第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（知識(shí)清單）高二數(shù)學(xué)（人教A版2019選擇性）

選擇性必修二第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)清單一、本章思維導(dǎo)圖5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義5.1.1變化率問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一平均速度與瞬時(shí)速度(1)平均速度：設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系是s＝s(t)，從t0到t0＋Δt時(shí)間段內(nèi)的平均速度eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s（t0＋Δt）－s（t0）,Δt).(2)瞬時(shí)速度：物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度．若物體運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系式是s＝f(t)，當(dāng)Δt趨近于0時(shí)，平均速度eq\f(f（t0＋Δt）－f（t0）,Δt)趨近于常數(shù)，我們把這個(gè)常數(shù)叫做物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度，記為eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))eq\f(f（t0＋Δt）－f（t0）,Δt).【易錯(cuò)點(diǎn)】(1)“Δt→0”讀作Δt趨近于0，是指時(shí)間間隔越來(lái)越短，能越過(guò)任意小的時(shí)間間隔，即|Δt|要多小就有多小，其含義是可以小于任何預(yù)先給定的正數(shù)，但Δt始終不能為零．(2)Δt，Δs在變化中都趨近于0，其比值eq\f(Δs,Δt)趨近于一個(gè)確定的常數(shù)，此時(shí)該常數(shù)才稱為t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度．【解題秘籍】求平均變化率的步驟物體的運(yùn)動(dòng)方程為y＝f(x)，求在區(qū)間[x0，x]的平均變化率的步驟：(1)求時(shí)間的改變量Δx＝x－x0；(2)求函數(shù)值的變化量Δy＝f(x)－f(x0)；(3)求平均變化率eq\f(Δy,Δx).典例：某質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為f(x)＝－2x2＋1(x表示時(shí)間，f(x)表示位移)，則該質(zhì)點(diǎn)從x＝1到x＝2的平均速度為()A．－4 B．－8C．6 D．－6【解析】由題得該質(zhì)點(diǎn)從x＝1到x＝2的平均速度為eq\f(f（2）－f（1）,2－1)＝eq\f(－8＋1－（－2＋1）,1)＝－6.【答案】D【解題秘籍】求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的步驟第一步：求時(shí)間改變量Δt和位移改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；第二步：求平均速度eq\o(v,\s\up10(－))＝eq\f(Δs,Δt)；第三步：求瞬時(shí)速度，當(dāng)Δt無(wú)限趨近于0時(shí)，eq\f(Δs,Δt)無(wú)限趨近于常數(shù)，即v＝eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))eq\f(Δs,Δt).典例：一質(zhì)點(diǎn)M按運(yùn)動(dòng)方程s(t)＝at2＋1做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，若質(zhì)點(diǎn)M在t＝2s時(shí)的瞬時(shí)速度為8m/s，求常數(shù)a的值．解：質(zhì)點(diǎn)M在t＝2s時(shí)的瞬時(shí)速度即為函數(shù)在t＝2處的瞬時(shí)變化率．因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)M在t＝2附近的平均變化率為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s（2＋Δt）－s（2）,Δt)＝eq\f(a（2＋Δt）2－4a,Δt)＝4a＋aΔt，所以eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝4a＝8，解得a＝2.知識(shí)點(diǎn)二割線斜率與切線斜率(1)割線與切線的關(guān)系如圖所示，當(dāng)點(diǎn)Pn(xn，f(xn))沿著曲線無(wú)限趨近于點(diǎn)P0(x0，f(x0))時(shí)，割線P0Pn無(wú)限趨近于一個(gè)確定的位置．這個(gè)確定位置的直線P0T稱為曲線在點(diǎn)P0處的切線．(2)割線斜率與切線斜率的關(guān)系割線P0Pn的斜率是kn＝eq\f(f（xn）－f（x0）,xn－x0)，當(dāng)點(diǎn)Pn沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn)P0時(shí)，kn無(wú)限趨近于切線P0T的斜率k0，即k0＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)(Δx＝xn－x0)．典例：求函數(shù)y＝eq\f(4,x2)在x＝2處的切線方程．【解】因?yàn)棣＝eq\f(4,（2＋Δx）2)－eq\f(4,22)＝eq\f(4,（2＋Δx）2)－1＝－eq\f(（Δx）2＋4Δx,（2＋Δx）2)，所以eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(Δx＋4,（Δx＋2）2)，所以k＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(－Δx－4,（Δx＋2）2)＝eq\f(－4,4)＝－1.又x＝2時(shí)，y＝eq\f(4,22)＝1.所以切線方程為y－1＝－1×(x－2)，即x＋y－3＝0.【解題秘籍】求函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的切線斜率的步驟典例：已知函數(shù)f(x)＝ax2＋b在點(diǎn)(1，3)處的切線的斜率為2，則eq\f(b,a)＝________．解析：因?yàn)閒(x)在點(diǎn)(1，3)處的切線的斜率為2，又eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(a（1＋Δx）2－a,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))(aΔx＋2a)＝2a，所以2a＝2，所以a＝1.又f(1)＝a＋b＝3，所以b＝2.所以eq\f(b,a)＝2.答案：25．1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的平均變化率對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，設(shè)自變量x從x0變化到x0＋Δx，相應(yīng)地，函數(shù)值y就從f(x0)變化到f(x0＋Δx)．這時(shí)，x的變化量為Δx，y的變化量為Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．把比值eq\f(Δy,Δx)，即eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)叫做函數(shù)y＝f(x)從x0到x0＋Δx的平均變化率．【易錯(cuò)點(diǎn)】(1)Δx是自變量的變化量，它可以為正，也可以為負(fù)，但不能等于零，而Δy是相應(yīng)函數(shù)值的變化量，它可以為正，可以為負(fù)，也可以等于零．(2)eq\f(Δy,Δx)的實(shí)質(zhì)是函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)函數(shù)值變化量與自變量變化量之比．【解題秘籍】求函數(shù)平均變化率的步驟(1)先計(jì)算函數(shù)值的變化量Δy＝f(x1)－f(x0)；(2)再計(jì)算自變量的變化量Δx＝x1－x0；(3)最后求平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x1）－f（x0）,x1－x0).典例：求函數(shù)f(x)＝3x2＋2在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率，并求當(dāng)x0＝2，Δx＝0.1時(shí)平均變化率的值．解：因?yàn)閒(x)＝3x2＋2，所以f(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋2.f(x0＋Δx)＝3(x0＋Δx)2＋2＝3xeq\o\al(2,0)＋6x0Δx＋3(Δx)2＋2，所以f(x0＋Δx)－f(x0)＝6x0Δx＋3(Δx)2，所以f(x)在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率為eq\f(6x0Δx＋3（Δx）2,Δx)＝6x0＋3Δx.所以當(dāng)x0＝2，Δx＝0.1時(shí)平均變化率為6×2＋3×0.1＝12.3.