北京四中2020-2021學(xué)年度初三上期中考試數(shù)學(xué)試卷含答案

北京四中2020—2021學(xué)年度初三上期中考試數(shù)學(xué)試卷含答案（時刻：120分鐘總分：120分）姓名：班級：一、選擇題(本題共30分，每小題3分)1．剪紙是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，下列剪紙作品中是中心對稱圖形的是（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AC＝2，則sinA的值為（）A． B． C． D．23．將拋物線向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到的拋物線是（）A．B．C．D．4．如圖，長4m的樓梯AB的傾斜角∠ABD為60°，為了改善樓梯的安全性能，預(yù)備重新建筑樓梯，使其傾斜角∠ACD為45°，則調(diào)整后的樓梯AC的長為（）A．2mB．2mC．（2﹣2）mD．（2﹣2）m5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線通過平移得到拋物線，其對稱軸與兩段拋物線所圍成的陰影部分的面積是()A．2B.4C.8D.166．如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則∠ABC的正切值是（）A．2B．C．D．7．如圖，將線段AB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A′B′，則A（﹣2，5）的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（）A．（2，5）B．（5，2）C．（2，﹣5）D．（5，﹣2）8．某拋物線的頂點(diǎn)為（2，﹣1），與x軸相交于P、Q兩點(diǎn)，若此拋物線通過（1，a）、（3，b）、（﹣1，c）、（﹣3，d）四點(diǎn)，則a、b、c、d中最大值是（）A．a(chǎn)B．bC．cD．d9.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）中的x與y的部分對應(yīng)值如下表：x﹣1013y﹣1353下列結(jié)論：（1）ac＜0；（2）拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，5）；（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一個根；（4）當(dāng)﹣1＜x＜3時，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正確的個數(shù)為（）A．4個B．3個C．2個D．1個10.二次函數(shù)滿足以下條件：當(dāng)時，它的圖象位于x軸的下方；當(dāng)時，它的圖象位于x軸的上方，則m的值為（）A．8 B． C． D．二、填空題（本題共18分，每小題3分）11．若,,則.12．已知拋物線的對稱軸為直線x＝2，與x軸的一個交點(diǎn)為（—1，0），則它與x軸的另一個交點(diǎn)為．13．長方體底面周長為50cm，高為10cm．則長方體體積y關(guān)于底面的一條邊長x的函數(shù)解析式是.其中x的取值范疇是.14．將含有30°角的直角三角板OAB如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，OB在x軸上，若OA=2，將三角板繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)75°，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為______.第14題第15題15．兩個全等的三角尺重疊放在△ACB的位置，將其中一個三角尺繞著點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至△DCE的位置，使點(diǎn)A恰好落在邊DE上，AB與CE相交于點(diǎn)F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，則CF=_______cm．16．定義：直線y=ax+b(a≠0)稱作拋物線y=ax2+bx(a≠0)的關(guān)聯(lián)直線.依照定義回答以下問題：(1)已知拋物線y=ax2+bx(a≠0)的關(guān)聯(lián)直線為y=x+2,則該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_________；(2)當(dāng)a=1時,請寫出拋物線y=ax2+bx與其關(guān)聯(lián)直線所共有的特點(diǎn)（寫出一條即可）：___________________________________.三、解答題（本題共72分，第23題6分，第26題4分，第27題7分，第28題7分，第29題8分，其余每小題5分）17．運(yùn)算:20210+?sin45°+tan60°．18．如圖，在△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAD=30°．求tanC的值．19．如圖，為測量一座山峰CF的高度，將此山的某側(cè)山坡劃分為AB和BC兩段，每一段山坡近似是“直”的，測得坡長AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（1.414，CF結(jié)果精確到米）20．已知：二次函數(shù)的圖象通過點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）將（1）中求得的函數(shù)解析式用配方法化成的形式．21．如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長為1個單位長度，△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）（1）畫出將△ABC向上平移1個單位長度，再向右平移5個單位長度后得到的△A1B1C1（2）畫出將△ABC繞原點(diǎn)O順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△A2B2O；（3）在x軸上存在一點(diǎn)P，滿足點(diǎn)P到A1與點(diǎn)A2距離之和最小，請直截了當(dāng)寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)．22．已知：如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°，，AB＝3，求BC的長．23.某商店經(jīng)營兒童益智玩具，已知成批購進(jìn)時的單價是20元.調(diào)查發(fā)覺：銷售單價是30元時，月銷售量是230件，而銷售單價每上漲1元，月銷售量就減少10件，但每件玩具售價不能高于40元.設(shè)每件玩具的銷售單價上漲了x元時（x為正整數(shù)），月銷售利潤為y元.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直截了當(dāng)寫出自變量x的取值范疇；

