變量的相關(guān)關(guān)系（教學(xué)課件）（人教A版2019選擇性必修第三冊）

1第8章《成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析》人教A版2019選擇性必修第三冊8.1.1變量的相關(guān)關(guān)系1.結(jié)合實例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義.2.了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.3.結(jié)合實例，會通過樣本相關(guān)系數(shù)比較多組成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)性．學(xué)習(xí)目標(biāo)

在必修課程中，我們學(xué)習(xí)了單個變量的觀察數(shù)據(jù)的直觀表示和統(tǒng)計特征的刻畫等知識與方法．例如，用直方圖描述樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，用均值刻畫樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢，用方差刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度等．這些方法主要適用于通過樣本認(rèn)識單個變量的統(tǒng)計規(guī)律．

在現(xiàn)實中，我們還經(jīng)常需要了解兩個或兩個以上變量之間的關(guān)系．例如，教育部門為掌握學(xué)生身體健康狀況，需要了解身高變量和體重變量之間的關(guān)系；醫(yī)療衛(wèi)生部門要制定預(yù)防青少年近視的措施，需要了解有哪些因素會影響視力，以及這些因素是如何影響視力的；商家要根據(jù)顧客的意見改進(jìn)服務(wù)水平，希望了解哪些因素影響服務(wù)水平，以及這些因素是如何起作用的；等等．

為此，我們需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)通過樣本推斷變量之間關(guān)系的知識和方法．環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容有成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性、一元線性回歸模型和列聯(lián)表等，這些知識與方法在解決實際問題中非常有用．可以發(fā)現(xiàn)，兩個隨機變量的相關(guān)性可以通過成對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析；利用一元線性回歸模型可以研究變量之間的隨機關(guān)系，進(jìn)行預(yù)測；利用列聯(lián)表可以檢驗兩個隨機變量的獨立性．

本章的學(xué)習(xí)對于提高我們解決實際問題的能力，提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)都是非常有幫助的．“統(tǒng)計”數(shù)據(jù)獲取數(shù)據(jù)記錄數(shù)據(jù)分析抽樣方法統(tǒng)計圖表數(shù)據(jù)特征變量關(guān)系適用于單個變量的分析變量A：變量B：該從哪些角度分析兩個個變量的關(guān)系？分析邏輯1先分析是否相關(guān)2定性分析4量化分析是否合理3定量分析

我們知道，一個人的體重與他的身高有關(guān)系．一般而言，個子高的人往往體重值較大，個子矮的人往往體重值較小．但身高并不是決定體重的唯一因素，例如生活中的飲食習(xí)慣、體育鍛煉、睡眠時間以及遺傳因素等也是影響體重的重要因素．像這樣，兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系(correlation)．環(huán)節(jié)二：觀察分析，感知概念兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的事例在現(xiàn)實中大量存在．例如：1．子女身高y與父親身高x之間的關(guān)系．一般來說，父親的個子高，其子女的個子也會比較高；父親個子矮，其子女的個子也會比較矮．但影響子女身高的因素，除父親身高外還有其他因素，例如母親身高、飲食結(jié)構(gòu)、體育鍛煉等，因此父親身高又不能完全決定子女身高．2．商品銷售收入y與廣告支出x之間的關(guān)系．一般來說，廣告支出越多，商品銷售收入越高．但廣告支出并不是決定商品銷售收入的唯一因素，商品銷售收入還與商品質(zhì)量、居民收入等因素有關(guān)．3．空氣污染指數(shù)y與汽車保有量x之間的關(guān)系．一般來說，汽車保有量增加，空氣污染指數(shù)會上升．但汽車保有量并不是造成空氣污染的唯一因素，氣象條件、工業(yè)生產(chǎn)排放、居民生活和取暖、垃圾焚燒等都是影響空氣污染指數(shù)的因素．4．糧食畝產(chǎn)量y與施肥量x之間的關(guān)系．在一定范圍內(nèi)，施肥量越大，糧食畝產(chǎn)就越高．但施肥量并不是決定糧食畝產(chǎn)量的唯一因素，糧食畝產(chǎn)量還要受到土壤質(zhì)量、降水量、田間管理水平等因素的影響．

因為在相關(guān)關(guān)系中，變量y的值不能隨變量x的值的確定而唯一確定，所以我們無法直接用函數(shù)去描述變量之間的這種關(guān)系．對上述各例中兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系，我們往往會根據(jù)自己以往積累的經(jīng)驗作出推斷．“經(jīng)驗之中有規(guī)律”，經(jīng)驗的確可以為我們的決策提供一定的依據(jù)，但僅憑經(jīng)驗推斷又有不足．

