廣東省揭陽市揭東區(qū)2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期末考試教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷

廣東省揭陽市揭東區(qū)20202021學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷請將答案寫在答題卡上時間120分鐘，滿分150分.一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A． B．C． D．2.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．3.已知向量，，且，則的值為（）A． B． C． D．或4.已知一組數(shù)據(jù)為，，，，，，，，其平均數(shù)、第百分位數(shù)和眾數(shù)的大小關(guān)系是（）A．平均數(shù)第百分位數(shù)眾數(shù) B．平均數(shù)第百分位數(shù)眾數(shù)C．第百分位數(shù)眾數(shù)平均數(shù) D．平均數(shù)第百分位數(shù)眾數(shù)5.已知函數(shù)，則（）A．是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù) C．是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)6.設(shè)平面與平面相交于直線，直線在平面內(nèi)，直線在平面內(nèi)，且則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分條件 D．既不充分不必要條件7.已知函數(shù)，若的最小值為，則實(shí)數(shù)的值不可以是（）A． B． C． D．8.已知各頂點(diǎn)都在同球面上的正四棱柱的底面邊長為，高為，球的體積為，則這個正四棱柱的側(cè)面積的最大值為（）A． B．C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（）A． B． C．復(fù)數(shù)的實(shí)部為 D．復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)在第二象限10.從甲袋中摸出一個紅球的概率是，從乙袋中摸出一個紅球的概率是，從兩袋各摸出一個球，下列結(jié)論正確的是（）A．個球都是紅球的概率為 B．個球中恰有個紅球的概率為 C．至少有個紅球的概率為 D．個球不都是紅球的概率為11.已知中，角，，的對邊分別為，，，為邊上的高，以下結(jié)論：其中正確的選項是（）A． B．為銳角三角形C． D．12.如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則下列正確的是（）A．直線平面B．二面角的大小為C．三棱錐的體積為定值D．異面直線與所成角的取值范圍是三、填空題（本大題共4小題，共20分）13．計算sin330°＝．14.平面向量與的夾角為，，，則．15．岐山古塔是揭陽市著名的歷史文化古跡．如圖，一研究性小組同學(xué)為了估測塔的高度，在塔底D和A，B（與塔底D同一水平面）處進(jìn)行測量，在點(diǎn)A，B處測得塔頂C的仰角分別為45°，30°，且A，B兩點(diǎn)相距91m，由點(diǎn)D看A，B的張角為150°，則岐山古塔的高度CD＝．16.已知函數(shù)，函數(shù)，若有兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是_．四、解答題：本大題共6個大題，滿分70分.解答題應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程和演算步驟.17.已知向量，.（1）若，求的值：（2）若，求向量與夾角的大小.18.在①：，；②：，為等腰三角形，這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并進(jìn)行解答.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.在中，已知_，且，求：（1）的值；（2）的面積.19.設(shè)，，其中.（1）求的最值及取最值時對應(yīng)的值.（2）當(dāng)時，求的值.20．有一批貨物需要用汽車從城市甲運(yùn)至城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，且通過這兩條公路所用的時間互不影響．