（2）每件玩具的售價定為多少元時，月銷售利潤恰為2520元？

（3）每件玩具的售價定為多少元時可使月銷售利潤最大？最大的月利潤是多少？24.設(shè)二次函數(shù)的圖象為C1．二次函數(shù)的圖象與C1關(guān)于y軸對稱．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)≤0時，直截了當(dāng)寫出的取值范疇；（3）設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn)A，與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B，一次函數(shù)(k，m為常數(shù)，k≠0)的圖象通過A，B兩點(diǎn)，當(dāng)時，直截了當(dāng)寫出x的取值范疇．25．如圖，設(shè)△ABC和△CDE差不多上正三角形，且∠EBD＝70o，求∠AEB的度數(shù)。26.閱讀材料，解答問題1231121231123xy解：設(shè)，則是的二次函數(shù)．拋物線開口向上．又當(dāng)時，，解得．由此得拋物線的大致圖象如圖所示．觀看函數(shù)圖象可知：當(dāng)或時，．的解集是：或．（1）觀看圖象，直截了當(dāng)寫出一元二次不等式：的解集是____________；（2）仿照上例，用圖象法解一元二次不等式：-x27．拋物線（m＞0）與x軸的交點(diǎn)為A，B．（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）橫、縱坐標(biāo)差不多上整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．①當(dāng)m＝1時，求線段AB上整點(diǎn)的個數(shù)；②若拋物線在點(diǎn)A，B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域內(nèi)（包括邊界）恰有6個整點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求m的取值范疇．28．閱讀下面材料：小偉遇到如此一個問題：如圖1，在正三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度數(shù).

小偉是如此摸索的：如圖2，利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識構(gòu)造△AP’C，連接PP’，得到兩個專門的三角形，從而將問題解決．

請你回答：圖1中∠APB的度數(shù)等于

.

參考小偉同學(xué)摸索問題的方法，解決下列問題：

（1）如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=，PB=1，PD=，求∠APB的度數(shù)和正方形的邊長；

（2）如圖4，在正六邊形ABCDEF內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2，PB=1，PF=，直截了當(dāng)寫出∠APB的度數(shù)等于_________，正六邊形的邊長為______．29．閱讀：我們約定，在平面直角坐標(biāo)系中，通過某點(diǎn)且平行于坐標(biāo)軸或平行于兩坐標(biāo)軸夾角平分線的直線，叫該點(diǎn)的“特點(diǎn)線”．例如，點(diǎn)M（1，3）的特點(diǎn)線有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．問題與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有正方形OABC，點(diǎn)B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線通過B、C兩點(diǎn)，頂點(diǎn)D在正方形內(nèi)部．（1）直截了當(dāng)寫出點(diǎn)D（m，n）所有的特點(diǎn)線；（2）若點(diǎn)D有一條特點(diǎn)線是y=x+1，求此拋物線的解析式；（3）點(diǎn)P是AB邊上除點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)，連接OP，將△OAP沿著OP折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′的位置，當(dāng)點(diǎn)A′在平行于坐標(biāo)軸的D點(diǎn)的特點(diǎn)線上時，滿足（2）中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點(diǎn)落在OP上？參考答案：一、選擇題1-5CABBB6-10DBDBD二、填空題11.12.(5,0)13.,14.()15.16.（—1，—1）；如：過點(diǎn)（1,1+b）（不唯獨(dú)）三、解答題17．解：原式………………4分．……………5分18．解：∵AD⊥BC于點(diǎn)D，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵在Rt△ABD中，AB=12，∠BAD=30°，∴BD=AB=6，…………………1分AD=AB·cos∠BAD=12·cos30°=．………………2分∵BC=15，∴CD=BC－BD=15－6=9．……………3分∴在Rt△ADC中，tanC=…………4分==．………………5分19．解：（1）作BH⊥AF于H，如圖，……1分在Rt△ABF中，∵sin∠BAH=，∴BH=800?sin30°=400，……2分∴EF=BH=400m；……3分（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=，∴CE=200?sin45°=100≈141.4，……4分∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．……5分答：AB段山坡高度為400米，山CF的高度約為541米．20．解：（1）∵二次函數(shù)的圖象通過點(diǎn)A(2，5)，∴． 1分∴．∴二次函數(shù)的解析式為． 2分（2）令，則有．解得，．∴二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和． 4分（3）． 5分21．解：（1）如圖所示，△A1B1C1為所求做的三角形；……1分（2）如圖所示，△A2B2O為所求做的三角形；……3分（3）∵A2坐標(biāo)為（3，1），A3坐標(biāo)為（4，﹣4），∴A2A3所在直線的解析式為：y=﹣5x+16，令y=0，則x=，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)（，0）．………………5分22．解：23．解：（1）依題意得

