9.9 以乘法公式為背景的綜合問題（重難點(diǎn)培優(yōu)）-蘇科版七年級下冊數(shù)學(xué)第9章《整式的乘法與因式分解》尖子生同步培優(yōu)（附答案解析）

專題9.9以乘法公式為背景的綜合問題（重難點(diǎn)培優(yōu)）姓名：__________________班級：______________得分：_________________1．（1）如圖，用四塊完全相同的長方形拼成正方形，用不同的方法，計(jì)算圖中陰影部分的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么？（用含有x、y的等式表示）．（2）若（3x﹣2y）2＝5，（3x+2y）2＝9，求xy的值；（3）若2x+y＝5，xy＝2，求2x﹣y的值．2．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2適當(dāng)?shù)淖冃危梢越鉀Q很多的數(shù)學(xué)問題．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因?yàn)閍+b＝3，ab＝1所以（a+b）2＝9，2ab＝2所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2得a2+b2＝7根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）①若（4﹣x）x＝5，則（4﹣x）2+x2＝；②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，則（4﹣x）2+（5﹣x）2＝；（3）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB＝6，兩正方形的面積和S1+S2＝18，求圖中陰影部分面積．3．（2020春?淮安區(qū)期末）乘法公式的探究及應(yīng)用．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為a、寬為b的長方形，并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．（1）觀察圖2，請你寫出下列三個(gè)代數(shù)式：（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關(guān)系．；（2）若要拼出一個(gè)面積為（a+2b）（a+b）的矩形，則需要A號卡片1張，B號卡片2張，C號卡片張．（3）根據(jù)（1）題中的等量關(guān)系，解決問題：已知：a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值．4．有兩根同樣長的鐵絲．（1）將兩根鐵絲分別圍成一個(gè)長方形和一個(gè)正方形（無剩余）．①若其中長方形的長為5cm，寬為3cm，則正方形的邊長為cm；②設(shè)其中長方形的長為xcm，寬為ycm，則正方形的邊長為cm（用含x、y的代數(shù)式表示）；③若長方形的長比寬多acm，用含a的代數(shù)式表示正方形面積與長方形面積的差S（寫出過程）；（2）將其中一根鐵絲剪成兩段，用這兩段分別圍成兩個(gè)正方形拼成如圖所示的形狀（在同一水平線上，兩正方形無重疊），若鐵絲總長為28cm，兩個(gè)正方形面積和為25cm2，則陰影部分面積為cm2．5．（2020春?東?？h期末）[閱讀理解]我們常將一些公式變形，以簡化運(yùn)算過程．如，可以把公式“（a+b）2＝a2+2ab+b2”變形成a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）等形式，運(yùn)用于下面這個(gè)問題的解答：問題：若x滿足（20﹣x）（x﹣30）＝10，求（20﹣x）2+（x﹣30）2的值．我們可以作如下解答：設(shè)a＝20﹣x，b＝x﹣30，則（20﹣x）（x﹣30）＝ab＝10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣30）＝20﹣30＝﹣10．所以（20﹣x）2+（x﹣30）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣10）2﹣2×10＝80．請根據(jù)你對上述內(nèi)容的理解，解答下列問題：（1）若x滿足（80﹣x）（x﹣70）＝﹣10，則（80﹣x）2+（x﹣70）2的值為．（2）若x滿足（2020﹣x）2+（2017﹣x）2＝4051，則（2020﹣x）（2017﹣x）的值為．（3）如圖，將正方形EFGH疊放在正方形ABCD上，重疊部分LFKD是一個(gè)長方形，AL＝8，CK＝12．沿著LD、KD所在直線將正方形EFGH分割成四個(gè)部分，若四邊形ELDN和四邊形DKGM恰好為正方形，且它們的面積之和為400，求長方形NDMH的面積．6．從邊長為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形（如圖2）．（1）探究：上述操作能驗(yàn)證的等式是；（請選擇正確的一個(gè)）A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）（2）應(yīng)用：利用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知9x2﹣4y2＝24，3x+2y＝6，求3x﹣2y的值；②計(jì)算：(1-17．乘法公式的探究及應(yīng)用．（1）如圖1，可以求出陰影部分的面積是（寫成兩數(shù)平方差的形式）；（2）如圖2，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個(gè)長方形，它的寬是，長是，面積是．