北師大版數學必修5課后習題2-3解三角形的實際應用舉例

§3解三角形的實際應用舉例課后篇鞏固探究1.如圖所示,為了測量某湖泊兩側A,B間的距離,某同學首先選定了與A,B不共線的一點C,然后給出了四種測量方案:(△ABC的角A,B,C所對的邊分別記為a,b,c)①測量A,C,b②測量a,b,C③測量A,B,a④測量a,b,B則一定能確定A,B間距離的所有方案的序號為()A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④解析:已知三角形的兩角及一邊,可以確定三角形,故①③正確;已知兩邊及夾角,可以確定三角形,故②正確;已知兩邊與其中一邊的對角,滿足條件的三角形可能有一個或兩個,故④錯誤.故選A.答案:A2.已知某路邊一樹干被臺風吹斷后,樹尖與地面成45°角,樹干也傾斜為與地面成75°角,樹干底部與樹尖著地處相距20m,則折斷點與樹干底部的距離是()m.A.2063 B.10C.1063解析:如圖,設樹干底部為O,樹尖著地處為B,折斷點為A,則∠ABO=45°,∠AOB=75°,所以∠OAB=60°.由正弦定理知,AOsin45所以AO=20sin45°sin60答案:A3.已知一艘船以4km/h的速度與水流方向成120°的方向航行,已知河水流速為2km/h,則經過3h,該船實際航程為()A.215km B.6kmC.221km D.8km解析:如圖,因為|OA|=2km/h,|OB|=4km/h,∠AOB=120°,所以∠OAC=60°,|OC|=2=23(km/h).經過3h,該船的實際航程為23×3=答案:B4.甲船在B島的正南方10km處,且甲船以4km/h的速度向正北方向航行,同時乙船自B島出發(fā)以6km/h的速度向北偏東60°的方向行駛,當甲、乙兩船相距最近時它們航行的時間是()A.1507min B.157h C.21.5min D.2解析:如圖,設經過xh后甲船處于點P處,乙船處于點Q處,兩船的距離為s,則在△BPQ中,BP=(104x)km,BQ=6xkm,∠PBQ=120°,由余弦定理可知s2=PQ2=BP2+BQ22BP·BQ·cos∠PBQ,即s2=(104x)2+(6x)22(104x)·6x·cos120°=28x220x+100.當x=-202×28=514時,s最小,此時5答案:A5.已知一貨輪航行到M處,測得燈塔S在貨輪的北偏東15°,與燈塔S相距20海里,隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30分后,又測得燈塔在貨輪的東北方向,則貨輪的速度為()A.20(2+6)海里/時 B.20(6-2C.20(6+3)海里/時 D.20(6-3解析:設貨輪航行30分后到達N處,由題意可知∠NMS=45°,∠MNS=105°,則∠MSN=180°105°45°=30°.而MS=20海里,在△MNS中,由正弦定理得MNsin30即MN=20sin30=10=106+24=10(6故貨輪的速度為10(6-2)÷12=20(6-2)(答案:B6.飛機沿水平方向飛行,在A處測得正前下方地面目標C的俯角為30°,向前飛行10000m到達B處,此時測得正前下方目標C的俯角為75°,這時飛機與地面目標的水平距離為()A.2500(31)m B.50002mC.4000m D.40002m解析:如圖,∠BAC=30°,∠DBC=75°,AB=10000m,所以∠ACB=45°.由正弦定理,得10000sin45又cos75°=BDBC所以BD=10000·sin30°sin45°·cos75°答案:A7.臺風中心從A地以20km/h的速度向東北方向移動,離臺風中心30km內的地區(qū)為危險區(qū),城市B在A的正東40km處,B城市處于危險區(qū)內的持續(xù)時間為()A.0.5h B.1h C.1.5h D.2h解析:設th后,B市處于危險區(qū)內,則由余弦定理得(20t)2+4022×20t×40cos45°≤302.化簡得4t282t+7≤0,所以t1+t2=22,t1·t2=74從而|t1t2|=(t1+答案:B8.如圖,已知海岸線上有相距5nmile的兩座燈塔A,B,燈塔B位于燈塔A的正南方向.海上停泊著兩艘輪船,甲位于燈塔A的北偏西75°方向,與A相距32nmile的D處;乙船位于燈塔B的北偏西60°方向,與B相距5nmile的C處,則兩艘船之間的距離為nmile.

