時商品利潤最大問題 完整版

22.3實際問題(wèntí)與二次函數(shù)第二十二章二次函數(shù)(hánshù)

第2課時(kèshí)商品利潤最大問題第一頁，共二十一頁。學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決商品銷售過程中的最大利潤問題(wèntí).（重點）2.弄清商品銷售問題中的數(shù)量關(guān)系及確定自變量的取值范圍.（難點）第二頁，共二十一頁。

在日常生活中存在(cúnzài)著許許多多的與數(shù)學(xué)知識有關(guān)的實際問題.商品買賣過程中，作為商家追求利潤最大化是永恒的追求.如果你是商場經(jīng)理，如何(rúhé)定價才能使商場獲得最大利潤呢？導(dǎo)導(dǎo)導(dǎo)第三頁，共二十一頁。思請同學(xué)(tóngxué)們獨立完成導(dǎo)學(xué)案中思考部分。議請同學(xué)們以小組(xiǎozǔ)為單位，交流思考部分的問題，大膽質(zhì)疑、解惑、創(chuàng)新。第四頁，共二十一頁。利潤問題中的數(shù)量關(guān)系一

某商品現(xiàn)在(xiànzài)的售價為每件60元，每星期可賣出300件，已知商品的進價為每件40元，則每星期銷售額是

元，銷售利潤

元.180006000數(shù)量(shùliàng)關(guān)系（1）銷售額=售價×銷售量;（2）單件利潤(lìrùn)=售價-進價.（3）總利潤=銷售額-總成本=單件利潤×銷售量;展第五頁，共二十一頁。

例1

某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映：每漲價1元，每星期少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件，已知商品的進價為每件40元，如何(rúhé)定價才能使利潤最大？漲價銷售①每件漲價x元，則每星期售出商品(shāngpǐn)的利潤y元，填空：單件利潤（元）銷售量（件）每星期利潤（元）正常銷售漲價銷售2030020+x300-10xy=(20+x)(300-10x)建立(jiànlì)函數(shù)關(guān)系式：y=(20+x)(300-10x),即：y=-10x2+100x+6000.如何定價利潤最大二6000展第六頁，共二十一頁。②自變量x的取值范圍如何(rúhé)確定？

營銷規(guī)律是價格上漲，銷量下降，因此只要考慮(kǎolǜ)銷售量就可以，故300-10x≥0，且x≥0,因此自變量的取值范圍是0≤x≤30.③漲價多少(duōshǎo)元時，利潤最大，最大利潤是多少(duōshǎo)？y=-10x2+100x+6000，當(dāng)

時,y=-10×52+100×5+6000=6250.

即定價65元時，最大利潤是6250元.展第七頁，共二十一頁。降價(jiànɡjià)銷售①每件降價x元，則每星期售出商品的利潤y元，填空：單件利潤（元）銷售量（件）每星期利潤（元）正常銷售降價銷售2030020-x300+20xy=(20-x)(300+20x)建立(jiànlì)函數(shù)關(guān)系式：y=(20-x)(300+20x)，即：y=-20x2+100x+6000.

例1

某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查(diàochá)反映：每漲價1元，每星期少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件，已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？6000展第八頁，共二十一頁。綜合可知(kězhī)，應(yīng)定價65元時，才能使利潤最大.②自變量x的取值范圍如何(rúhé)確定？營銷規(guī)律(guīlǜ)是價格下降，銷量上升，因此只要考慮單件利潤就可以，故20-x

≥0，且x≥0,因此自變量的取值范圍是0≤x≤20.③降價多少元時，利潤最大，是多少？y=-20(x-2.5)2+6125，

即定價57.5元時，最大利潤是6150元.即：y=-20x2+100x+6000，由(1)(2)的討論及現(xiàn)在的銷售情況,你知道應(yīng)該如何定價能使利潤最大了嗎?展第九頁，共二十一頁。歸納(guīnà)總結(jié)求解(qiújiě)最大利潤問題的一般步驟（1）建立利潤與價格(jiàgé)之間的函數(shù)關(guān)系式；運用“總利潤=總售價-總成本”或“總利潤=單件利潤×銷售量”（2）結(jié)合實際意義，確定自變量的取值范圍；（3）在自變量的取值范圍內(nèi)確定最大利潤?？梢岳门浞椒ɑ蚬角蟪鲎畲罄麧?；也可以畫出函數(shù)的簡圖，利用簡圖和性質(zhì)求出.展第十頁，共二十一頁。例2：某商店試銷一種新商品，新商品的進價為30元/件，經(jīng)過一段時間的試銷發(fā)現(xiàn)，每月的銷售量會因售價的調(diào)整而不同(bùtónɡ).令每月銷售量為y件，售價為x元/件，每月的總利潤為Q元.