（寫成多項(xiàng)式乘法的形式）（3）比較左、右兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式．（用式子表達(dá)）（4）運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算下列各題：①10.3×9.7②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）8．從邊長為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是．（請選擇正確的選項(xiàng)）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣y2＝16，x+y＝8，求x﹣y的值；（3）計(jì)算：（1-122）（1-132）（19．從邊長為a的正方形剪掉一個(gè)邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是（請選擇正確的一個(gè)）A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；（3）計(jì)算：（1-122）（1-132）（1-10．從邊長為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形（如圖2）．（1）探究：上述操作能驗(yàn)證的等式是：（請選擇正確的一個(gè)）．A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）C．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2（2）應(yīng)用：利用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知4x2﹣9y2＝24，2x+3y＝8，求2x﹣3y的值；②計(jì)算：(1-111．【探究】如圖1，邊長為a的大正方形中有一個(gè)邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長方形（如圖2所示），通過觀察比較圖2與圖1中的陰影部分面積，可以得到乘法公式．（用含a，b的等式表示）【應(yīng)用】請應(yīng)用這個(gè)公式完成下列各題：（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，則2m﹣n的值為．（2）計(jì)算：20192﹣2020×2018．【拓展】計(jì)算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．12．【知識情景】通常情況下，用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積．（1）如圖1，在邊長為a的正方形中挖掉一個(gè)邊長為b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一個(gè)長方形（如圖2）．通過計(jì)算圖形（陰影部分）的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式，則這個(gè)等式是．【拓展探究】類似地，用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)幾何體的體積，也可以得到一個(gè)恒等式．如圖3是邊長為a+b的正方體，被如圖所示的分割線分成8塊．（2）用不同的方法計(jì)算這個(gè)正方體的體積，就可以得到一個(gè)恒等式，這個(gè)恒等式可以為；（3）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的恒等式求a3+b3的值．13．從邊長為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是；（請選擇正確的一個(gè)）A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）（2）應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．②計(jì)算：（1-122）（1-132）（114．（1）如圖1，陰影部分的面積是．（寫成平方差的形式）（2）若將圖1中的陰影部分剪下來，拼成如圖2的長方形，面積是．（寫成多項(xiàng)式相乘的積形式）（3）比較兩圖的陰影部分的面積，可以得到公式：．（4）應(yīng)用公式計(jì)算：（1-122）（1-132）（1-115．如圖，將邊長為a的正方形按虛線剪成4個(gè)部分，去掉其中邊長為b的小正方形，將剩余的3個(gè)部分重新拼成一個(gè)互不重疊且無縫隙的長方形．（1）畫出拼好的長方形，并標(biāo)注相應(yīng)的數(shù)據(jù)；（2）求拼好后長方形的周長；（3）若a＝9，b＝3，求拼好后長方形的面積．16．如圖1所示，邊長為a的正方形中有一個(gè)邊長為b的小正方形，如圖2所示是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長方形．（1）設(shè)圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2．請直接用含a，b的代數(shù)式表示S1，S2；（2）請寫出上述過程所揭示的乘法公式；（3）試?yán)眠@個(gè)公式計(jì)算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．17．如圖擺放兩個(gè)正方形，它們的周長之和為24、面積之和為20，求陰影部分的面積．18．圖1，是一個(gè)長為2m，寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形．