5.1.2數(shù)據(jù)的數(shù)字特征

5.1.2數(shù)據(jù)的數(shù)字特征TOC\o"13"\h\z\u題型1平均數(shù)相關(guān)考點 4題型2眾數(shù)相關(guān)考點 6題型3中位數(shù)百分位數(shù) 8題型4極差、方差、標準差 11◆類型1極差、方差、標準差的意義 11◆類型2極差、方差、標準差的計算 14◆類型3極差、方差、標準差的性質(zhì) 16◆類型4極差、方差、標準差的作用 18題型5最值相關(guān)考點 23知識點一.最值1.最值的定義∶一組數(shù)據(jù)的最值指的是其中的最大值與最小值。2.最值的特征∶最值反應(yīng)的是這組數(shù)最極端的情況。3.最值的表示∶一般地，最大值用max表示，最小值用min表示。知識點二.平均數(shù)1.平均數(shù)的定義∶如果給定的一組數(shù)是x1，x2，…，xn，則這組數(shù)的平均數(shù)為x=2.平均數(shù)的特征∶平均數(shù)用來刻畫一組數(shù)據(jù)的平均水平（或中心位置）。3.平均數(shù)的表示∶x=x1+x2+...+xnn=i=1nxin,其中的符號""4.性質(zhì)：如果x1，x2，…，xn，的平均數(shù)為x，且a，b為常數(shù)，則ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均數(shù)為ax+b.注意：平均數(shù)會受每一個數(shù)的影響，尤其是最大值、最小值．很多情況下，為了避免過于極端的值對結(jié)果影響太大等，會去掉最小值與最大值后再計算平均數(shù).知識點三.中位數(shù)定義：如果一組數(shù)有奇數(shù)個數(shù)，且按照從小到大排列后為x1，x2，…，xn，則稱xn+1為這組數(shù)的中位數(shù)；如果一組數(shù)有偶數(shù)個數(shù)，且按照從小到大排列后為x1，x2，…，x2n，則稱xn+注意∶優(yōu)點∶①不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)的影響。②易計算，便于利用中間數(shù)據(jù)的信息。缺點：對極端值不敏感。知識點四.百分位數(shù)1.定義：一組數(shù)的p%（p∈（0，100））分位數(shù)指的是滿足下列條件的一個數(shù)值∶至少有p%的數(shù)據(jù)不大于該值，且至少有（100p）%的數(shù)據(jù)不小于該值.直觀來說，一組數(shù)的p%分位數(shù)指的是，將這組數(shù)按照從小到大的順序排列后，處于p%位置的數(shù).2.步驟：設(shè)一組數(shù)按照從小到大排列后為x1，x2，…，xn，計算i=np%的值，如果i不是整數(shù)，設(shè)i0為大于i的最小整數(shù)，取Xi0為p%分位數(shù)；如果i是整數(shù)，取xi+xi+12為p%分位數(shù).特別地，規(guī)定∶0分位數(shù)是x（即最小值），100%注意：(1)中位數(shù)就是一個50%分位數(shù).(2)按照定義可知，p%分位數(shù)可能不唯一，也正因為如此，各種統(tǒng)計軟件所得出的p%分位數(shù)可能會有差異.（3）實際應(yīng)用中，除了中位數(shù)外，經(jīng)常使用的是25%分位數(shù)（簡稱為第一四分位數(shù)）與75%分位數(shù)（簡稱為第三四分位數(shù)）.知識點五.頻數(shù)與眾數(shù)：1.頻數(shù)的概念∶一組數(shù)據(jù)中，某個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)稱為這個數(shù)據(jù)的頻數(shù)。2.眾數(shù)的概念∶一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。注意：若有兩個或兩個以上的數(shù)據(jù)出現(xiàn)得最多，且出現(xiàn)的次數(shù)一樣，則這些數(shù)據(jù)都稱為眾數(shù)；若一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則沒有眾數(shù)。注意：(1)眾數(shù)不唯一，可以有一個，也可以有多個，還可以沒有.如果有兩個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)相同，并且比其他數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都多，那么這兩個數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).(2)眾數(shù)一定是原數(shù)據(jù)中的數(shù)，百分位數(shù)和中位數(shù)都不一定是原數(shù)據(jù)中的數(shù).知識點六.極差、方差與標準差1.極差一組數(shù)的極差指的是這組數(shù)的最大值減去最小值所得的差.極差反映了一組數(shù)的變化范圍.不難看出，極差反映了一組數(shù)的變化范圍，描述了這組數(shù)的離散程度.注意：(1)極差反映了一組數(shù)據(jù)變化的最大幅度，它對一組數(shù)據(jù)中的極端值非常敏感.