高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（人教A版2019必修二）專題8.17立體幾何初步全章綜合測試卷（基礎(chǔ)篇）

第八章立體幾何初步全章綜合測試卷（基礎(chǔ)篇）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2022春·江蘇徐州·高一階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．多面體至少有3個(gè)面B．有2個(gè)面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺(tái)C．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體D．棱柱的側(cè)棱相等，側(cè)面是平行四邊形【解題思路】由多面體、棱臺(tái)、棱柱等幾何體的定義逐項(xiàng)判斷即可．【解答過程】對于A，多面體至少有4個(gè)面，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B，有2個(gè)面平行，其余各面都是梯形，但各側(cè)棱的延長線不能交于一點(diǎn)，則該幾何體不是棱臺(tái)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于C，各側(cè)面都是正方形的四棱柱，可以是底面為菱形的直棱柱，不一定是正方體，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于D，由棱柱定義知，棱柱的各側(cè)棱平行且相等，故側(cè)面是平行四邊形，故選項(xiàng)D正確.故選：D．2．（5分）（2023秋·貴州貴陽·高三期末）已知α、β是兩個(gè)不同的平面，m、n是兩條不同的直線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若m//n，m//α，n//β，則α//β C．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥β D．若m⊥n，m⊥α，n//β【解題思路】根據(jù)空間中線面、面面、線線位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【解答過程】對于A選項(xiàng)，若m//n，m//α，n//β，則對于B選項(xiàng)，若α//β，m?α，n?β，則m//n或?qū)τ贑選項(xiàng)，由于m⊥n，m⊥α，可得n?α或n//若n?α，因?yàn)閚⊥β，則α⊥β，若n//α，過直線n作平面γ，使得α∩γ=a，則因?yàn)閚⊥β，則a⊥β，∵a?α，因此，α⊥β，C對；對于D選項(xiàng)，若m⊥n，m⊥α，n//β，則α//β或故選：C.3．（5分）（2022秋·上海閔行·高二階段練習(xí)）如圖Rt△O'A'A．82 B．42 C．4 【解題思路】將平面圖形的直觀圖復(fù)原為原圖，根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，即可求得答案.【解答過程】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，將平面圖形的直觀圖恢復(fù)為原圖，如圖示：則OB=4,OA=42，故這個(gè)平面圖形的面積為S=故選：A.4．（5分）（2023春·山西晉城·高三階段練習(xí)）已知一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為2，4，它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為90°，則圓臺(tái)的表面積為（

）A．64π B．68π C．72π【解題思路】計(jì)算母線長為l=8，再利用圓臺(tái)的表面積公式計(jì)算得到答案.【解答過程】圓臺(tái)母線長為l=4×2圓臺(tái)的表面積S=π故選：B.5．（5分）（2022秋·江西宜春·高一期中）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且CFCB①E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；②EF與GH異面；③EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上；④EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上．