6.2.3平面向量的數(shù)乘運算

6.2.3平面向量的數(shù)乘運算知識點一向量的數(shù)乘運算定義一般地，我們規(guī)定實數(shù)與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作長度方向的方向與的方向相同的方向與的方向相反規(guī)定當＝0或時，；微點撥：①數(shù)乘向量仍是向量，實數(shù)與向量不能相加.②中的實數(shù)叫作向量的系數(shù).③向量數(shù)乘運算的幾何意義是把沿著的方向或的反方向長度擴大或縮小幾倍．④當＝0或時，，注意是，而不是0.若，則＝0或.⑤當時，向量是與向量同向的單位向量.知識點二向量數(shù)乘的運算律設為實數(shù)，那么(1)；(2)；(3).特別地，.知識點三向量的線性運算向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，向量線性運算的結(jié)果仍是向量．對于任意向量，以及任意實數(shù)，恒有.微點撥：實數(shù)與向量可以求積，但不能求和或求差知識點四向量共線定理向量與共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)，使.微點撥：①向量共線定理中規(guī)定，因為如果，當時，，可以是任意實數(shù)；當時，，值不存在．②的值是唯一存在的．③當向量同向時，；當向量反向時，.考點一向量的線性運算提分筆記向量線性運算的基本方法1．類比法：向量的數(shù)乘運算類似于代數(shù)多項式的運算，例如，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項”“公因式”是指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù)．2．方程法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數(shù)，利用解方程的方法求解，同時在運算過程中多注意觀察，恰當?shù)倪\用運算律，簡化運算．題型一向量的數(shù)乘運算1．（2023·全國·高三專題練習）設是非零向量，λ是非零實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．與的方向相反 B．與的方向相同C． D．【答案】B【分析】由平面向量的基本概念及數(shù)乘運算一一判定即可.【詳解】對于A，當時，與的方向相同，當時，與的方向相反，故A不正確；對于B，顯然，即B正確；對于C，，由于與1的大小不確定，故與的大小關系不確定，故C不正確；對于D，是向量，而表示長度，兩者不能比較大小，故D不正確．故選：B2．（2023·高一課時練習）已知m、n是實數(shù)，、是向量，對于命題：①

②③若，則

④若，則其中正確命題的個數(shù)是：（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①和②屬于數(shù)乘對向量與實數(shù)的分配律，③中若，結(jié)論不成立，④中若，結(jié)論不成立.【詳解】①和②屬于數(shù)乘對向量與實數(shù)的分配律，正確；③中若，與沒有確定關系，結(jié)論不成立，錯誤；④中若，m與n沒有確定關系，結(jié)論不成立，錯誤.故①②兩個命題正確．故選：B3．（2023·全國·高一隨堂練習）求下列未知向.(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】根據(jù)向量數(shù)乘運算求解.【詳解】（1）由得，所以.（2）由得，所以.（3）由得，所以.題型二向量的混合運算1．（2023下·重慶綦江·高一?？计谥校┗啚椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用平面向量的數(shù)乘及加減運算即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)向量的四則運算可知，.故選：D2．（2022·高一課時練習）若向量，，則.【答案】【分析】根據(jù)向量的加減與數(shù)乘，可得答案.【詳解】；；；.故答案為：.考點二用已知向量表示相關向量提分筆記1．直接法2．方程法當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則或平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系，然后解關于所求向量的方程．3．中點向量公式若M為AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則OM＝OA+題型一不含參數(shù)1．（2023上·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習）在中，點為邊的中點．記，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出．【詳解】