（1）圖2中的陰影部分的面積為；（2）觀察圖2，三個(gè)代數(shù)式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之間的等量關(guān)系是；（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，求x﹣y；（4）觀察圖3，你能得到怎樣的代數(shù)恒等式呢？19．如圖1是一個(gè)長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成的一個(gè)“回形”正方形（如圖2）．①圖2中的陰影部分的面積為；②觀察圖2請你寫出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關(guān)系是；③根據(jù)（2）中的結(jié)論，若x+y＝5，x?y=94，則（x﹣y）2＝④實(shí)際上通過計(jì)算圖形的面積可以探求相應(yīng)的等式．如圖3，你發(fā)現(xiàn)的等式是．20．如圖1是一個(gè)長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形（1）你認(rèn)為圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于多少？（2）請用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積．方法1：方法2：（3）觀察圖2你能寫出下列三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎？代數(shù)式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn．（4）根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：若a+b＝7，ab＝5，則（a﹣b）2＝．參考答案1．（1）如圖，用四塊完全相同的長方形拼成正方形，用不同的方法，計(jì)算圖中陰影部分的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么？（用含有x、y的等式表示）4xy＝（x+y）2﹣（x﹣y）2．（2）若（3x﹣2y）2＝5，（3x+2y）2＝9，求xy的值；（3）若2x+y＝5，xy＝2，求2x﹣y的值．【分析】（1）陰影部分的面積可以由邊長為x+y的大正方形的面積減去邊長為x﹣y的小正方形面積求出，也可以由4個(gè)長為x，寬為y的矩形面積之和求出，表示出即可；（2）將（3x﹣2y）2＝5，（3x+2y）2＝9，代入（1）中的等式可求解；（3）將2x+y＝5，xy＝2，代入（1）中的等式可求解；【解析】（1）4xy＝（x+y）2﹣（x﹣y）2；（2）∵（3x+2y）2﹣（3x﹣2y）2＝24xy＝9﹣5，∴xy=1（3）∵（2x+y）2﹣（2x﹣y）2＝8xy，∴25﹣16＝（2x﹣y）2，∴2x﹣y＝±3．2．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學(xué)問題．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因?yàn)閍+b＝3，ab＝1所以（a+b）2＝9，2ab＝2所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2得a2+b2＝7根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）①若（4﹣x）x＝5，則（4﹣x）2+x2＝6；②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，則（4﹣x）2+（5﹣x）2＝17；（3）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB＝6，兩正方形的面積和S1+S2＝18，求圖中陰影部分面積．【分析】理解題目給出得例題，再根據(jù)完全平方公式的變形應(yīng)用，解決問題．【解析】（1）∵x+y＝8；∴（x+y）2＝82；x2+2xy+y2＝64；又∵x2+y2＝40；∴2xy＝64﹣（x2+y2），∴2xy＝64﹣40＝24，xy＝12．（2）①∵（4﹣x）+x＝4，∴[（4﹣x）+x]2＝42[（4﹣x）+x]2＝（4﹣x）2+2（4﹣x）x+x2＝16；又∵（4﹣x）x＝5，∴（4﹣x）2+x2＝16﹣2（4﹣x）x＝16﹣2×5＝6．②由（4﹣x）﹣（5﹣x）＝﹣1，∴[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2＝（4﹣x）2﹣2（4﹣x）（5﹣x）+（5﹣x）2＝（﹣1）2；又∵（4﹣x）（5﹣x）＝8，∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝1+2（4﹣x）（5﹣x）＝1+2×8＝17．（3）由題意可得，AC+BC＝6，AC2+BC2＝18；∵（AC+BC）2＝62，AC2+2AC?BC+BC2＝36；∴2AC?BC＝36﹣（AC2+BC2）＝36﹣18＝18，AC?BC＝9；圖中陰影部分面積為直角三角形面積，∵BC＝CF∴S△ACF3．乘法公式的探究及應(yīng)用．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為a、寬為b的長方形，并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．（1）觀察圖2，請你寫出下列三個(gè)代數(shù)式：（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關(guān)系．（a+b）2＝a2+b2+2ab；（2）若要拼出一個(gè)面積為（a+2b）（a+b）的矩形，則需要A號卡片1張，B號卡片2張，C號卡片3張．