A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【解題思路】利用三角形中位線性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、平面基本事實(shí)推理，再逐一判斷各個(gè)命題作答.【解答過程】在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，則EH//BD，且EH=1點(diǎn)F，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且CFCB=CGCD=因此FG//EH，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，①正確，②錯(cuò)誤；因FG//EH，F(xiàn)G>EH，即四邊形EFGH是梯形，則EF與GH必相交，令交點(diǎn)為M，點(diǎn)M在EF上，而EF在平面ACB上，則點(diǎn)M在平面ACB上，同理點(diǎn)M在平面ACD上，則點(diǎn)M是平面ACB與平面ACD的公共點(diǎn)，而AC是平面ACB與平面ACD的交線，所以點(diǎn)M一定在直線AC上，④正確，③錯(cuò)誤，所以說法正確的命題序號(hào)是①④．故選：B.6．（5分）（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，D為BC的中點(diǎn)，將△ABC沿AD折疊成三棱錐A?BCD，則當(dāng)該三棱錐體積最大時(shí)它的外接球的表面積為（

A．π B．2π C．3π 【解題思路】由題可證明AD⊥平面BCD，進(jìn)而得BD⊥DC時(shí)，三角形BCD的面積最大，此時(shí)三棱錐A?BCD的體積最大，再求在該條件下的幾何體的外接球半徑，進(jìn)而得表面積.【解答過程】解：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，D為BC所以，BC=2,AD=BD=CD=1,AD⊥BC，所以，在三棱錐A?BCD中，AD⊥BD,AD⊥DC，因?yàn)锽D∩DC=D,BD,DC?平面BCD，所以，AD⊥平面BCD，所以，當(dāng)?shù)酌嫒切蜝CD的面積最大時(shí)，該三棱錐的體積最大，因?yàn)镾△BCD=1所以，當(dāng)BD⊥DC時(shí)，三角形BCD的面積最大，此時(shí)三棱錐A?BCD的體積最大，所以，DA,DB,DC兩兩垂直，所以，三棱錐A?BCD的外接球即為以DA,DB,DC為鄰邊的正方體的外接球，所以，棱錐A?BCD的外接球直徑為以DA,DB,DC為鄰邊的正方體的體對角線，所以，三棱錐A?BCD的外接球的半徑滿足2r=3所以，三棱錐A?BCD的外接球的表面積為4π故選：C.7．（5分）（2022秋·江西宜春·高三階段練習(xí)）下列四個(gè)正方體圖形中，A,B,M,N,P分別為正方體的頂點(diǎn)或其所在棱的中點(diǎn)，能得出A． B．C． D．【解題思路】由直線與平面的位置關(guān)系對選項(xiàng)逐一判斷【解答過程】對于A，由題意得MN//AC，NP//BC，而MP?平面MNP，NP?平面MNP，AC?平面ABC，BC?平面ABC，故平面MNP//平面ABC，而AB?平面ABC，故AB//平面MNP對于B，取MP的中點(diǎn)Q，底面中心O，則NO//AB，故AB與對于C，MB//NP，故B∈平面MNP，則AB∩平面對于D，作平行四邊形MNPQ，則AB與MQ相交，故D錯(cuò)誤，故選：A.8．（5分）（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正方體ABCD?A1B1C①AB②點(diǎn)P到平面A1BD的距離為③二面角A?B1C?④若四面體B1ACD1的所有頂點(diǎn)均在球O的球面上，則球其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】對于①，連接DC1，由四邊形DCC1D1為正方形，可得對于②，由B1C//A1D可得B1C//平面A1BD，所以點(diǎn)P對于③，結(jié)合題意可得AP⊥B1C,D1對于④，由四面體B1ACD1的外接球即為正方體ABCD?A【解答過程】如圖，連接DC1.