一般情況下，極差大，則數(shù)據(jù)較分散，數(shù)據(jù)的波動性大；極差小，則數(shù)據(jù)相對集中，數(shù)據(jù)的波動性小，極差的計算非常簡單，但極差只考慮了兩個極端值，而沒有考慮中間的數(shù)據(jù)，因此很多時候，極差作為數(shù)據(jù)的離散程度的統(tǒng)計量，可靠性較差.(2)極差的取值范圍是[0，+∞）.2.方差（1）定義∶如果x1，x2，…，xn，的平均數(shù)為x，則方差可用求和符號表示為s（2）性質(zhì)∶如果a，b為常數(shù)（a=0），則ax1+b，ax2+b，...,axn+b的方差為a2s2.3.標準差（1）定義∶方差的算術(shù)平方根稱為標準差.一般用s表示，即樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，的標準差為s=（2）性質(zhì)∶如果a，b為常數(shù)，則ax1+b，ax2+b，...,axn+b的標準差為|a|s（3）如果一組數(shù)中，各數(shù)據(jù)值都相等，則標準差為0，表明數(shù)據(jù)沒有波動，數(shù)據(jù)沒有離散性;若各數(shù)的值與平均數(shù)的差的絕對值較大，則標準差也較大，表明數(shù)據(jù)的波動幅度也較大，數(shù)據(jù)的離散程度較高，因此標準差（或方差）描述了數(shù)據(jù)相對于平均數(shù)的離散程度.題型1平均數(shù)相關(guān)考點【方法總結(jié)】平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)都有關(guān)，受個別極端數(shù)據(jù)（比其他數(shù)據(jù)大很多或小很多的數(shù)據(jù)）的影響較大，因此若在數(shù)據(jù)中存在少量極端數(shù)據(jù)，平均數(shù)對總體估計的可靠性較差，這時往往用眾數(shù)或中位數(shù)去估計總體，有時也采用剔除最大值與最小值后所得的平均數(shù)去估計總體.【例題1】（2022·全國·高一課時練習(xí)）一組5個數(shù)據(jù)中，前4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是20，全部5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是19，則第5個數(shù)據(jù)是______．【答案】15【分析】設(shè)5個數(shù)據(jù)為a,b,c,【詳解】設(shè)5個數(shù)據(jù)為a,b,c,d,e，因為前4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是20，所以a+②-①得：e=15【變式11】1．（多選）（2023下·四川樂山·高一期末）下列說法中正確的是（

）A．數(shù)據(jù)1，1，2，3，4，4的眾數(shù)是1，4B．數(shù)據(jù)2，3，4，5，6，7的中位數(shù)是4，5C．一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)可能是同一數(shù)D．3個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5，另外4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是4，則這7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3×5+4×4【答案】ACD【分析】根據(jù)眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)的定義即可判斷A,B,C選項；根據(jù)平均數(shù)的計算方法即可判斷D選項【詳解】對于A,數(shù)據(jù)1，1，2，3，4，4的眾數(shù)是1，4,故A正確；對于B，數(shù)據(jù)2，3，4，5，6，7的中位數(shù)是4+52對于C，一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)可能是同一數(shù)，比如3，3，3，3，故C正確；對于D，3個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5，則3個數(shù)據(jù)得和是3×5，另外4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是4，則4個數(shù)據(jù)得和是4×4，故這7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是故選：ACD.【變式11】2．（2022·廣東·）已知一組數(shù)x1,x【答案】8【分析】根據(jù)給定條件利用一組數(shù)據(jù)及平均數(shù)的定義列式計算即可作答.【詳解】因數(shù)據(jù)x1,x所以數(shù)據(jù)2x1,2x2故答案為：8.【變式11】3．（2021·遼寧大連·）已知一組數(shù)x1,x【答案】12【分析】根據(jù)給定條件利用一組數(shù)據(jù)平均數(shù)的定義列式計算即可作答.