作用是相互的,行星與太陽的引力也應(yīng)與太陽的質(zhì)量機上成正比，即尸8翠10

2.表達式：F=G÷,式中量G與太陽、行星都沒有關(guān)系，引力的方向沿著二者的連

線。

二月一地檢驗

假設(shè)地球與月球間的作用力和太陽與行星間的作用力是同一種力，它們的表達式也應(yīng)該

滿足F=G皿詈。根據(jù)牛頓第二定律，月球繞地球做圓周運動的向心加速度”月=-L=G等

t機月I

(式中m地是地球質(zhì)量，r是地球中心與月球中心的距離)。

進一步，假設(shè)地球?qū)μO果的吸引力也是同一種力，同理可知，蘋果的自由落體加速度α

單=互=婿(式中機電是地球質(zhì)量，R是地球中心與蘋果間的距離)。

m甲A

由以上兩式可得刊=與。由于月球與地球中心的距離r約為地球半徑R的60倍,所以世

1

一不。

這表明：地面物體所受地球的引力、月球所受地球的引力，與太陽、行星間的引力遵從

相同的規(guī)律。

三萬有引力定律

L內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上,引力的大

小與物體的質(zhì)量Wi和〃?2的乘積成正比、與它們之間距離r的二次方成反比。

2.表達式：F=Gm'μ2.

四引力常量

1.大?。篏=6.67X1(Γ"N?m2∕kM.

2.測定：英國物理學家卡文迪什在實驗室中準確地測出了G的值。

3?意義：引力常量的普適性成了萬有引力定律正確性的有力證據(jù)。

關(guān)鍵能力合作探究計

授課提示：對應(yīng)學生用書第74頁

要點1對太陽與行星間引力的理解

探究導入如圖所示，太陽系中的行星圍繞太陽做勻速圓

周運動。

(1)為什么行星會圍繞太陽做圓周運動？

(2)太陽對不同行星的引力與行星的質(zhì)量有什么關(guān)系？

(3)行星對太陽的引力與太陽的質(zhì)量有什么關(guān)系？

提示：(1)因為行星受太陽的引力，引力提供向心力。

(2)與行星的質(zhì)量成正比。

(3)與太陽的質(zhì)量成正比。

『探究歸納

1.兩個理想化模型

(1)將行星繞太陽的橢圓運動看成勻速圓周運動。

(2)將天體看成質(zhì)點，且質(zhì)量集中在球心上。

2.推導過程

3.太陽與行星間引力的規(guī)律適用于行星和衛(wèi)星之間的驗證

(1)假定衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運動，設(shè)軌道半徑為R，運行周期為T,行星和近地衛(wèi)星

質(zhì)量分別為，〃行和相”，衛(wèi)星做圓周運動的向心力由行星的引力提供，若行星和衛(wèi)星之間的

引力滿足太陽與行星之間引力的規(guī)律，則弊型=小蜘，|=粵=常量。

D3

(2)通過觀測衛(wèi)星的運行軌道半徑R和周期T,若它們的筆為常量，則說明太陽與行星間

引力的規(guī)律適用于行星和衛(wèi)星之間。

典例

根據(jù)開普勒關(guān)于行星運動的規(guī)律和圓周運動知識得太陽對行星的引力F-

行星對太陽的引力尸8等，其中加上、小、，分別為太陽的質(zhì)量、行星的質(zhì)量和太陽與

行星間的距離。下列說法正確的是()