因?yàn)樗倪呅蜠CC又AB1∥DC1因?yàn)锽1C//A1D，A1所以B1C//所以點(diǎn)P到平面A1BD的距離即為點(diǎn)B1到平面A因?yàn)閂三棱錐所以13×34×由題意知△AB當(dāng)點(diǎn)P為B1C的中點(diǎn)時(shí)，連接AP,D所以∠APD1為二面角由題意知AD在△APD1中，由余弦定理，得即(2)2=6因?yàn)樗拿骟wB1ACD所以球O的半徑為32，其體積為V=43綜上，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是2.故選：B.二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2022秋·江蘇南京·高三期中）用一個(gè)平面去截正方體，截面形狀不可能是下列哪個(gè)圖形（

）A．五邊形 B．直角三角形 C．直角梯形 D．鈍角三角形【解題思路】根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)，結(jié)合截面的性質(zhì)、余弦定理進(jìn)行逐一判斷即可.【解答過程】如圖所示，截面△ABC，設(shè)AD=a，BD=b，CD=c，∴AC2=a2cos∠BAC=同理，cos∠ABC>0，cos∠ACB>0，即∴△ABC為銳角三角形，B，D都不可能，BD都要選；如圖截面可以是五邊形EFGHI，A可能，A不選如圖截面MNPQ可以是梯形，但不可以是直角梯形，C要選．故選：BCD.10．（5分）（2022秋·河北滄州·高三階段練習(xí)）某正四棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為32和42，若該四棱臺(tái)所有的頂點(diǎn)均在表面積為100πA．703 B．743 C．5153【解題思路】求出球的半徑，畫出直觀圖，分球心在正四棱臺(tái)的內(nèi)部和外部，兩種情況，求出正四棱臺(tái)的高，利用臺(tái)體體積公式求出答案.【解答過程】設(shè)球的球心為O，半徑為R，則4π解得：R=5，上底面正方形ABCD的中心為M，下底面正方形EFGH的中心為N，若球心在四棱臺(tái)的內(nèi)部，連接OA,OE,AM,EN,OM,ON，則MN為四棱臺(tái)的高，OA=OE=5，AM=1同理：NE=4，由勾股定理得：OM=OA2所以四棱臺(tái)的高?=MN=4+3=7，此時(shí)四棱臺(tái)的體積V=1若球心在四棱臺(tái)的外部，則四棱臺(tái)的高?=OM?ON=4?3=1，此時(shí)四棱臺(tái)的體積V=1故選：BD.11．（5分）（2022秋·黑龍江伊春·高二期末）在正方體ABCD?A1B1C1DA．四邊形B1B．直線AC與BC1C．直線AC1與平面ABCDD．平面A1BD與平面ABCD【解題思路】利用正方體ABCD?A【解答過程】設(shè)正方體的棱長為a，選項(xiàng)A：因?yàn)镋,F分別是BC,A1D1的中點(diǎn)，易得又因?yàn)镈F=B1E=選項(xiàng)B：如圖所示因?yàn)锳C∥A1C1，所以直線AC與BC因?yàn)锳1C1=BC1=選項(xiàng)C：如圖所示因?yàn)镃C1⊥平面ABCD，所以直線AC1因?yàn)锳C1=選項(xiàng)D：如圖所示，設(shè)AC交BD于O，由正方體ABCD?A1B1C1D所以AO⊥BD，A1因?yàn)槠矫鍭1BD∩平面ABCD=BD，所以∠A1OA因?yàn)锳O=12AC=所以cos∠故選：AC.12．（5分）（2023·全國·模擬預(yù)測）已知長方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)P，Q，M，N分別是棱AB，A．BD1⊥平面B1PQ B．C．D1M⊥平面B1PQ D．AN【解題思路】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理判定定理可判斷A，根據(jù)線面平行的判定定理可判斷B，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理判定定理可判斷C，利用面面平行的判定定理可判斷D.【解答過程】A選項(xiàng)：如圖1，若BD1⊥平面B又因?yàn)锳1D1⊥平面ABB則A1D1⊥B所以B1P⊥平面A1BD1，只有當(dāng)AB=2AAB選項(xiàng)：如圖2，連接AC，因?yàn)辄c(diǎn)P，Q分別是棱AB，BC的中點(diǎn)，所以AC//PQ，AC?