【詳解】因數(shù)據(jù)x1,x所以數(shù)據(jù)3x1,3x2故答案為：12【變式11】4．（2022·全國·高一課時練習(xí)）一般地，若取值為x1,x【答案】x【分析】由數(shù)據(jù)集中各數(shù)據(jù)及其出現(xiàn)頻率與數(shù)據(jù)集平均數(shù)的關(guān)系，寫出平均數(shù)的表達式.【詳解】由題設(shè)，該數(shù)據(jù)集的平均數(shù)x=故答案為：x題型2眾數(shù)相關(guān)考點【方法總結(jié)】確定眾數(shù)的關(guān)鍵是統(tǒng)計各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)，頻數(shù)最大的數(shù)據(jù)就是眾數(shù)，當一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時，眾數(shù)往往更能反映數(shù)據(jù)的集中趨勢.【例題2】（2023上·云南紅河·高一?？奸_學(xué)考試）空氣質(zhì)量指數(shù)簡稱AQI，是定量描述空氣質(zhì)量狀況的無量綱指數(shù).某市4月30日22時至5月1日5時的空氣質(zhì)量指數(shù)的整點報告為70,71,69,70,72,70,68,72，這一時段整點空氣質(zhì)量指數(shù)的眾數(shù)是（

）A．69 B．70 C．71 D．72【答案】B【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義分析判斷.【詳解】將數(shù)據(jù)按由小到大排序得：68,69,70,70,70,71,72,72，顯然數(shù)據(jù)70出現(xiàn)次數(shù)最多，所以空氣質(zhì)量指數(shù)的眾數(shù)是70.故選：B.【變式21】1．（2023下·全國·高一隨堂練習(xí)）惠州市某工廠10名工人某天生產(chǎn)同一類型零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，記這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則（

）A．a(chǎn)>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a【答案】D【分析】將平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)計算出來即可得.【詳解】平均數(shù)a=10+12+14+14+15+15+16+17+17+17中位數(shù)b=15+15眾數(shù)c=17，故c>b>a.故選：D.【變式21】2．（2022上·高一?？紗卧獪y試）一組樣本數(shù)據(jù)為：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（

）A．14，14 B．12，14 C．14，15.5 D．12，15.5【答案】A【分析】把給定數(shù)據(jù)按由小到大排列，再結(jié)合眾數(shù)、中位數(shù)的定義求解作答.【詳解】把這組數(shù)據(jù)按由小到大排列為：10，12，12，14，14，14，17，18，19，23，27，所以其眾數(shù)為14，中位數(shù)為14.故選：A【變式21】3．（2023下·河北衡水·高一河北武強中學(xué)校考期末）七位評委為某跳水運動員打出的分數(shù)如下：84,79,86,87,84,93,84，則這組分數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（

）A．84，85 B．84，84 C．85，84 D．85，85【答案】B【分析】利用中位數(shù)和眾數(shù)的定義進行判斷.【詳解】數(shù)據(jù)84,79,86,87,84,93,84按從小到大的順序排一列：79,84,84,84,86,87,93,所以這組分數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是84，84，故A，C，D錯誤.故選：B.【變式21】4．（2022·全國·）2022年6月6日是第27個“全國愛眼日”，為普及科學(xué)用眼知識，提高群眾健康水平，預(yù)防眼疾，某區(qū)殘聯(lián)在殘疾人綜合服務(wù)中心開展“全國愛眼日”有獎答題競賽活動.已知5位評委老師按百分制（只打整數(shù)分）分別給出某參賽小隊評分，可以判斷出一定有評委打滿分的是（

