D3-2微積分基本公式

二、微積分根本定理三、不定積分一、微積分根本公式第二節(jié)微積分的根本公式與根本定理第五章變速直線運(yùn)動(dòng)的路程：求時(shí)間段[a,b]內(nèi)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程s.一方面：v=v(t)

故另一方面：s=s(t)故于是應(yīng)有一、引例

的值可以由s(t)在t=a與t=b的值之差得到。s'(t)=v(t)所以由v(t)求s(t)是求導(dǎo)運(yùn)算的逆運(yùn)算.問題的關(guān)鍵：如何從v(t)求s(t)？二、微積分根本公式定義2.1假設(shè)在區(qū)間I上定義的兩個(gè)函數(shù)F(x)及f(x)滿足，那么F為f在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù).由定義2.1可知，位移函數(shù)s(t)是速度函數(shù)v(t)的原函數(shù).又如從上面的物理模型中可抽象出下面的牛頓-萊布尼茲定理:Newton-Leibniz定理證：在區(qū)間[a,b]內(nèi)任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)定理1函數(shù),那么定理1.函數(shù),那么因此有在上式中令例1計(jì)算以下定積分如果

x是區(qū)間

[a,b]上任意一點(diǎn)，定積分表示曲線y=f(x)在局部區(qū)間[a,x]上曲邊梯形AaxC的面積，如圖中陰影局部所示的面積.

當(dāng)x在區(qū)間

[a,b]

上變化時(shí),陰影局部的曲邊梯形面積也隨之變化，

所以變上限定積分yxy=f(x)axbOACB是上限變量

x的函數(shù).記作F(x)，即≤≤F(x)三、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)那么變上限函數(shù)證:那么有定理2.假設(shè)1.第一根本定理說明:1)定理2證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.2)其他變限積分求導(dǎo):同時(shí)為通過原函數(shù)計(jì)算定積分開辟了道路.例2.

求解:原式說明例3.確定常數(shù)

a,b,c

的值,使解:原式=

c≠0,故又由～,得洛洛例4.

證明在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù).證:只要證2.第二根本定理因此F(x)+C為原函數(shù).就是f(x)在

I中的一切原函數(shù)，C為任意常數(shù)。證.解例5.例6.求解注：如果函數(shù)在區(qū)間上是分段連續(xù)的，那么應(yīng)在各個(gè)子區(qū)間上應(yīng)用牛萊公式。定義.在區(qū)間I上的原函數(shù)全體稱為上的不定積分,其中—積分號(hào);—被積函數(shù);—被積式.—積分變量;假設(shè)那么(C為任意常數(shù))C

稱為積分常數(shù),不可丟!例如,記作四、不定積分1.微分與不定積分的關(guān)系或或2.不定積分的幾何意義:的原函數(shù)的圖形稱為的圖形的所有積分曲線組成的平行曲線族.的積分曲線.例7.

設(shè)曲線通過點(diǎn)(1,2),

且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線的方程.解:所求曲線過點(diǎn)(1,2),故有因此所求曲線為3.根本積分表利用逆向思維(k為常數(shù))或或4.不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1

性質(zhì)2

例

例

例8.求解:原式=例9.求解:原式=例10.求解:原式=例11.計(jì)算以下各題例12.解例13.求以下不定積分內(nèi)容小結(jié)那么有1.微積分根本公式牛頓–萊布尼茨公式2.變限積分求導(dǎo)公式

3.不定積分函數(shù)

f(x)的一切原函數(shù)F(x)+C的表達(dá)式微積分第一、二根本定理思考與練習(xí)1.證明2.假設(shè)提示:3.假設(shè)是的原函數(shù),那么提示:4.假設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為那么的一個(gè)原函數(shù)是().提示:求即B??或由題意其原函數(shù)為5.求以下積分:提示:6.求不定積分解：7.求A,B.解:等式兩邊對(duì)x求導(dǎo),得備用題解：1.設(shè)求定積分為常數(shù),設(shè),那么故應(yīng)用積分法定此常數(shù).2.設(shè)證：試證:當(dāng)目錄上頁下頁返回結(jié)束時(shí),

=o(

).所以

=o(