知識(shí)點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的概念(1)定義：如果當(dāng)Δx→0時(shí)，平均變化率eq\f(Δy,Δx)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的值，即eq\f(Δy,Δx)有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時(shí)變化率)．(2)寫(xiě)法：記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx).【易錯(cuò)點(diǎn)】對(duì)于導(dǎo)數(shù)的概念，注意以下幾點(diǎn)：(1)要想函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，必須有f(x)在x＝x0附近有定義．(2)在極限式中，Δx趨近于0且Δx是自變量x在x0處的改變量，所以Δx可正、可負(fù)，但不能為0.(3)導(dǎo)數(shù)是一個(gè)局部概念，它只與函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處及其附近的函數(shù)值有關(guān)，與Δx無(wú)關(guān)．【解題秘籍】求函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的導(dǎo)數(shù)的步驟典例：已知f(x)＝eq\f(2,x)，且f′(m)＝－eq\f(1,2)，則m的值為_(kāi)_______．解析：因?yàn)閑q\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（m＋Δx）－f（m）,Δx)＝eq\f(\f(2,m＋Δx)－\f(2,m),Δx)＝eq\f(－2,m（m＋Δx）)，所以f′(m)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(－2,m（m＋Δx）)＝－eq\f(2,m2)，所以－eq\f(2,m2)＝－eq\f(1,2)，m2＝4，解得m＝±2.答案：±2知識(shí)點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)切線：如圖，在曲線y＝f(x)上任取一點(diǎn)P(x，f(x))，如果當(dāng)點(diǎn)P(x，f(x))沿著曲線y＝f(x)無(wú)限趨近于點(diǎn)P0(x0，f(x0))時(shí)，割線P0P無(wú)限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定位置的直線P0T稱為曲線y＝f(x)在點(diǎn)P0處的切線．(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P0(x0，f(x0))處的切線斜率k0，即k0＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝f′(x0)．【解題秘籍】求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟典例：求曲線y＝x2－2x＋2在點(diǎn)(2，2)處的切線方程．【解】因?yàn)棣＝(2＋Δx)2－2(2＋Δx)＋2－(22－2×2＋2)＝2Δx＋(Δx)2，所以eq\f(Δy,Δx)＝2＋Δx，所以y′|x＝2＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))(2＋Δx)＝2.所以曲線在點(diǎn)(2，2)處的切線斜率為2.所以切線方程為y－2＝2(x－2)，即2x－y－2＝0.知識(shí)點(diǎn)四導(dǎo)函數(shù)(1)定義：當(dāng)x變化時(shí)，y＝f′(x)就是x的函數(shù)，稱它為y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù))．(2)寫(xiě)法：記作f′(x)或y′，即f′(x)＝y(tǒng)′＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx).【易錯(cuò)點(diǎn)】“函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)”是一個(gè)數(shù)值，“導(dǎo)函數(shù)”簡(jiǎn)稱為“導(dǎo)數(shù)”，是一個(gè)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)是對(duì)一個(gè)區(qū)間而言的，它是一個(gè)確定的函數(shù)．【解題秘籍】(1)求函數(shù)的改變量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；(2)求平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)；(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)y′＝f′(x)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).上述求導(dǎo)方法可簡(jiǎn)記為“一差、二化、三極限”．典例：已知函數(shù)f(x)＝x2－eq\f(1,2)x.求f′(x)．解：因?yàn)棣＝f(x＋Δx)－f(x)＝(Δx)2＋2x·Δx－eq\f(1,2)Δx，所以eq\f(Δy,Δx)＝2x＋Δx－eq\f(1,2).所以f′(x)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝2x－eq\f(1,2).考點(diǎn)利用圖象理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系中正確的是()A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2)B．0＜f′(2)＜f(3)－f(2)＜f′(3)C．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3)【解析】kAB＝eq\f(f（3）－f（2）,3－2)＝f(3)－f(2)，f′(2)為函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)B(2，f(2))處的切線的斜率，f′(3)為函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A(3，f(3))處的切線的斜率，根據(jù)圖象可知0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)．【答案】C【解題秘籍】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象升降的關(guān)系若函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)存在且f′(x0)＞0(即切線的斜率大于零)，則函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的圖象是上升的；若f′(x0)＜0(即切線的斜率小于零)，則函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的圖象是下降的．導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值的大小反映了曲線上升或下降的快慢．5.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)一幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝x3f′(x)＝3x2f(x)＝eq\f(1,x)f′(x)＝－eq\f(1,x2)f(x)＝eq\r(x)f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))知識(shí)點(diǎn)二基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos

xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin

xf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axln