例如，不同經(jīng)驗的人對同一情形可能會得出不同結(jié)論，不是所有的情形都有經(jīng)驗可循等．因此，在研究兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系時，我們需要借助數(shù)據(jù)說話，即通過樣本數(shù)據(jù)分析，從數(shù)據(jù)中提取信息，并構(gòu)建適當(dāng)?shù)哪Ｐ停倮媚Ｐ瓦M(jìn)行估計或推斷．探究在對人體的脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中，科研人員獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機樣本數(shù)據(jù)，如表8.1-1所示．表中每個編號下的年齡和脂肪含量數(shù)據(jù)都是對同一個體的觀測結(jié)果，它們構(gòu)成了成對數(shù)據(jù)編號1234567年齡/歲23273941454950脂肪含量/%9.517.821.225.927.526.328.2編號891011121314年齡/歲53545657586061脂肪含量/%29.630.231.430.833.535.234.6根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你能推斷人體的脂肪含量與年齡之間存在怎樣的關(guān)系嗎？環(huán)節(jié)三：抽象概括，形成概念年齡/歲

為了更加直觀地描述上述成對樣本數(shù)據(jù)中脂肪含量與年齡之間的關(guān)系，類似于用直方圖描述單個變量樣本數(shù)據(jù)的分布特征，我們用圖形展示成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征．用橫軸表示年齡，縱軸表示脂肪含量，則表8.1-1中每個編號下的成對樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點表示出來，由這些點組成了如圖8.1-1所示的統(tǒng)計圖．

我們把這樣的統(tǒng)計圖叫做散點圖(scatterplot)．年齡/歲

觀察圖8.1—1可以發(fā)現(xiàn)，這些散點大致落在一條從左下角到右上角的直線附近，表明隨年齡值的增加，相應(yīng)的脂肪含量值呈現(xiàn)增高的趨勢．這樣，由成對樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，我們可以推斷脂肪含量變量和年齡變量之間存在著相關(guān)關(guān)系．

如果從整體上看，當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢，我們就稱這兩個變量正相關(guān)(positivecorrelation)；如果當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢，則稱這兩個變量負(fù)相關(guān)(negativecorrelation)．由圖8.1—1，能夠推斷脂肪含量與年齡這兩個變量正相關(guān)．環(huán)節(jié)四：辨析理解，深化概念思考：（1）兩個變量負(fù)相關(guān)時，成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖有什么特點？

（2）你能舉出生活中兩個變量正相關(guān)或負(fù)相關(guān)的一些例子嗎？

散點圖是描述成對數(shù)據(jù)之間關(guān)系的一種直觀方法．觀察散點圖8.1-1，從中我們不僅可以大致看出脂肪含量和年齡呈現(xiàn)正相關(guān)性，而且從整體上可以看出散點落在某條直線附近．

一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點落在一條直線附近，我們就稱這兩個變量線性相關(guān)(linearcorrelation)．年齡/歲脂肪含量/%

觀察散點圖8.1-2，我們發(fā)現(xiàn)：圖(1)中的散點落在某條曲線附近，而不是落在一條直線附近，說明這兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)；類似地，圖(2)中的散點落在一條折線附近，這兩個變量也具有相關(guān)性，但它們既不是正相關(guān)，也不是負(fù)相關(guān)；圖(3)中的散點雜亂無章，無規(guī)律可言，看不出兩個變量有什么相關(guān)性．

一般地，如果兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)．環(huán)節(jié)五：課堂練習(xí)，鞏固運用兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.1.相關(guān)關(guān)系把成對樣本數(shù)據(jù)用直角坐標(biāo)系中的點表示出來，由這些點組成的統(tǒng)計圖叫做散點圖.2.散點圖3.正相關(guān)與負(fù)相關(guān)一個變量隨另一個變量的增加呈現(xiàn)減小的趨勢.正相關(guān)：一個變量隨另一個變量的增加呈現(xiàn)增加的趨勢.負(fù)相關(guān)：環(huán)節(jié)六:歸納總結(jié)，反思提升環(huán)節(jié)七：目標(biāo)檢測，作業(yè)布置完成教材：第103頁練習(xí)第3,4題.練習(xí)

第95頁1．舉例說明什么叫相關(guān)關(guān)系．相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系有什么區(qū)別？例如，身高與腳長的關(guān)系，一般來說，身高較高的人腳長也會較長，但身高相同的人腳長末必相同；

受教育程度和收人水平的關(guān)系，一般來說，受教育程度高的人收入也較高，但受教育程度相同的人收入未必相同．

相關(guān)關(guān)系是指從總的變化趨勢來看，變量之間存在著某種關(guān)系，但這種關(guān)系又不能用函數(shù)關(guān)系完全表達(dá)出來．相關(guān)關(guān)系是不確定性的數(shù)量關(guān)系，對其中一個變量的每個取值，另一個變量可能有多個不同的取值；而函數(shù)關(guān)系是確定性的數(shù)量關(guān)系，對自變量的每個取值，因變量有唯一確定的值與之對應(yīng)．相同點：均是指兩個變量的關(guān)系．不同點：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，因果關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．2．根據(jù)下面的散點圖，判斷圖中的兩個變量是否存在相關(guān)關(guān)系．負(fù)相關(guān)非線性相關(guān)不相關(guān)正相關(guān)3．下表給出了一些地區(qū)的鳥的種類數(shù)與該地區(qū)的海拔高度的數(shù)據(jù)，鳥的種類數(shù)與海拔高度是否存在相關(guān)關(guān)系？如果是，那么這種相關(guān)關(guān)系有什么特點？地區(qū)ABCDEFGHIJK海拔/m12501158106745770