A.由FoCg和F'Oe詈知p:F'—m'.m太

B.太陽的質(zhì)量大于行星的質(zhì)量，所以F>F

C.尸和尸是一對平衡力，大小總是相等的

D.太陽對行星的引力提供行星繞太陽做圓周運動的向心力

［解析］太陽對行星的引力與行星對太陽的引力是作用力與反作用力，故兩個力的大小

相等，方向相反，故A、B錯誤；太陽對行星引力的受力物體是行星，行星對太陽引力的受

力物體是太陽，故這兩個力不是平衡力，故C錯誤；行星繞太陽做勻速圓周運動，太陽對

行星的萬有引力提供行星繞太陽做圓周運動的向心力，故D正確。

［答案］D

［名師點評］

認識太陽與行星間引力的三點注意

(1)太陽與行星間的引力大小與三個因素有關(guān)：太陽的質(zhì)量、行星的質(zhì)量、太陽與行星

間的距離。太陽與行星間引力的方向沿著二者的連線方向。

(2)太陽與行星間的引力是相互的，遵從牛頓第三定律。

(3)太陽對行星的引力效果是向心力，使行星繞太陽做勻速圓周運動。

針對

1.（多選）下列敘述正確的是（）

V*

A.在探究太陽對行星的引力規(guī)律時，我們引用了公式F=行，這個關(guān)系式實際上是

牛頓第二定律，是可以在實驗室中得到驗證的

B.在探究太陽對行星的引力規(guī)律時，我們引用了公式。=平，這個關(guān)系式實際上是勻

速圓周運動的一個公式，它是由線速度的定義式得來的

C.在探究太陽對行星的引力規(guī)律時，我們引用了公式捻=k,這個關(guān)系式是開普勒第三

定律，是可以在實驗室中得到驗證的

D.在探究太陽對行星的引力規(guī)律時，使用以上三個公式，都是可以在實驗室中得到驗

證的

解析：公式尸=行中，：是行星做圓周運動的加速度，故這個關(guān)系式實際上是牛頓第

二定律，也是向心力公式，所以能通過實驗驗證，故A正確；。=斤是在勻速圓周運動中

周長、時間與線速度的關(guān)系式，故B正確；開普勒第三定律捻=幺是無法在實驗室中得到臉

證的，是開普勒在研究天文學家第谷的行星觀測記錄時發(fā)現(xiàn)的，故C、D錯誤。

答案：AB

要點2萬有引力定律的理解

探究導入太陽系中的行星圍繞太陽做勻速圓周運動，萬有引力F=明斐提供向

心力。公式尸=*p中r的含義是什么？任何兩個物體之間的萬有引力都能利用公式尸=

提示：公式中r指的是兩個質(zhì)點間的距離；不是任何兩個物體之間的萬有引力都能利用

該公式計算，萬有引力定律的表達式F=G喈只適用于質(zhì)點之間、質(zhì)量分布均勻的球體之

間萬有引力的計算，形狀不規(guī)則、質(zhì)量分布不均勻的物體間/"不易確定。

『探究歸納

1.對萬有引力定律F=d貨的說明

⑴引力常量G：G=6.67×IO-llNm2Zkg2,其物理意義為引力常量在數(shù)值上等于兩個質(zhì)

量都是1kg的質(zhì)點相距Im時的相互吸引力。

（2）距離r：公式中的7?是兩個質(zhì)點間的距離，對于均勻球體，就是兩球心間的距離。

2.萬有引力定律的四性

四性內(nèi)容

萬有引力不僅僅存在于太陽與行星、地球與月球之間，宇宙間任何兩個有質(zhì)量的

普遍性

物體之間都存在著這種相互吸引的力

兩個有質(zhì)量的物體之間的萬有引力是一對作用力和反作用力，總是大小相等，方

相互性

向相反，作用在兩個物體上

地面上物體之間的萬有引力一般比較小，與其他力比較可忽略不計，但在質(zhì)量巨

宏觀性

大的天體之間，或天體與其附近的物體之間，萬有引力起著決定性作用

兩個物體之間的萬有引力只與它們本身的質(zhì)量和它們間的距離有關(guān)，而與所在空

特殊性

間的性質(zhì)無關(guān)，也與周圍是否存在其他物體無關(guān)

典例團已知某星球的質(zhì)量是地球質(zhì)量的g,直徑是地球直徑的9。一名航天員來到該

oZ

星球，航天員在該星球上所受的萬有引力大小是他在地球上所受萬有引力大小的()

??Bi

A?4°-2

C.2倍D.4倍

［解析］航天員在地球上所受的萬有引力Fl=C^器■,航天員在該星球上所受的萬有引

力尸2=G窄%由題知m2=*1,R2=*R1,則］=T3=;,故B正確，A、C、D錯誤。

∏2oZr?Z∏ι∏2

［答案］B

［名師點評］

理解萬有引力大小的兩點注意

(1)物理公式有特定的適用情境及條件，不要單純地從數(shù)學角度理解，如F=用簧，當

廠一0時，從數(shù)學角度有E-8,但對物理問題則無意義。

(2)兩質(zhì)點間的引力大小相等，方向相反，是一對作用力與反作用力，與各自質(zhì)量大小

無關(guān)。

針對Pl啕

2.如圖所示，兩球間的距離為人°。兩球的質(zhì)量分布均勻，質(zhì)量分別為如、

加2,半徑分別為片、0則兩球間的萬有引力大小為()