（3）根據(jù)（1）題中的等量關(guān)系，解決問題：已知：a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值．【分析】（1）用兩種方法表示拼成的大正方形的面積，即可得出（a+b）2，a2+b2，ab三者的關(guān)系；（2）計(jì)算（a+2b）（a+b）的結(jié)果為a2+3ab+2b2，因此需要A號卡片1張，B號卡片2張，C號卡片3張；（3）有（1）的等量關(guān)系，代入求值即可．【解析】（1）大正方形的面積可以表示為：（a+b）2，或表示為：a2+b2+2ab；因此有（a+b）2＝a2+b2+2ab，故答案為：（a+b）2＝a2+b2+2ab；（2）∵（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，∴需要A號卡片1張，B號卡片2張，C號卡片3張，故答案為：3；（3）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，a+b＝5，a2+b2＝13，∴25＝13+2ab，∴ab＝6，答：ab的值為6．4．有兩根同樣長的鐵絲．（1）將兩根鐵絲分別圍成一個(gè)長方形和一個(gè)正方形（無剩余）．①若其中長方形的長為5cm，寬為3cm，則正方形的邊長為4cm；②設(shè)其中長方形的長為xcm，寬為ycm，則正方形的邊長為x+y2cm（用含x、y③若長方形的長比寬多acm，用含a的代數(shù)式表示正方形面積與長方形面積的差S（寫出過程）；（2）將其中一根鐵絲剪成兩段，用這兩段分別圍成兩個(gè)正方形拼成如圖所示的形狀（在同一水平線上，兩正方形無重疊），若鐵絲總長為28cm，兩個(gè)正方形面積和為25cm2，則陰影部分面積為6cm2．【分析】（1）①根據(jù)周長相等，可求出正方形的邊長；②根據(jù)長方形的周長與正方形的周長相等，得出結(jié)果，③設(shè)出長方形的長，表示寬和周長，進(jìn)而表示正方形的邊長，（2）設(shè)兩個(gè)正方形的邊長為a、b，利用面積和為25，周長和為28，列方程組求出邊長，進(jìn)而計(jì)算出陰影部分的面積．【解析】（1）①長方形的周長為：（5+3）×2＝16，因此正方形的邊長為：16÷4＝4cm，故答案為：4；②由題意得，2（x+y）÷4=x+y故答案為：x+y2③設(shè)長方形的長為xcm，則寬為（x﹣a）cm，則正方形的邊長為：2x-a2cm∴S＝（2x-a2）2﹣x（x﹣a）=（2）設(shè)大正方形的邊長分別為acm，小正方形的表示為bcm，由題意得，a2+b∴S陰影部分=12ab＝6cm故答案為：6．5．（2020春?東?？h期末）[閱讀理解]我們常將一些公式變形，以簡化運(yùn)算過程．如，可以把公式“（a+b）2＝a2+2ab+b2”變形成a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）等形式，運(yùn)用于下面這個(gè)問題的解答：問題：若x滿足（20﹣x）（x﹣30）＝10，求（20﹣x）2+（x﹣30）2的值．我們可以作如下解答：設(shè)a＝20﹣x，b＝x﹣30，則（20﹣x）（x﹣30）＝ab＝10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣30）＝20﹣30＝﹣10．所以（20﹣x）2+（x﹣30）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣10）2﹣2×10＝80．請根據(jù)你對上述內(nèi)容的理解，解答下列問題：（1）若x滿足（80﹣x）（x﹣70）＝﹣10，則（80﹣x）2+（x﹣70）2的值為120．（2）若x滿足（2020﹣x）2+（2017﹣x）2＝4051，則（2020﹣x）（2017﹣x）的值為2021．（3）如圖，將正方形EFGH疊放在正方形ABCD上，重疊部分LFKD是一個(gè)長方形，AL＝8，CK＝12．沿著LD、KD所在直線將正方形EFGH分割成四個(gè)部分，若四邊形ELDN和四邊形DKGM恰好為正方形，且它們的面積之和為400，求長方形NDMH的面積．【分析】（1）根據(jù)題中提供方法進(jìn)行計(jì)算即可；（2）設(shè)a＝2020﹣x，b＝2017﹣x，計(jì)算出a﹣b的值，利用2ab＝a2+b2﹣（a﹣b）2，進(jìn)行計(jì)算即可；（3）由題意知，a2+b2＝400，a﹣b＝4．利用（a﹣b）2+2ab＝a2+b2計(jì)算ab的值即可；【解析】（1）設(shè)a＝80﹣x，b＝x﹣70，則ab＝﹣10，a+b＝80﹣x+x﹣70＝10，∴（80﹣x）2+（x﹣70）2的值＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100+20＝120，故答案為：120；（2）設(shè)a＝2020﹣x，b＝2017﹣x，則a﹣b＝2020﹣x﹣2017+x＝3，∴（2020﹣x）（2017﹣x）＝ab=12[a2+b2﹣（a﹣b）2]故答案為：2021；（3）設(shè)LD＝a，DK＝b，則AD＝8+a，DC＝b+12．由題意知，8+a＝b+12，a2+b2＝400，∴a﹣b＝4．∴（a﹣b）2+2ab＝a2+b2∴42+2ab＝400，所以ab＝192．所以長方形NDMH的面積為ab＝192．即：S矩形NDMH＝ab＝192．6．（2020秋?武都區(qū)期末）從邊長為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形（如圖2）．