安徽省宿州市前傅中學高二數學理期末試卷含解析

安徽省宿州市前傅中學高二數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知數列{an}滿足a1>0，＝，則數列{an}是()A．遞增數列

B．遞減數列C．常數列

D．不確定參考答案：B略2.復數的共軛復數是（

）A． B． C． D．參考答案：D3.已知等差數列的公差，且，記前項之和，則（

）．A．

B．

C．

D．參考答案：C

解析：，得，而．4. 如右圖，平行六面體中，與的交點為.設，則下列向量中與相等的向量是（

）A． B．C． D．

參考答案：A略5.袋中有5個小球（3白2黑），現從袋中每次取一個球，不放回地抽取兩次，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是

（

）、

、

、

、參考答案：C6.設隨機變量，若，則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C7.已知函數f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x0＞0，則a的取值范圍是（）A．（2，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣1）參考答案：C【考點】利用導數研究函數的單調性；函數零點的判定定理；利用導數研究函數的極值．【分析】（i）當a=0時，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，兩個解，舍去．（ii）當a≠0時，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．對a分類討論：①當a＜0時，由題意可得；②當a＞0時，推出極值點不滿足題意，推出結果即可．【解答】解：（i）當a=0時，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，函數f（x）有兩個零點，舍去．（ii）當a≠0時，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．①當a＜0時，＜0，當x＜或x＞0時，f′（x）＜0，此時函數f（x）單調遞減；當＜x＜0時，f′（x）＞0，此時函數f（x）單調遞增．∴是函數f（x）的極小值點，0是函數f（x）的極大值點．∵函數f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零點x0，且x0＞0，則：，即：，可得a＜﹣2．②當a＞0時，＞0，當x＞或x＜0時，f′（x）＞0，此時函數f（x）單調遞增；當0＜x＜時，f′（x）＜0，此時函數f（x）單調遞減．∴是函數f（x）的極小值點，0是函數f（x）的極大值點．不滿足函數f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零點x0，且x0＞0，綜上可得：實數a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）．故選：C．8.已知A,B,C為三角形的三個內角，它們的對邊長分別為a,b,c，已知直線xsinA+ysinB+sinC=0到原點的距離大于1，則此三角形為(

)

A.銳角三角形

B.直角三角形

C.鈍角三角形

D.不能確定參考答案：C9.已知全集，集合，那么集合的子集有（

）A.6個B.7個C.8個D.9個參考答案：C10.在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，則cosB=(

)A．﹣ B． C．﹣ D．參考答案：D【考點】正弦定理．【分析】根據正弦定理先求出sinB的值，再由三角形的邊角關系確定∠B的范圍，進而利用sin2B+cos2B=1求解．【解答】解：根據正弦定理可得，，解得，又∵b＜a，∴B＜A，故B為銳角，∴，故選D．【點評】正弦定理可把邊的關系轉化為角的關系，進一步可以利用三角函數的變換，注意利用三角形的邊角關系確定所求角的范圍．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.圓心在原點，且與直線相切的圓的方程為_____________。參考答案：略12.已知復數則虛部的最大值為

.參考答案：略13.點P(x，y)是圓x2＋(y－1)2＝1上任意一點，若點P的坐標滿足不等式x＋y＋m≥0，則實數m的取值范圍是________．參考答案：[－1，＋∞)14.已知取值如下表：從所得的散點圖分析，與線性相關，且，則

.

參考答案：2.615.已知向量，，若，則x=______,若,則x=_____．參考答案：2

3【分析】若，則坐標的關系有，代入即得；直接計算可得.【詳解】因為，，且，所以，解得；又因為所以，解得.16.不等式的解集為

參考答案：17.命題“不成立”是真命題，則實數的取值范圍是

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）設命題p：實數x滿足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0.

