離散型隨機(jī)變量的均值（教學(xué)設(shè)計(jì)）（人教A版2019選擇性必修第三冊）

.3.1離散型隨機(jī)變量的均值教學(xué)設(shè)計(jì)課時(shí)教學(xué)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容是從平均值的角度引入離散型隨機(jī)變量均值的概念，再通過實(shí)際問題建立取有限值的離散型隨機(jī)變量均值的概念，然后推導(dǎo)出離散型隨機(jī)變量均值的線性性質(zhì).取有限值的離散型隨機(jī)變量的均值是在學(xué)生學(xué)習(xí)完離散型隨機(jī)變量及其分布列概念的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究離散型隨機(jī)變量取值特征的一個(gè)方面.本節(jié)內(nèi)容既是隨機(jī)變量分布列內(nèi)容的深化，又是后續(xù)內(nèi)容離散型隨機(jī)變量方差的基礎(chǔ)，所以本節(jié)內(nèi)容是進(jìn)一步學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量取值特征的其他方面的基礎(chǔ).課時(shí)教學(xué)目標(biāo)通過實(shí)例理解離散型隨機(jī)變量均值的概念，能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的均值.理解離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì).掌握兩點(diǎn)分布的均值.會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的均值，解決一些相關(guān)的實(shí)際問題．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1．重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量均值的意義、性質(zhì)及應(yīng)用．2．難點(diǎn)：對離散型隨機(jī)變量均值的意義的理解．教學(xué)過程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題對于離散型隨機(jī)變量，可以由它的概率分布列確定與該隨機(jī)變量相關(guān)事件的概率.但在實(shí)際問題中，有時(shí)我們更感興趣的是隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征.例如，要了解某班同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中的總體水平，很重要的是看平均分；要了解某班同學(xué)數(shù)學(xué)成績是否“兩極分化”則需要考察這個(gè)班數(shù)學(xué)成績的方差.本節(jié)課我們一起來認(rèn)識(shí)離散型隨機(jī)變量的均值.離散型隨機(jī)變量的分布列全面地刻畫了這個(gè)隨機(jī)變量的取值規(guī)律，但在解決有些實(shí)際問題時(shí)，直接使用分布列并不方便．例如，要比較不同班級某次考試成績，通常會(huì)比較平均成績；要比較兩名射箭運(yùn)動(dòng)員的射箭水平，一般會(huì)比較他們射箭的成績（平均環(huán)數(shù)或總環(huán)數(shù)）以及穩(wěn)定性．因此，類似于研究一組數(shù)據(jù)的均值和方差，我們也可以研究離散型隨機(jī)變量的均值和方差，它們統(tǒng)稱為隨機(jī)變量的數(shù)字特征．【設(shè)計(jì)意圖】通過談話直接點(diǎn)明本節(jié)課題，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)源于生活，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是有用的.問題1甲、乙兩名射箭運(yùn)動(dòng)員射中目標(biāo)箭靶的環(huán)數(shù)的分布列如表7.3-1所示．表7.3-1環(huán)數(shù)X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2如何比較他們射箭水平的高低呢？【師生活動(dòng)】：教師提出問題1,讓學(xué)生思考、討論、交流.在學(xué)生討論交流的同時(shí)，教師可以巡視指導(dǎo)，提示學(xué)生：由于射擊環(huán)數(shù)所占的權(quán)重不同，在用數(shù)學(xué)方法解決這一問題時(shí)要考慮權(quán)重問題.在學(xué)生充分交流討論后，師生共同得出：類似兩組數(shù)據(jù)的比較，首先比較擊中的平均環(huán)數(shù)，如果平均環(huán)數(shù)相等，再看穩(wěn)定性．假設(shè)甲射箭次，射中7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)和10環(huán)的頻率分別為，，，．甲次射箭射中的平均環(huán)數(shù)為．當(dāng)足夠大時(shí)，頻率穩(wěn)定于概率，所以穩(wěn)定于．即甲射中平均環(huán)數(shù)的穩(wěn)定值（理論平均值）為9，這個(gè)平均值的大小可以反映甲運(yùn)動(dòng)員的射箭水平．同理，乙射中環(huán)數(shù)的平均值為．從平均值的角度比較，甲的射箭水平比乙高．求離散型隨機(jī)變量X的均值的步驟：(1)理解X的實(shí)際意義，寫出X全部可能取值；(2)求出X取每個(gè)值時(shí)的概率；(3)寫出X的分布列(有時(shí)也可省略)；(4)利用定義公式EX探究2.已知X是一個(gè)隨機(jī)變量，且分布列如下表所示.環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列如表7.3-2所示，表7.3-2……則稱為隨機(jī)變量X的均值（mean）或數(shù)學(xué)期望（mathematicalexpectation），數(shù)學(xué)期望簡稱期望．