平面B1PQ，所以AC//平面B若AM//平面B1PQ，則平面AMC又平面AMC∩平面BCC1B1=C所以B1C選項(xiàng)：如圖3，若D1M⊥平面B1PQ，則MD1⊥B1Q，又易知C1則C1D1所以B1Q⊥平面C1MD1，顯然不正確，故C不正確；D選項(xiàng)：如圖4，連接AC，CN，因?yàn)辄c(diǎn)P，Q分別是棱AB，BC的中點(diǎn)，所以AC//PQ，AC?平面B1PQ，所以AC//平面B因?yàn)镼，N分別是BC，B1C1所以四邊形B1NCQ是平行四邊形，則NC?平面B1PQ，B1所以NC//平面B1PQ因此平面ACN//平面B1PQ，AN?所以AN//平面B故選:ABC.三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如果圓錐的高為8cm圓錐的底面半徑為6cm，那么它的側(cè)面展開圖的面積為60πcm2【解題思路】根據(jù)已知得出圓錐的母線長與底面周長，即可根據(jù)扇形的面積求法得出答案.【解答過程】圓錐的高為8cm圓錐的底面半徑為6cm，則圓錐的母線長為82+6則它的側(cè)面展開圖的面積為12故答案為：60πcm14．（5分）（2022秋·廣西玉林·高三階段練習(xí)）如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=2,AA1=6，D為B【解題思路】取A1B1的中點(diǎn)E，連接DE，EC1，即可得到DE//A【解答過程】如圖，取A1B1的中點(diǎn)E，連接DE在△A1BB1中，D為B所以∠EDC1為A1在△EDC1中，ED=32+所以cos∠ED所以A1B與C1故答案為：1301315．（5分）（2022秋·河北衡水·高二開學(xué)考試）長方體ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別是側(cè)棱AA1，CC1上的動(dòng)點(diǎn)，AE+CF=8，P【解題思路】連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接PO，過點(diǎn)C作CQ∥OP，交AA1于點(diǎn)Q，則結(jié)合已知可得四邊形EQCF為平行四邊形，則QE=CF，四邊形ABCD是正方形結(jié)合三角形中位線定理可得【解答過程】連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接PO，過點(diǎn)C作CQ∥OP，交AA∵EF∥平面PBD，EF?平面EACF，平面EACF∩平面PBD=PO∴EF∥∵CQ∥∴EF∥QC，又∴四邊形EQCF為平行四邊形，∴QE=CF.∵四邊形ABCD是正方形，∴O是AC的中點(diǎn)，又CQ∥OP，∴∵AE+CF=AP+PQ+QE+CF=2+2+CF+CF=8，∴CF=2.故答案為：2.16．（5分）（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知正方體ABCD?A1B1C①若E是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，則D1E//平面②若E是直線BD1上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是直線BD上的動(dòng)點(diǎn)，則③若E是△ABC內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則直線D1E與平面ABC所成角的正切值的取值范圍是④若E是平面BA1C1【解題思路】對于①：連接D1A,D1C.證明出平面D1AC//平面A1BC1，利用面面平行的性質(zhì)即可證明；對于②：連接B1D1.證明出AC⊥面BDD1B1.利用線面垂直的性質(zhì)即可證明；對于③：判斷出【解答過程】對于①：連接D1在正方體ABCD?A1B1C1D1中，又D1C?平面A1BC1,A1同理可證：D1A//平面因?yàn)镈1A∩D1C=D1，D所以平面D1AC//平面因?yàn)镋是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，所以D1E?平面D1AC,所以D1對于②：連接B1因?yàn)锳BCD?A1B又BB1⊥面ABCD,AC?面ABCD，因?yàn)锽D?面BDD1B1,BB所以AC⊥面BDD因?yàn)镋是直線BD1上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是直線BD上的動(dòng)點(diǎn)，所以EF?面所以AC⊥EF.故②正確；對于③：在正方體ABCD?A1B1C對于平面ABC，DD1為垂線，D1E為斜線，DE為射影，所以∠DED1即為直線設(shè)AC∩BD=O，則AC⊥BD.