（1）探究：上述操作能驗(yàn)證的等式是B；（請選擇正確的一個(gè)）A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）（2）應(yīng)用：利用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知9x2﹣4y2＝24，3x+2y＝6，求3x﹣2y的值；②計(jì)算：(1-1【分析】（1）根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，即可列出等式；（2）①把9x2﹣4y2利用（1）的結(jié)論寫成兩個(gè)式子相乘的形式，然后把3x+2y＝6代入即可求解；②利用（1）的結(jié)論化成式子相乘的形式即可求解．【解析】（1）第一個(gè)圖形中陰影部分的面積是a2﹣b2，第二個(gè)圖形的面積是（a+b）（a﹣b），則a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案是B；（2）①∵9x2﹣4y2＝（3x+2y）（3x﹣2y），∴24＝6（x﹣2y）得：3x﹣2y＝4；②原式＝（1-12）（1+12）（1-13）（1+13）（1=1=1=117．（2020秋?洮北區(qū)期末）乘法公式的探究及應(yīng)用．（1）如圖1，可以求出陰影部分的面積是a2﹣b2（寫成兩數(shù)平方差的形式）；（2）如圖2，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個(gè)長方形，它的寬是a﹣b，長是a+b，面積是（a+b）（a﹣b）．（寫成多項(xiàng)式乘法的形式）（3）比較左、右兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（用式子表達(dá)）（4）運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算下列各題：①10.3×9.7②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）【分析】（1）利用正方形的面積公式就可求出；（2）仔細(xì)觀察圖形就會知道長，寬，由面積公式就可求出面積；（3）建立等式就可得出；（4）利用平方差公式就可方便簡單的計(jì)算．【解析】（1）利用正方形的面積公式可知：陰影部分的面積＝a2﹣b2；故答案為：a2﹣b2；（2）由圖可知矩形的寬是a﹣b，長是a+b，所以面積是（a+b）（a﹣b）；故答案為：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（等式兩邊交換位置也可）；故答案為：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（4）①解：原式＝（10+0.3）×（10﹣0.3）＝102﹣0.32＝100﹣0.09＝99.91；②解：原式＝[2m+（n﹣p）]?[2m﹣（n﹣p）]＝（2m）2﹣（n﹣p）2＝4m2﹣n2+2np﹣p2．8．（2020春?濱?？h期中）從邊長為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是A．（請選擇正確的選項(xiàng)）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣y2＝16，x+y＝8，求x﹣y的值；（3）計(jì)算：（1-122）（1-132）（1【分析】（1）根據(jù)拼接前后的面積相等可得出答案，（2）x2﹣y2＝16，即（x+y）（x﹣y）＝16，又x+y＝8，可求出x﹣y的值，（3）利用平方差公式將算式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)的乘積的形式，根據(jù)數(shù)據(jù)規(guī)律得出答案．【解析】（1）圖1的剩余面積為a2﹣b2，圖2拼接得到的圖形面積為（a+b）（a﹣b）因此有，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：A（2）∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝16，又∵x+y＝8，∴x﹣y＝16÷8＝2；（3）原式＝（1-12）（1+12）（1-13）（1+13）（1-14）（1=1=1=20219．（2020春?廣陵區(qū)期中）從邊長為a的正方形剪掉一個(gè)邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是B（請選擇正確的一個(gè)）A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；（3）計(jì)算：（1-122）（1-132）（1【分析】（1）結(jié)合圖1和圖2陰影部分面積相等建立等式即可．（2）利用平方差公式計(jì)算即可．（3）利用平方差公式展開計(jì)算化簡，最后求值．【解析】（1）∵邊長為a的正方形面積是a2，邊長為b的正方形面積是b2，剩余部分面積為a2﹣b2；圖（2）長方形面積為（a+b）（a﹣b）；∴驗(yàn)證的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）故答案為：B．（2）∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，且x+3y＝4∴x﹣3y＝3（3）（1-122）（1-132）（1＝（1+12）（1-12）（1+13）（1===202110．（2020春?邗江區(qū)期末）從邊長為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形（如圖2）．（1）探究：上述操作能驗(yàn)證的等式是：A（請選擇正確的一個(gè)）．A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）C．