af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)【易錯(cuò)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)，y′＝(ax)′＝axlna，當(dāng)a＝e時(shí)，y＝ex的導(dǎo)數(shù)是指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的特例；對(duì)數(shù)函數(shù)，y′＝(logax)′＝eq\f(1,xlna)，當(dāng)a＝e時(shí)，y＝lnx的導(dǎo)數(shù)也是對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的特例．(1)y＝coseq\f(π,6)；(2)y＝eq\f(1,x5)；(3)y＝eq\f(x2,\r(x))；(4)＝lgx；(5)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x)).【解】(1)因?yàn)閥＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).所以y′＝0.(2)因?yàn)閥＝eq\f(1,x5)＝x－5，所以y′＝－5x－6.(3)因?yàn)閥＝eq\f(x2,\r(x))＝eq\f(x2,x\s\up6(\f(1,2)))＝xeq\s\up6(\f(3,2))，所以y′＝eq\f(3,2)xeq\s\up6(\f(1,2)).(4)因?yàn)閥＝lgx，所以y′＝eq\f(1,xln10).(5)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝sinx，所以y′＝cosx.【解題秘籍】運(yùn)用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)的注意事項(xiàng)(1)對(duì)于簡(jiǎn)單的函數(shù)，直接套用公式；(2)對(duì)于較為復(fù)雜，不能直接套用公式的，可先把題中函數(shù)恒等變形為基本初等函數(shù)，再求導(dǎo)．典例：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程典例：若直線y＝x＋b與曲線y＝ex相切于點(diǎn)P，求切點(diǎn)P的坐標(biāo)及b的值．【解】設(shè)P(x0，y0)，由題意可知y′|x＝x0＝ex0，所以ex0＝1，即x0＝0，所以點(diǎn)P(0，1)．由點(diǎn)P(0，1)在直線y＝x＋b上可知b＝1.【解題秘籍】與切線有關(guān)問(wèn)題的解題策略(1)若已知點(diǎn)是切點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線斜率就是該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．(2)如果已知點(diǎn)不是切點(diǎn)，則應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)，再借助兩點(diǎn)連線的斜率公式進(jìn)行求解．5.2.2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則知識(shí)點(diǎn)一f(x)±g(x)的導(dǎo)數(shù)若函數(shù)f(x)，g(x)均為可導(dǎo)函數(shù)，則有兩個(gè)函數(shù)的和的導(dǎo)數(shù)[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)兩個(gè)函數(shù)的差的導(dǎo)數(shù)[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)【易錯(cuò)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則，可由兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)推廣到任意有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)．典例：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x5－x3＋cosx；(2)y＝lgx－ex.【解】(1)y′＝(x5)′－(x3)′＋(cosx)′＝5x4－3x2－sinx.(2)y′＝(lgx－ex)′＝(lgx)′－(ex)′＝eq\f(1,xln10)－ex.【解題秘籍】由基本初等函數(shù)經(jīng)加、減運(yùn)算得到的函數(shù)均可利用求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，而不需要用導(dǎo)數(shù)的定義去求．知識(shí)點(diǎn)二f(x)g(x)和eq\f(f（x）,g（x）)的導(dǎo)數(shù)若函數(shù)f(x)，g(x)均為可導(dǎo)函數(shù)，則有符號(hào)表達(dá)文字?jǐn)⑹鯷f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘上第二個(gè)函數(shù)，加上第一個(gè)函數(shù)乘上第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘分母上的函數(shù)減去分子上的函數(shù)乘分母上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再除以分母上函數(shù)的平方【解題秘籍】利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求導(dǎo)的策略(1)分析待求導(dǎo)式子符合哪種求導(dǎo)法則，每一部分式子是由哪種基本初等函數(shù)組合成的，確定求導(dǎo)法則，基本公式．(2)如果待求導(dǎo)式子比較復(fù)雜，則需要對(duì)式子先變形再求導(dǎo)，常用的變形有乘積式展開(kāi)變?yōu)楹褪角髮?dǎo)，商式變乘積式求導(dǎo)，三角函數(shù)恒等變換后求導(dǎo)等．典例：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x3ex；(2)y＝x2＋tanx；(3)y＝eq\f(ex,x＋1).解：(1)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝(3x2＋x3)ex.(2)因?yàn)閥＝x2＋eq\f(sinx,cosx)，所以y′＝(x2)′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)))′＝2x＋eq\f(cos2x－sinx（－sinx）,cos2x)＝2x＋eq\f(1,cos2x).(3)y′＝eq\f(（ex）′（x＋1）－（x＋1）′ex,（x＋1）2)＝eq\f(ex（x＋1）－ex,（x＋1）2)＝eq\f(xex,（x＋1）2).考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則的應(yīng)用角度1曲線的切線問(wèn)題典例：(1)曲線y＝f(x)＝eq\f(x,x－2)在點(diǎn)(1，－1)處的切線方程為()A．y＝－2x＋1 B．y＝－3x＋2C．y＝2x－3 D．y＝x－2(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x)－ax2，若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與直線2x－y＋1＝0平行，則a＝()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．1 D．2【解析】(1)y＝f(x)＝eq\f(x,x－2)的導(dǎo)數(shù)為y′＝－eq\f(2,（x－2）2)，在點(diǎn)(1，－1)處的切線斜率k＝f′(1)＝－2，所以曲線y＝eq\f(x,x－2)在點(diǎn)(1，－1)處的切線方程為y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.(2)函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x)－ax2的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)－2ax，可得曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線的斜率k＝f′(1)＝1－2a，由切線與直線2x－y＋1＝0平行，可得1－2a＝2，解得a＝－eq\f(1,2).【答案】(1)A(2)A角度2導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用典例：日常生活中的飲用水通常都是經(jīng)過(guò)凈化的，隨著水純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷增加．已知1t水凈化到純凈度為x%時(shí)所需費(fèi)用(單位：元)為c(x)＝eq\f(4000,100－x)(80＜x＜100)．那么凈化到純凈度為90%時(shí)所需凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是()A．－40元/t B．－10元/tC．10元/t D．40元/t【解析】?jī)艋M(fèi)用的瞬時(shí)變化率就是凈化費(fèi)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)閏(x)＝eq\f(4000,100－x)(80＜x＜100)．所以c′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4000,100－x)))′＝eq\f(4000,（100－x）2)，又因?yàn)閏′(90)＝eq\f(4000,（100－90）2)＝40，所以凈化到純凈度為90%時(shí)所需凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是40元/t，故選D.【答案】D【解題秘籍】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)時(shí)，常根據(jù)以下關(guān)系列方程(組)：①函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)在曲線上；④題目所給的其他條件．最后通過(guò)解方程(組)得到參數(shù)的值．