）A．平均數(shù)為98，中位數(shù)為98 B．中位數(shù)為96，眾數(shù)為99C．中位數(shù)為97，極差為9 D．平均數(shù)為98，極差為6【答案】D【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差的計算公式分析選項或舉出反例即可【詳解】解：選項A：當打分結(jié)果為98,98,98,98,98時，滿足平均數(shù)為98，中位數(shù)為98，所以A錯誤；選項B：當打分結(jié)果為99,99,96,95,94時，滿足中位數(shù)為96，眾數(shù)為99，所以B錯誤；選項C：當打分結(jié)果為89,97,97,97,98時，滿足中位數(shù)為97，極差為9，所以C錯誤；選項D：假設(shè)沒有評委打滿分，結(jié)合極差為6可得總成績S≤則平均數(shù)x≤故選：D.題型3中位數(shù)百分位數(shù)【方法總結(jié)】計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．第2步，計算i＝n×p%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i＋1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù)．【例題3】（2024上·遼寧朝陽·高一統(tǒng)考期末）抽樣統(tǒng)計某位學(xué)生10次的數(shù)學(xué)成績分別為86,84,88,86,89,89,90,87,85,92，則該學(xué)生這10次成績的40%A．86.5 B．87.5 C．91 D．89【答案】A【分析】將該學(xué)生的10次數(shù)學(xué)成績從小到大排列，即可求出該學(xué)生這10次成績的40%【詳解】該學(xué)生10次的數(shù)學(xué)成績從小到大分別為84,85,86,86,87,88,89,89,90,92.又10×40%=4，這10次成績的40%故選：A.【變式31】1．（2023上·河南南陽·高一社旗縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）學(xué)校組織秋季運動會，在一項比賽中，學(xué)生甲進行了8組投籃，得分（單位：分）分別為10，8，a，8，7，9，6，8，如果學(xué)生甲的平均得分為8分，那么這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為.【答案】8.5【分析】由平均數(shù)求出a的值，將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列，由百分位數(shù)的定義即可求解.【詳解】由題意可得10+8+a+8+7+9+6+88=8，解得a=8，將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為6，7，8，8，8，8，9，10，因為8×75%故答案為：8.5【變式31】2．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一河南省濟源第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）高一某班舉行黨史知識競賽，其中12名學(xué)生的成績分別是：82、74、76、90、94、82、87、73、61、67、97、98，則該小組12名學(xué)生成績的75%【答案】92【分析】利用百分位數(shù)的計算公式進行計算.【詳解】從小到大排列數(shù)據(jù)為：61、67、73、74、76、82、82、87、90、94、97、98，由12×7500=9即90+942=92，所以該小組12名學(xué)生成績的75%故答案為：92.【變式31】3.下表記錄了一個家庭6月份每天在食品上面的消費金額：（單位：元）第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天第9天第10天31292632342834313434第11天第12天第13天第14天第15天第16天第17天第18天第19天第20天35262735342828303228第21天第22天第23天第24天第25天第26天第27天第28天第29天第30天32263534353028343129求該家庭6月份每天在食品上面的消費金額的5％，25％，50％，75％，95％分位數(shù).【解析】該樣本共有30個數(shù)據(jù),所以30×5％=1.5,30×25％=7.5,30×50％=15,30×75％=22.5,30×95％=28.5將所有數(shù)據(jù)由小到大排列得：26,26,26,27,28,28,28,28,28,29,29,30,30,31,3131,32,32,32,34,34,34,34,34,34,34,35,35.從而得5個百分位數(shù)如下表：百分位數(shù)5％25％50％75％95％消費金額/元2628313435【變式31】4.（多選）（2023下·全國·高一隨堂練習(xí)）已知10個數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是31，則下列說法正確的是（