命題q：實數x滿足(1)當a＝1，且p∧q為真，求實數x的取值范圍；(2)若p是q的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．參考答案：(1)由x2－4ax＋3a2<0，得a<x<3a(a>0)．當a＝1時，1<x<3，所以p：1<x<3.由解得2<x≤3，所以q：2<x≤3.若p∧q為真，則p真且q真，所以實數x的取值范圍是{x|2<x<3}．(2)設A＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a>0}＝{x|a<x<3a，a>0}，

＝{x|2<x≤3}．根據題意可得，則0<a≤2且3a>3，即1<a≤2.故實數a的取值范圍是{a|1<a≤2}．19.（12分）如圖，直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC且△ABC的面積等于△ADC面積的．梯形ABCD所在平面外有一點P，滿足PA⊥平面ABCD，PA=AB．（1）求證：平面PCD⊥平面PAC；（2）側棱PA上是否存在點E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出點E的位置并證明；若不存在，請說明理由．（3）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．參考答案：【考點】與二面角有關的立體幾何綜合題；直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）證明平面PCD⊥平面PAC，只要證明CD⊥平面PAC，只要證明CD⊥AC、CD⊥PA即可；（2）當E是PA的中點時，取PD的中點G，連接BE、EG、CG，證明四邊形BEGC是平行四邊形，利用線面平行的判定可證BE∥平面PCD；（3）作FM⊥PD，連接CM，則可證∠CMF為二面角A﹣PD﹣C的平面角，求出FM、CM的長，即可得到二面角A﹣PD﹣C的余弦值．【解答】（1）證明：∵AB=BC且△ABC的面積等于△ADC面積的，∴AD=2BC作CF⊥AD，垂足為F，則F為AD的中點，且AD=2CF，所以∠ACD=90°∴CD⊥AC∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA又∵PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC∵CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAC；（2）E是PA的中點當E是PA的中點時，取PD的中點G，連接BE、EG、CG，則EG∥AD∥BC，EG=AD=BC∴四邊形BEGC是平行四邊形∴BE∥CG∵BE?平面PCD，CG?平面PCD∴BE∥平面PCD（3）解：作FM⊥PD，連接CM，則∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAD∴平面PAD⊥平面ABCD∵CF⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD∴CF⊥平面PAD∵FM⊥PD，∴CM⊥PD，∴∠CMF為二面角A﹣PD﹣C的平面角設CF=a，則在△PAD中，，∴FM=∴CM=∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值為【點評】本題考查面面垂直，考查線面平行，考查面面角，解題的關鍵是掌握面面垂直、線面平行的判定定理，作出面面角．20.（本小題12分）命題p：關于x的不等式對一切恒成立；命題q：函數在上遞增若為真，而為假，求實數的取值范圍。參考答案：21.已知直線l經過兩直線l1：2x﹣y+4=0與l2：x﹣y+5=0的交點，且與直線x﹣2y﹣6=0垂直．（1）求直線l的方程；（2）若點P（a，1）到直線l的距離為，求實數a的值．參考答案：【考點】直線與圓的位置關系．【分析】（1）求出交點坐標，利用與直線x﹣2y﹣6=0垂直，求直線l的方程；（2）若點P（a，1）到直線l的距離為，根據點到直線的距離公式，建立方程，即可求實數a的值．【解答】解：（1）聯立兩直線l1：2x﹣y+4=0與l2：x﹣y+5=0，得交點（1，6），∵與直線x﹣2y﹣6=0垂直，∴直線l的方程為2x+y﹣8=0；（2）∵點P（a，1）到直線l的距離為，∴=，∴a=6或1．【點評】本題考查直線方程，考查點到直線的距離公式的運用，屬于中檔題．22.定圓M：=16，動圓N過點F且與圓M相切，記圓心N的軌跡為E．（I）求軌跡E的方程；（Ⅱ）設點A，B，C在E上運動，A與B關于原點對稱，且|AC|=|CB|，當△ABC的面積最小時，求直線AB的方程．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（I）因為|NM|+|NF|=4＞|FM|，所以點N的軌跡E為橢圓，且，所以b=1，從而可求求軌跡E的方程；（Ⅱ）分類討論，直線AB的方程為y=kx，代入橢圓方程，求出|OA|，|OC|，可得S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|，利用基本不等式求最值，即可求直線AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）因為點在圓內，所以圓N內切于圓M，因為|NM|+|NF|=4＞|FM|，所以點N的軌跡E為橢圓，且，所以b=1，所以軌跡E的方程為．…（Ⅱ）（i）當AB為長軸（或短軸）時，依題意知，點C就是橢圓的上下頂點（或左右頂點），此時|AB|=2．…（ii）當直線AB的斜率存在且不為0時，設其斜率為k，直線AB的方程為y=kx，聯立方程得，所以|OA|2=．…（7分）由|AC|=|CB|知，△ABC為等腰三