(2)含f′(c)函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題的解決策略，含f′(c)函數(shù)在求導(dǎo)時(shí)一定要抓住f′(c)為一常數(shù)這一特點(diǎn)，也就是說(shuō)，不管應(yīng)用加、減、乘、除哪一法則，求導(dǎo)時(shí)，把f′(c)一律充當(dāng)常系數(shù)處理．5.2.3簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)一復(fù)合函數(shù)的概念一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過(guò)中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x))．思考函數(shù)y＝log2(x＋1)是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的？答案函數(shù)y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的．知識(shí)點(diǎn)二復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一般地，對(duì)于由函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y＝f(g(x))，它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′x＝y(tǒng)′u·u′x，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積．【易錯(cuò)點(diǎn)】對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，要注意分析復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，引入中間變量，將復(fù)合函數(shù)分解成較簡(jiǎn)單的函數(shù)，再用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)．典例：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝eq\r(3x＋5)；(2)y＝e－x；(3)y＝log2(4x＋7)；(4)y＝sin(2x＋1)．【解】(1)函數(shù)y＝eq\r(3x＋5)可以看作函數(shù)y＝eq\r(u)和u＝3x＋5的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(eq\r(u))′·(3x＋5)′＝eq\f(3,2\r(u))＝eq\f(3,2\r(3x＋5)).(2)方法一(應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則)：因?yàn)閥＝e－x可以看作y＝eu和u＝－x的復(fù)合函數(shù)，所以y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(eu)′·(－x)′＝－eu＝－e－x.方法二(應(yīng)用四則運(yùn)算法則)：因?yàn)閥＝e－x＝eq\f(1,ex)，所以y′＝eq\f(－（ex）′,（ex）2)＝－eq\f(1,ex)＝－e－x.(3)函數(shù)y＝log2(4x＋7)可以看作函數(shù)y＝log2u和u＝4x＋7的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(log2u)′·(4x＋7)′＝eq\f(1,u·ln2)·4＝eq\f(4,（4x＋7）·ln2).(4)函數(shù)y＝sin(2x＋1)可以看作函數(shù)y＝sinu和u＝2x＋1的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(sinu)′·(2x＋1)′＝2cosu＝2cos(2x＋1)．【解題秘籍】求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟[提醒](1)內(nèi)、外層函數(shù)通常為基本初等函數(shù)．(2)求每層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)注意分清是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)，這是求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn)．(3)逐層求導(dǎo)結(jié)束后對(duì)結(jié)果進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，使導(dǎo)數(shù)式盡量簡(jiǎn)潔．考點(diǎn)一復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則典例：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝eq\f(ln3x,ex)；(2)y＝xeq\r(1＋x2)；(3)y＝xcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))).【解】(1)因?yàn)?ln3x)′＝eq\f(1,3x)×(3x)′＝eq\f(1,x)，所以y′＝eq\f(（ln3x）′ex－（ln3x）（ex）′,（ex）2)＝eq\f(\f(1,x)－ln3x,ex)＝eq\f(1－xln3x,xex).(2)y′＝(xeq\r(1＋x2))′＝x′eq\r(1＋x2)＋x(eq\r(1＋x2))′＝eq\r(1＋x2)＋eq\f(x2,\r(1＋x2))＝eq\f(（1＋2x2）\r(1＋x2),1＋x2).(3)因?yàn)閥＝xcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝x(－sin2x)cos2x＝－eq\f(1,2)xsin4x，所以y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)xsin4x))′＝－eq\f(1,2)sin4x－eq\f(x,2)cos4x·4＝－eq\f(1,2)sin4x－2xcos4x.【解題秘籍】復(fù)雜函數(shù)求導(dǎo)的注意事項(xiàng)(1)仔細(xì)觀察和分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，緊緊扣住求導(dǎo)運(yùn)算法則，聯(lián)系基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式．不具備求導(dǎo)法則的可適當(dāng)恒等變形．(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，要注意分析復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，引入中間變量，將復(fù)合函數(shù)分解成較簡(jiǎn)單的函數(shù)，再用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)．考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題典例：某市在一次降雨過(guò)程中，降雨量y(單位：mm)與時(shí)間t(單位：min)的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y＝f(t)＝eq\r(10t)，則在時(shí)刻t＝40min的降雨強(qiáng)度為()A．20mm/min B．400mm/minC.eq\f(1,2)mm/min D.eq\f(1,4)mm/min解析：選D.因?yàn)閒′(t)＝eq\f(1,2\r(10t))·10＝eq\f(5,\r(10t))，所以f′(40)＝eq\f(5,\r(400))＝eq\f(1,4).【解題秘籍】將復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)與導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義結(jié)合，旨在鞏固函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，反映了函數(shù)在該點(diǎn)的瞬時(shí)變化率，體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)揭示物體在某時(shí)刻的變化狀況．微專題：曲線的切線問(wèn)題類型一曲線在某點(diǎn)處的切線問(wèn)題典例：寫(xiě)出曲線y＝ln|x|過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程為_(kāi)_______，________．(2)設(shè)曲線y＝eax在點(diǎn)(0，1)處的切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，則a＝________．