因為點D為邊的中點，所以，.故選：D.2．（2023下·廣西欽州·高一浦北中學校考期中，多選）如圖，設兩點把線段三等分，則下列向量表達式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由圖和平面向量線性運算逐一判斷選項即可.【詳解】由圖可得兩點把線段三等分，故，A，B正確；，故C，D，錯誤，故選：AB.3．（2023下·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中）已知中，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的線性運算化簡求解即可.【詳解】中，，所以.故選：A.4．（2023下·山東濰坊·高二校聯(lián)考期末）已知平行四邊形中，M，N，P分別是AB，AD，CD的中點，若，，則等于（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)M，N，P分別是AB，AD，CD的中點，由求解.【詳解】解：因為在平行四邊形中，M，N，P分別是AB，AD，CD的中點，且，，所以，所以，故選：C5．（2021·高一課時練習）在中，若，．(1)若P、Q是線段BC的三等分點，求證：；(2)若P、Q、S是線段BC的四等分點，求證：；(3)如果、、、…、是線段BC的等分點，你能得到什么結(jié)論？不必證明．（已知）【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）當P、Q是線段BC的三等分點時，以AB、AC為鄰邊作平行四邊形ABDC，連接AD，交BC于O點，連接PD、QD，得到，進而求得.（2）當P、Q、S是線段BC的四等分點時，得到Q是BC的中點，結(jié)合向量的運算，即可求解.（3）根據(jù)向量的多邊形法則，即可求得．【詳解】（1）解：當P、Q是線段BC的三等分點時，以AB、AC為鄰邊作平行四邊形ABDC，連接AD，交BC于O點，連接PD、QD，如圖所示，則，因為，，所以且，所以四邊形APDQ是平行四邊形，所以.（2）解：當P、Q、S是線段BC的四等分點時，如圖所示，則Q是BC的中點，所以.（3）結(jié)論：．題型二含參數(shù)1．（2023上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學考試）在平行四邊形ABCD中，點E在線段AC上，且，點F為線段AD的中點，記，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通過向量的線性運算化簡向量即可求解.【詳解】，所以，，所以.故選：A.2．（2023上·湖南邵陽·高三?？茧A段練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是對角線AC上靠近點的三等分點，點F為BE的中點，若，則．【答案】【分析】利用平面向量的線性運算計算即可.【詳解】，所以，，.故答案為：.3．（2024上·重慶·高三重慶巴蜀中學?？计谥校┰谥?，D為AC上一點且滿足若P為BD的中點，且滿足則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的線性運算計算即可.【詳解】因為，所以，則，所以，，.故選：D.題型三已知關系式的變形1．（2023上·北京朝陽·高三統(tǒng)考期中）已知平面內(nèi)四個不同的點滿足，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】將條件變形，得到的關系，進而可得的值.【詳解】,,即,.故選：D.2．（2022下·河北石家莊·高一統(tǒng)考階段練習）已知平面上不共線的四點，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的線性運算得到，即可得解.【詳解】由，得，即，所以，所以，即，故選：B3．（2023下·福建福州·高一校聯(lián)考期中）在中，，，是所在平面內(nèi)一點，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合，化簡得到，即可求解.【詳解】由，可得，因為，可得，所以，又因為，所以.故選：A.4．（2019·廣東·校聯(lián)考一模）已知A，B，C三點不共線，且點O滿足則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由向量的線性運算化簡．【詳解】∵，∴，整理得．故選：A．【點睛】本題考查向量的線性運算，解題關鍵是把用表示．考點三向量共線的判定及應用應用共線向量定理時的注意點(1)證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線．(2)向量共線是指存在不全為零的實數(shù)，使成立；若，當且僅當時成立，則向量不共線．題型一向量共線問題1．（2023·全國·高一隨堂練習）判斷下列各小題中的向量，是否共線：(1)，；(2)，（其中兩個非零向量和不共線）；(3)，.【答案】(1)共線；(2)共線；(3)共線.【分析】用向量共線定理判斷.【詳解】（1），，所以，所以，共線.（2），,所以，所以，共線.（3）因為，，所以，所以.所以，共線.2．（2023·全國·高一課堂例題）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是AD，DC的中點，BE，BF分別交AC于M，N．求證：M，N三等分AC．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)題意結(jié)合向量的線性運算分析證明.【詳解】由題意可得：，，所以,由于與，與分別共線，但與不共線，所以，，因此N是AC的一個三等分點；同理可證，因此M也是AC的一個三等分點．題型二證明或判斷三點共線提分筆記一般來說，要判定三點是否共線，只需看是否存在實數(shù)，使得即可．1．（2020·高一課時練習）已知，，求證，，三點共線.【答案】證明見解析.【分析】利用共線向量定理即可推理作答.【詳解】因為，，則有，因此共線，而與有公共點，所以，，三點共線.2．（2023·全國·高一課堂例題）已知，，，求證：A，B，C三點共線．【答案】證明見解析【分析】分別用，表示和，根據(jù)和的關系即可證明.【詳解】證明:因為，，所以，因此，A，B，C三點共線．3．（2022上·廣西玉林·高二?？茧A段練習）已知向量，不共線，且，，，則一定共線的是（