解析:連接AC,BC=AB=5nmile,∠ABC=60°,所以△ABC為等邊三角形,所以AC=5nmile,且∠DAC=180°75°60°=45°.在△ACD中,由余弦定理得CD2=(32)2+522×32×5×cos45°=13,所以CD=13nmile.故兩艘船之間的距離為13nmile.答案:139.如圖,山頂上有一座電視塔,在塔頂B處測得地面上一點A的俯角α=60°,在塔底C處測得點A的俯角β=45°.已知塔高60m,則山高為.

解析:在△ABC中,BC=60m,∠BAC=15°,∠ABC=30°,由正弦定理,得AC=60sin30°sin15°=30(所以CD=AC·sin45°=30(3+1)(m).答案:30(3+1)m10.如圖,為測量山高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點.從點A測得點M的仰角∠MAN=60°,點C的仰角∠CAB=45°及∠MAC=75°,從點C測得∠MCA=60°.已知山高BC=50m,則山高MN=m.

解析:在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=50m,所以AC=502m.在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,從而∠AMC=45°,由正弦定理得,ACsin45°=AMsin60°,在Rt△MNA中,AM=503m,∠MAN=60°,由MNAM=sin60°,得MN=503×3答案:7511.導學號33194045如圖,CM,CN為某公園景觀湖畔的兩條木棧道,∠MCN=120°.現擬在兩條木棧道的A,B兩處設置觀景臺,記BC=a,AC=b,AB=c(單位:百米).(1)若a,b,c成等差數列,且公差為4,求b的值;(2)已知AB=12,記∠ABC=θ,試用θ表示觀景路線ACB的長,并求觀景路線ACB長的最大值.解(1)因為a,b,c成等差數列,且公差為4,所以a=b4,c=b+4,因為∠MCN=120°,所以由余弦定理得,(b+4)2=(b4)2+b22b(b4)cos120°,解得b=10.(2)由題意,得ACsin所以AC=83sinθ,BC=83sin(60°θ),所以觀景路線ACB的長AC+BC=83sinθ+83sin(60°θ)=83sin(60°+θ)(0°<θ<60°).所以當θ=30°時,觀景路線ACB長的最大值為83百米.12.導學號33194046如圖,一艘船由西向東航行,測得某島M的方位角為α,前進5km后測得此島的方位角為β.已知該島周圍3km內有暗礁,現該船繼續(xù)東行.(1)若α=2β=60°,問該船有無觸礁危險?(2)當α與β滿足什么條件時,該船沒有觸礁的危險?解(1)設島M到直線AB的距離MC為dkm,則AC=dtanαkm,BC=dtanβkm.由ACBC=AB,得dtanαdtanβ=5,d=5tan當α=2β=60°時,d=53-所以此時沒有觸礁的危險.(2)方法一:要使船沒有觸礁危險,只要使d>3,即5tanα-因為0<β<α<π2,所以tanαtanβ>所以tanαtanβ<53所以當α,β滿足tanαtanβ<53時,該船沒有觸礁的危險方法二:設CM=xkm,由ABsin∠即5sin(α-β所以當5cosαcosβsin13.某海軍護航艦艇在某海域執(zhí)行護航任務時,收到某漁船在航行中發(fā)出的求救信號,海軍艦艇在A處獲悉后,立即測出該漁船在方位角為45°、距離A為10nmile的C處,并測得漁船正沿方位角為105°的方向,以9nmile/h的速度航行,海軍艦艇立即以21nmile/h的速度前去營救,試問艦艇應按照怎樣的航向前進?并求出靠近漁船所用的時間(角度精確到0.1°,時間精確到1min).解如圖,設艦艇從A處靠近漁船所用的時間為xh,則AB=21xnmile,BC=9xnmile,AC=10nmile,∠ACB=∠1+∠2=45°+(180°105°)=120°,根據余弦定理可得AB2=AC2+BC22AC·BC·cos120°