【解析】(1)因?yàn)閥＝ln|x|，當(dāng)x＞0時(shí)，y＝lnx，設(shè)切點(diǎn)為(x0，lnx0)，由y′＝eq\f(1,x)，所以y′|x＝x0＝eq\f(1,x0)，所以切線方程為y－lnx0＝eq\f(1,x0)(x－x0)，又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以－lnx0＝eq\f(1,x0)(－x0)，解得x0＝e，所以切線方程為y－1＝eq\f(1,e)(x－e)，即y＝eq\f(1,e)x；當(dāng)x＜0時(shí)，y＝ln(－x)，設(shè)切點(diǎn)為(x1，ln(－x1))，由y′＝eq\f(1,x)，所以y′|x＝x1＝eq\f(1,x1)，所以切線方程為y－ln(－x1)＝eq\f(1,x1)(x－x1)，又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以－ln(－x1)＝eq\f(1,x1)(－x1)，解得x1＝－e，所以切線方程為y－1＝eq\f(1,－e)(x＋e)，即y＝－eq\f(1,e)x.綜上，滿足條件的切線方程為y＝eq\f(1,e)x和y＝－eq\f(1,e)x.(2)令y＝f(x)，則曲線y＝eax在點(diǎn)(0，1)處的切線的斜率為f′(0)，又切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因?yàn)閒(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.【答案】(1)y＝eq\f(1,e)xy＝－eq\f(1,e)x(2)2【解題秘籍】求曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線方程的步驟(1)求出函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)；(2)根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式，得切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．類型二曲線經(jīng)過(guò)某點(diǎn)的切線問(wèn)題典例：已知函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋5x－4.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程．【解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－4)．因?yàn)閒′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5，所以切線方程為y－(－2)＝(3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5)(x－2)．又因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)(x0，xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－4)，所以xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－2＝(3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1.當(dāng)x0＝2時(shí)，f′(x0)＝1，此時(shí)所求切線方程為x－y－4＝0；當(dāng)x0＝1時(shí)，f′(x0)＝0，此時(shí)所求切線方程為y＋2＝0.故經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程為x－y－4＝0或y＋2＝0.【解題秘籍】求曲線y＝f(x)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程的步驟(1)設(shè)切點(diǎn)為P′(x′，f(x′))，求切線的斜率k＝f′(x′)，寫(xiě)出切線方程(含參)；(2)把點(diǎn)P′(x′，f(x′))的坐標(biāo)代入切線方程，建立關(guān)于x′的方程，解得x′的值，進(jìn)而求出切線方程．類型三兩曲線的公切線問(wèn)題典例：(1)已知曲線f(x)＝x3＋ax＋eq\f(1,4)在x＝0處的切線與曲線g(x)＝－lnx相切，求a的值．(2)求曲線y＝lnx＋2和曲線y＝ln(x＋1)公切線的方程．【解】(1)由f(x)＝x3＋ax＋eq\f(1,4)，得f′(x)＝3x2＋a.因?yàn)閒′(0)＝a，f(0)＝eq\f(1,4)，所以曲線y＝f(x)在x＝0處的切線方程為y－eq\f(1,4)＝ax.設(shè)直線y－eq\f(1,4)＝ax與曲線g(x)＝－lnx相切于點(diǎn)(x0，－lnx0)，g′(x)＝－eq\f(1,x)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－lnx0－\f(1,4)＝ax0，①,a＝－\f(1,x0)，②))將②代入①得lnx0＝eq\f(3,4)，所以x0＝eeq\s\up6(\f(3,4))，所以a＝－eq\f(1,e\s\up6(\f(3,4)))＝－e－eq\f(3,4).(2)函數(shù)y＝lnx＋2的導(dǎo)函數(shù)為y′＝eq\f(1,x)，函數(shù)y＝ln(x＋1)的導(dǎo)函數(shù)為y′＝eq\f(1,x＋1).設(shè)曲線y＝lnx＋2和曲線y＝ln(x＋1)公切線上的切點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為m，n，則切線方程可以寫(xiě)成y＝eq\f(1,m)(x－m)＋lnm＋2，也可以寫(xiě)成y＝eq\f(1,n＋1)(x－n)＋ln(n＋1)．整理后對(duì)比得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＝\f(1,n＋1)，,lnm＋1＝ln（n＋1）－\f(n,n＋1)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2)，,n＝－\f(1,2)，))則公切線方程為y＝2x＋1－ln2.【解題秘籍】解決兩曲線的公切線問(wèn)題的兩種方法(1)利用其中一曲線在某點(diǎn)處的切線與另一曲線相切，列出關(guān)系式求解．(2)設(shè)公切線l在y＝f(x)上的切點(diǎn)P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切點(diǎn)P2(x2，g(x2))，則f′(x1)＝g′(x2)＝eq\f(f（x1）－g（x2）,x1－x2).5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用5.3.1函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系一般地，在某個(gè)區(qū)間(a，b)上的函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)之間有如下關(guān)系：f′(x)的正負(fù)f(x)的單調(diào)性f′(x)＞0函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增f′(x)＜0函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減【易錯(cuò)點(diǎn)】“在某區(qū)間內(nèi)f′(x)＞0(f′(x)＜0)”是“函數(shù)f(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞增(減)”的充分條件，而不是必要條件．如果出現(xiàn)個(gè)別點(diǎn)使f′(x)＝0，不會(huì)影響函數(shù)f(x)在包含該點(diǎn)的某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性．例如函數(shù)f(x)＝x3，在定義域(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，但因?yàn)閒′(x)＝3x2，所以f′(0)＝0，即并不是在定義域內(nèi)的任意一點(diǎn)處都滿足f′(x)＞0.思考如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，那么函數(shù)f(x)有什么特性？答案f(x)是常數(shù)函數(shù)．【解題秘籍】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，一般是先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù)，最后判斷導(dǎo)數(shù)在所給區(qū)間上的符號(hào)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性．典例：利用導(dǎo)數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：(1)f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋2x－5；(2)f(x)＝x－ex(x＞0)．解：(1)因?yàn)閒(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋2x－5，x∈R，所以f′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋2x－5在R上單調(diào)遞增．