據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，通過這兩條公路從城市甲到城市乙的200輛汽車所用時間的頻數(shù)分布如表：所用的時間/h10111213通過公路1的頻數(shù)20402020通過公路2的頻數(shù)10404010（1）為進(jìn)行某項研究，從所用時間為12h的60輛汽車中隨機(jī)抽取6輛．（?。┤粲梅謱与S機(jī)抽樣的方法抽取，求從通過公路1和公路2的汽車中各抽取幾輛；（ⅱ）若從（?。┑臈l件下抽取的6輛汽車中，再任意抽取2輛汽車，求這2輛汽車至少有1輛通過公路1的概率．（2）假設(shè)汽車A只能在約定時間的前11h出發(fā)，汽車B只能在約定時間的前12h出發(fā)．為了盡最大可能在各自允許的時間內(nèi)將貨物從城市甲運(yùn)到城市乙，汽車A和汽車B應(yīng)如何選擇各自的道路？21．如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，直線PC⊥平面ABC．（1）證明：平面PBC⊥平面PAC；（2）若點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，在AC上找一點(diǎn)F使得直線EF∥平面PAB，并說明理由；（3）設(shè)AB＝PC＝2，AC＝1，求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．22．如圖，△OAB是邊長為2的正三角形，記△OAB位于直線x＝t（t＞0）左側(cè)的圖形的面積為f（t）．（1）求函數(shù)f（t）解析式；（2）畫出函數(shù)y＝f（t）的圖象；（3）當(dāng)函數(shù)g（t）＝f（t）﹣at有且只有一個零點(diǎn)時，求a的值．參考答案一、選擇題（共8個小題，每小題5分，共40分）.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|x＞2}，則A∩B＝（）A．? B．（﹣1，3） C．（1，3） D．（2，3）【分析】求出集合A，B，再求出A∩B．解：∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＞2}，∴A∩B＝{x|2＜x＜3}＝（2，3）．故選：D．2．復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】化簡已知復(fù)數(shù)z，由共軛復(fù)數(shù)的定義可得．解：化簡可得z＝＝＝1+i，∴z的共軛復(fù)數(shù)＝1﹣i故選：B．3．已知向量，且，則m的值為（）A． B．2 C．4 D．﹣2或4【分析】由已知結(jié)合向量平行的坐標(biāo)表示即可直接求解．解：根據(jù)題意，得，由，得2m＝4（2﹣m），解得．故選：A．4．已知一組數(shù)據(jù)為20，30，40，50，50，60，70，80，其平均數(shù)、60%分位數(shù)和眾數(shù)的大小關(guān)系式（）A．眾數(shù)＜60%分位數(shù)＜平均數(shù) B．平均數(shù)＝60%分位數(shù)＝眾數(shù) C．60%分位數(shù)＜眾數(shù)＜平均數(shù) D．平均數(shù)＜60%分位數(shù)＜眾數(shù)【分析】根據(jù)眾數(shù)、60%分位數(shù)、平均數(shù)的概念分別計算．解：從小到大數(shù)據(jù)排列為20，30，40，50，50，60，70，80，50出現(xiàn)了2次，為出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，故眾數(shù)為50；共8個數(shù)據(jù)，故60%分位數(shù)為第五個數(shù)50，平均數(shù)＝（20+30+40+50+50+60+70+80）÷8＝50．∴眾數(shù)＝60%分位數(shù)＝平均數(shù)．故選：B．5．已知函數(shù)f（x）＝3x﹣（）x，則f（x）（）A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)【分析】由已知得f（﹣x）＝﹣f（x），即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，由函數(shù)y＝3x為增函數(shù)，y＝（）x為減函數(shù)，結(jié)合“增”﹣“減”＝“增”可得答案．解：f（x）＝3x﹣（）x＝3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）＝3﹣x﹣3x＝﹣f（x），即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，又由函數(shù)y＝3x為增函數(shù)，y＝（）x為減函數(shù)，故函數(shù)f（x）＝3x﹣（）x為增函數(shù)，故選：A．