）A．這10個數(shù)據(jù)中至少有8個數(shù)小于或等于31B．把這10個數(shù)據(jù)從小到大排列后，第8個數(shù)據(jù)是31C．把這10個數(shù)據(jù)從小到大排列后，第7個與第8個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是31D．把這10個數(shù)據(jù)從小到大排列后，第6個與第7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是31【答案】AB【分析】由百分位數(shù)的概念可判斷.【詳解】因為這10個數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是31，由10×0.75=7.5，可知把這10個數(shù)據(jù)從小到大排列后，第8個數(shù)為31，可知，選項A，B正確，C，D錯誤.故選：AB.題型4極差、方差、標準差【方法總結(jié)】標準差與方差的統(tǒng)計意義（1）標準差（方差）的取值范圍是[0，+oo）（標準差的大小不會超過極差）.（2）標準差（方差）描述了一組數(shù)據(jù)相對于平均數(shù)離散程度的大小.◆類型1極差、方差、標準差的意義【例題41】（2022上·高一單元測試）為了判斷甲乙兩名同學(xué)本學(xué)期幾次數(shù)學(xué)考試成績哪個較穩(wěn)定，通常需要知道這兩人的（

）A．平均數(shù) B．眾數(shù) C．方差 D．頻率分布【答案】C【分析】根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)所表示的含義可確定結(jié)果.【詳解】∵方差用來衡量數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，∴判斷兩名同學(xué)哪個同學(xué)數(shù)學(xué)成績較穩(wěn)定，通常需要知道這兩人的方差.故選：C.【變式41】1．（2023上·遼寧朝陽·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）下列統(tǒng)計量中，能更好地度量樣本x1，x2，…，A．樣本x1，x2，…，xn的眾數(shù) B．樣本x1，C．樣本x1，x2，…，xn的標準差 D．樣本x1，【答案】C【分析】利用眾數(shù)，中位數(shù)，標準差，平均數(shù)定義及含義分析求解.【詳解】眾數(shù)、中位數(shù)是反映數(shù)據(jù)的集中趨勢的量；平均數(shù)是反映數(shù)據(jù)的平均水平及集中趨勢的量；極差是最大值與最小值之差，能在一定程度上刻畫數(shù)據(jù)的離散程度，但可能會忽略一些重要的信息，因此能更好地反映一組數(shù)據(jù)離散程度的是標準差.故選：C．【變式41】2．(多選)（2023下·湖北·高一安陸第一高中校聯(lián)考期末）學(xué)?！拔磥肀弊闱虮荣愔校装嗝繄霰荣惼骄驍?shù)是1.9，失球個數(shù)的標準差為0.3；乙班每場比賽平均失球數(shù)是1.3，失球個數(shù)的標準差為1.2，你認為下列說法中正確的是（

）A．平均來說乙班比甲班防守技術(shù)好B．乙班比甲班防守技術(shù)更穩(wěn)定C．乙班在防守中有時表現(xiàn)非常好，有時表現(xiàn)比較差D．甲班很少不失球【答案】ACD【分析】由平均數(shù)及方差的大小關(guān)系逐一判斷各選項.【詳解】對于A，從平均數(shù)角度考慮是對的，甲班每場比賽平均失球數(shù)大于乙班每場比賽平均失球數(shù)，故A正確；對于B，從標準差角度考慮是錯的，甲失球個數(shù)的標準差小，防守技術(shù)更穩(wěn)定；故B錯誤；對于C，乙失球個數(shù)的標準差大，防守中的表現(xiàn)不穩(wěn)定，故C正確；對于D，從平均數(shù)和標準差角度考慮是對的，故D正確.故選：ACD.【變式41】3．（多選）（2023下·陜西寶雞·高一寶雞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．抽樣調(diào)查具有花費少、效率高的特點B．數(shù)據(jù)2，3，9，5，3，9的中位數(shù)為7，眾數(shù)為3和9C．極差和標準差都能描述一組數(shù)據(jù)的離散程度D．數(shù)據(jù)a1,a2,???,a【答案】AC【分析】根據(jù)抽樣調(diào)查的特點判斷A，將數(shù)據(jù)從小到大排列求出中位數(shù)與眾數(shù)，即可判斷B，根據(jù)方差、標準差的定義判斷C，根據(jù)方差的性質(zhì)判斷D.【詳解】對于A：抽樣調(diào)查相比全面調(diào)查具有花費少、效率高的特點，故A正確；對于B：數(shù)據(jù)從小到大排列為2、3、3、5、9、9，所以中位數(shù)為3+52=4，眾數(shù)為3和對于C：極差和標準差都能描述一組數(shù)據(jù)的離散程度，故C正確；對于D：數(shù)據(jù)a1,a2,???,an故選：AC【變式41】4．（2022下·福建福州·高一?？计谀┫铝忻}中是真命題的有（）A．有A，B，C三種個體按3:1:2的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的A個體數(shù)為9，則樣本容量為30B．一組數(shù)據(jù)1,3,3,4,5的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)相同C．若甲組數(shù)據(jù)的方差為5，乙組數(shù)據(jù)為5,6,9,10,5，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲D．