2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與達(dá)標(biāo)檢測(cè)第5講函數(shù)及其表示

第5講函數(shù)及其表示思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理1．函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系．(3)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．2．函數(shù)的三種表示法解析法圖象法列表法就是把變量x，y之間的關(guān)系用一個(gè)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)來表示，通過關(guān)系式可以由x的值求出y的值.就是把x，y之間的關(guān)系繪制成圖象，圖象上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就是相應(yīng)的變量x，y的值.就是將變量x，y的取值列成表格，由表格直接反映出兩者的關(guān)系.3．分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．核心素養(yǎng)分析本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生建立完整的函數(shù)概念，不僅把函數(shù)理解為刻畫變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具，也把函數(shù)理解為實(shí)數(shù)集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。題型歸納題型1函數(shù)的定義域【例11】（2020?東城區(qū)一模）函數(shù)f(A．（﹣1，2] B．[2，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）【分析】根據(jù)二次根式被開方數(shù)大于或等于0，列不等式求出解集即可．【解答】解：函數(shù)f(令x-2x2+1≥0，得解得x≥2，所以f（x）的定義域?yàn)閇2，+∞）．故選：B．【例12】（2020春?邯山區(qū)校級(jí)月考）函數(shù)y＝f（x）的定義域?yàn)閇﹣1，2]，則函數(shù)y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定義域?yàn)椋ǎ〢．[﹣1，3] B．[0，2] C．[﹣1，1] D．[﹣2，2]【分析】由已知可得-1【解答】解：∵函數(shù)y＝f（x）的定義域?yàn)閇﹣1，2]，∴由-1≤1+x≤2-∴函數(shù)y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定義域?yàn)閇﹣1，1]．故選：C．【例13】（2019秋?武邑縣校級(jí)期中）若函數(shù)f(x)=xmx2-mx【分析】根據(jù)題意知不等式mx2﹣mx+2＞0恒成立，討論m＝0和m≠0時(shí)，分別求出滿足條件的m取值范圍即可．【解答】解：函數(shù)f(x)=則mx2﹣mx+2＞0恒成立，當(dāng)m＝0時(shí)，不等式為2＞0，滿足題意；當(dāng)m≠0時(shí)，應(yīng)滿足m＞0△=m2-綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0，8）．故答案為：[0，8）．【跟蹤訓(xùn)練11】（2020?北京）函數(shù)f（x）=1x+1+lnx的定義域是【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件建立不等式組，解不等式即可．【解答】解：要使函數(shù)有意義，則x+1得x≠-即x＞0且x≠﹣1，即函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＞0}，故答案為：{x|x＞0}．【跟蹤訓(xùn)練12】（2019秋?椒江區(qū)校級(jí)月考）已知f(x)=x+1-mx2【分析】根據(jù)f（x）的定義域?yàn)镽即可得出，不等式﹣mx2+6mx+m+10＞0的解集為R，容易看出m＝0時(shí)滿足題意，m≠0時(shí)，得出m需滿足-m＞0【解答】解：∵f（x）的定義域?yàn)镽，∴﹣mx2+6mx+m+10＞0的解集為R，①m＝0時(shí)，10＞0恒成立；②m≠0時(shí)，-m＞0△=(6m)2∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|﹣1＜m≤0}．故答案為：{m|﹣1＜m≤0}．【名師指導(dǎo)】1.常見函數(shù)的定義域2.求抽象函數(shù)定義域的方法題型2求函數(shù)的解析式【例21】（2020春?鄭州期中）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且f(x)=2f(A．13x+23C．x+1(x＞0)【分析】在已知函數(shù)解析式中，以1x替換x，得到f(1x)=2【解答】解：由f(x以1x替換x，得f(把②代入①，可得f(即3f∴f（x）=23x+1故選：B．【跟蹤訓(xùn)練21】（2020春?蓮湖區(qū)校級(jí)期中）已知y＝f（x）是一次函數(shù)，且有f[f（x）]＝16x﹣15，則f（x）的解析式為．【分析】由題意設(shè)f（x）＝ax+b，代入f（f（x））＝16x﹣15，化簡(jiǎn)后列出方程組，解出a，b的值即可．【解答】解：由題意設(shè)f（x）＝ax+b，∴f（f（x））＝a（ax+b）+b＝a2x+ab+b＝16x﹣15，則a2=16ab+b∴f（x）＝4x﹣3或f（x）＝﹣4x+5，故答案為：f（x）＝4x﹣3或f（x）＝﹣4x+5．【名師指導(dǎo)】求函數(shù)解析式的方法(1)待定系數(shù)法先設(shè)出含有待定系數(shù)的解析式，再利用恒等式的性質(zhì)，或?qū)⒁阎獥l件代入，建立方程(組)，通過解方程(組)求出相應(yīng)的待定系數(shù)．(2)換元法對(duì)于形如y＝f(g(x))的函數(shù)解析式，令t＝g(x)，從中求出x＝φ(t)，然后代入表達(dá)式求出f(t)，再將t換成x，得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范圍．(3)配湊法由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．(4)解方程組法已知關(guān)于f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．題型3分段函數(shù)【例31】（2020?漢中二模）設(shè)f（x）=x-2，xA．10 B．11 C．12 D．13【分析】欲求f（5）的值，根據(jù)題中給出的分段函數(shù)，只要將問題轉(zhuǎn)化為求x≥10內(nèi)的函數(shù)值即可求出其值．【解答】解析：∵f（x）=x∴f（5）＝f[f（11）]＝f（9）＝f[f（15）]＝f（13）＝11．故選：B．【例32】（2019秋?連云港期末）已知函數(shù)f(x)=lgx(x＞0)2x【分析】由于函數(shù)f（x）為分段函數(shù)，故方程f(【解答】解：f(m)=1解得m=10或m＝﹣故答案為10或﹣1【跟蹤訓(xùn)練31】（2020?寶雞二模）若f（x）=sinπx6(x≤0)1-2x(x＞【分析】先求出f（3）來，再求f[f（3）]，一定要注意定義域選擇好解析式．【解答】解：f（3）＝1﹣2×3＝﹣5f[f（3）]＝f（﹣5）＝sin（-5π故答案為-1【跟蹤訓(xùn)練32】（2020春?和平區(qū)期末）設(shè)函數(shù)f（x）=x2+2(x≤2)2x(x＞2)，若f（x【分析】按照x0≤2與x0＞2兩種情況，分別得到關(guān)于x0的方程，解之并結(jié)合大前提可得到方程的解，最后綜合即可．【解答】解：由題意，得①當(dāng)x0≤2時(shí)，有x02+2＝8，解之得x0＝±6，而6＞2不符合，所以x0=②當(dāng)x0＞2時(shí)，有2x0＝8，解之得x0＝4．綜上所述，得x0＝4或-6故答案為：4或-6【名師指導(dǎo)】1.求分段函數(shù)的函數(shù)值的步驟(1)先確定要求值的自變量屬于哪一個(gè)區(qū)間．(2)然后代入相