中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練(全國(guó)通用)第二講 一般三角形及性質(zhì)-滿分之路（解析版）

模塊四三角形第二講一般三角形及性質(zhì)知識(shí)梳理夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)1：三角形的性質(zhì)1.概念由三條線段首尾順次相接組成的圖形，叫做三角形。（三角形具有穩(wěn)定性）2.分類3.三邊的關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊．推論：三角形的兩邊之差小于第三邊．（2）三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：①判斷三條已知線段能否組成三角形；②當(dāng)已知兩邊時(shí)，可確定第三邊的范圍；③證明線段不等關(guān)系．4.內(nèi)角和定理及推論三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°．推論：①直角三角形的兩個(gè)銳角互余；②有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；③三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；④三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角．知識(shí)點(diǎn)2：三角形中的重要線段圖形特征性質(zhì)備注中線AM是△ABC的一條中線,點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn).三角形的三條中線均在三角形內(nèi)部.，重心:三角形三條中線的交點(diǎn).它到三角形頂點(diǎn)的距離等于它到該頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍.高線AD是△ABC的一條高線,點(diǎn)D是垂足.高線可以在三角形內(nèi)部,也可以不在三角形內(nèi)部.AD⊥BC，即∠ADC=∠ADB=90°.垂心:三角形三條高線所在直線的交點(diǎn).角平分線AD是△ABC的一條角平分線,三角形的三條角平分線均在三角形內(nèi)部.內(nèi)心:三角形三條角平分線的交點(diǎn).它到三角形三邊的距離相等.中位線EF是△ABC的一條中位線,點(diǎn)E,F分別是邊AB,AC的中點(diǎn).,且，當(dāng)已知三角形一邊中點(diǎn)時(shí)可過(guò)中點(diǎn)作另一邊的平行線構(gòu)造中位線.知識(shí)點(diǎn)3：與三角形有關(guān)的直線垂直平分線DE是BC的垂直平分線，D是BC中點(diǎn)，并且DE⊥BC.外心：三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.直擊中考勝券在握1．(2023·宜賓中考）若長(zhǎng)度分別是a、3、5的三條線段能組成一個(gè)三角形，則a的值可以是（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，求出a的取值范圍即可得解．【詳解】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得，即，則選項(xiàng)中4符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握相關(guān)不等關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．2．(2023·宿遷中考）如圖，在△ABC中，∠A=70°，∠C=30°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE∥AB，交BC于點(diǎn)E，則∠BDE的度數(shù)是（）

A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【分析】由三角形的內(nèi)角和可求∠ABC，根據(jù)角平分線可以求得∠ABD，由DE//AB，可得∠BDE=∠ABD即可．【詳解】解：∵∠A+∠C=100°∴∠ABC=80°，∵BD平分∠BAC，∴∠ABD=40°，∵DE∥AB，∴∠BDE=∠ABD=40°，故答案為B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的意義、平行線的性質(zhì)，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．3．(2023·陜西中考）如圖，點(diǎn)D、E分別在線段、上，連接、．若，，，則的大小為（）A．60° B．70° C．75° D．85°【答案】B【分析】由題意易得，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵，，∴在△BEC中，由三角形內(nèi)角和可得，∵，∴；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和及外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)角和及外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．(2023·遼寧本溪中考）一副三角板如圖所示擺放，若，則的度數(shù)是（）A．80° B．95° C．100° D．110°【答案】B【分析】由三角形的外角性質(zhì)得到∠3=∠4=35°，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，∠A=90°-30°=60°，∵∠3=∠1-45°=80°-45°=35°，∴∠3=∠4=35°，∴∠2=∠A+∠4=60°+35°=95°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．5．(2023·廣東惠州一中一模）已知三角形三邊為、、，其中、兩邊滿足，那么這個(gè)三角形的最大邊的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和是0，可以求得a，b的值．因而根據(jù)三角形的三邊關(guān)系就可以求得第三邊的范圍．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，解得，，因?yàn)槭亲畲筮?，所以，即．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理結(jié)合題目的已知條件列出不等式，然后解不等式即可．6．如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA長(zhǎng)分別是20，30，40，其三條角平分線將△ABC分為三個(gè)三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的面積公式即可得．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，是的三條角平分線，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．(2023·江蘇揚(yáng)州中考）已知n正整數(shù)，若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是n+2、n+8、3n，則滿足條件的n的值有()A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【答案】D【分析】分n+8與3n最大兩種情況，根據(jù)三角形三邊關(guān)系列出不等式組，解不等式組后求出正整數(shù)解即可得答案.【詳解】∵n+2<n+8，∴分n+8最大與3n最大兩種情況，當(dāng)n+8最大時(shí)，，解得：2<n≤4，又∵n為正整數(shù)，∴n=3，4；當(dāng)3n最大時(shí)，解得：4≤n<10，又∵n為正整數(shù)，∴n=4，5，6，7，8，9，綜上：n的值可以為3、4、5、6、7、8、9，共7種可能，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，三角形三邊關(guān)系，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容并正確分類討論是解題的關(guān)鍵.8．(2023·安徽中考）在中，，分別過(guò)點(diǎn)B，C作平分線的垂線，垂足分別為點(diǎn)D，E，BC的中點(diǎn)是M，連接CD，MD，ME．則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)AD、BC交于點(diǎn)H，作于點(diǎn)F，連接EF．