均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平．【設(shè)計(jì)意圖】通過具體的問題情境，引發(fā)學(xué)生思考，積極參與互動(dòng)，說出自己的見解，從而引出離散型隨機(jī)變量均值的概念，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).例1在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分．如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.8，那么他罰球1次的得分X的均值是多少？【師生活動(dòng)】教師先讓學(xué)生思考，然后引導(dǎo)學(xué)生分析：分析：罰球有命中和不中兩種可能結(jié)果，命中時(shí)，不中時(shí)，因此隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布．的均值反映了該運(yùn)動(dòng)員罰球1次的平均得分水平．解：因?yàn)?，．所以．即該運(yùn)動(dòng)員罰球1次得分X的均值是0.8．環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念一般地，如果隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，那么【設(shè)計(jì)意圖】通過例1,鞏固離散型隨機(jī)變量均值的概念，同時(shí)引出兩點(diǎn)分布均值的公式，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).例2拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為X，求X的均值．分析：先求出X的分布列，再根據(jù)定義計(jì)算X的均值．解：X的分布列為，．因此．觀察：擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)的均值為3.5．隨機(jī)模擬這個(gè)試驗(yàn)，重復(fù)60次和重復(fù)300次各做6次，觀測出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)并計(jì)算平均數(shù)．根據(jù)觀測值的平均數(shù)（樣本均值）繪制統(tǒng)計(jì)圖，分別如圖7.3-1（1）和（2）所示．觀察圖形，在兩組試驗(yàn)中，隨機(jī)變量的均值與樣本均值有何聯(lián)系與區(qū)別？觀察圖7.3-1可以發(fā)現(xiàn)：在這12組擲骰子試驗(yàn)中，樣本均值各不相同，但它們都在擲出點(diǎn)數(shù)X的均值3.5附近波動(dòng)，且重復(fù)擲300次的樣本均值波動(dòng)幅度明顯小于重復(fù)60次的．事實(shí)上，隨機(jī)變量的均值是一個(gè)確定的數(shù)，而樣本均值具有隨機(jī)性，它圍繞隨機(jī)變量的均值波動(dòng)．隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)的增加，樣本均值的波動(dòng)幅度一般會(huì)越來越?。虼耍覀兂Ｓ秒S機(jī)變量的觀測值的均值去估計(jì)隨機(jī)變量的均值．【設(shè)計(jì)意圖】通過例2,歸納出求離散型隨機(jī)變量均值的步驟，規(guī)范學(xué)生求均值的思維過程.思考：隨機(jī)變量的均值與樣本均值有何聯(lián)系與區(qū)別？探究：如果是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，將進(jìn)行平移或伸縮后，其均值會(huì)怎樣變化?即和(其中為常數(shù))分別與有怎樣的關(guān)系?【設(shè)計(jì)意圖】通過觀察、思考、類比，從特殊例子歸納猜想，得出離散型隨機(jī)變量均值的線性性質(zhì)的一般規(guī)律.意在使學(xué)生的思維遵循認(rèn)識(shí)問題的一般規(guī)律，也為培養(yǎng)學(xué)生善于觀察思考，發(fā)現(xiàn)新問題、新知識(shí)，勇于探索，追求真理的思維習(xí)慣和科學(xué)精神.設(shè)的分布列為．根據(jù)隨機(jī)變量均值的定義類似地，可以證明．你能給出證明嗎？．一般地，下面的結(jié)論成立：．【設(shè)計(jì)意圖】離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)若X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,且Y=aX+b,則有E(Y)=aE(X)+b,即隨機(jī)變量X的線性函數(shù)的均值等于這個(gè)隨機(jī)變量的均值E(X)的同一線性函數(shù).特別地:(1)當(dāng)a=0時(shí),E(b)=b,即常數(shù)的均值就是這個(gè)常數(shù)本身.(2)當(dāng)a=1時(shí),E(X+b)=E(X)+b,即隨機(jī)變量X與常數(shù)之和的均值等于X的均值與這個(gè)常數(shù)的和.(3)當(dāng)b=0時(shí),E(aX)=aE(X),即常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的均值等于這個(gè)常數(shù)與隨機(jī)變量的均值的乘積.環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念例3猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名．某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，猜對每首歌曲的歌名相互獨(dú)立，猜對三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜對時(shí)獲得相應(yīng)的公益基金如表7.3-3所示．