A.o

Γθ

GmIm2Gm?tn2

,(∩+r2)2.(門+廢+⑹2

解析：兩個勻質(zhì)球體間的萬有引力∕7=G^詈，r是兩球心間的距離，選D。

答案：D

3.2019年1月，我國“嫦娥四號”探測器成功在月球背面軟著陸，在探測器“奔向”

月球的過程中，用〃表示探測器與地球表面的距離，尸表示它所受的地球引力，能夠描述尸

隨〃變化關(guān)系的圖像是()

解析：根據(jù)萬有引力定律可得戶=需尊，則/與/?是非線性關(guān)系，F(xiàn)/圖像是曲線，

且隨/?增大，F(xiàn)減小，故選項D符合題意。

答案：D

要點3重力與萬有引力的關(guān)系

探究導入假如某個人做環(huán)球旅行，可能到達地球的任何地點，如果地球看成標準

的球體，那么，該人分別位于赤道上某點、北半球的某點、南半球的某點、北極點、南極點

等不同地點時該人所受的萬有引力有什么關(guān)系？該人在各地點所受的重力有什么關(guān)系？

提示：在各地點所受的萬有引力大小相等，方向沿對應(yīng)的地球半徑指向地心。由于地球

自轉(zhuǎn)的影響，該人在各地點所受的重力大小不一定相等，方向也不一定指向地心。

「探究歸納

1.重力是萬有引力的分力Z^F處

如圖所示，物體受到地球的萬有引力為尸引，方向指向地心。，w噌

萬有引力有兩個分力，一個分力尸向提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力，F(xiàn)向標節(jié)……礴

方向垂直于地軸；另一個分力是重力機g,產(chǎn)生使物體壓地面的效果。弋.........^'~∕

2.重力與緯度的關(guān)系

南極

地面上物體的重力隨緯度的升高而變大。

(1)赤道上：重力和向心力在一條直線上尸引=F向+"2g，即—mrω2+ιng,所以

in地tn

mg=G^2-mrω0。

(2)地球兩極處：向心力為零，所以〃吆=產(chǎn)引=G-^-C

(3)其他位置：重力是萬有引力的一個分力，重力的大小mgVG-?-,重力的方向偏離

地心。

3.不考慮地球自轉(zhuǎn)時重力、重力加速度與高度的關(guān)系

(1)地球表面的重力等于地球的萬有引力，即他g=G爺，所以地球表面的重力加速度

Gm也

g=-F^°

(2)地球上空人高度，萬有引力等于重力，即Wg=G高后，所以力高度的重力加速度

Gm他

g=(R+〃)2。

典例

已知地球質(zhì)量為〃1地，自轉(zhuǎn)周期為T,引力常量為G。將地球視為半徑為R、

質(zhì)量分布均勻的球體，不考慮空氣的影響。若把一質(zhì)量為m的物體放在地球表面的不同位

置，由于地球自轉(zhuǎn)，它對地面的壓力會有所不同。

(1)若把物體放在北極的地表，求該物體對地表的壓力F1的大小；

(2)若把物體放在赤道的地表，求該物體對地表的壓力B的大小。

［解析］(1)當把物體放在北極的地表時，萬有引力與支持力相平衡，有

,tn^tn

F'=G-^

根據(jù)牛頓第三定律知，該物體對地表的壓力

,"Z地"2

-

Fi=Fi=G-^2O

(2)當把物體放在赤道的地表時，萬有引力與支持力的合力提供向心力，有

2

地"IL,4πz-x

G-^--F2=〃段產(chǎn)①

根據(jù)牛頓第三定律知，該物體對地表的壓力

F2=F2'②

聯(lián)立①②得

HMn47?