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2（2）應(yīng)用：利用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知4x2﹣9y2＝24，2x+3y＝8，求2x﹣3y的值；②計(jì)算：(1-1【分析】（1）觀察圖1與圖2，根據(jù)兩圖形陰影部分面積相等，驗(yàn)證平方差公式即可；（2）①已知第一個(gè)等式左邊利用平方差公式化簡，將第二個(gè)等式代入求出所求式子的值即可；②先利用平方差公式變形，再約分即可得到結(jié)果．【解析】（1）根據(jù)圖形得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），上述操作能驗(yàn)證的等式是A，故答案為：A；（2）①∵4x2﹣9y2＝（2x+3y）（2x﹣3y）＝24，2x+3y＝8，∴2x﹣3y＝24÷8＝3；②(1-1=(1-1=1=1=202111．（2020春?河口區(qū)期末）【探究】如圖1，邊長為a的大正方形中有一個(gè)邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長方形（如圖2所示），通過觀察比較圖2與圖1中的陰影部分面積，可以得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（用含a，b的等式表示）【應(yīng)用】請應(yīng)用這個(gè)公式完成下列各題：（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，則2m﹣n的值為3．（2）計(jì)算：20192﹣2020×2018．【拓展】計(jì)算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．【分析】【探究】將兩個(gè)圖中陰影部分面積分別表示出來，建立等式即可；【應(yīng)用】（1）利用平方差公式得出（2m+n）?（2m+n）＝4m2﹣n2，代入求值即可；（2）可將2020×2018寫成（2019+1）×（2019﹣1），再利用平方差公式求值；【拓展】利用平方差公式將1002﹣992寫成（100+99）×（100﹣99），以此類推，然后化簡求值．【解析】【探究】圖1中陰影部分面積a2﹣b2，圖2中陰影部分面積（a+b）（a﹣b），所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2故答案為（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．【應(yīng)用】（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12∵（2m+n）?（2m+n）＝4m2﹣n2∴2m﹣n＝3故答案為3．（2）20192﹣2020×2018＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1）＝20192﹣（20192﹣1）＝20192﹣20192+1＝1【拓展】1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）＝199+195+…+7+3＝505012．（2019春?東?？h期中）【知識情景】通常情況下，用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積．（1）如圖1，在邊長為a的正方形中挖掉一個(gè)邊長為b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一個(gè)長方形（如圖2）．通過計(jì)算圖形（陰影部分）的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式，則這個(gè)等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【拓展探究】類似地，用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)幾何體的體積，也可以得到一個(gè)恒等式．如圖3是邊長為a+b的正方體，被如圖所示的分割線分成8塊．（2）用不同的方法計(jì)算這個(gè)正方體的體積，就可以得到一個(gè)恒等式，這個(gè)恒等式可以為（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；（3）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的恒等式求a3+b3的值．【分析】（1）圖1的陰影部分的面積可以表示為a2﹣b2，拼成圖2的面積可表示為（a+b）（a﹣b），因此可得出等式，（2）用不同的方法表示正方體體積，進(jìn)而得出（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3【解析】（1）圖1陰影部分的面積可以表示為a2﹣b2，拼成圖2的面積可表示為（a+b）（a﹣b），因此a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），（2）整體上正方體的體積為（a+b）3，再分別表示八塊的體積和為a3+3a2b+3ab2+b3，因此（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，故答案為：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，（3）由（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3得，a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝（a+b）3﹣3ab（a+b）＝64﹣3×2×4＝40．13．（2019春?