(2)因?yàn)閒(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝1－ex＜0，所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)值變化快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系設(shè)函數(shù)y＝f(x)，在區(qū)間(a，b)上：導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值函數(shù)值變化函數(shù)的圖象越大快比較“陡峭”(向上或向下)越小慢比較“平緩”(向上或向下)典例：(1)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可能是()(2)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是下列四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是()【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是減函數(shù)，所以當(dāng)x＞0時(shí)，f′(x)＜0，當(dāng)x＜0，f′(x)＜0.(2)方法一：由函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象自左到右先增后減，可知函數(shù)y＝f(x)圖象的切線的斜率自左到右先增大后減?。椒ǘ河捎趂′(x)>0恒成立，則根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可知，f(x)單調(diào)遞增，即圖象從左至右上升．四個(gè)圖象都滿足．由于當(dāng)x＞0時(shí)，f′(x)＞0且越來(lái)越小，則函數(shù)值增加得越來(lái)越慢，圖象呈現(xiàn)上凸?fàn)?；?dāng)x＜0時(shí)，f′(x)＞0且越來(lái)越大，故函數(shù)值增加得越來(lái)越快，圖象呈現(xiàn)下凸?fàn)?，可以判斷B正確．【答案】(1)D(2)B【解題秘籍】研究函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象之間關(guān)系的方法導(dǎo)函數(shù)f′(x)圖象在x軸上方時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的取值區(qū)間為原函數(shù)f(x)圖象上升部分對(duì)應(yīng)的區(qū)間(單調(diào)遞增區(qū)間)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)圖象在x軸下方時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的取值區(qū)間為原函數(shù)f(x)圖象下降部分對(duì)應(yīng)的區(qū)間(單調(diào)遞減區(qū)間)．典例：求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(2)f(x)＝sinx－x(0＜x＜π)．解：(1)f(x)的定義域?yàn)镽.f′(x)＝6x2＋6x－36＝6(x－2)(x＋3)．由f′(x)＞0得x＜－3或x＞2；由f′(x)＜0得－3＜x＜2.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－3)，(2，＋∞)；單調(diào)遞減區(qū)間是(－3，2)．(2)f(x)定義域?yàn)?0，π)．f′(x)＝cosx－1.因?yàn)?＜x＜π，所以cosx－1＜0恒成立，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，π)，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間．【解題秘籍】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法(1)解不等式法①定域：確定函數(shù)f(x)的定義域．②求導(dǎo)：求f′(x)．③解不等式：在定義域內(nèi)，令f′(x)＞0，解得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；令f′(x)＜0，解得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．(2)列表法①定域：確定函數(shù)f(x)的定義域；②求導(dǎo)：求f′(x)；③確定零點(diǎn)：判斷導(dǎo)函數(shù)f′(x)有無(wú)零點(diǎn)，若有零點(diǎn)，通過(guò)解方程f′(x)＝0求出零點(diǎn)；④列表：用f′(x)的零點(diǎn)和函數(shù)的無(wú)定義點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)；⑤得結(jié)論：由此得出函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性．第2課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性的綜合問(wèn)題考點(diǎn)一含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性典例：設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－ax－2(a∈R)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間．解：f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a≤0，則f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增．若a>0，則當(dāng)x∈(－∞，lna)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(lna，＋∞)時(shí)，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，lna)，單調(diào)遞增區(qū)間為(lna，＋∞)．【解題秘籍】討論含參函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵點(diǎn)(1)涉及含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，一定要判斷參數(shù)對(duì)導(dǎo)數(shù)f′(x)在某一區(qū)間內(nèi)的正負(fù)是否有影響．若有影響，則必須分類討論，討論時(shí)要做到不重不漏，最后進(jìn)行總結(jié)．(2)求含參函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間，實(shí)質(zhì)上就是解含參數(shù)的不等式f′(x)>0，f′(x)<0.考點(diǎn)二已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)典例：已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解】由已知得f′(x)＝3x2－a，因?yàn)閒(x)在(－∞，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2對(duì)x∈R恒成立，因?yàn)?x2≥0，所以只需a≤0.又因?yàn)閍＝0時(shí)，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函數(shù)，所以a≤0.即a的取值范圍為(－∞，0]．【解題秘籍】已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的兩種方法(1)分離參數(shù)法f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(減)等價(jià)于f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，將參數(shù)分離后可轉(zhuǎn)化為求其函數(shù)的值域問(wèn)題，注意驗(yàn)證等號(hào)是否成立．(2)子集法若能較容易地求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，則可利用子區(qū)間來(lái)解決．若f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(減)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集．考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用典例：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(－1)＝2，對(duì)任意x∈R，f′(x)＞2，則f(x)＞2x＋4的解集為()A．(－1，1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)解析：選B.構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)－(2x＋4)，則g(－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f′(x)＞2.所以g′(x)＝f′(x)－2＞0，所以g(x)是R上的增函數(shù)，所以f(x)＞2x＋4?g(x)＞0?g(x)＞g(－1)，所以x＞－1.【解題秘籍】構(gòu)造函數(shù)法證明不等式構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為用導(dǎo)數(shù)證明不等式．