延長(zhǎng)AC與BD并交于點(diǎn)G．由題意易證，從而證明ME為中位線，即，故判斷B正確；又易證，從而證明D為BG中點(diǎn)．即利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可求出，故判斷C正確；由、和可證明．再由、和可推出，即推出，即，故判斷D正確；假設(shè)，可推出，即可推出．由于無(wú)法確定的大小，故不一定成立，故可判斷A錯(cuò)誤．【詳解】如圖，設(shè)AD、BC交于點(diǎn)H，作于點(diǎn)F，連接EF．延長(zhǎng)AC與BD并交于點(diǎn)G．∵AD是的平分線，，，∴HC=HF，∴AF=AC．∴在和中，，∴，∴，∠AEC=∠AEF=90°，∴C、E、F三點(diǎn)共線，∴點(diǎn)E為CF中點(diǎn)．∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，∴ME為中位線，∴，故B正確，不符合題意；∵在和中，，∴，∴，即D為BG中點(diǎn)．∵在中，，∴，∴，故C正確，不符合題意；∵，，，∴．∵，，∴，∴．∵AD是的平分線，∴．∵，∴，∴，∴，故D正確，不符合題意；∵假設(shè)，∴，∴在中，．∵無(wú)法確定的大小，故原假設(shè)不一定成立，故A錯(cuò)誤，符合題意．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線的判定和性質(zhì)以及含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，較難．正確的作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．9．如圖，在中，是邊上的高，，分別是，的角平分線，，，則的度數(shù)為（）A．5° B．10° C．15° D．20°【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的定義求得∠BAE的度數(shù)，然后利用三角形內(nèi)角和求得∠BAD的度數(shù)，從而可求∠EAD的度數(shù)．【詳解】解：在中，是邊上的高，是的角平分線，，∴∠BAE=，∠ADB=90°又因?yàn)椤唷螧AD=180°-∠ADB-∠ABC=30°∴=∠BAE-∠BAD=5°故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形角平分線和三角形高線的定義及三角形內(nèi)角和定理，題目比較簡(jiǎn)單，正確推理計(jì)算是解題關(guān)鍵．10．(2023·山東省淄博中考）如圖，在△ABC中，AD，BE分別是BC，AC邊上的中線，且AD⊥BE，垂足為點(diǎn)F，設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，則下列關(guān)系式中成立的是（）A．a(chǎn)2+b2＝5c2 B．a(chǎn)2+b2＝4c2 C．a(chǎn)2+b2＝3c2 D．a(chǎn)2+b2＝2c2【答案】A【詳解】設(shè)EF＝x，DF＝y(tǒng)，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加減消元法消去x、y得到a、b、c的關(guān)系．【解答】解：設(shè)EF＝x，DF＝y(tǒng)，∵AD，BE分別是BC，AC邊上的中線，∴點(diǎn)F為△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的重心：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．也考查了勾股定理．11．(2023·四川省宜賓中考）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是角平分線AD、BE的交點(diǎn)，若AB＝AC＝10，BC＝12，則tan∠OBD的值是（）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得AD⊥BC，BD=BC=6，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)及三角的面積公式得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=BC=6，∴AD=，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AB，∵BE平分∠ABC，∴OF=OD，∵∴，即：，解得：OD=3，∴tan∠OBD=，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，推出，是解題的關(guān)鍵．12．(2023·湖南懷化三模）如圖，已知在中，是的垂直平分線，垂足為，交于點(diǎn)．若，，則的周長(zhǎng)是________．【答案】15【分析】直接利用垂直平分線的性質(zhì)，得出DB=DC，再利用等量代換即可求得三角形的周長(zhǎng)．【詳解】解：∵是的垂直平分線，∴,∴的周長(zhǎng)=,故填：15．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等．13．(2023·青海中考）如圖，在中，，，分別是邊，，的中點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為10，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】20【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到AC=2DE，AB=2EF，BC=2DF，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵△DEF的周長(zhǎng)為10，∴DE+EF+DF=4，∵D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，∴AC=2DE，AB=2EF，BC=2DF，∴△ABC的周長(zhǎng)=AC+AB+BC=2（DE+EF+DF）=20，故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，對(duì)角線BD平分∠ABC，則BCD的面積為_(kāi)___________．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E．根據(jù)BD平分∠ABC，DE⊥BC，AD⊥AB．得出AD=DE=3．然后利用三角形面積S△BCD=BC?DE=7.5即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，∵∠A=90°，∴AD⊥AB，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，AD⊥AB，∴AD=DE=3，又∵BC=5，∴S△BCD=BC?DE=×5×3=7.5．故答案為7.5．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線性質(zhì)，三角形面積，掌握角平分線性質(zhì)，三角形面積是解題關(guān)鍵．15．(2023·河北中考）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），與的交點(diǎn)為，且，，保持不變．為了舒適，需調(diào)整的大小，使，則圖中應(yīng)___________（填“增加”或“減少”）___________度．【答案】減少10【分析】先通過(guò)作輔助線利用三角形外角的性質(zhì)得到∠EDF與∠D、∠E、∠DCE之間的關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算即可判斷．【詳解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，如圖，連接CF并延長(zhǎng)，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，則∠EFD減少了10°，若只調(diào)整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此應(yīng)將∠D減少10度；故答案為：①減少；②10．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，同時(shí)涉及到了三角形的內(nèi)角和與對(duì)頂角相等的知識(shí)；解決本題的關(guān)鍵是理解題意，讀懂圖形，找出圖形中各角之間的關(guān)系以及牢記公式建立等式求出所需的角，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法