（1）當(dāng)售價在40～50元時，每月銷售量都為60件，則此時每月的總利潤(lìrùn)最多是多少元？解：由題意(tíyì)得：當(dāng)40≤x≤50時，Q=60(x－30)=60x－1800∵y=60>0，Q隨x的增大而增大∴當(dāng)x最大=50時，Q最大=1200答：此時每月的總利潤最多是1200元.

展第十一頁，共二十一頁。（2）當(dāng)售價在50～70元時，每月銷售量與售價的關(guān)系如圖所示，則此時當(dāng)該商品售價x是多少元時，該商店每月獲利(huòl(fā)ì)最大，最大利潤是多少元？解：當(dāng)50≤x≤70時，設(shè)y與x函數(shù)(hánshù)關(guān)系式為y=kx+b,∵線段過(50，60)和(70，20).50k+b=6070k+b=20∴∴y

=－2x+160（50≤x≤70）

解得：k

=－2b=160展第十二頁，共二十一頁。∴y

=－2x+160（50≤x≤70）

∴Q=(x－30)y

=(x－30)(－2x+160)=－2x2+220x－4800=－2(x－55)2+1250(50≤x≤70)

∵a=－2＜0，圖象(túxiànɡ)開口向下，∴當(dāng)x=55時，Q最大=1250∴當(dāng)售價在50～70元時，售價x是55元時，獲利最大，最大利潤是1250元.

展第十三頁，共二十一頁。解：∵當(dāng)40≤x≤50時，Q最大=1200＜1218當(dāng)50≤x≤70時，Q最大=1250＞1218∴售價x應(yīng)在50~70元之間.

∴令：－2(x－55)2+1250=1218解得：x1=51，x2=59當(dāng)x1=51時，y1=－2x+160=－2×51+160=58(件)當(dāng)x2=59時，y2=－2x+160=－2×59+160=42(件)∴若4月份(yuèfèn)該商品銷售后的總利潤為1218元，則該商品售價為51元或59元，當(dāng)月的銷售量分別為58件或42件.

（3）若4月份(yuèfèn)該商品銷售后的總利潤為1218元，則該商品售價與當(dāng)月的銷售量各是多少？展第十四頁，共二十一頁。最大利潤(lìrùn)問題建立(jiànlì)函數(shù)關(guān)系式總利潤(lìrùn)=單件利潤×銷售量或總利潤=總售價-總成本.確定自變量取值范圍漲價:要保證銷售量≥0；降件：要保證單件利潤≥0.確定最大利潤利用配方法或公式求最大值或利用函數(shù)簡圖和性質(zhì)求出.評第十五頁，共二十一頁。1.進價為80元的某件定價100元時，每月可賣出2000件，價格每上漲1元，銷售量便減少5件，那么每月售出襯衣(chènyī)的總件數(shù)y(件）與襯衣售價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式為

.每月利潤w(元)與襯衣售價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式為

.(以上關(guān)系式只列式不化簡）.

y=2000-5(x-100)w=[2000-5(x-100)](x-80)檢第十六頁，共二十一頁。2

.某網(wǎng)絡(luò)玩具店引進一批進價為20元/件的玩具，如果以單價30元出售，那么一個月內(nèi)售出180件，根據(jù)銷售經(jīng)驗，提高銷售單價會導(dǎo)致銷售量的下降，即銷售單價每上漲(shàngzhǎng)1元，月銷售量將相應(yīng)減少10件，當(dāng)銷售單價為多少元時，該店能在一個月內(nèi)獲得最大利潤？檢第十七頁，共二十一頁。①每件商品的銷售單價上漲(shàngzhǎng)x元，一個月內(nèi)獲取的商品總利潤為y元，填空：單件利潤（元）銷售量（件）每月利潤（元）正常銷售漲價銷售1018010+x180-10xy=(10+x)(180-10x)1800建立(jiànlì)函數(shù)關(guān)系式：y=(10+x)(180-10x),即：y=-10x2+80x+1800.檢第十八頁，共二十一頁。營銷規(guī)律是價格上漲，銷量下降，因此(yīncǐ)只要考慮銷售量就可以，故180-10x≥0，因此自變量的取值范圍是x≤18.③漲價(zhǎnɡjià)多少元時，利潤最大，最大利潤是多少？y=-10x2+80x+1800

=-10(x-4)2+1960.

當(dāng)x=4時，即銷售(xiāoshòu)單價為34元時，y取最大值1960元.

答：當(dāng)銷售單價為34元時，該店在一個月內(nèi)能獲得最大利潤1960元.②自變量x的取值范圍如何確定？檢第十九頁，共二十一頁。1.課本第51頁習(xí)題(xítí)22.3的第2和第8題2.基礎(chǔ)訓(xùn)練本課時。練第二