6．設(shè)平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，則“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合面面垂直的性質(zhì)即可得到結(jié)論．解：∵b⊥m，∴當(dāng)α⊥β，則由面面垂直的性質(zhì)可得a⊥b成立，若a⊥b，則α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要條件，故選：A．7．已知函數(shù)f（x）＝，若f（x）的最小值為f（1），則實(shí)數(shù)a的值不可以是（）A．1 B． C．2 D．4【分析】由題意可得二次函數(shù)y＝x2﹣2ax+8的對稱軸x＝a≥1，且x++2a≥f（1）在（1，+∞）上恒成立，由此求出a的取值范圍可得答案．解：由題意可得二次函數(shù)y＝x2﹣2ax+8的對稱軸x＝a≥1，且x++2a≥f（1）＝1﹣2a+8在（1，+∞）上恒成立，∴x+≥9﹣4a在（1，+∞）上恒成立，∵x+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時等號成立，即x+在（1，+∞）上的最小值為4，∴4≥9﹣4a，解得a≥．∴實(shí)數(shù)a的值不可以是1．故選：A．8．已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的底面邊長為a，高為h，球的體積為，則這個正四棱柱的側(cè)面積的最大值為（）A． B． C． D．【分析】由球的體積求出球的半徑，然后利用體對角線等于球的直徑建立關(guān)系求解．解：設(shè)球的半徑為R，則，解得R＝，∴a2+a2+h2＝（2R）2＝4R2，即＝?h，∴ah，當(dāng)且僅當(dāng)h＝時等號成立，則正四棱柱的側(cè)面積S＝4ah，即這個正四棱柱的側(cè)面積的最大值為．故選：B．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9．已知復(fù)數(shù)z滿足z（2﹣i）＝i（i為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，則（）A． B．＝﹣ C．復(fù)數(shù)z的實(shí)部為﹣1 D．復(fù)數(shù)z對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)在第二象限【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，然后逐一核對四個選項得答案．解：由z（2﹣i）＝i，得z＝，∴|z|＝＝，故A錯誤；，故B正確；復(fù)數(shù)z的實(shí)部為﹣，故C錯誤；復(fù)數(shù)z對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），在第二象限，故D正確．故選：BD．10．從甲袋中摸出一個紅球的概率是，從乙袋中摸出一個紅球的概率是，從兩袋各摸出一個球，下列結(jié)論正確的是（）A．2個球都是紅球的概率為 B．2個球中恰有1個紅球的概率為 C．至少有1個紅球的概率為 D．2個球不都是紅球的概率為【分析】設(shè)從甲袋中摸出一個紅球為事件A，從乙袋中摸出一個紅球為事件分別根據(jù)概率公式計算即可．解：設(shè)從甲袋中摸出一個紅球為事件A，從乙袋中摸出一個紅球為事件B，則2個球都是紅球的概率為P（AB）＝＝，故A正確，2個球中恰有1個紅球的概率為P（A）+P（B）＝×+×＝，故B正確，至少有1個紅球的概率為1﹣p（）＝1﹣×＝，故C正確，2個球不都是紅球的概率為P＝1﹣P（AB）＝1﹣＝，故D不正確．故選：ABC．11．已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，AH為BC邊上的高，以下結(jié)論：其中正確的選項是（）A． B．＜0?△ABC為銳角三角形 C． D．【分析】對于A，由AH⊥BC可判斷A；對于B，只能得出角B為銳角，不能得到△ABC為銳角三角形；對于C，為在方向上的投影，即AH的長度，而AH＝csinB，進(jìn)而求判斷C；對于D，由余弦定理易得．解：對于A，因為，且AH⊥BC，所以，故A正確；對于B，在△ABC中，由只能得出角B為銳角，不能判斷出△ABC為銳角三角形，故B錯誤；對于是的單位向量，依據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義可知為在方向上的投影，即AH＝csinB，故C正確；對于，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，故D正確．