以證明不等式f(x)＞g(x)，x∈(a，b)為例說(shuō)明一般步驟：(1)構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，x∈(a，b)；(2)證明F′(x)＝f′(x)－g′(x)≥0，且F(a)≥0(或F′(x)≤0，且F(b)≥0)；(3)F(x)在(a，b)上是單調(diào)遞增(或遞減)函數(shù)，所以F(x)＞F(a)≥0(或F(x)＞F(b)≥0)，所以f(x)－g(x)＞0，即f(x)＞g(x)．5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值第1課時(shí)函數(shù)的極值知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)極值的定義1．極小值點(diǎn)與極小值若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，就把a(bǔ)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．2．極大值點(diǎn)與極大值若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，就把b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．3．極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值．【易錯(cuò)點(diǎn)】(1)函數(shù)的極值是一個(gè)局部性的概念，是僅對(duì)某一點(diǎn)附近左右兩側(cè)的點(diǎn)而言的．(2)極值點(diǎn)是函數(shù)定義域上的自變量的值，而函數(shù)定義域的端點(diǎn)絕不是函數(shù)的極值點(diǎn)．(3)若f(x)在[a，b]上有極值，那么f(x)在[a，b]上一定不是單調(diào)函數(shù)，即在定義區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒(méi)有極值．(4)極大值與極小值沒(méi)有必然的大小關(guān)系．一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有許多個(gè)極小值和極大值，且極小值不一定比極大值小，極大值也不一定比極小值大．典例：函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列判斷：①函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(3，5)內(nèi)單調(diào)遞增；②函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))內(nèi)單調(diào)遞減；③函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－2，2)內(nèi)單調(diào)遞增；④當(dāng)x＝－eq\f(1,2)時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有極大值；⑤當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有極大值．則上述判斷中正確的是________．(填序號(hào))【解析】對(duì)于①，當(dāng)x∈(3，4)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(4，5)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，所以①錯(cuò)誤；對(duì)于②，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(2，3)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)x∈(－2，2)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，所以③正確；對(duì)于④，當(dāng)x∈(－2，2)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，故當(dāng)x＝－eq\f(1,2)時(shí)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))不是極大值，所以④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤，由②知當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)y＝f(x)取得極大值，所以⑤正確．【答案】③⑤【解題秘籍】極值存在性的判斷方法(1)函數(shù)角度先減后增取極小值，先增后減取極大值．(2)導(dǎo)數(shù)的角度先負(fù)后正取極小值，先正后負(fù)取極大值．知識(shí)點(diǎn)二求函數(shù)y＝f(x)的極值的方法解方程f′(x)＝0，當(dāng)f′(x0)＝0時(shí)：(1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，那么f(x0)是極大值；(2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，那么f(x0)是極小值．典例：求下列函數(shù)的極值：(1)f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2－3x＋3；(2)f(x)＝eq\f(3,x)＋3lnx.【解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽，f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)．令f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)單調(diào)遞增eq\f(14,3)單調(diào)遞減－6單調(diào)遞增所以x＝－1是f(x)的極大值點(diǎn)，x＝3是f(x)的極小值點(diǎn)．所以f(x)極大值＝eq\f(14,3)，f(x)極小值＝－6.(2)函數(shù)f(x)＝eq\f(3,x)＋3lnx的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝－eq\f(3,x2)＋eq\f(3,x)＝eq\f(3（x－1）,x2).令f′(x)＝0，得x＝1.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)單調(diào)遞減3單調(diào)遞增所以x＝1是函數(shù)f(x)的極小點(diǎn)，所以f(x)極小值＝3.f(x)無(wú)極大值．【解題秘籍】函數(shù)極值和極值點(diǎn)的求解步驟(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用方程f′(x)＝0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小開(kāi)區(qū)間，并列成表格；(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符號(hào)，來(lái)判斷f(x)在這個(gè)根處取極值的情況．考點(diǎn)一含參數(shù)函數(shù)的極值典例：若函數(shù)f(x)＝x－alnx(a∈R)，求函數(shù)f(x)的極值．解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝1－eq\f(a,x)＝eq\f(x－a,x).(1)當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)無(wú)極值．(2)當(dāng)a＞0時(shí)，令f′(x)＝0，解得x＝a.當(dāng)0＜x＜a時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x＞a時(shí)，f′(x)＞0.所以f(x)在x＝a處取得極小值，且f(a)＝a－alna，無(wú)極大值．綜上可知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－alna，無(wú)極大值．【解題秘籍】解析式中含參數(shù)的函數(shù)極值的求法由于求函數(shù)的極值首先需要確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此解析式中含參數(shù)的函數(shù)極值的求法類似于解析式中含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，求解的方法是：先根據(jù)參數(shù)對(duì)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的影響確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)(導(dǎo)函數(shù)是否存在零點(diǎn)以及導(dǎo)函數(shù)存在零點(diǎn)時(shí)零點(diǎn)的大小)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)的極值．考點(diǎn)二利用函數(shù)極值確定參數(shù)典例：已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1時(shí)有極值0，求常數(shù)a，b的值．