）A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用共線向量定理逐項判斷作答.【詳解】向量，不共線，且，，，，則有共線，而有公共點B，有A，B，D共線，A是；，不存在實數(shù)，使得，因此不共線，A，B，C不共線，B不是；，不存在實數(shù)，使得，因此不共線，B，C，D不共線，C不是；，不存在實數(shù)，使得，因此不共線，A，C，D不共線，D不是.故選：A4．（2023·全國·高三專題練習）設兩向量與不共線，若，，，則為何值時，三點共線？【答案】【分析】根據(jù)平面向量的加法運算求出，由三點共線，可得存在實數(shù)，使，列方程組即可求解.【詳解】，若三點共線，則存在實數(shù)，使，即，所以，解得.故當時，三點共線.題型三利用向量共線求參數(shù)提分筆記已知向量共線求，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應向量系數(shù)相等求解．1．（2023下·重慶·高一校聯(lián)考期末）已知點在線段上，且，若向量，則（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可知，結(jié)合向量的線性表示即可求得.【詳解】如圖，由，可得，所以，即，故選：D.2．（2023上·江西·高三校聯(lián)考階段練習）在中，若點滿足，，則.【答案】2【分析】利用平面向量的線性運算計算即可.【詳解】易知，又因為，所以.故答案為：2.3．（2023·高一單元測試）在中，，，，分別是邊，，的中點，是的重心，若，則.【答案】4【分析】由向量的平行四邊形法則，由向量共線，是的重心，可得，代入可得.【詳解】因為的中點，所以，因是的重心，所以，所以，故，故答案為：44．（2018·高一課時練習）已知向量，，中任意兩個都不共線，并且與共線，與共線，那么等于（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量共線定理即可得到相關方程組，解出即可.【詳解】∵與共線，∴存在實數(shù)，使得.①又∵與共線，∴存在實數(shù)，使得.②由①得，.∴，∴即.∴故選：D.考點四三角形四心問題題型一三角形四心的判斷1．（2023·全國·高三專題練習）已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則的軌跡一定通過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】A【詳解】由題意，當時，由于表示邊上的中線所在直線的向量，∴動點的軌跡一定通過的重心，如圖，故選A．2．（2023·全國·高三專題練習）設為的外心，若，則點是的（

）A．重心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．外心【答案】C【分析】取BC的中點D，連接OD，AM，BM，CM，由，結(jié)合，得到，從而，再由為的外心，得到即可.【詳解】解：取BC的中點D，如圖所示，連接OD，AM，BM，CM．因為，所以，又，則，所以，又由于為的外心，所以，因此有．同理可得，，所以點是的垂心．故選：C．3．（2023·江蘇·高一專題練習）已知O是平面上的一個定點，A?B?C是平面上不共線的三點，動點P滿足，則點P的軌跡一定經(jīng)過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】C【分析】根據(jù)是以為始點，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應的向量，可知點軌跡，據(jù)此可求解.【詳解】因為為方向上的單位向量，為方向上的單位向量，則的方向與的角平分線一致，由，可得，即，所以點P的軌跡為的角平分線所在直線，故點P的軌跡一定經(jīng)過的內(nèi)心.故選：C.4．（2022上·山西太原·高三統(tǒng)考期中）已知點在所在平面內(nèi)，滿，，則點依次是的（

）A．重心，外心 B．內(nèi)心，外心 C．重心，內(nèi)心 D．垂心，外心【答案】A【分析】設中點為，進而結(jié)合向量加法法則與共線定理得三點共線，在的中線，進而得為的重心，根據(jù)題意得點為的外接圓圓心，進而可得答案.【詳解】解：設中點為，因為，所以，即，因為有公共點，所以，三點共線，即在的中線，同理可得在的三條中線上，即為的重心；因為，所以，點為的外接圓圓心，即為的外心綜上，點依次是的重心，外心.故選：A題型二已知三角形四心的向量表示1．（2023上·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）設為的重心，則（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的線性運算即可求解.【詳解】因為為重心，所以，所以，故選：B.2．（2023下·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）已知點P在所在平面內(nèi)，滿足，且，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)題意分析可知點P為的重心，根據(jù)重心的性質(zhì)結(jié)合向量的線性運算求解.【詳解】因為，則點P為的重心，取的中點D，則，整理得，所以，可得.故選：D.題型三向量與基本不等式交匯問題1．（2024上·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習）已知是所在平面內(nèi)一點，若均為正數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】由題設是的重心，應用向量加法、數(shù)乘幾何意義可得，根據(jù)得，最后應用基