故選：ACD．12．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段B1C上運(yùn)動，則（）A．直線BD1⊥平面A1C1D B．二面角B1﹣CD﹣B的大小為 C．三棱錐P﹣A1C1D的體積為定值 D．異面直線AP與A1D所成角的取值范圍是[，]【分析】直接證明直線B1D⊥平面A1C1D判斷A；由正方體的結(jié)構(gòu)特征判斷B；證明三棱錐P﹣A1C1D的體積為定值判斷C；求出異面直線AP與A1D所成角的最小值判斷D．解：如圖，在A中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，∵A1C1∩DC1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D，故A正確；在B中，由正方體可知平面B1CD不垂直平面ABCD，故B錯誤；在C中，∵A1D∥B1C，A1D?平面A1C1D，B1C?平面A1C1D，∴B1C∥平面A1C1D，∵點(diǎn)P在線段B1C上運(yùn)動，∴P到平面A1C1D的距離為定值，又△A1C1D的面積是定值，∴三棱錐P﹣A1C1D的體積為定值，故C正確；在D中，當(dāng)點(diǎn)P與線段B1C的端點(diǎn)重合時，異面直線AP與A1D所成角取得最小值為，故異面直線AP與A1D所成角的取值范圍是[，]，故D錯誤，故選：AC．三、填空題（本大題共4小題，共20分）13．計算sin330°＝﹣．【分析】所求式子中的角變形后，利用誘導(dǎo)公式化簡即可得到結(jié)果．解：sin330°＝sin（360°﹣30°）＝﹣sin30°＝﹣．故答案為：﹣14．平面向量與的夾角為90°，，則＝2．【分析】由已知可得?＝0，結(jié)合，利用平方法，可得答案．解：∵平面向量與的夾角為90°，∴?＝0，又∵，∴2＝＝4+4＝8，∴＝2，故答案為：215．岐山古塔是揭陽市著名的歷史文化古跡．如圖，一研究性小組同學(xué)為了估測塔的高度，在塔底D和A，B（與塔底D同一水平面）處進(jìn)行測量，在點(diǎn)A，B處測得塔頂C的仰角分別為45°，30°，且A，B兩點(diǎn)相距91m，由點(diǎn)D看A，B的張角為150°，則岐山古塔的高度CD＝13．【分析】設(shè)CD＝h，用h表示出AD，BD，在△ABD中根據(jù)余弦定理列方程計算h．解：由題意可知CD⊥平面ABD，∠DAC＝45°，∠DBC＝30°，∠ADB＝150°，AB＝91m，設(shè)CD＝h，則AD＝CD＝h，BD＝CD＝h，在△ABD中，由余弦定理可得：AB2＝AD2+BD2﹣2AD?BD?cos∠ADB，即912＝h2+3h2+3h2，解得：h＝13m．故答案為：13．16．已知函數(shù)f（x）＝，函數(shù)g（x）＝f（x）+x+m，若g（x）有兩個零點(diǎn)，則m的取值范圍是[﹣1，+∞）．【分析】問題可轉(zhuǎn)化為y＝f（x）與y＝﹣x﹣m有兩個交點(diǎn)，作出f（x）的圖象，即可得出答案．解：因為g（x）＝f（x）+x+m有兩個零點(diǎn)，所以f（x）＝﹣x﹣m有兩個根，所以y＝f（x）與y＝﹣x﹣m有兩個交點(diǎn)，作出f（x）圖像：由圖可知，當(dāng)直線y＝﹣x﹣m在x＝0處的函數(shù)值小于等于1，即可保證圖象有兩個交點(diǎn)，所以﹣m≤1，所以m∈[﹣1，+∞）．故答案為：[﹣1，+∞）．四、解答題：本大題共6個大題，滿分70分.解答題應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程和演算步驟.17．已知向量＝（2，﹣1），＝（1，x）．（Ⅰ）若⊥（+），求||的值；（Ⅱ）若+2＝（4，﹣7），求向量與夾角的大?。痉治觥浚↖）由向量的加法和向量垂直的條件：數(shù)量積為0，可得x＝7，再由向量的模的公式計算即可得到所求；（II）運(yùn)用向量的加法運(yùn)算，可得x＝﹣3，再由向量的夾角公式cos＜，＞＝，計算即可得到所求夾角．解：（I）依題意可得，+＝（3，﹣1+x），由⊥（+），可得，?（+）＝0，即6+1﹣x＝0，解得x＝7，即＝（1，7），所以；（II）依題意+2＝（4，2x﹣1）＝（4，﹣7），可得x＝﹣3，即＝（1，﹣3），所以cos＜，＞＝＝＝，因為＜，＞∈[0，π]，所以與的夾角大小是．18．在①：a＝4，c＝6；②：a＝4，△ABC為等腰三角形，這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并進(jìn)行解答．