玉田縣期末）從邊長為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是B；（請選擇正確的一個(gè)）A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）（2）應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．②計(jì)算：（1-122）（1-132）（1【分析】（1）觀察圖1與圖2，根據(jù)兩圖形陰影部分面積相等，驗(yàn)證平方差公式即可；（2）①已知第一個(gè)等式左邊利用平方差公式化簡，將第二個(gè)等式代入求出所求式子的值即可；②先利用平方差公式變形，再約分即可得到結(jié)果．【解析】（1）根據(jù)圖形得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），上述操作能驗(yàn)證的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：B；（2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝12，x+2y＝4，∴x﹣2y＝12÷4＝3；②（1-122）（1-132）（1＝（1-12）（1+12）（1-13）（1===101014．（2019春?南海區(qū)期末）（1）如圖1，陰影部分的面積是a2﹣b2．（寫成平方差的形式）（2）若將圖1中的陰影部分剪下來，拼成如圖2的長方形，面積是（a﹣b）（a+b）．（寫成多項(xiàng)式相乘的積形式）（3）比較兩圖的陰影部分的面積，可以得到公式：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2．（4）應(yīng)用公式計(jì)算：（1-122）（1-132）（1-1【分析】（1）根據(jù)面積的和差，可得答案；（2）根據(jù)矩形的面積公式，可得答案；（3）根據(jù)圖形割補(bǔ)法，面積不變，可得答案；（4）根據(jù)平方差公式計(jì)算即可．【解析】（1）如圖（1）所示，陰影部分的面積是a2﹣b2，故答案為：a2﹣b2；（2）根據(jù)題意知該長方形的長為a+b、寬為a﹣b，則其面積為（a+b）（a﹣b），故答案為：（a+b）（a﹣b）；（3）由陰影部分面積相等知（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，故答案為：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；（4）（1-122）（1-132）（1-1＝（1-12）（1+12）（1-13）（1===201915．（2018秋?秦淮區(qū)期中）如圖，將邊長為a的正方形按虛線剪成4個(gè)部分，去掉其中邊長為b的小正方形，將剩余的3個(gè)部分重新拼成一個(gè)互不重疊且無縫隙的長方形．（1）畫出拼好的長方形，并標(biāo)注相應(yīng)的數(shù)據(jù)；（2）求拼好后長方形的周長；（3）若a＝9，b＝3，求拼好后長方形的面積．【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形即可；（2）根據(jù)矩形的周長公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)矩形的面積公式計(jì)算即可．【解析】（1）如圖所示；（2）拼好后長方形的周長＝4b+4（a﹣b）＝4a；（3）拼好后長方形的面積＝（a﹣b）（a﹣b+2b）＝（a﹣b）（a+b），當(dāng)a＝9，b＝3，（a﹣b）（a+b）＝6×12＝72．16．（2018春?江都區(qū)期末）如圖1所示，邊長為a的正方形中有一個(gè)邊長為b的小正方形，如圖2所示是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長方形．（1）設(shè)圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2．請直接用含a，b的代數(shù)式表示S1，S2；（2）請寫出上述過程所揭示的乘法公式；（3）試?yán)眠@個(gè)公式計(jì)算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．【分析】（1）根據(jù)兩個(gè)圖形的面積相等，即可寫出公式；（2）根據(jù)面積相等可得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）從左到右依次利用平方差公式即可求解．【解析】（1）S1=a2-b2，S2＝（a（2）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+1＝（28﹣1）（28+1）+1＝（216﹣1）+1＝216．17．（2020春?泰興市校級期中）如圖擺放兩個(gè)正方形，它們的周長之和為24、面積之和為20，求陰影部分的面積．【分析】根據(jù)題意得，a+b＝6，a2+b2＝20，利用面積的和差解答即可．【解析】根據(jù)題意得，a+b＝6，a2+b2＝20，∴ab=12[（a+b）2﹣（a2+bS陰影＝a2+b2-12a2-12（a+b）×b=12a2+1218．（2020春?槐蔭區(qū)期末）圖1，是一個(gè)長為2m，寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形．（1）圖2中的陰影部分的面積為（m﹣n）2；（2）觀察圖2，三個(gè)代數(shù)式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之間的等量關(guān)系是（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，