Γ2=3R2—IUKjoɑ

aιn?^nm??fn4π2

［答案］(2)G-^2_一，〃/午

針對

4.用傳感器測量一物體的重力時，發(fā)現(xiàn)在赤道

測得的讀數(shù)與其在北極的讀數(shù)相差大約3%。。如圖所示，如果認

為地球是一個質(zhì)量分布均勻的標準球體，下列說法正確的是

)

A.在北極處物體的向心力為萬有引力的3%。

B.在北極處物體的重力為萬有引力的3%o

C.在赤道處物體的向心力為萬有引力的3%。

D.在赤道處物體的重力為萬有引力的3%。

解析：在北極處，沒有向心力，重力等于萬有引力，A、B錯誤。在赤道處有Fq一G'

=F?,則T=-I?------=3%o,C正確。在赤道處有三一=l-?2?------=997%o,D錯誤。

F?iFslFnFi?

答案：C

要點4“割補法”計算萬有引力

京探究歸納

I.“割”“補”是相對于“多余”和“缺損”而言的，“割補法”是處理數(shù)學或物理

問題最常用的方法，可以使原來不完整的物體變得完整，使原來不對稱的物體變得對稱，使

雜亂無章的現(xiàn)象變得有規(guī)律可循。

2.采用“割補法”求萬有引力，先將空腔填滿，根據(jù)萬有引力定律列式求解萬有引力,

該引力是填入的球的引力與剩余部分引力的合力。

典例EI有一質(zhì)量為M、半徑為R、密度均勻的球體，在距離球

心。為2R的地方有一質(zhì)量為m的質(zhì)點?，F(xiàn)從M中挖去半徑為3?的球

體，如圖所示，則剩余部分對質(zhì)點的萬有引力F為（）

IGMmIGMm

A.36R2B?8R2

GMmIGMm

C18R2D-32/?2

h/fm

［解析］質(zhì)量為M的球體對質(zhì)點的萬有引力Fl=G詆3=挖去的球體的質(zhì)量M'

［2M=?,質(zhì)量為M'的球體對質(zhì)點的萬有引力F?=GM；-=G界&則剩余部分

加8（R+畀18R

對質(zhì)點的萬有引力F=FI-F2=G^^一G相的=今整Z故選項A正確。

［答案］A

針對

5.如圖所示，離質(zhì)量為M、半徑為R、密度均勻的球體表面R處有一質(zhì)量

為團的質(zhì)點，此時M對相的萬有引力為吊，當從M中挖去兩個半徑為r=f的球體時，剩

下部分對〃?的萬有引力為F2。求Fl、尸2的比值。

解析：未挖去前，整體對質(zhì)點的引力大小為Q=G送京，

挖去的左邊小球?qū)|(zhì)點的引力為k=G懸

挖去的右邊小球?qū)|(zhì)點的引力為尸'=GT?,

7（1.DK）

41

根據(jù)V=WTIR3知，挖去兩個球的體積分別是原來球體體積的、，則挖去的每個球的質(zhì)量

為gM,

素養(yǎng)達標。

1.關(guān)于萬有引力定律公式F=G等%下列說法正確的是（）

A.當兩個物體之間的距離趨近于零時，F(xiàn)趨于無窮大

B.只要兩個物體是球體，就可用此式求解萬有引力

C.兩只相距0.5m的小狗之間的萬有引力可用此式計算

D.任何兩個物體間都存在萬有引力

解析：當物體之間的距離趨近于零時，物體不能視為質(zhì)點，萬有引力定律公式不適用，

故A錯誤：如果兩個球體質(zhì)量分布不均勻，則不能用此公式求出萬有引力，故B錯誤；兩

只相距0.5m的小狗不能看成質(zhì)點，則不能用此公式求出萬有引力，故C錯誤；自然界中任

何兩個物體之間都存在萬有引力，故D正確。

答案：D

2.有一行星大小與地球相同，密度為地球的2倍，則它表面的重力加速度是地球表面

重力加速度的（）

A.1倍B.2倍

C.4倍D.8倍

4,

cmγmGτπRp.

解析：根據(jù)萬有引力等于重力，列出等式墨m=,wg,則有g(shù)=簧=R=*求,

行星大小與地球相同，密度為地球的2倍，所以它表面的重力加速度是地球表面重力加速度

的2倍，故B正確。

答案：B

3.設(shè)地球表面的重力加速度為go,物體在距離地球表面3R（R是地球的半徑）處，由于

地球的作用而產(chǎn)生的加速度為g,則為（）

o?

A.1B,^

Je?