解：因?yàn)閒(x)在x＝－1時(shí)有極值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f′（－1）＝0，,f（－1）＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－6a＋b＝0，,－1＋3a－b＋a2＝0.))解之得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝9.))當(dāng)a＝1，b＝3時(shí)，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以f(x)在R上為增函數(shù)，無(wú)極值，故舍去．當(dāng)a＝2，b＝9時(shí)，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．當(dāng)x∈(－3，－1)時(shí)，f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x∈(－∞，－3)和(－1，＋∞)時(shí)，f(x)為增函數(shù)，所以f(x)在x＝－1時(shí)取得極小值0，因此a＝2，b＝9.【解題秘籍】已知函數(shù)極值求參數(shù)的方法對(duì)于已知可導(dǎo)函數(shù)的極值求參數(shù)的問(wèn)題，解題的切入點(diǎn)是極值存在的必要條件：極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0；極值點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號(hào)．具體步驟如下：(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)由極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0和極值兩個(gè)條件列出方程組，求解參數(shù)．第2課時(shí)函數(shù)的最大(小)值知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)最值的定義1．一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．2．對(duì)于函數(shù)f(x)，給定區(qū)間I，若對(duì)任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最小值；若對(duì)任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值．思考如圖所示，觀察區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象，找出函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值、最小值．若將區(qū)間改為(a，b)，f(x)在(a，b)上還有最值嗎？答案函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是f(x3)．若區(qū)間改為(a，b)，則f(x)有最小值f(x3)，無(wú)最大值．【易錯(cuò)點(diǎn)】(1)函數(shù)的最值是一個(gè)整體性的概念．函數(shù)的最值是比較整個(gè)區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出的．(2)一般地，函數(shù)f(x)的圖象在閉區(qū)間[a，b]上是一條連續(xù)不斷的曲線，是f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有最大值與最小值的充分不必要條件．(3)函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間上若存在最大值或最小值，則最大值或最小值只能各有一個(gè)，具有唯一性，而函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能沒(méi)有．(4)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f(x)不一定有最大值與最小值．如函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上連續(xù)，但沒(méi)有最大值與最小值．知識(shí)點(diǎn)二求函數(shù)的最大值與最小值的步驟函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的極值；(2)將函數(shù)f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．典例：求下列各函數(shù)的最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，4]；(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2，5]．【解】(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x－2(－2，0)0(0，2)2(2，4)4f′(x)＋0－0＋f(x)－37單調(diào)遞增極大值3單調(diào)遞減極小值－5單調(diào)遞增35所以在區(qū)間[－2，4]上，當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)取得最大值35；當(dāng)x＝－2時(shí)，f(x)取得最小值－37.(2)因?yàn)閒(x)＝3ex－exx2，所以f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)．因?yàn)樵趨^(qū)間[2，5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)＜0，即函數(shù)f(x)在區(qū)間[2，5]上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間[2，5]上當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值－e2；當(dāng)x＝5時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值－22e5.【解題秘籍】求函數(shù)最值的四個(gè)步驟第一步，求函數(shù)f(x)的定義域；第二步，求f′(x)，解方程f′(x)＝0；第三步，列出關(guān)于x，f′(x)，f(x)的變化情況表；第四步，求極值、端點(diǎn)值，確定最值．考點(diǎn)一含參數(shù)的最值問(wèn)題典例：若函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x2＋a)(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值為eq\f(\r(3),3)，則a的值為()A.eq\r(3)＋1 B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\r(3)－1解析：選D.f′(x)＝eq\f(x2＋a－2x2,（x2＋a）2)＝eq\f(a－x2,（x2＋a）2).當(dāng)x＞eq\r(a)或x＜－eq\r(a)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)－eq\r(a)＜x＜eq\r(a)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增．若a＞1，則當(dāng)x＝eq\r(a)時(shí)，f(x)取得[1，＋∞)上的最大值，此時(shí)f(eq\r(a))＝eq\f(\r(a),2a)＝eq\f(\r(3),3)，解得a＝eq\f(3,4)＜1，不符合題意；若a≤1，則f(x)在[1，＋∞)上的最大值f(x)max＝f(1)＝eq\f(1,1＋a)＝eq\f(\r(3),3)，a＝eq\r(3)－1.故選D.【解題秘籍】求解含參函數(shù)的最大值和最小值的步驟(1)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的全部實(shí)根，同時(shí)，根據(jù)參數(shù)的范圍，判斷f′(x)＝0的根是否在區(qū)間[a，b]內(nèi)；(3)根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定函數(shù)的極大值、極小值；(4)將函數(shù)的極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較，得到函數(shù)的最大值、最小值．考點(diǎn)二生活中的優(yōu)化問(wèn)題典例：某產(chǎn)品每件成本9元，售價(jià)30元，每星期賣出432件．如果降低售價(jià)，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值x(單位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，一星期多賣出24件．(1)將一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)表示成x的函數(shù)．(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大？【解】(1)若商品單價(jià)降低x元，則一個(gè)星期多賣出的商品件數(shù)為kx2件．由已知條件得k·22＝24，解得