……1分自變量x的取值范疇是0＜x≤10且x為正整數(shù)；……2分（2）當(dāng)y=2520時，得解得x1=2，x2=11

…………3分

因?yàn)閤2=11

不合題意，舍去；當(dāng)x=2時，30+x=32（元）

因此，每件玩具的售價定為32元時，月銷售利潤恰為2520元；…………4分（3）

∵a=-10＜0

∴當(dāng)x=6.5時，y有最大值為2722.5

…5分

∵0＜x≤10(1≤x≤10也正確)且x為正整數(shù)

∴當(dāng)x=6時，30+x=36，y=2720（元）當(dāng)x=7時，30+x=37，y=2720（元）

因此，每件玩具的售價定為36元或37元時，每個月可獲得最大利潤.最大的月利潤是2720元.……6分24．解：（1）二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為，……1分∴所求的二次函數(shù)的解析式為，……2分即．（2）≤≤3．……4分（3）．……5分.25．∵△ABC和△CDE差不多上正三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，又∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠ECD=∠BCE+∠BCD，∴∠BCD=∠ACE，△ACE≌△BCD，…2分∴∠DBC=∠CAE，…3分26．(1)-1<x<3…1分(2)x<1或x>3…4分(其中畫圖象1分)27．解：（1）將拋物線表達(dá)式變?yōu)轫旤c(diǎn)式，則拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1）；…2分（2）①m=1時，拋物線表達(dá)式為，因此A、B的坐標(biāo)分別為（0，0）和（2，0），則線段AB上的整點(diǎn)有（0，0），（1，0），（2，0）共3個；…5分②拋物線頂點(diǎn)為（1，-1），則由線段AB之間的部分及線段AB所圍成的區(qū)域的整點(diǎn)的縱坐標(biāo)只能為-1或者0，因此即要求AB線段上（含AB兩點(diǎn)）必須有5個整點(diǎn)；又有拋物線表達(dá)式，令y=0，則，得到A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（，0），（，0），即5個整點(diǎn)是以（1，0）為中心向兩側(cè)分散，進(jìn)而得到，∴．…7分28．解：（1）如圖3，把△APB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADP′，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，P′A=PA=2，P′D=PB=1，∠PAP′=90°，

∴△APP′是等腰直角三角形，

∴PP′=PA=×2=4，∠AP′P=45°，

∵PP′2+P′D2=42+12=17=PD2，∴∠PP′D=90°，

∴∠AP′D=∠AP′P+∠PP′D=45°+90°=135°，

故，∠APB=∠AP′D=135°，

∵∠APB+∠APP′=135°+45°=180°，

∴點(diǎn)P′、P、B三點(diǎn)共線，

過點(diǎn)A作AE⊥PP′于E，

則AE=PE=PP′=×4=2，

∴BE=PE+PB=2+1=3，

在Rt△ABE中，AB===；

故答案為：150°；…2分（1）135°，；…5分（其中輔助線1分）（2）120°，．…7分29．解：（1）∵點(diǎn)D（m，n），∴點(diǎn)D（m，n）的特點(diǎn)線是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；……2分（2）點(diǎn)D有一條特點(diǎn)線是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1∵拋物線解析式為，∴y=（x﹣m）2+m+1，∵四邊形OABC是正方形，且D點(diǎn)為正方形的對稱軸，D（m，n），