一組數(shù)6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的85%分位數(shù)為5【答案】D【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)判斷A；計算出平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)判斷B；計算乙的方差判斷C；由百分位數(shù)的性質(zhì)判斷D.【詳解】對于A項，B、C抽取的個體數(shù)分別為3,6，則樣本容量為3+6+9=18，故A錯誤；對于B項，平均數(shù)為1+3+3+4+55=3.2，中位數(shù)為3，眾數(shù)為對于C項，乙的平均數(shù)為5+6+9+10+55=7，方差為對于D項，將該組數(shù)據(jù)總小到大排列1,2,2,2,3,3,3,4,5,6，由10×85%故選：D◆類型2極差、方差、標準差的計算【例題42】（2023下·天津武清·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)樣本數(shù)據(jù)1，3，a，2的平均數(shù)為5，則樣本的方差為（）A．5 B．27.5 C．27 D．110【答案】B【分析】由平均數(shù)以及方差的計算公式求解.【詳解】由1+3+a+24=5,得a=14，則樣本的方差為故選：B【變式42】1．（2023上·云南保山·高一校考開學(xué)考試）若一組數(shù)據(jù)a1，a2，a3的平均數(shù)為4，方差為3，那么數(shù)據(jù)a1+2A．4，3 B．6，3 C．3，4 D．6，5【答案】B【分析】根據(jù)平均數(shù)以及方差的性質(zhì)及可求解.【詳解】若一組數(shù)據(jù)a1，a2，a3的平均數(shù)為4，方差為3，那么數(shù)據(jù)a1+2故選：B【變式42】2．（2023上·北京·高一首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知一組數(shù)據(jù)9.92,9.96,9.97,9.98,10,10.02,10.03,10.04,10.08的平均數(shù)為X，方差為s2，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)X=；若新增3個均為10的數(shù)據(jù)，方差記為s'2，那么s'2s2【答案】10>【分析】空1，利用平均數(shù)的計算公式即可得解；空2，再利用方差的定義判斷即可.【詳解】依題意，得X=因為新增的3個數(shù)據(jù)均為10，所以新的數(shù)據(jù)組的平均數(shù)不變，仍為10，則i=19因為s2=1所以s2故答案為：10；>.【變式42】3．（2023·全國·）已知6個正整數(shù)，它們的平均數(shù)是5，中位數(shù)是4，唯一的眾數(shù)是3，則這6個數(shù)的極差最大時，方差的值是__________.【答案】373##【分析】根據(jù)給定信息，分析可得6個正整數(shù)依次為1，3，3，5，6，12，再利用方差定義計算作答.【詳解】因6個正整數(shù)極差最大，則最小數(shù)是1，而唯一眾數(shù)是3，則3只能出現(xiàn)兩次，若超過兩次，則中位數(shù)是3，與中位數(shù)是4矛盾，因此前4個數(shù)為1，3，3，5，設(shè)另兩個數(shù)為b,c(b<要使極差c-1最大，當且僅當c最大，此時，b所以這6個數(shù)的方差為：16故答案為：37【變式42】4．（2020·廣西·平果二中）在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下17，25，11，27，18，19，31，27，41，16，若，B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)都減2后所得數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是（

）A．平均數(shù) B．眾數(shù) C．方差 D．中位數(shù)【答案】C【解析】根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的特征及計算方法分析即可.【詳解】當A樣本數(shù)據(jù)都減2，每個數(shù)據(jù)大小改變，則數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)都發(fā)生變化，設(shè)A樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為xA=m所以B樣本數(shù)據(jù)中xi-x故選：C.【點睛】本題考查樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，◆類型3極差、方差、標準差的性質(zhì)【方法總結(jié)】一般地，設(shè)樣本數(shù)據(jù)為x1,x2,（1）數(shù)據(jù)x1+b,x（2）數(shù)據(jù)ax1,ax（3）數(shù)據(jù)ax1+b,【例題43】（2023上·全國·高一專題練習(xí)）已知一組數(shù)x1，x2，x3，x4的平均數(shù)是x=2，方差s2=2，則數(shù)據(jù)2A．3，4 B．2，8 C．2，4 D．