因?yàn)镋是△ABC內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)E與O重合時(shí)，DE=DB當(dāng)E與B重合時(shí)，DE=DB=2所以tan∠DE故③錯(cuò)誤；對于④：三棱錐D1?AEC的體積由①的證明過程可知：平面D1AC//平面A1BC因?yàn)镋是平面BA1C即三棱錐D1?AEC的體積為定值故④正確.故答案為：①②④.四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列對幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述，說出幾何體的名稱.(1)由八個(gè)面圍成，其中兩個(gè)面是互相平行且全等的正六邊形，其他各面都是矩形；(2)由五個(gè)面圍成，其中一個(gè)面是正方形，其他各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的全等三角形；(3)由五個(gè)面圍成，其中上、下兩個(gè)面是相似三角形，其余各面都是梯形，并且這些梯形的腰所在直線能相交于一點(diǎn).【解題思路】（1）結(jié)合六棱柱的定義來求得正確答案.（2）結(jié)合四棱錐的定義來求得正確答案.（3）結(jié)合三棱臺(tái)的定義來求得正確答案.【解答過程】（1）該幾何體有兩個(gè)面是互相平行且全等的正六邊形，其他各面都是矩形，滿足棱柱的定義，故該幾何體是六棱柱.（2）該幾何體的其中一個(gè)面是正方形，其余各面都是三角形，并且這些三角形有一個(gè)公共頂點(diǎn)，因此該幾何體是四棱錐.（3）該幾何體上、下兩個(gè)面是相似三角形，其余各面都是梯形，并且這些梯形的腰延長后能相交于一點(diǎn)，因此該幾何體是三棱臺(tái).18．（12分）（2022春·山西晉中·高一校考階段練習(xí)）如圖，梯形A1B1C1D1是一水平放置的平面圖形ABCD在斜二測畫法下的直觀圖.若A【解題思路】如圖，根據(jù)直觀圖畫法的規(guī)則，確定原平面圖形四邊形ABCD的形狀，求出底邊邊長以及高，然后求出面積．【解答過程】如圖，根據(jù)直觀圖畫法的規(guī)則，直觀圖中A1D1平行于y軸，A1D從而得出AD⊥DC，且AD=2A直觀圖中A1B1//C1D1，即四邊形ABCD上底和下底邊長分別為2，3，高為2，如圖．故其面積S=119．（12分）（2023·高一單元測試）用2π平方米的材料制成一個(gè)有蓋的圓錐形容器，如果在制作過程中材料無損耗，且材料的厚度忽略不計(jì)，底面半徑長為x，圓錐母線的長為y．(1)建立y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(2)圓錐的母線與底面所成的角大小為π3，求所制作的圓錐形容器容積多少立方米（精確到0.01【解題思路】（1）由題意可知，制作該容器需要的鐵皮面積，即圓錐的表面積，得到方程πx2+πxy=2（2）利用母線與底面所成的角大小為π3【解答過程】（1）根據(jù)題意，因?yàn)閳A錐的表面積πx2+因?yàn)閤<y，所以x<2?x2即y=2?x2（2）依題意，做圓錐的高SO，∠SAO是母線與底面所成的線面角，設(shè)圓錐高為?，因?yàn)閏osπ3=所以?=3x，所以x=2所以V=120．（12分）（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D(1)求證：B、P、O1(2)若AB=3，BC=4，CC1=6【解題思路】（1）證明出點(diǎn)P在平面BB1D（2）由（1）推理出點(diǎn)P為BO1與【解答過程】（1）∵P∈DB1,D所以P∈平面BB1D1D平面BB1D1D∩即B,P,（2）連接BD，再連接BD1，交DB1于點(diǎn)M，由（1）則點(diǎn)P為BO1與∵DD1//BB1∴M是BD1中點(diǎn)，又O1所以點(diǎn)P是△BD1B1的重心,所以又因?yàn)锳B=3,BC=4,CC1=6所以DP=221．（12分）（2023春·江西·高三階段練習(xí)）如圖，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，(1)求證：D1M∥(2)若AA1=AB=2,∠BAD=60°，求M【解題思路】（1）方法一：取CC1的中點(diǎn)N，連接D1N,MN，先證明四邊形A1D1方法二：連接AD1，交A1D于點(diǎn)O，連接OP,PM，證明四邊形（2）利用等體積法即可求解.【解答過程】（