表7.3-3歌曲ABC猜對的概率0.80.60.4獲得的公益基金額/元100020003000規(guī)則如下：按照A，B，C的順序猜，只有猜對當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首求嘉賓獲得的公益基金總額X的分布列及均值．【師生活動(dòng)】教師指出：這是一個(gè)概率決策問題，也稱為風(fēng)險(xiǎn)決策，并提出思考問題:我們?nèi)绾卫脭?shù)學(xué)方法進(jìn)行決策？學(xué)生思考后，教師引導(dǎo)學(xué)生分析本例題：思考：如果改變猜歌的順序，獲得公益基金的均值是否相同？如果不同，你認(rèn)為哪個(gè)順序獲得的公益基金均值最大？【師生活動(dòng)】教師指出：選擇不同的猜歌順序，X的分布列是不同的，不能直接進(jìn)行比較，所以決策的原則是選擇期望值E(X)大的猜歌順序，這稱為期望值原則.猜對的概率大表示比較容易猜，猜對的概率小表示比較難猜.教師要求學(xué)生列出所有不同的猜歌順序，分別求出X的分布列和均值，通過比較進(jìn)行驗(yàn)證.分析：根據(jù)規(guī)則，公益基金總額X的可能取值有四種情況：猜錯(cuò)A，獲得0元基金；猜對A而猜錯(cuò)B，獲得1000元基金；猜對A和B而猜錯(cuò)C，獲得3000元基金；A，B，C全部猜對，獲得6000元基金．因此X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量．利用獨(dú)立條件下的乘法公式可求分布列．解：分別用A，B，C表示猜對歌曲A，B，C歌名的事件，則A，B，C相互獨(dú)立．，，，．的分布列如表7.3-4所示．表7.3-4X0100030006000P0.20.320.2880.192的均值為如果改變猜歌的順序，獲得公益基金的均值是否相同？如果不同，你認(rèn)為哪個(gè)順序獲得的公益基金均值最大？【設(shè)計(jì)意圖】通過解決實(shí)際問題，了解風(fēng)險(xiǎn)決策的原則及一般方法.對于例3，選擇不同的猜歌順序，X的分布列是不同的，不能直接進(jìn)行比較，所以決策的原則是選擇期望值E(X)大的猜歌順序，這稱為期望值原則．猜對的概率大表示比較容易猜，猜對的概率小表示比較難猜．對于教科書邊空中的問題，可以讓學(xué)生列出所有不同的猜歌順序，分別求出X的分布列和均值，通過比較進(jìn)行驗(yàn)證．實(shí)際上，猜3首歌有6種不同的順序，不同順序及其E(X)如表所示．環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化例4根據(jù)天氣預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01．該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損失60000元，遇到小洪水時(shí)要損失10000元．為保護(hù)設(shè)備，有以下3種方案：方案1 運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3800元；方案2 建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2000元，但圍墻只能防小洪水；方案3 不采取措施．工地的領(lǐng)導(dǎo)該如何決策呢？分析：決策目標(biāo)為總損失（投入費(fèi)用與設(shè)備損失之和）越小越好．根據(jù)題意，各種方案在不同狀態(tài)下的總損失如表7.3-5所示．表7.3-5天氣狀況大洪水小洪水沒有洪水概率0.010.250.74總損失/元方案1380038003800方案26200020002000方案360000100000方案2和方案3的總損失都是隨機(jī)變量，可以采用期望總損失最小的方案．解：設(shè)方案1、方案2、方案3的總損失分別為，，．采用方案1，無論有無洪水，都損失3800元．因此，．采用方案2，遇到大洪水，總損失為元；沒有大洪水時(shí)，總損失為2000元．因此，，采用方案3，，，，于是，，，．因此，從期望損失最小的角度，應(yīng)采取方案2．教師最后指出：值得注意的是，上述結(jié)論是通過比較“期望總損失”而得出的.一般地，我們可以這樣來理解“期望總損失”：如果問題中的天氣狀況多次發(fā)生，那么采用方案2將會(huì)使總損失減到最小.不過，因?yàn)楹樗欠癜l(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機(jī)的，所以對于個(gè)別的一次決策，采用方案2也不一定是最好的.【設(shè)計(jì)意圖】例4也是利用期望值決策的問題．在教學(xué)中，重點(diǎn)是使學(xué)生領(lǐng)悟利用期望值決策的思想方法，同時(shí)也要了解期望值決策的局限性．隨機(jī)變量的期望是一個(gè)理論上的均值，如果是大量重復(fù)地就同樣的問題進(jìn)行決策，期望值原則是一個(gè)合理的決策原則．例如，保險(xiǎn)公司面對眾多的客戶，每份保單需要理賠金額的期望值對制定合理的保險(xiǎn)費(fèi)率具有重要的參考意義．如果是一次性決策的話，可以采用期望值原則決策，也可以采用其他的決策原則．環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？(1)離散型隨機(jī)變量的均值：期望的概念：E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn(2)離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)：期望的計(jì)算公式：E(aX+b)=aE(X)+b(3)兩點(diǎn)分布的均值：特殊隨機(jī)變量的均值(兩點(diǎn)分布的期望)：E(X)=p.2.求離散型隨機(jī)變量ξ的期望的基本步驟：(1)確定取值：理解X的實(shí)際意義，寫出X全部可能取值；(2)求概率：求出X取每個(gè)值時(shí)的概率；(3)寫分布列：寫出X的分布列(有時(shí)也可省略)；(