5，8【答案】D【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)運算求解.【詳解】由題意可得：數(shù)據(jù)2x1+1，2x2+1，2x故選：D.【變式43】1．（2023下·云南玉溪·高一統(tǒng)考期末）若數(shù)據(jù)x1,xA．5，5 B．15，15 C．19，19 D．19，45【答案】D【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義和方差的定義結(jié)合題意求解【詳解】由題意得：1ni=1nxi=5，1n則x=s2所以3x故選：D．【變式43】2．（2023下·廣西南寧·高一校聯(lián)考期末）設(shè)一組數(shù)據(jù)x1,xA．3 B．5 C．9 D．13【答案】C【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)計算可得.【詳解】因為一組數(shù)據(jù)x1,x所以數(shù)據(jù)3x1+2,3故選：C【變式43】3．（2023下·安徽淮南·高一淮南第三中學(xué)?？计谀┮阎唤M數(shù)據(jù)x1,xA．6 B．10 C．18 D．22【答案】C【分析】根據(jù)一組數(shù)據(jù)都乘以同一個數(shù)以及加上一個數(shù)后新數(shù)據(jù)的方差的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】由題意知數(shù)據(jù)x1則3x1+4,3故選：C【變式43】4.（多選）（2023下·福建福州·高一校聯(lián)考期末）設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，???，xn的平均數(shù)為2，方差為0.01，則數(shù)據(jù)2x1+3，A．平均數(shù)為5 B．平均數(shù)為7 C．標準差為0.2 D．標準差為0.1【答案】BC【分析】由題意，根據(jù)平均數(shù)和方差的變化規(guī)律即可得到另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，進而可得標準差．【詳解】已知一組樣本數(shù)據(jù)x1則數(shù)據(jù)2x1+3,2方差s2=故選：BC．◆類型4極差、方差、標準差的作用【例題44】（2022上·遼寧阜新·高一校考期末）甲、乙兩機床同時加工直徑為100mm甲9910098100100103乙9910010299100100分別計算甲乙的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差，根據(jù)計算說明哪臺機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．【答案】眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)方差甲1001001007乙1001001001乙穩(wěn)定【分析】根據(jù)給定的數(shù)表，利用眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的定義計算即可，再比較回答.【詳解】甲機床樣本數(shù)據(jù)為98,99,100,100,100,103，因此眾數(shù)為100，中位數(shù)為100，平均數(shù)為98+99+3×100+1036=100，方差為乙機床樣本數(shù)據(jù)為99,99,100,100,100,102，因此眾數(shù)為100，中位數(shù)為100，平均數(shù)為2×99+3×100+1026=100，方差為所以甲機床樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都為100，方差為73乙機床樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都為100，方差為1，而乙機床樣本數(shù)據(jù)的方差小于甲機床樣本數(shù)據(jù)的方差，所乙臺機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.【變式44】1．（2023下·陜西西安·高一?？茧A段練習(xí)）某工廠甲、乙兩名工人參加操作技能培訓(xùn).現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次測試成績中隨機抽取8次，數(shù)據(jù)如下（單位：分）：甲9582888193798478乙8375808090859295(1)請你計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)；(2)請你計算這兩組數(shù)據(jù)的方差，現(xiàn)要從中選派一人參加操作技能比賽，從平均數(shù)、中位數(shù)和方差的角度考慮，你認為選派哪名工人參加合適？請說明理由（言之有理即可）.【答案】(1)甲的平均數(shù)為：85，甲的中位數(shù)為：83；乙的平均數(shù)為：85，乙的中位數(shù)為：84(2)選甲，理由詳見解析（答案不唯一）【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)的知識求得正確答案.