在△ABC中，已知_______，且cosC＝﹣，求：（1）sinB的值；（2）△ABC的面積．【分析】選①，（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合三家函數(shù)的同角公式，可得sinC的值，再結(jié)合正弦定理和正弦函數(shù)的兩角和公式，即可求解．（2）運(yùn)用三角形面積公式，直接求解．選②，（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合三家函數(shù)的同角公式，可得sinC的值，結(jié)合余弦定理，可得c＝6，再結(jié)合正弦定理和正弦函數(shù)的兩角和公式，即可求解．（2）運(yùn)用三角形面積公式，直接求解．解：選①a＝4，c＝6，（1）∵cosC＝，∴，∴＝，由正弦定理，可得，即，解得sinA＝，∵，∴，∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝．（2）＝．選②a＝4，△ABC為等腰三角形，（1）∵cosC＝，∴，∴＝，∵C為鈍角，△ABC為等腰三角形，∴只能A＝B，即a＝b＝4，由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2abcosC，可得＝36，解得c＝6，由正弦定理，可得，即，解得sinA＝，∵，∴，∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝．（2）＝．19．設(shè)，，其中．（1）求的最值及取最值時對應(yīng)的x值．（2）當(dāng)⊥時，求x的值．【分析】（1）可求出，然后根據(jù)x的范圍求出的范圍，然后即可求出f（x）的最值及對應(yīng)x值；（2）根據(jù)可得出，然后根據(jù)的范圍即可求出x的值．解：（1）＝，∵，∴，∴，即x＝0時，f（x）取最大值1；，即時，f（x）取最小值；（2）∵，∴，且，∴，解得．20．有一批貨物需要用汽車從城市甲運(yùn)至城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，且通過這兩條公路所用的時間互不影響．據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，通過這兩條公路從城市甲到城市乙的200輛汽車所用時間的頻數(shù)分布如表：所用的時間/h10111213通過公路1的頻數(shù)20402020通過公路2的頻數(shù)10404010（1）為進(jìn)行某項研究，從所用時間為12h的60輛汽車中隨機(jī)抽取6輛．（?。┤粲梅謱与S機(jī)抽樣的方法抽取，求從通過公路1和公路2的汽車中各抽取幾輛；（ⅱ）若從（?。┑臈l件下抽取的6輛汽車中，再任意抽取2輛汽車，求這2輛汽車至少有1輛通過公路1的概率．（2）假設(shè)汽車A只能在約定時間的前11h出發(fā)，汽車B只能在約定時間的前12h出發(fā)．為了盡最大可能在各自允許的時間內(nèi)將貨物從城市甲運(yùn)到城市乙，汽車A和汽車B應(yīng)如何選擇各自的道路？【分析】（1）（i）利用分層抽樣的比例關(guān)系列式求解；（ii）先求2輛汽車都不通過公路1的概率，再求至少有1輛通過公路1的概率；（2）分別求出A、B兩輛汽車按時將貨物從城市甲運(yùn)到城市乙的頻率，用頻率估計概率進(jìn)行抉擇．解：（1）（i）從通過公路1的汽車中抽取輛，從通過公路2的汽車中抽取輛；（ii）這2輛汽車都不通過公路1的概率為，所以這2輛汽車至少有1輛通過公路1的概率為．（2）汽車A，若選擇公路1，則在允許的時間內(nèi)將貨物從城市甲運(yùn)到城市乙的概率為，若選擇公路2，概率為；汽車B，若選擇公路1，則在允許的時間內(nèi)將貨物從城市甲運(yùn)到城市乙的概率為，若選擇公路2，概率為；所以汽車A應(yīng)選公路1，汽車B應(yīng)選公路2．21．如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，直線PC⊥平面ABC．（1）證明：平面PBC⊥平面PAC；（2）若點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，在AC上找一點(diǎn)F使得直線EF∥平面PAB，并說明理由；（3）設(shè)AB＝PC＝2，AC＝1，求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．【分析】（1）由已知可得BC⊥AC，再由PC⊥平面ABC，得PC⊥BC，然后利用直線與平面垂直的判定可得BC⊥平面PAC，從而得到平面PBC⊥平面PAC；（2）取中點(diǎn)F，利用線面平行的判定，證明即可．（3）過C作CM⊥PA于M，連接BM，可得