（2）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)的數(shù)字特征進行說明.【詳解】（1）甲的平均數(shù)為：95+82+88+81+93+79+84+788從小到大排序：78,79,81,82,84,88,93,95甲的中位數(shù)為：82+842乙的平均數(shù)為：83+75+80+80+90+85+92+958從小到大排序：75,80,80,83,85,90,92,95乙的中位數(shù)為：83+852（2）甲的方差為：95-852乙的方差為：83-852由于甲的平均數(shù)和乙的平均數(shù)相同，甲的方差比乙的方差小，所以應(yīng)該選甲參加合適.【變式44】2．（2023下·云南·高一校考期末）某班20位女同學(xué)平均分為甲、乙兩組，她們的勞動技術(shù)課考試成績（單位：分）如下：甲組60，90，85，75，65，70，80，90，95，80乙組85，95，75，70，85，80，85，65，90，85(1)試分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差；(2)判斷哪一組的成績較穩(wěn)定？【答案】(1)甲、乙的平均數(shù)，方差分別為79,119、81.5,75.25；(2)乙組的成績比較穩(wěn)定.【分析】（1）根據(jù)給定數(shù)據(jù)求甲乙的平均數(shù)、方差即可；（2）比較甲乙的方差，即可確定哪一組成績的穩(wěn)定.【詳解】（1）甲的平均數(shù)x=方差s1乙的平均數(shù)y=方差s2（2）由（1）知：s1【變式44】3．（2023下·廣西南寧·高一校聯(lián)考期末）某旅游網(wǎng)考察景區(qū)酒店A，B，依據(jù)服務(wù)質(zhì)量給酒店綜合評分，下表是考察組給出酒店A，B的評分（滿分100分），記A，B兩個酒店得分的平均數(shù)分別為x和y，方差分別為s12和A（單位/分）60756580657585705570B（單位/分）75706580805080706070(1)分別求這兩個酒店得分的極差和中位數(shù)；(2)求x，y，s12，(3)若要推薦A，B酒店中的一家，依據(jù)以上計算的結(jié)果分析推薦哪一家酒店，并說明理由.【答案】(1)極差均為30，中位數(shù)均為70，(2)x=70，y=70，s(3)選酒店A【分析】（1）根據(jù)極差的定義求解，對兩組數(shù)從小到大排列后，根據(jù)中位數(shù)的定義求解；（2）根據(jù)平均數(shù)和方差的定義直接求解即可；（3）根據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)分析即可【詳解】（1）酒店A的得分從小到大排列為：55，60，65，65，70，70，75，75，80，85，酒店B的得分從小到大排列為：50，60，65，70，70，70，75，80，80，80，所以酒店A的得分的極差為85-55=30，酒店B得分的極差為80-50=30，酒店A得分的中位數(shù)為70，酒店B得分的中位數(shù)為70，（2）酒店A的得分平均數(shù)為x=方差s酒店B得分的平均數(shù)為y=方差為s（3）因為A，B兩個酒店得分的平均數(shù)相同，而酒店A的得分的方差小于酒店B得分的方差，所以酒店A的得分比較穩(wěn)定，所以選擇酒店A.【變式44】4.（2023下·山東菏澤·高一統(tǒng)考期末）通過簡單隨機抽樣，得到20戶居民的月用水量數(shù)據(jù)（單位：t），這20戶居民平均用水量是8t，方差是6.其中用水量最少的5戶用水量為3t,5(1)求20個樣本數(shù)據(jù)的17.5%和90(2)估計其它10戶居民的月用水量的平均數(shù)和方差.【答案】(1)6t；(2)8t；【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)的定義即可求解；（2）設(shè)其它10個樣本為x1，x2，x3，x4，…，x10，平均數(shù)記為x，根據(jù)平均數(shù)的計算公式即可求得i=110xi【詳解】（1）20×17.5%=3.5，則17.5%分位數(shù)是第4項數(shù)據(jù)，為20×90%=18，則90%分位數(shù)是第18項和19項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，為（2）設(shè)其它10個樣本為x1，x2，x3，x4，…，x10，平均數(shù)記為x，i=110所以i=110xi=80，20戶居民的月用水量數(shù)據(jù)的方差記為s12，所求10戶居民的月用水量數(shù)據(jù)的方差記為s1解得i=110xi所以所求10戶居民的月用水量的平均數(shù)8t題型5最值相關(guān)考點【方法總結(jié)】求解最值時需將數(shù)據(jù)排序，數(shù)據(jù)中任何值都不會超過最大值，也不會小于最小值?！纠}5】（多選）（2023上·河南南陽·高一社旗縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）有一組數(shù)據(jù)x